資源簡介

20立體幾何截面問題的十種題型
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 做截面基本功：補全截面方法 1
【題型二】 截面形狀的判斷 4
【題型三】 平行關系確定截面 8
【題型四】 垂直關系確定的截面 10
【題型五】 求截面周長 13
【題型六】 求截面面積 17
【題型七】 球截面 19
【題型八】 截面分體積 22
【題型九】 不規則截面（曲線型截面） 24
【題型十】 截面最值 27
二、最新模考題組練 30
【題型一】 做截面的基本功：補全截面方法
【典例分析】
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,點E、F分別是AB、AA1的中點，點E、F、C1平面，直線A1D1平面=P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值是
答案：B
解析：如圖，計算可得余弦值是
【提分秘籍】
基本規律
截面訓練基礎：
模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如圖
方法二：平行線法。做法如圖
【變式演練】
1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點，則經過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個（ ）
A．三角形 B．平面四邊形 C．平面五邊形 D．平面六邊形
【答案】D
【分析】
分別取、、的中點，連接、、、、、、、、、，先證明四點共面，再證明平面，
平面可得答案.
【詳解】
如圖，分別取、、的中點，連接、、、、、、、、、，且M、N、P分別是棱、、BC的中點，所以、，且，所以， 即四點共面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為，得，且平面，平面，
所以平面，得平面，
因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為，得，又平面，平面，
所以平面，得平面，所以六點共面，
平面六邊形即為經過M、N、P與正方體相交形成的截面，
故選：D.
2.如圖，在正方體中，E是棱的中點，則過三點A、D1、E的截面過（ ）
A．AB中點 B．BC中點 C．CD中點 D．BB1中點
【答案】B
【分析】
根據截面特點結合正方形結構性質求解.
【詳解】
取的中點，連接，，如圖，則，
所以在截面上,故選：B
3.如圖正方體，棱長為1，P為中點，Q為線段上的動點，過A P Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，為四邊形 B．當時，為等腰梯形
C．當時，為六邊形 D．當時，的面積為
【答案】C
【分析】
根據題意，依次討論各選項，作出相應的截面，再判斷即可.
【詳解】
解：當時，如下圖1，是四邊形，故A正確；
當時，如下圖2，為等腰梯形，B正確：
當時，如下圖3，是五邊形，C錯誤；
當時，Q與重合，取的中點F，連接，如下圖4，由正方體的性質易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.
故選：C
【題型二】 截面形狀的判斷
【典例分析】
一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意可知，該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項B正確．
【詳解】
如圖所示：
因為三棱錐的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，
即可知過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．
【提分秘籍】
基本規律
一些容易出錯誤的地方
1.截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面個數。
2.不會與同一個表面有兩條交線。
3.與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）
4.截面截內切球或者外接球時，區分與面相切和與棱相切之間的關系
【變式演練】
1.如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點，過點，，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】
根據主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，即可得出答案.
【詳解】
研究平面DPB，設AC與BD的交點為O，BM與EF交點為N,
為的中點，為的中點，，，又因為,過點作，設，，，又，，
,,為4個格，為8個格，故選：C
2.用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】ABC
【分析】
根據正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】
當截面為三角形時，可能出現正三角形，但不可能出現直角三角形；
截面為四邊形時，可能出現矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現直角梯形；
當截面為五邊形時，不可能出現正五邊形；
截面為六邊形時，可能出現正六邊形，
故選：ABC．
3.在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個判斷，其中正確判斷的序號有______．
①當P為中點時，截面為六邊形；②當時，截面為五邊形；
③當截面為四邊形時，它一定是等腰梯形；
【答案】①③.
【分析】
①延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，結合圖形即可判斷；
②延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形，求出即可判斷；
③當截面為四邊形時，點與點重合，判斷四邊形的形狀即可.
【詳解】
解：如圖①，延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，因為M為AB中點，N為BC中點，所以，同理，又因，
所以，同理，所以共面，此時六邊形為截面，
所以截面為六邊形；故①正確；
如圖②，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形
因為，所以，所以，即，
所以當時，截面為五邊形；故②錯誤；
當截面為四邊形時，點與點重合，如圖，由①得，，所以四邊形即為截面，
設正方體的棱長為1，則，，所以，
所以四邊形是等腰梯形；故③正確.故答案為：①③.
