資源簡介

22立體幾何求角度、距離
【題型一】 求異面直線所成的角
【典例分析】
如圖，已知，分別是正四面體的側面與側面上動點（不包含側面邊界），則異面直線，所成角不可能的是
A． B． C． D．
【經驗總結】
基本規律
異面直線求解：
（1）平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）證明作出的角就是所求異面直線所成的角（小題可跨越這一步）；
（3）求該角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
（5）也可以建系求：異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角）
【變式演練】
1.從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構成的集合是（ ）
A．； B．
C．； D．．
2.如圖，已知正三棱錐，，，點，分別棱，上（不包含端點），則直線，所成的角的取值范圍是______.
3.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點為正方形內部的一點，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為
A． B． C． D．
【題型二】 求直線和平面所成角
【典例分析】
如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點Q在PB上，且滿足PQ∶QB=1∶3，求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值．
【經驗總結】
基本規律
求直線與平面所成的角的一般步驟：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）通過建系，利用坐標系向量求解：直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，），
【變式演練】
1.如圖，已知，分別是圓柱上 下底面圓的直徑，且，若該圓柱的側面積是其上底面面積的倍，則與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
2.設正方體棱長為1，平面經過頂點，且與棱AB AD 所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如圖，在四面體VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA與平面ABC所成的角為45°，D是BC上一動點，設直線VD與平面ABC所成的角為θ，則（ ）
A．θ≤60° B．θ≥30° C．θ≤45° D．θ≤75°
【題型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面體的每個頂點都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【經驗總結】
基本規律
求二面角所成的角的方法：
直接法（幾何法）：作出二面角的平面角
定義法：直接選棱上一點，在倆半平面內做棱的垂線。
垂面法：尋找一個半平面的垂面，然后與另一半平面有交線，在交線上選擇合適的點，在垂面內做垂線，再永定依法，如果垂面和棱垂直，那么就直接出平面角。
2.向量法：二面角（法向量的方向角，）
。
其中銳鈍判斷法。：
（1.）觀察法；
（2）同進同出互補，一進一出相等；
【變式演練】
1.設，是平面內所成角為的兩條直線，過，分別作平面，，且銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，則平面，所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（ ）
A． B． C． D．
2.過正方形的頂點作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，在長方體中，，，，分別是，，的中點，記直線與所成的角為，平面與平面所成二面角為，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如圖，矩形中，，，．將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形，則與平面所成角可以是（ ）
A．90° B．75° C．45° D．30°
【經驗總結】
基本規律
.翻折題型要尋找“變化”中的“不變”
【變式演練】
1.如圖，矩形中，已知，，為的中點． 將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結論不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知，，D是的中點，將沿翻折，得到，設與平面所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，矩形中，已知為的中點．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若為中點，則無論翻折到哪個位置都有平面平面
B．若為中點，則無論翻折到哪個位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【題型五】 三種角度之間的相互關系
【典例分析】
過正方體棱的中點與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數為（ ）
【變式演練】
1.如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
2.已知正方體和空間任意直線，若直線與直線所成的角為，與直線所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A． B．
C． D．
3.已知平面內的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【題型六】 三種角度比大小
【典例分析】
如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點，記平面與平面所成的角為，直線，與平面所成的角分別為，，若，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式演練】
1.如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現將三角形沿直線折起，使平面平面，當從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發生變化 B．二面角的平面角的大小不會發生變化
C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大
2.如圖，在三棱錐中，，，D是棱上一點（不含端點）且，記為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（ ）
A． B． C． D．
3.已知三棱錐，記二面角的平面角是，直線與平面所成的角是，直線與所成的角是，則（ ）
A． B． C． D．
【題型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點位置，如圖2．設直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【變式演練】
1.已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2.一圓柱形容器，底面半徑為1，高為3，里面裝有一個小球，小球的表面和圓柱側面、下底面均相切.過圓柱上底面圓周上一點作一個平面，使得與小球恰好相切，則與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正弦值為（ ）
3.一球內接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．15° D．60°
【題型八】 壓軸小題中的角度題型
【典例分析】
如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現將三角形沿直線折起，使平面平面，當從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發生變化 B．二面角的平面角的大小不會發生變化
C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大
【變式演練】
1.在正四面體（所有棱長均相等的三棱錐）中，點在棱上，滿足，點為線段上的動點.設直線與平面所成的角為，則（ ）
A．存在某個位置，使得 B．存在某個位置，使得
C．存在某個位置，使得平面平面 D．存在某個位置，使得
2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
3.斜線與平面成15°角，斜足為，為在內的射影，為的中點，是內過點的動直線，若上存在點，使，則則的最大值是_______，此時二面角平面角的正弦值是_______
【題型九】 距離
【典例分析】
已知正方體的棱長為，點為中點，點 在四邊形內（包括邊界），點到平面的距離等于它到點的距離，直線平面，則的最小值為___________.
