資源簡介

22：立體幾何大題15種歸類
（平行、垂直、體積、動點、最值等非建系題型）
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 平行1：四邊形法證線面平行 1
【題型二】 平行2：中位線法證線面平行 3
【題型三】 平行3：做平行平面法證線面平行 5
【題型四】 平行4：難題--線面平行探索型 7
【題型五】 平行5：證面面平行 10
【題型六】 平行：難題---面面平行探索性題型 12
【題型七】 垂直1：線面垂直 16
【題型八】 垂直2：面面垂直 18
【題型九】 垂直3：難題--垂直探索性題型 20
【題型十】 垂直4：翻折中的垂直 24
【題型十一】 體積1：常規求法和等體積轉化型 26
【題型十二】 體積2：難題---多面體割補型 28
【題型十三】 體積3：難題--兩部分體積比型 32
【題型十四】 體積4：難題--動點型 35
【題型十五】 體積5：難題--最值型 38
二、最新模考題組練 41
【題型一】 平行1：四邊形法證線面平行
【典例分析】
如圖，在正方體中，E，F分別是，CD的中點．
（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】(1)取中點G，連接FG，，證四邊形是平行四邊形，結合線面平行的判定即可推理作答.
（1）在正方體中，取中點G，連接FG，，如圖，
而F是CD的中點，則，，又E是的中點，則，，
因此，，，四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，平面.
【經驗總結】
基本規律
1.利用平移法做出平行四邊形
2.利用中位線做出平行四邊形
【變式演練】
1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中點.（1）求證：平面PAD；
（2）若，求三棱錐P-ACE的體積.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）取PA的中點F，連接EF，DF，利用平行四邊形證明，再由線面平行的判定定理即可得證；
（2）根據等體積法知，即可由棱錐體積公式求解.
（1）取PA的中點F，連接EF，DF，∵點E，F分別為PB，PA的中點，∴，，又∵，，∴，，∴四邊形EFDC是平行四邊形，
∴，又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；
2.如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由．
【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，
【分析】
（1）只要證明AN所在平面ANE與平面PBC平行即可；
（2）建立空間直角坐標系，用向量法計算二面角的余弦值；
（3）用向量法計算直線與平面成角的正弦值，然后列方程求解．
（1）
證明：取CP中點F，連接NF、BF，
因為F，N分為PC，PD的中點，則，且，
又，且，，所以四邊形NABF是平行四邊形，
，又面PBC，面PBC。所以AN∥平面PBC；
【題型二】 平行2：中位線法證線面平行
【典例分析】
.如圖，四棱錐中，側面底面，底面為梯形，，且，.交于點，為的重心.
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）連接并延長交于點，連接，由已知條件可得，得，再由為的重心，，則有，從而可得，再由線面平行的判定可證得結論，
（2）由已知可得和為正三角形，連接并延長交于點，有，則面，從而可得，然后由已知條件求解，
（1）證明：在圖中：連接并延長交于點，連接.
由底面為梯形，，，
，則.又由為的重心，，則，
所以.而平面，平面，所以平面.
【經驗總結】
基本規律
中位線法難點在于怎么“發現三角形”
【變式演練】
1.如圖，三棱臺，平面平面，側面是等腰梯形，, 分別是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據平行四邊形的判定定理和性質，結合線面平行的判定定理進行證明即可；
（2）利用平行線的性質，結合線面垂直的判定定理、三棱錐等積性、線面角的定義進行求解即可.
（1）證明：連接與交于點，連接，
因為，所以由棱臺的性質可知：，且，
因為是的中點，因此，因此四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又是的中點，
所以，而平面，平面，
所以平面；
2.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，M為PB上靠近B的三等分點.（1）求證：平面ACM；
（2）求直線PD與平面ACM的距離.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）以線面平行的判定定理去證明即可解決；
（1）證明：如圖，連接BD，交AC于點N，連接MN.
因為，，所以，又M為PB靠近B的三等分點，所以，所以，所以，又平面AMC，平面AMC，所以平面AMC.
【題型三】 平行3：做平行平面法證線面平行
【典例分析】
如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點，滿足，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點.
（1）求：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）通過證明平面平面來證得平面.
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值.
（1）依題意，所以，
所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，
所以，所以四邊形是菱形，所以，
由于平面，平面，所以平面.由于是的中點，是的中點，所以，由于平面，平面，所以平面.
由于，所以平面平面，所以平面.