【題型三】 平行關系確定截面
【典例分析】
在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長等于（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】
由線面平行的性質定理確定截面的形狀，再利用三角形相似的性質求截面的周長.
【詳解】
設，因為平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四邊形為平行四邊形，所以，.
因為，所以，，
所以四邊形的周長為.故選：A.
【提分秘籍】
基本規律
平行關系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質定理推導。
【變式演練】
1.在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是___________和___________.
【答案】平面 平面
【分析】
根據題意，結合圖形，得出與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，平面．
【詳解】
解：在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，平面．
，，四邊形是平行四邊形；
，又平面，平面，平面；
同理平面．故答案為：平面，平面．
2.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（ ）
A．0條 B．1條
C．2條 D．4條
【答案】C
【分析】
由平行四邊形的性質有兩對邊平行且相等，再應用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行的性質、判定即可知有幾條棱與平面α平行.
【詳解】
如下圖示，若平面α即為面為平行四邊形，即且，且，
又面，面，則面，而面，面面，
∴，由線面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α.
∴該三棱錐與平面α平行的棱有、，共2條.故選：C
3.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1.
【答案】存在
【分析】
取AB的中點O，連接OC，可證明，即四邊形ODC1C是平行四邊形，所以OC∥C1D，由線線平行證明線面平行，即得證
【詳解】
存在，取AB的中點O，連接OC，作OD∥AA1交A1B1于點D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.
因為O是AB的中點，所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，則四邊形ODC1C是平行四邊形，所以OC∥C1D.又C1D 平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以OC∥平面A1B1C1.
即在邊AB上存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1.
【題型四】 垂直關系確定的截面
【典例分析】
已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由正三棱柱的體積為，，可求得，由于，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設的中點為，作出截面如圖所示，可得點在以為直徑的圓上，從而可求出點到底面距離的最大值，進而可求得三棱錐的體積的最小值
【詳解】
如圖所示，
因為正三棱柱的體積為，，所以，即，
因為，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設的中點為，作出截面如圖所示，
因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，
所以點到底面距離的最大值為，
所以三棱錐的體積的最小值為.故選：A.
【提分秘籍】
基本規律
垂直關系確定的截面，利用線面垂直定理，轉化到表面尋找線線垂直。
【變式演練】
1.如圖，為正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則（ ）
A．為定值，不為定值 B．不為定值，為定值 C．與均為定值 D．與均不為定值
【答案】B
【分析】
將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形，考查的位置，確定
【詳解】
解：將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形，如圖所示
而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所以為定值，
當位于中點時，多邊形為正六邊形，而當稱到時，為正三角形，則當周長這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B
2.正方體，的棱長為4，已知平面α，，則關于α β截此正方體所得截面的判斷正確的是（ ）
A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為
C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形
【答案】ABC
【分析】
首先根據已知條件確定截面，然后根據選項依次判斷正誤即可.
【詳解】如圖
因為正方體∴，，又∵∴平面
又∵平面∴同理：又∵∴平面
∴平面可以是平面，又因為∴為等邊三角形，故A正確
取的中點并依次連接
易知，因為平面，平面∴平面
同理：平面又因為且平面，平面
∴平面平面∴平面可以是平面∵
∴六邊形是正六邊形，故C正確以平面是平面為例計算：設A到平面的距離為
等體積法求距離∵，∴又因為，∴則與平面所成角的正弦值為
∴余弦值等于，故B正確對于D選項：由于直線，在正方體上任取點但異于，與可構成平面，但是截面的形狀都不是正方形，故D錯誤故選：ABC
3.已知正方體的棱長為2，M為的中點，平面過點且與垂直，則（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為
【答案】ABD
【分析】
分析出面，可判斷選項A；取AD的中點，由平面幾何知識可知，，從而判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個選項.
【詳解】
連接，則，又因為，,
所以面，又因為面，所以，故選項A正確；
取AD的中點，的中點，連接，，，，,
在正方形中，由平面幾何知識可知，，
又因為，，所以面，所以,
又因為，所以，又因為,
所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，
所以顯然平面，選項B正確；平面與平面不平行，選項C錯誤；
在梯形中，，，,所以梯形的高為，
所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項D正確.
故選：ABD.
【題型五】 求截面周長
【典例分析】
如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【答案】
【分析】
首先根據面面平行的性質定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.
【詳解】
如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，
連接，易證，則五邊形為所求截面.