【經驗總結】
基本規律
點到面的距離
直接法：點到安可以直接作出垂線
等體積轉化法
向量法
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點P到底面的距離為（ ）
A． B． C． D．
2.空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數是___________個
3.如圖，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為的正方形， 分別是側棱 上的動點，，點在棱上，且，若平面，則___________.
模擬題
1.已知三棱錐中，棱，，的中點分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（　　）
A．不存在 B．2條
C．4條 D．無數條
3.設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個角，，中最小的角是（ ）
A． B． C． D．不能確定
4.如圖，四邊形中，，，沿直線將折成，使點在平面上的射影在內（不含邊界），記二面角的平面角大小為，直線 與平面所成角分別為 ，則（ ）
A． B． C． D．
5.已知直角梯形滿足:，且△為正三角形.將△沿著直線翻折至△，且，二面角的平面角大小分別為，直線與平面所成角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．
6.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線與成角時，與成角；②當直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最大值為；④直線與所成角的最小值為；其中正確的是___________（填寫所有正確結論的編號）
7.在正三棱柱中，，點M是線段的中點，點N是線段AB的中點，記直線與CN所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為，P為α，β外一定點，過點P的一條直線與α和β所成的角都是，則這樣的直線有且僅有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
9.如圖，梯形為直角梯形，，，，，將沿折起，使點到點的位置，得到三棱錐，其中點在底面上的射影在的內部.記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
10.如圖，在四棱錐中，，平面平面，若，，與平面所成的角為，則以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
11.如圖 ，邊長為2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角 ，M、N分 別 是線段 AC、BF上 的 點，且AM =FN．則 線 段 MN的 長 的 取 值范圍 是（ ）.
A． B． C． D．22立體幾何求角度、距離類型
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 求異面直線所成的角 1
【題型二】 求直線和平面所成角 5
【題型三】 求二面角的平面角 9
【題型四】 翻折中的角度 13
【題型五】 三種角度之間的相互關系 18
【題型六】 三種角度比大小 22
【題型七】 球中的角度 27
【題型八】 壓軸小題中的角度題型 31
【題型九】 距離 39
二、最新模考題組練 43
【題型一】 求異面直線所成的角
【典例分析】
如圖，已知，分別是正四面體的側面與側面上動點（不包含側面邊界），則異面直線，所成角不可能的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中點，根據線面垂直判定定理可得平面，進一步可得平面然后計算直線與平面所成角，最后進行判斷即可.
【詳解】另設正四面體的邊長為2，取的中點，連接，并作，連接
如圖在該正四面體中，有
所以，，平面
所以平面，又平面
所以，由，平面
所以平面，則與平面所成的角為
又，則
所以，則
所以，所以所以若點為點，與平面所成的角要大于
則當在平面內運動時，與所成角要大于
所以，在側面與側面運動，與所成角要大于故選：A
【提分秘籍】
基本規律
異面直線求解：
（1）平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
（2）證明作出的角就是所求異面直線所成的角（小題可跨越這一步）；
（3）求該角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；
（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
（5）也可以建系求：異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角）
【變式演練】
1.從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構成的集合是（ ）
A．； B．
C．； D．．
【答案】D
【分析】
利用異面直線的定義，從正方體的八個頂點兩兩連線中任取兩條異面直線，可以分類討論其夾角可能取值，進而得解.
【詳解】
利用異面直線的夾角范圍為，故其余弦值范圍為，可以分為以下幾類：
兩條棱所在直線異面時，所成角的度數是，其余弦值為0；
面對角線與棱所在直線異面時，所成角的度數是或，其余弦值為或0；
兩條面對角線異面時，所成角的度數是或，其余弦值為或0；
體對角線與棱所在直線異面時，所成角的余弦值為；
體對角線與面對角線異面時，所成角的度數是，其余弦值為0；
所以從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構成的集合是故選：D
2.如圖，已知正三棱錐，，，點，分別棱，上（不包含端點），則直線，所成的角的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據異面直線所成角的取值范圍，同時根據題意找出臨界情況，即可求出直線，所成的角的取值范圍.
【詳解】設在平面內的射影為，
在正三棱錐中，點的投影為底面的中心，
當為中點，為的三等分點且靠近點時，
平面,此時,直線，所成的角為，
又因為是與底面內直線所成角的最小值，
所以當與重合且與重合時，最小為，
又因為點在棱上（不包含端點），
所以直線，所成的角的取值范圍是.故答案為：.
3.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點為正方形內部的一點，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，在平面上，由計算的軌跡方程，可知的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；根據平行找直線與所成角的平面角，根據的軌跡判定臨界值，從而確定直線與所成角的余弦值的取值范圍.