【經驗總結】
基本規律
做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證明后續的“探索性”題型時非常實用。授課時可以先用“中點型”培養“找面做面”的思維。
【變式演練】
1.在四棱錐中，，.
（1）若E為PC的中點，求證：平面PAD.
（2）當平面平面ABCD時，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決二面角.
（1）取CD的中點M，連接EM，BM，
由已知得，為等邊三角形，∴.
∵，，∴，，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵E為PC的中點，M為CD的中點，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵，，∴平面平面PAD.
∵平面BEM，∴平面PAD.
2.如圖所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形，，且，是△的中線，點E是棱的中點．
（1）證明：∥平面．
（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值．
（3）在（2）條件下，求點D到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【分析】（1）連接、，平行四邊形的性質、線面平行的判定可得平面、平面，再根據面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質可證結論；
（2）取的中點為，連接，證明出平面，，以為坐標原點，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.
（3）利用等體積法，求D到平面的距離．
（1）連接、，由、分別是棱、的中點，則，
平面，平面，則平面．
又，且，
∴且，四邊形是平行四邊形，則，
平面，平面，則平面．
又，可得平面平面．又平面．
∴平面．
【題型四】 平行4：難題--線面探索型
【典例分析】
在四棱錐中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求證：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求證：；
（Ⅲ）在棱上是否存在點（異于點）使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）不存在.
【分析】（Ⅰ）由是菱形可得；結合，由線面垂直的判定定理可得平面.；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,由面面垂直的性質可得,結合可得結果；（Ⅲ）利用反證法，假設存在點（異于點）使得平面，可推出平面平面，從而可得結論.
【詳解】（Ⅰ）因為 底面是菱形。所以.
又因為，，所以平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.因為平面平面，平面平面，
平面，因為平面，所以.
因為 底面是菱形，所以.所以.
（Ⅲ）不存在. 下面用反證法說明.
假設存在點（異于點）使得∥平面.在菱形中，∥，因為平面，平面，所以∥平面.因為平面，平面，
，所以 平面∥平面.而平面與平面相交，矛盾.
【經驗總結】
基本規律
1.常規題，對應的點大多在中點處。
2.要多訓練非中點的題選。
【變式演練】
1.如圖所示四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．
求四棱錐的體積；
求證：平面；
在棱上是否存在點異于點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）4；（2）見解析；（3）不存在.
【解析】
【分析】
利用四邊形是直角梯形，求出，結合底面，利用棱錐的體積公式求解即可求；先證明，，結合，利用線面垂直的判定定理可得平面 ；用反證法證明，假設存在點異于點使得平面證明平面平面，與平面與平面相交相矛盾，從而可得結論．
【詳解】顯然四邊形ABCD是直角梯形，
又底面
平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，
，，即又，平面；
不存在，下面用反證法進行證明
假設存在點異于點使得平面PAD．，且平面PAD，
平面PAD，平面PAD又，
平面平面PAD.而平面PBC與平面PAD相交，得出矛盾．
2.如圖，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，點是線段的中點.
（1）求證：；
（2）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析，2.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得是等邊三角形，是線段的中點，得，根據面面垂直的性質定理證得平面，即可證明結論；
（2）取的中點，可證，連接交于點，點即為所求的點.
利用，可得，即可求出結論.
【詳解】
（1）菱形，，，則是等邊三角形，
又是線段的中點，∴.
又平面平面，平面平面，
所以平面.
又∵平面，故.
（2）取的中點，連接交于點，點即為所求的點.
證明：連接，∵，，∴，
所以與相交于點，∵是的中點，是的中點，
∴，又平面，平面，
∴直線平面.又∵，∴.
【題型五】 平行5：證面面平行
【典例分析】
如圖所示，在三棱柱中，分別是的中點，
求證：（1）四點共面； （2）平面平面．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】（1）利用三角形中位線的性質，證明，從而可得，即可證明，，，四點共面；
（2）證明平面中有兩條直線、分別與平面中的兩條直線、平行，即可得到平面平面．
【詳解】(1)分別是的中點，是的中位線，則，
又，四點共面．
(2)分別為的中點，，平面平面，
平面，又分別是的中點，，，
四邊形是平行四邊形，，平面平面，
平面，又，平面平面，
【經驗總結】
基本規律
面面平行的核心思維是“線面平行”。
【變式演練】
1.如圖，在圓柱中，，分別是上、下底面圓的直徑，且，，分別是圓柱軸截面上的母線.
（1）若，圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.
（2）證明：平面平面.