因為，所以，
則，故該截面的周長是.
故答案為：.
【提分秘籍】
基本規律
1.截面周長，可以利用多面體展開圖求。
2.截面周長，可以在各個表面各自解三角形求解。
【變式演練】
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F作一截面，則截面的周長為（　　）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.
【詳解】
如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.
過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，
在中，，則，在中，，則，
在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.
2.已知在棱長為6的正方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F三點作該正方體的截面，則截面的周長為________．
【答案】
【分析】
根據正方體的性質作出截面圖形，進而算出周長.
【詳解】
如圖，延長EF，A1B1，相交于點M，連接AM，交BB1于點H，延長FE，A1D1，相交于點N，連接AN，交DD1于點G，連接FH，EG，可得截面為五邊形AHFEG.因為ABCD A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，由中位線定理易得：EF＝，由勾股定理易得：AG＝AH＝，EG＝FH＝，截面的周長為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝＋.
故答案為：＋.
3.已知直三棱柱的側棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.
【詳解】
如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，
，為的中點，則，
平面，平面，，，平面，
、分別為、的中點，則且，平面，
平面，所以，平面平面，
所以，平面即為平面，設平面交于點，
在直棱柱中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
、分別為、的中點，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
且，且，所以，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，平面，
設平面平面，平面，所以，，，
，所以，四邊形為平行四邊形，可得，
所以，為的中點，
延長交于點，，所以，，，
又，所以，，，為的中點，
因為平面平面，平面平面，平面平面，，
，，，，為的中點，
，，則，
為的中點，，則，同理，
因為直棱柱的棱長為，為的中點，，
由勾股定理可得，同理可得，
且，平面，平面，
平面，，、分別為、的中點，則，，
由勾股定理可得，同理.
因此，截面的周長為.故選：C.
【題型六】 求截面面積
【典例分析】
已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【答案】
【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】由題意，正四棱柱中，，，
可得，在上取點，使得，連接，則有，
所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：
【提分秘籍】
基本規律
求截面面積：
1.判斷界面是否規則圖形
2.求截面各邊長度
3.規則圖形，可以用對應面積公式求
4.不規則圖形，可以分割為三角形等圖形求。
5.難點：動態面積最值，可參考本專題10
【變式演練】
1.正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出示意圖，設為的中點，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計算其面積.
【詳解】
如圖所示，設為的中點，連接，設為的中點，連接，
由且，得是平行四邊形，則且，
又且，得且，則共面，
故平面截該正方體所得的截面為.
又正方體的棱長為2，，，，，
故的面積為.故選：D.
2.在棱長為的正方體中，為的中點，則過、、三點的平面截正方體所得的截面面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取中點，連接、、、、，證明出，故四點、、、共面，所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據已知，即可求解.
【詳解】
取中點，連接、、、、，
因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
、分別為、的中點，所以，且，
所以，，故、、、四點共面，
所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，
其中，，，
過點、在平面內分別作的垂線，垂足點分別為、，
因為，，，所以，，故，
在平面內，因為，，，
所以，四邊形為矩形，則，所以，，
所以，梯形的高，
梯形的面積.故選：B.
3.已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面為___________，其面積為___________.
【答案】四邊形
【分析】
第一空，先畫出所在平面，由平面平面得出，，四點共面，即為所求截面；
第二空由已知條件可求出，再求出的面積，再乘以2可得截面的面積.
【詳解】如圖所示：
確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，
所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.
因為，所以，即所以
由余弦定理得：，所以，所以
.故答案為：四邊形。
【題型七】 球截面
【典例分析】
正三棱錐中，，點在棱上，且，已知點都在球的表面上，過點作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為___________.
【答案】
【分析】通過補體把正三棱錐補成正方體，則正方體的體對角線為外接球直徑；求出，當平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面，從而可計算截面的半徑，從而推導出截面的面積.
【詳解】，，，，
同理，故可把正三棱錐補成正方體（如圖所示），
其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，
設的中點為，連接，則且.所以，
當平面時，平面截球O的截面面積最小，此時截面為圓面
【提分秘籍】
基本規律
計算球截面
1.確定球心和半徑
2.尋找做出并計算截面與球心的距離
3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點”這個性質
4.強調弦的中點，不一定是幾何體線段的中點。
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.