【詳解】
由題意，以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則有，
設，由，則列方程有
化簡得，即點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分；
過作垂足為,連接，則有
則直線與所成角的平面角為，則
根據點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，在正方形中的部分，
則點軌跡與正方形的邊交于一點，記為
與正方形的邊交于一點，記為
當點從運動到位置時，逐漸減小，逐漸增大，則的取值逐漸減小，
計算，
則直線與所成角的余弦值的取值范圍是，故選：
【題型二】 求直線和平面所成角
【典例分析】
如圖，在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，點Q在PB上，且滿足PQ∶QB=1∶3，求直線CQ與平面PAC所成角的正弦值．
【答案】
【分析】根據線段比例關系及勾股定理，可分別求出CM、CQ的長度，再由等體積法求得點Q到平面PAC的距離，進而求得直線CQ與平面PAC夾角的正弦值．
【詳解】作CN⊥AB交AB于N，QM⊥AB交AB于M，連接CM；QG⊥平面PAC于G，連接GC
因為PQ∶QB=1∶3，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，所以AM=MN=AB=，QM=PA=
所以。所以
設Q到平面PAC的距離為h，CQ與平面PAC的夾角為α則由 可得
，即解得
所以CQ與平面PAC的夾角的正弦值為
【提分秘籍】
基本規律
求直線與平面所成的角的一般步驟：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）通過建系，利用坐標系向量求解：直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，），
【變式演練】
1.如圖，已知，分別是圓柱上 下底面圓的直徑，且，若該圓柱的側面積是其上底面面積的倍，則與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設為圓柱下底面內與垂直的直徑，由對稱性和線面角的定義可確定為所求角，由側面積和底面面積可得到，由此可求得結果.
【詳解】
如圖，設為圓柱下底面內與垂直的直徑，記，連接，，
由對稱性可知：，，平面，
設，垂足為，則，平面，
直線在平面內的射影為，為與平面所成的角，
，，，
與平面所成的角為.故選：C.
2.設正方體棱長為1，平面經過頂點，且與棱AB AD 所在直線所成的角都相等，則滿足條件的平面共有（ ）個.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
由正方體的性質，分在同一側、不同側兩種情況畫出滿足題設的平面，即可知平面的個數.
【詳解】
1當平面面且過點時，滿足題設；2、由正方體的性質，面、面、面都滿足題設；∴共有4個平面..故選：D
3.如圖，在四面體VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA與平面ABC所成的角為45°，D是BC上一動點，設直線VD與平面ABC所成的角為θ，則（ ）
A．θ≤60° B．θ≥30° C．θ≤45° D．θ≤75°
【答案】C
【分析】作底面于點，于，分析得，結合三角函數分析變化對影響即可求解.
【詳解】如圖，作底面于點，于，由幾何關系可得，，，當固定時，也固定，最小時應為時，此時與重合，又因為VA⊥平面VBC，所以，所以平面，易知三點共線，因為VA與平面ABC所成的角為45°，故, VA⊥平面VBC，所以,所以，此時最大，最大，故.故選：C
【題型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面體的每個頂點都在球O（О為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
若為中點，連接，利用線面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面面，結合已知條件有△為等腰直角三角形，進而可確定四面體外接球球心的位置，若為中點，連接，易知即為二面角的平面角，即可求其正切值.
【詳解】
若為中點，連接，由為等邊三角形，則，又，且，
∴面，又面，即，
由題設，，，而，
∴，即，又，面，
∴面，而面，則面面，
由上可得：，則，故△為等腰直角三角形，
∴綜上，四面體的球心為△的中心，即靠近的三等分點，
若為中點，連接，易知：即為二面角的平面角，
由上、且，面，可得面，
又面，則，即，
∴，而，∴.故選：A.
【提分秘籍】
基本規律
求二面角所成的角的方法：
直接法（幾何法）：作出二面角的平面角
定義法：直接選棱上一點，在倆半平面內做棱的垂線。
垂面法：尋找一個半平面的垂面，然后與另一半平面有交線，在交線上選擇合適的點，在垂面內做垂線，再永定依法，如果垂面和棱垂直，那么就直接出平面角。
2.向量法：二面角（法向量的方向角，）
。
其中銳鈍判斷法。：
（1.）觀察法；
（2）同進同出互補，一進一出相等；
【變式演練】
1.設，是平面內所成角為的兩條直線，過，分別作平面，，且銳二面角的大小為，銳二面角的大小為，則平面，所成的銳二面角的平面角的余弦值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意作出圖形，由題過點P向平面作垂線,找到銳二面角，，設，利用邊角關系計算各個邊長，計算點C到PA的距離以及點C到平面的距離，從而可得到所求的二面角.
【詳解】
如圖，平面為平面ABC,直線為直線AB,直線為直線AC,由題意得，
過作平面為平面ABP, 過作平面為平面ACP,過點P向平面作垂線,垂足為O,
再由點O作連接PB,PC,銳二面角的大小為，
即，同理可知，設，則，，,在三角形中，,，，所以，，，過點C作所以高線，
,可得,,,,過點O作,則,
可得到面的距離，故可知到面的距離為，記平面，所成的角為，則，所以.
故選：B.
2.過正方形的頂點作線段平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【詳解】
解：設，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，1，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
平面的法向量，1，，
平面與平面所成的銳二面角為，
則，
故選：．
3.如圖，在長方體中，，，，分別是，，的中點，記直線與所成的角為，平面與平面所成二面角為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據異面直線所成角定義可知即為，由正三角形知，可證，分別為平面和平面的垂線，視作平面法向量，利用其夾角可得二面角，即可求解.