【答案】（1）.（2）證明見詳解.
【分析】（1）借助圓柱的母線垂直于底面構造直角三角形計算可得半徑，然后可得表面積；
（2）構造平行四邊形證明，結合已知可證.
（1）連接CF、DF，
因為CD為直徑，記底面半徑為R，EF=2R。則
又解得R=2
圓柱的表面積.2）
連接、、、由圓柱性質知且
且四邊形為平行四邊形又平面CDE，平面CDE
平面CDE。同理，平面CDE又，平面ABH，平面ABH
平面平面.
2.如圖①，在梯形中，AB∥PC，△ABC與△PAC均為等腰直角三角形，＝90°，，D，E分別為PA，PC的中點．將△PDE沿DE折起，使點P到點P的位置（如圖②），為線段的中點．在圖②中解決以下兩個問題：
（1）求證：平面GAC∥平面；
（2）若直線PA與平面PABC所成的角為30°時，求三棱錐P－ACG的體積．
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】
（1）連接BE交AC于點M，連接GM，，可證得GM∥PE，根據線面平行的判定定理即可證得GM∥平面．同理可證得 AC∥平面．由面面平行的判定定理即可證得結果.
（2）利用等體積轉換可得計算即可得出結果.
（1）連接BE交AC于點M，連接GM，，
四邊形是正方形，M為BE的中點，又G為線段PB的中點，
則GM∥PE，又平面，平面，所以GM∥平面．
又 D，E分別為PA，PC的中點，則DE∥AC，又平面，平面，
所以AC∥平面．又，平面，
所以平面GAC∥平面．
【題型六】 平行6：難題--面面平行探索性題型
【典例分析】
已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.
（1）求證:；
（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：（1）設,連接,根據正四棱錐的性質，得平面,所以.又,證得平面，進而得到.
（2）取中點，連并延長交于點，得，得平面，進而得到平面平面，在中，得是中點，是中點，即可求解結論.
試題解析：
（1）設,則為底面正方形中心，連接,因為為正四梭錐.所以平面,所以.又,且,所以平面；
因為平面,故.
（2）存在點，設,連.取中點，連并延長交于點，
∵是中點，∴,即，又，平面，平面，
∴平面,平面，
又，平面，∴平面平面，
在中，作交于，則是中點，是中點，
∴.
【經驗總結】
基本規律
找面的經驗：任何一對互相平行平面，和第三個平面相交，交線互相平行
【變式演練】
1.在正方體中，、分別為、的中點，，，如圖.
（1）若交平面于點，證明：、、三點共線；
（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）先得出為平面與平面的交線，然后說明點是平面與平面的公共點，即可得出、、三點共線；
（2）設，過點作交于點，然后證明出平面平面，再確定出點在上的位置即可.
【詳解】
（1），平面，平面，所以，點是平面和平面的一個公共點，同理可知，點也是平面和平面的公共點，則平面和平面的交線為，
平面，平面，所以，點也是平面和平面的公共點，由公理三可知，，因此，、、三點共線；
（2）如下圖所示：
設，過點作交于點，
下面證明平面平面.
、分別為、的中點，，
平面，平面，平面.
又，平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
下面來確定點的位置：
、分別為、的中點，所以，，且，則點為的中點，
易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，
四邊形為正方形，且，則為的中點，所以，點為的中點，，
因此，線段上是否存在點，且時，平面平面.
2.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點.
（1）求證：平面
（2）直線上是否存在一點，使平面平面？ 若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理證明題中的結論即可；
（2）延長到點,使,此時平面平面. 利用幾何關系結合面面平行的判定定理即可證得題中的結論.
【詳解】(1)由線面垂直的定義可得：，由矩形的性質可得：，
且是平面內的兩條相交直線，故平面.
（2）延長到點,使,此時平面平面.
證明如下：連接，
∵，∴點為的中點，
又∵點為棱的中點， ∴
又
底面為矩形，
又∵點為延長線上的點,
∴四邊形為平行四邊形
又
又 ∴平面平面
【題型七】 垂直1：線面垂直
【典例分析】
如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求證：AC⊥平面ABEF．
（2）求多面體ABCDE與多面體ADEF的體積的比值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）依據題設條件及勾股定理先證線垂直，借助題設條件，運用性面面垂直的性質定理進行推證；
（2）利用可求三棱錐的體積，利用面面垂直的性質得出多面體ABCDE的高，可求得其體積，從而可得答案.
【詳解】
（1）在中，所以，
所以，所以，
又因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD，
所以平面ABEF.