【詳解】
設平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，
由正弦定理可得，，，故選：B
2.某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為的球上，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可設，，其中，可得出，令，，利用導數求出取最大值時對應的的值，求出的值，可得出的長，進而可求得結果.
【詳解】
如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設，則球心在直線上，
設，，則，由勾股定理可得，即，
當四棱錐的體積最大時，則點在線段上，則，
可設，，其中，
，
令，，則.
當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，所以，，此時，，則，
因此，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是.故選：C.
3.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點E在線段BD上，且BD=3BE．過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如圖，O1是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出O1E=1，當截面垂直于OE時，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.
【詳解】
解：如圖，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑；
由勾股定理得棱錐的高AO1；設球O的半徑為R，則，解得，所以OO1=1；在△BO1E中，由余弦定理得
所以O1E=1；所以在△OEO1中，OE=；
當截面垂直于OE時，截面面積最小，此時半徑為，截面面積為.故選：A
【題型八】 截面分體積
【典例分析】
已知正四棱柱中、的交點為，AC、BD的交點為，連接，點為的中點.過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為______________.
【答案】3
【分析】
當截面平行于平面時，截面面積最小；當截面為平面時，截面面積最大，根據題設條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積．
【詳解】
設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，由題知當截面平行于平面時，截面面積最小；當截面為平面時，截面面積最大，
因為過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，
所以，解得，于是正四棱柱的體積為.
故答案為：3.
【提分秘籍】
基本規律
對于截面截開幾何體，一般情況下，可能會出現不規則幾何體，所以求體積，需要采取“切割法”來求
【變式演練】
1.正方體中，E，F分別是棱，的中點，則正方體被截面分成兩部分的體積之比為___________.
【答案】17：7或7：17
【分析】
如圖，正方體被截面所截的一部分為棱臺，求出棱臺的體積，然后用正方體的體積減去棱臺的體積可得另一部分的體積，從而可求得結果
【詳解】
設正方體的棱長為2，則正方體的體積為8，因為E，F分別是棱，的中點，
所以棱臺的體積為，
所以另一部分的體積為，所以正方體被截面分成兩部分的體積之比為17：7或7：17，故答案為：17：7或7：17
2.如圖所示，在長方體中，用截面截下一個棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為（ ）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【答案】A
【分析】
由長方體的性質，結合三棱錐的體積公式、長方體的體積公式求及剩余部分的體積，進而求其比例即可.
【詳解】由圖知：，，而，
∴剩余部分的體積為，
∴棱錐的體積與剩余部分的體積之比為1：5.
故選：A
3.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點，截面EFGH將三棱錐分成兩個幾何體：、，其體積分別為、，則（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】A
【分析】如圖，連接，設的面積為，到平面的距離為，故可計算幾何體的體積為，從而可得兩個幾何體的體積之比.
【詳解】
如圖，連接，設的面積為，到平面的距離為，
則，而，
又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體積之比為，
故兩個幾何體、的體積之比為1:1.故選：A
.
【題型九】 不規則截面（曲線形截面）
【典例分析】
如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個橢圓，當為時，這個橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據幾何關系用圓柱的地面半徑表示橢圓的長軸和短軸，再計算橢圓的離心率即可.
【詳解】
設橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c根據題意可知，
所以橢圓的離心率，選項A正確。故選：A.
【提分秘籍】
基本規律
不規則截面，會產生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡 專題
【變式演練】
1.古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，是線段的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點且，若經過點，則__________.
【答案】拋物線
【分析】
根據圓錐曲線的定義直接判斷即可，再根據拋物線通徑的性質直接得出答案即可.
【詳解】
由已知底面半徑和高均為，得，又為中點，，且，
所以平面，根據圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時，曲線為拋物線，
又為中點，故，，又底面，故，
由，，故平面，，
又，故為拋物線的通徑，.
2.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.
【答案】
【分析】設兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進行分析，根據兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進而得到；利用橢圓離心率可構造方程求得結果.
【詳解】
作出圓錐的軸截面如圖所示，
圓錐面與兩球相切于兩點，則，，
過作，垂足為，連接，，設與交于點，
設兩球的球心距離為，
在中，，，；
，，，，解得：，，；
由已知條件，知：，即軸截面中，
又，，解得：，
即兩球的球心距離為.故答案為：.
3.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．
如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為__________．
【答案】
【分析】
利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心
率.