【詳解】
連接,如圖，在長方體內知,
所以為異面直線與所成的角為，易知為等邊三角形，所以，
因為平面,平面，所以
又，所以平面，同理可得平面，
則，可分別視為平面，平面的一個法向量，
又因為在長方體內易知，而故與的夾角為，
所以或，即，故選：B
【題型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如圖，矩形中，，，．將梯形ADEF沿著EF翻折成梯形，則與平面所成角可以是（ ）
A．90° B．75° C．45° D．30°
【答案】B
【分析】
由平面幾何知識證得，是它們的中點，從而可證明平面平面．過作于，過作于，可證得交于即為與平面的交點，并得出即為直線與平面所成的角，然后計算求得此角正切的范圍，從而可得正確選項．
【詳解】
設，即，，，
，
由，可得，所以，，
所以，即，
折疊后，，又，平面，
所以平面．平面，所以平面平面．
過作于，過作于，原平面圖形中，折疊后仍然保持平行，所以共面，平面．
設交于，
與平面的交點即為，即為直線與平面所成的角，
由平面，平面，得，
在原平面圖形中易得，，所以，
顯然，所以，即，
故選：B．
【提分秘籍】
基本規律
.翻折題型要尋找“變化”中的“不變”
【變式演練】
1.如圖，矩形中，已知，，為的中點． 將沿著向上翻折至，記銳二面角的平面角為，與平面所成的角為，則下列結論不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先取中點為，判斷四邊形是正方形，再作于，證明，，分別再直角三角形中計算和，比較即判斷A正確；將選項A的結論平方，結合二倍角公式和余弦函數的單調性，即判斷C正確；計算即判斷B可能成立；判斷，結合，即得，判斷D錯誤.
【詳解】
記中點為，連接，連接與交于點， 依題意知四邊形是正方形.
，故銳二面角的平面角為，
平面，過作于，則，
而相交于平面內，
故平面，故連接，則與平面所成的角為.
記，因為中，，
中，，所以①，選項A成立；
將①平方得：，所以，，
易見，都是銳角，則，∴，而，
根據余弦函數的單調性可知，，選項C成立；
因為，，若使，則需，
即當，可以成立，即B可能成立；
另外，由，都是銳角，且知，，知.
由選項C知，∴，選項D錯誤．
故選：D.
2.已知，，D是的中點，將沿翻折，得到，設與平面所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依題意畫出草圖，過作交的延長線于點，連接，可證面，即可得到，，，由，得到，再利用銳角三角函數得到，即可得解；
【詳解】
解：在，，D是的中點，所以，，又，面，所以面
過作交的延長線于點，連接，因為面，面，所以，，面，所以面，因為與平面所成的角為，所以，與平面所成的角為，所以，與平面所成的角為，所以
因為，所以，即；
又，，因為，所以，即，所，即，當時，
故選：C
3.如圖，矩形中，已知為的中點．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若為中點，則無論翻折到哪個位置都有平面平面
B．若為中點，則無論翻折到哪個位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【答案】C
【分析】
對于A：根據線面垂直的判定和面面垂直的判定可判斷；
對于B：取中點，根據三角形的中位線的性質可證得四邊形PECQ是平行四邊形，再由線面平行的判定可判斷；
對于C：過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為或其補角，根據面面角和線面角的定義可判斷；
對于D：根據面面角和線面角的定義可判斷．
【詳解】
若為中點，連接交于點，則面，又面，所以平面平面，故A正確；
取中點，則，，又，
所以四邊形PECQ是平行四邊形，又平面，平面，所以平面，故B正確；
過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為（或其補角），
，故C錯誤；
若，又，則，故D正確，
故選：C．
【題型五】 三種角度之間的相互關系
【典例分析】
過正方體棱的中點與直線所成角為，且與平面所成角為的直線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無數
【答案】B
【分析】
取的中點,的中點為,的中點為,的中點為,連結和,則⊥平面, ，在平面內，以點為圓心，半徑為畫圓，進一步得出結論.
【詳解】
設正方體邊長為1，取的中點,的中點為,的中點為,的中點為,連結和,則⊥平面, .
在平面內，以點為圓心，半徑為畫圓，
則點與此圓上的點的連線滿足：過的中點與平面所成的角為50°
E點為與圓的交點，
∴50°，∴∠50°
所以滿足與所成角為40°的直線有且只有2條.
故選: B.
【變式演練】
1.如圖，二面角的大小是，線段．，與所成的角為．直線與平面所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
過點作平面的垂線，垂足為，在內過作的垂線．垂足為連接，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為，在即可得到答案；
【詳解】
解：過點作平面的垂線，垂足為，在內過作的垂線．垂足為連接，
由三垂線定理可知，故為二面角的平面角為
又由已知，
連接，則為與平面所成的角，
設，則，，
直線與平面所成的角的正弦值．
故選：．
2.已知正方體和空間任意直線，若直線與直線所成的角為，與直線所成的角為，與平面所成的角為，與平面所成的角為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
若平面，可得，可排除CD；當直線時，可得，排除A.