【詳解】
切于,切于E，，球半徑為2，所以，
，，中，，
，故,,根據橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與
相切的切點為橢圓的一個焦點，且，,c=4，橢圓的離心率為.故答案為：
【題型十】 截面最值
【典例分析】
已知長方體中，，點在線段上，，平面過線段的中點以及點，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
設線段的中點為M，平面與交于點G，連接GE，由已知得四邊形是平行四邊形，所以，隨著點E從C向移動，則點G沿著向下運動，當點G仍在線段上時，面截長方體所得截面始終是平行四邊形，臨界狀態為點E為的中點，由此可得選項.
【詳解】
解：設，則，設線段的中點為M，平面與交于點G，連接GE，
若平面截長方體所得截面為平行四邊形，即四邊形是平行四邊形，所以，
隨著點E從C向移動，則點G沿著向下運動，當點G仍在線段上時，面截長方體所得截面始終是平行四邊形，則點G從的中點開始運動，此時點E與重合，直到點G運動到點D為止，此時點E為的中點，所以臨界狀態為點E為的中點，此時，所以，
故選：D.
【提分秘籍】
基本規律
截面有關的最值計算，多從這三方面
極限法，可通過動點運動到兩端，計算截面最值（要注意判斷是否單調性）
坐標法，可通過建系設坐標，構造對應的函數求最值。
化歸法，可以通過圖形轉化，把立體圖形轉化為平面圖形，尋找平面圖形中最值計算
【變式演練】
1.在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立所示的空間直角坐標系，設點，分、、三種情況討論，確定截面與各棱的交點，求出截面面積關于的表達式，由此可解得截面面積的最小值.
【詳解】
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、、，
設點，其中.
①當時，點與點重合，，，，
所以，，，則，，
，平面，此時平面即為平面，
截面面積為；②當時，同①可知截面面積為；
③當時，，，，，則，
設平面交棱于點，，
，可得，不合乎題意.設平面交棱于點，，
，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點，
，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，
，，，
則，
所以，截面面積為.
綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.
2.在如圖所示的直三棱柱中，，，過點作平面分別交棱，于點，，且，，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，由等面積法可知，推導出平面，，從而，即可求解.
【詳解】在中，由，，可得，，
設，在中，，由等面積法可知，
因為，，，，平面，所以平面，
又由平面，所以，所以，
因為，
當且僅當時，等號成立，所以.故選：B.
3.如圖所示，在長方中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點F，則四棱錐的體積為___________，截面四邊形的周長的最小值為___________.
【答案】20
【分析】
根據錐體的體積計算，利用切割法可得四棱錐的體積；將幾何體展開，根據兩點之間直線最短，即可求出最短周長的截面，進而根據勾股定理即可求得結果.
【詳解】
由題意可得，利用切割法可得
；
將長方體展開，如圖所示，
當點為與的交點、點為與的交點時，截面周長最小，此時截面的周長為，
而在中，，所以截面周長的最小值為.
故答案為：20；.20立體幾何截面問題的十種題型
【題型一】 做截面的基本功：補全截面方法
【典例分析】
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,點E、F分別是AB、AA1的中點，點E、F、C1平面，直線A1D1平面=P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值是
【提分秘籍】
基本規律
截面訓練基礎：
模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如圖
方法二：平行線法。做法如圖
【變式演練】
1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點，則經過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個（ ）
A．三角形 B．平面四邊形 C．平面五邊形 D．平面六邊形
2.如圖，在正方體中，E是棱的中點，則過三點A、D1、E的截面過（ ）
A．AB中點 B．BC中點 C．CD中點 D．BB1中點
3.如圖正方體，棱長為1，P為中點，Q為線段上的動點，過A P Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論錯誤的是（ ）
A．當時，為四邊形 B．當時，為等腰梯形
C．當時，為六邊形 D．當時，的面積為
【題型二】 截面形狀的判斷
【典例分析】
一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規律
一些容易出錯誤的地方
1.截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面個數。
2.不會與同一個表面有兩條交線。
3.與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）
4.截面截內切球或者外接球時，區分與面相切和與棱相切之間的關系
【變式演練】
1.如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點，過點，，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（ ）
A．B．C． D．
2.用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形
3.在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個判斷，其中正確判斷的序號有______．
①當P為中點時，截面為六邊形；②當時，截面為五邊形；
③當截面為四邊形時，它一定是等腰梯形；
【題型三】 平行關系確定截面
【典例分析】
在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長等于（ ）
A． B． C． D．無法確定
【提分秘籍】
基本規律
平行關系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質定理推導。
【變式演練】
1.在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是___________和___________.