【詳解】
若平面，則，此時可以是的任意值，此時，故CD錯誤；
當直線時，，此時，故A錯誤.
故選：B.
3.已知平面內的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補角，利用余弦定理可以計算.
【詳解】
作出如下圖形，令，則，，
取中點，連接，則即為與平面所成的角的補角，在中，，在中，，
，，與平面所成的角的余弦值是.
故選：B.
【題型六】 三種角度比大小
【典例分析】
如圖，在三棱錐中，，，，分別為，的中點，記平面與平面所成的角為，直線，與平面所成的角分別為，，若，則（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】將三棱錐置于直三棱柱中，不妨設為銳角，，分別為，的中點，為線段上一點，且，連接，，，，然后可得，，，利用，可比較出的大小，由可得，然后可得.
【詳解】
如圖所示， 將三棱錐置于直三棱柱中，
不妨設為銳角，，分別為，的中點，為線段上一點，且．
連接，，，，由直三棱柱的幾何性質易知，為的中點，
，，，則，，
又，故，；
易知，則，又，所以，故．
故選：A
【變式演練】
1.如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現將三角形沿直線折起，使平面平面，當從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發生變化 B．二面角的平面角的大小不會發生變化
C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點作，交于點，交于點，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個選項中的角的相應三角函數表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點作，交于點，交于點，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項A正確.
過作交于點，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項B正確.
由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以 由平面，由平面,則。所以 設點到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設與平面所成的角為，則
當從滑動到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項C不正確.
由，則 (或其補角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數的對稱軸為
當時，函數單調遞減.
當時，函數單調遞增.
所以當從1變到的過程中，變小，當從變到0的過程中，變大，
所以選項D正確.故選：C
2.如圖，在三棱錐中，，，D是棱上一點（不含端點）且，記為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，，可得≌，從而得，而直線與平面所成角為，由最小角定理可得，再由，，進而可比較的大小
解：因為，，所以≌，所以，因為直線與平面所成角為，
所以由最小角定理可得，因為，所以,
因為，，所以，
令點到平面的距離為，點到平面的距離為，因為， 所以，
因為直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，所以
因為，所以因為所以，故選：A
3.已知三棱錐，記二面角的平面角是，直線與平面所成的角是，直線與所成的角是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設三棱錐D-ABC是棱長為2的正四面體，取AB中點E，DC中點M，AC中點M，連結DE、CE、MN、EN，過D作，交CE于O，連結AO，則，，，排除B，C．當二面角是直二面角時，，排除D．由此能求出結果．
【詳解】
設三棱錐D-ABC是棱長為2的正四面體，
取AB中點E，DC中點M，AC中點M，連結DE、CE、MN、EN，
過D作DO⊥CE，交CE于O，連結AO，則，，，，，
∴，，∴，
取BC中點F，連結DF、AF，則，，
又，∴平面AFD，∴，∴，
∴，排除B，C，
當二面角是直二面角時，，排除D，故選：A.
【題型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圓O的兩條直徑，且，如圖1，沿AB折起，使兩個半圓面所在的平面垂直，折到點位置，如圖2．設直線與直線OC所成的角為，則（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】
根據圓的性質知，過D作于，連接CE、AC，設圓的半徑為，有，利用余弦定理、線面垂直的性質證，結合勾股定理判斷是否為直角；再過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，過F作于，連接，利用勾股定理及余弦定理求，即可比較與60°的大小.
【詳解】
圖1中過D作于，連接CE、AC，設圓的半徑為，
由，則且，
∴在△中，，而，
∵圖2中兩個半圓面所在的平面垂直，它們交線為AB，且面，
∴面，面，則，
∴在Rt△中，，而
∴，故，
過作交于，則F為中點，連接，即直線與直線OC所成的角為，，，
過F作于，連接，且面面，面，
∴面，面，則，
而在圖1中，，，，在△中，，
∴圖2，在Rt△中，，則在△中，，∴.故選：C
【變式演練】
1.已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取中點，連接，證明平面，故為與平面所成的角為，球心在平面的投影為的外心，計算得到答案.
【詳解】取中點，連接，，則.
平面，平面，故.，故平面，故為與平面所成的角為.，故，，，故.
球心在平面的投影為的外心，根據知，，故，
故球的表面積為.故選：.
2.一圓柱形容器，底面半徑為1，高為3，里面裝有一個小球，小球的表面和圓柱側面、下底面均相切.過圓柱上底面圓周上一點作一個平面，使得與小球恰好相切，則與圓柱下底面所成最小的銳二面角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出當平面與小球相切，且與底面所成銳二面角最小時的剖面圖，再由直線與圓相切時的性質求得，由面面角的定義可求得該平面與圓柱下底面所成銳二面角的正弦值.
【詳解】
當平面與小球相切，且與底面所成銳二面角最小時，軸截面如下圖所示，，，所以，，
在中，由勾股定理得，
所以該平面與圓柱下底面所成銳二面角的正弦值為.
故選：D.
3.一球內接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為（ ）
A．30° B．45° C．15° D．60°
【答案】D
【分析】
分析得平面與圓錐底面平行，求直線與圓錐底面所成的角，即得結果.
【詳解】
如圖所示截面為正三角形的三棱錐中，在球上，過作與球相切的平面必然與圓錐底面平行，則直線與平面所成的角，即直線與圓錐底面所成的角，即，
故選：D.
【題型八】 壓軸小題中的角度題型
【典例分析】
如圖，在等邊三角形中，分別是線段上異于端點的動點，且，現將三角形沿直線折起，使平面平面，當從滑動到的過程中，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．的大小不會發生變化 B．二面角的平面角的大小不會發生變化
C．與平面所成的角變大 D．與所成的角先變小后變大
【答案】C
【分析】
過點作，交于點，交于點，連接，可證明在三角形沿直線折起的過程中，平面，然后用的值分別將各個選項中的角的相應三角函數表示出來，然后判斷可得答案.
【詳解】
設等邊三角形的邊長為1，，則
在中，由，則
過點作，交于點，交于點，連接，則
,所以，
在三角形沿直線折起的過程中，始終滿足.
由平面平面，平面平面，所以平面
由平面,則
在中， ,
所以
所以
所以大小不變，故選項A正確.
過作交于點，由，則
由平面，又平面，則
由,所以平面,
所以為二面角的平面角
在直角中，
所以大小不變，故選項B正確.
由,則，又, 且
所以 平面，又平面,所以
由平面，由平面,則
所以
設點到平面的距離為.
由等體積法可得,即
則
設與平面所成的角為，則
當從滑動到的過程中，的值從1變小到0，這一過程中逐漸變大.
所以在這一過程中，變小，則角變小， 故選項C不正確.
由，則 (或其補角)為與所成的角.
由上可知：，則
函數的對稱軸為
當時，函數單調遞減.
當時，函數單調遞增.
所以當從1變到的過程中，變小，當從變到0的過程中，變大，
所以選項D正確.
故選：C
【變式演練】
1.在正四面體（所有棱長均相等的三棱錐）中，點在棱上，滿足，點為線段上的動點.設直線與平面所成的角為，則（ ）
A．存在某個位置，使得 B．存在某個位置，使得
C．存在某個位置，使得平面平面 D．存在某個位置，使得
【答案】C
【分析】
設正四面體的底面中心為點，連接，則平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設正四面體的棱長為，然后利用空間向量法逐一分析求解可得結果.
【詳解】
如下圖所示，設正四面體的底面中心為點，連接，則平面，
以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，
設正四面體的棱長為，
則、、、、，
設，其中，
對于A選項，若存在某個位置使得，，，
，解得，不合乎題意，A選項錯誤；
對于B選項，若存在某個位置使得，，，
，該方程無解，B選項錯誤；
對于C選項，設平面的一個法向量為，
，，
由，取，得，
設平面的一個法向量為，
，，
由，取，則，
若存在某個位置，使得平面平面，則，解得，合乎題意，C選項正確；
對于D選項，設平面的一個法向量為，
，，
由，令，則，
若存在某個位置，使得，即，
整理得，，該方程無解，D選項錯誤.
故選：C.
2.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將沿DE，EF，DF折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是______．
異面直線PG與DH所成的角的余弦值為；
；
與PD所成的角為；
與EF所成角為
【答案】①②③
【分析】
可證明平面,可得正確；連接,取中點,異面直線與所成的角為，由余弦定理可證明正確；取中點，連接，異面與所成的角為，由余弦定理可得不對；異面與所成角的為，由余弦定理可得不對，從而可得結果.
【詳解】
的邊長為4，折成正四面體后，如圖
，E，F分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，
，；
連接FG，取中點M，可得，
異面直線PG與DH所成的角的平角為；
，
連接MD，可得．
；
在中，
余弦定理：；對；對；
取DF中點N，連接GN，NH，可得
異面GH與PD所成的角的平面角為，
由余弦定理，GH與PD所成的角是；對；
異面PG與EF所成角的平面角為，
由余弦定理，可得PG與EF所成角不是不對．
故答案為①②③．
3.斜線與平面成15°角，斜足為，為在內的射影，為的中點，是內過點的動直線，若上存在點，使，則則的最大值是_______，此時二面角平面角的正弦值是_______
【答案】2
【分析】
(1)作圖，不妨設，由已知可得點，在以為弦長的圓上，其中為圓心，當直線過圓心時，最大，此時，，然后即可求解
(2)作圖，利用(1)的條件，由于，斜線與平面成15°角，可求出，過點作，是二面角的平面角，然后利用即可求解.