2.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（ ）
A．0條 B．1條
C．2條 D．4條
3.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點O，使得OC∥平面A1B1C1.
【題型四】 垂直關系確定的截面
【典例分析】
已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為
A． B． C．2 D．
【提分秘籍】
基本規律
垂直關系確定的截面，利用線面垂直定理，轉化到表面尋找線線垂直。
【變式演練】
1.如圖，為正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則（ ）
A．為定值，不為定值 B．不為定值，為定值 C．與均為定值 D．與均不為定值
2.正方體，的棱長為4，已知平面α，，則關于α β截此正方體所得截面的判斷正確的是（ ）
A．α截得的截面形狀可能為正三角形 B．與截面α所成角的余弦值為
C．α截得的截面形狀可能為正六邊形 D．β截得的截面形狀可能為正方形
3.已知正方體的棱長為2，M為的中點，平面過點且與垂直，則（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為
【題型五】 求截面周長
【典例分析】
如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【提分秘籍】
基本規律
1.截面周長，可以利用多面體展開圖求。
2.截面周長，可以在各個表面各自解三角形求解。
【變式演練】
1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F作一截面，則截面的周長為（　　）
A．2+2 B． C． D．
2.已知在棱長為6的正方體ABCD A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F三點作該正方體的截面，則截面的周長為________．
3.已知直三棱柱的側棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A． B． C． D．
【題型六】 求截面面積
【典例分析】
已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【提分秘籍】
基本規律
求截面面積：
1.判斷界面是否規則圖形
2.求截面各邊長度
3.規則圖形，可以用對應面積公式求
4.不規則圖形，可以分割為三角形等圖形求。
5.難點：動態面積最值，可參考本專題10
【變式演練】
1.正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）
A．5 B． C． D．
2.在棱長為的正方體中，為的中點，則過、、三點的平面截正方體所得的截面面積為（　　）
A． B． C． D．
3.已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面為___________，其面積為___________.
【題型七】 球截面
【典例分析】
正三棱錐中，，點在棱上，且，已知點都在球的表面上，過點作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為___________.
【提分秘籍】
基本規律
計算球截面
1.確定球心和半徑
2.尋找做出并計算截面與球心的距離
3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點”這個性質
4.強調弦的中點，不一定是幾何體線段的中點。
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
2.某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為的球上，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
3.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點E在線段BD上，且BD=3BE．過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【題型八】 截面分體積
【典例分析】
已知正四棱柱中、的交點為，AC、BD的交點為，連接，點為的中點.過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則正四棱柱的體積為______________.
【提分秘籍】
基本規律
對于截面截開幾何體，一般情況下，可能會出現不規則幾何體，所以求體積，需要采取“切割法”來求
【變式演練】
1.正方體中，E，F分別是棱，的中點，則正方體被截面分成兩部分的體積之比為___________.
2.如圖所示，在長方體中，用截面截下一個棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為（ ）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
3.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點，截面EFGH將三棱錐分成兩個幾何體：、，其體積分別為、，則（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【題型九】 不規則截面（曲線形截面）
【典例分析】
如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個橢圓，當為時，這個橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規律
不規則截面，會產生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡 專題
【變式演練】
1.古希臘數學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，是線段的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點且，若經過點，則__________.
2.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.
3.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．
如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為__________．
【題型十】 截面最值
【典例分析】
已知長方體中，，點在線段上，，平面過線段的中點以及點，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規律
截面有關的最值計算，多從這三方面
極限法，可通過動點運動到兩端，計算截面最值（要注意判斷是否單調性）
坐標法，可通過建系設坐標，構造對應的函數求最值。
化歸法，可以通過圖形轉化，把立體圖形轉化為平面圖形，尋找平面圖形中最值計算
【變式演練】
1.在棱長為的正方體中，是線段上的點，過的平面與直線垂直，當在線段上運動時，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.在如圖所示的直三棱柱中，，，過點作平面分別交棱，于點，，且，，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖所示，在長方中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點F，則四棱錐的體積為___________，截面四邊形的周長的最小值為___________.

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