【詳解】
，點，在以為弦長的圓上，
其中為圓心，則，如圖：
不妨設，當直線過圓心時，
最大，此時，，的最大值為2，而此時，為等腰三角形，，此時，過點作，，平面，
是二面角的平面角，斜線與平面成15°角，即
在中，， ，如圖：
，，在中，，可求得，
在中，.故答案為：2；.
【題型九】 距離
【典例分析】
已知正方體的棱長為，點為中點，點 在四邊形內（包括邊界），點到平面的距離等于它到點的距離，直線平面，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
建立空間直角坐標系得到在平面中點 的軌跡方程，然后利用導數知識進行求解即可.
【詳解】如圖所以，設由點到平面的距離等于它到點的距離，即點到的距離等于它到點的距離
在平面中，直線方程為所以，
所以點的軌跡方程為，
設平面的一個法向量為則，令，所以
所以，由直線平面所以
所以點的軌跡為的導函數為
所以，所以同平行的直線與相切的切點為，
所以點到直線的距離為所以的最小值為
故答案為：
【提分秘籍】
基本規律
點到面的距離
直接法：點到安可以直接作出垂線
等體積轉化法
向量法
【變式演練】
1.已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點P到底面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
球心O是的中點，球半徑，取AB的中點D，可知，求得,利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，進而求得點P到底面的距離
【詳解】∵三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，為球O的直徑且，
∴球心O是的中點，球半徑，
取AB的中點D，連接OD，OB，則，且
∵滿足，，∴，∴
又，平面，平面
所以點P到底面的距離為,故選：D.
2.空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數是___________個
【答案】32
【分析】按照四個點的位置不同分類討論，即可求解
【詳解】首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；
然后分3分個點到平面的距離相等，有以下兩種可能性：
（1）全同側，這樣的平面有2個；
（2）不同側，必然2個點在一側，另一個點在一側，
1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，
考慮不相等的點與單側點是否同側有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，
故共有6個，
所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，
故答案為：32
3.如圖，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為的正方形， 分別是側棱 上的動點，，點在棱上，且，若平面，則___________.
【答案】1
【分析】先連接AC交BD于O，進而通過線面平行的性質定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，進而證明∥，得出∥，進一步得到四邊形是平行四邊形，得出，結合條件的長度關系最后得到答案.
【詳解】
由題意可知，長方體的高為4，底面ABCD是邊長為1的正方形，
連接AC交BD于O，連接PO，因為EF∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.
在上截取PQ，使得PQ=PA=1，連接QC，易知O為AC的中點，所以∥，
所以∥，又∥，所以四邊形是平行四邊形，所以.
又，所以，所以CF=1.
故答案為：1.
模擬題
1.已知三棱錐中，棱，，的中點分別是M，N，O，，，都是正三角形，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
【答案】
【分析】根據異面直線的定義可知，（或其補角）是異面直線MN與AD所成的角，進而求出的長度，用余弦定理求得答案.
【詳解】如圖，根據題意可知，因為都是正三角形，所以，，連接，設AC=2，則.
易知，在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
于是.
易知，在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
于是.
連接ON，則，于是（或其補角）是異面直線MN與AD所成的角，連接MO，易得MO=NO=1，在中，由余弦定理可得.故答案為：.
2.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（　　）
A．不存在 B．2條
C．4條 D．無數條
【答案】C
【分析】連接，由此求出直線BA1和B1D1所成角，把問題轉化為過點B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，讓繞著點B從
的平分線AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內轉動時觀察是否存在，再在的鄰補角中同理去觀察即可得解.
【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接，如圖，
則有，顯然，即直線BA1和B1D1所成角，
過點C做直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為可以轉化為過點B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，
的平分線AO與直線BA1和BD都成的角，讓繞著點B從AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內轉動時，
在轉動到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，
由于直線的轉動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，
又的鄰補角大小為，其角平分線與直線BA1和BD都成的角，
當直線繞著點B從的鄰補角的平分線開始在過該平分線并與平面垂直的平面內轉動時，
在轉動到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，
由于直線的轉動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，
綜上得，這樣的直線有4條，
所以過點C與直線BA1和B1D1所成的角均為的直線l有4條.
故選：C
3.設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個角，，中最小的角是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【分析】根據異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做PB與AC，PB與平面ABC，平面PAC與平面ABC的夾角，再根據三角函數的性質比較幾個角的大小.
【詳解】如圖，取BC的中點 D，作VO⊥平面ABC于點O，由題意知點O在AD上，且AO=2OD.
作PE//AC，PE交VC于點E，作PF⊥AD于點F，連接BF，則PF⊥平面ABC
取AC的中點M，連接BM，VM，VM交 PE于點H，連接BH，易知BH⊥PE，
作于點G，連接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF
∴ FG⊥AC,作FN⊥BM于點N.∵ PG∥VM，PF∥VN∴ 平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,
四邊形PFNH為平行四邊形，所以PH=FN因此，直線PB 與直線AC所成的角，
直線PB與平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，
又又，∴ 因為
∴
綜上所述，中最小角為，故選 B.
4.如圖，四邊形中，，，沿直線將折成，使點在平面上的射影在內（不含邊界），記二面角的平面角大小為，直線 與平面所成角分別為 ，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
題目考察二面角和線面角的概念，首先，將折成，通過輔助線找到分別在圖中的位置，因為，所以比較三個角的大小，可以等價于比較的大小，根據圖中的直角三角形可以表示出三個角的正弦值，通過比較各線段的長度判斷正弦的大小，從而推出角度的大小
【詳解】
圖一 圖二
沿直線將折成之后如圖一所示，記中點為,在底面的投影為，所以平面
連接，則
所以，在三個直角三角形中，，，
設，因為，所以， ，
當點落在平面內時，如圖二所示，中，，所以
中， 由余弦定理可得：
所以， 所以：，所以，且
所以 故選：A
5.已知直角梯形滿足:，且△為正三角形.將△沿著直線翻折至△，且，二面角的平面角大小分別為，直線與平面所成角分別是，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題設得到平面圖及翻折的立體示意圖，、分別為、的中點，為、交點，易知在面上的投影在上，由判斷投影的所在線段，根據投影點到、、的距離判斷二面角的大小關系，再設的高為，由，即可知線面角的大小關系.
【詳解】
由題意，若，則，，如下圖，、分別為、的中點，為、交點，
∴，則，在旋轉過程中在面上的投影在上，
當投影為時，，當投影為上時，，當投影為上時，，當投影為時，，
∴要使，則投影在兩點之間，此時投影點到、、的距離.
∴二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，即.
設三棱錐的高為，則，
∵，∴.故選：A
6.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線與成角時，與成角；②當直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最大值為；④直線與所成角的最小值為；其中正確的是___________（填寫所有正確結論的編號）
【答案】①
【分析】由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解．
解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設點在運動過程中的坐標中的坐標，，，其中為與的夾角，，，在運動過程中的向量，，，，設與所成夾角為，，
則，，，，③，④錯誤．
設與所成夾角為，，，
當與夾角為時，即，，
，，，，，此時與的夾角為，
①正確，②錯誤．故答案為：①.
7.在正三棱柱中，，點M是線段的中點，點N是線段AB的中點，記直線與CN所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
依題意作出異面直線所成角的平面角，以及二面角的平面角，再根據銳角三角函數計算，即可判斷；
解：過點作且，連接，則為直線與直線所成角，即．過點作，垂足為點，則由題意易知為的中點，連接，，因為，所以，，易知，所以，又正三棱柱中，，所以，，于是，故．
取的中點，連接，，因為三棱柱是正三棱柱，且，所以易知即為二面角的平面角，即．在正中，，則．因為，且正切函數在上單調遞增，所以，且，
故選：B．
8.已知平面α與β所成銳二面角的平面角為，P為α，β外一定點，過點P的一條直線與α和β所成的角都是，則這樣的直線有且僅有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【分析】
先將題目問題轉化為點與直線所成角為的直線有幾條，得出滿足條件的直線有4條.
【詳解】
如圖，過作的垂線,其確定的平面與棱交于，若二面角為，與平面成角，則 ，與成角，因此問題轉化為過點與直線所成角為的直線有幾條.
,所以這樣的直線有4條.故選：D
9.如圖，梯形為直角梯形，，，，，將沿折起，使點到點的位置，得到三棱錐，其中點在底面上的射影在的內部.記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由翻折后的線線關系，結合線線角、線面角、二面角的定義，分別作出題干中的角，利用余弦定理和最小角定理來判斷三個角的大小.
【詳解】如圖，設的中點為，連接并延長，交于，
易知為的中點，連接，則，點在線段上（不含端點）連接，，，，，
由線線角、線面角、二面角的定義可知，，.
，，
故，得；易知，，，
所以，所以；由最小角定理知.綜上，；故選：B.
10.如圖，在四棱錐中，，平面平面，若，，與平面所成的角為，則以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
在射線取，過作的垂線，垂足為，連接，設過三點平面交棱于，在四棱錐中可討論的大小關系.
【詳解】
在射線取，過作的垂線，垂足為，連接，
因為，，，
故，故，即.
設過三點平面交棱于，
以下在四棱錐中討論的大小關系.
連接，它們交于點.
因為平面平面，，平面平面，
平面，故平面，
所以為直線與平面所成的角，故，
而為與平面內的直線（異于射影）所成的角，故.
因為，，故為的平面角，
結合平面平面可得，故為等腰直角三角形.
又，，，故，
故，而，，故，
故，故，
因為，，，故平面，
而平面，故，而，故平面.
因為，故為的角平分線.
又，且，
在直角三角形中，，
因為，，故，而均為銳角，故，
綜上，.故選：D.
11.如圖 ，邊長為2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角 ，M、N分 別 是線段 AC、BF上 的 點，且AM =FN．則 線 段 MN的 長 的 取 值范圍 是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖 ，過點M作 MH∥BC與 AB交于點H．則
因AM =FN，AC=FB．所以，NH∥AF.
從而，,于是，
設則，
故 選B.

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