【經驗總結】
基本規律
講透徹“三垂線定理”這個最常用的模型
【變式演練】
1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．
（1）求證：AM∥平面PBC；
（2）求證：BD⊥平面PBC．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【分析】（1）取的中點，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據線面平行的判定定理可得結論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點，連，，證得四邊形為菱形，進而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據線面垂直的判定可得平面．
證明：（1）如圖，取的中點，連，，∵為的中點，為的中點，
∴，．又，，∴，，
∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，
∴平面
（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點，連，．∵，，
∴，，∴四邊形為平行四邊形．又，
∴四邊形為菱形，∴．同理，四邊形為菱形，∴．
∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，
∴．∵，，∴平面．
2.如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中點，求證：
（1）平面；（2）平面.
【答案】(1)見解析；（2）見解析
【詳解】（1） 取AB的中點M,連FM,MC，∵ F、M分別是BE、BA的中點，∴ FM∥EA, FM＝EA，
∵ EA、CD都垂直于平面ABC，∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC＝a，∴ FM＝DC
∴ 四邊形FMCD是平行四邊形，∴ FD∥MC，∴ FD∥平面ABC．
（2）∵M是AB的中點，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，
∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，∵F是BE的中點, EA＝AB，∴AF⊥EB，
∴AF⊥平面EDB．
【題型八】 垂直2：面面垂直
【典例分析】
如圖，在以為頂點，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內一點，且是圓的切線，連接交圓于點，連接，.
（1）求證：平面平面；
（2）若是的中點，連接，，當二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【分析】
（1）由是圓的直徑，與圓切于點，可得,
由底面圓，可得，利用線面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，，可推出，利用線面垂直的判定定理可證平面，從而利用面面垂直的判定定理可證出平面平面.
解：（1）是圓的直徑，與圓切于點，
底面圓，∴
，平面，∴.
又∵在中，，∴
∵，∴平面，從而平面平面.
【經驗總結】
基本規律
核心思維：尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）
【變式演練】
1.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求多面體的體積.
【答案】(I)證明見解析； （Ⅱ）證明見解析； （III）3.
【分析】（Ⅰ）可證，從而得到平面．
（Ⅱ）可證平面，從而得到平面平面
【詳解】
（Ⅰ）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故．
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）連接．
在等腰梯形中，，從而四邊形為平行四邊形，
又，故四邊形為菱形，故.
在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.
因為，從而，而平面平面，
平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
因為，故平面.
因為平面，故平面平面.
2.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．
（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；
（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【分析】(1)利用,可得平面,根據面面垂直的判定定理可證平面平面;
(2) 由底面，得平面平面．將問題轉化為點到直線的距離有無最大值即可解決.
【詳解】（1）證明:因為，為線段的中點，所以,
因為底面，平面，所以,
又因為底面為正方形，所以，,所以平面,
因為平面，所以,因為，所以平面,
因為平面，所以平面平面.
【題型九】 垂直3：難題--垂直探索性題型
【典例分析】
直三棱柱中，，，，點是線段上的動點.
（1）當點是的中點時，求證：平面；
（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）
【試題分析】（1）連接，交于點，連接，則點是的中點，利用三角形的中位線有,，由此證得線面平行.（2）當時平面平面.利用，可證得平面，由此證得兩個平面垂直.利用等面積法求得的長.
【試題解析】（1）如圖，連接，交于點，連接，則點是的中點，
又點是的中點，由中位線定理得，因為平面，平面，
所以平面.
（2）當時平面平面.
證明：因為平面，平面，所以．
又，，所以平面，
因為平面，所以平面平面，故點滿足.
因為，，，所以，
故是以角為直角的三角形，又，所以.
【經驗總結】
基本規律
使用好“逆向思維”這個證明垂直的捷徑方法：要證明的必然是成立的。
【變式演練】
1.如圖，在三棱柱中，底面，，點是的中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：∥平面．
（Ⅲ）設，，在線段上是否存在點，使得 若存在，確定點的位置; 若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析； （Ⅲ）存在，為線段的中點，理由略．
試題分析：（Ⅰ）通過證得，且，即可證得平面，即證；
（Ⅱ） 設與的交點為，連結，因為是的中點，是的中點，由三角形的中位線定理得∥，又由線面平行的判定定理即證∥平面；
（Ⅲ） 在線段上存在點，使得，且為線段的中點．證明如下：由已知得．
由已知，為線段的中點，所以，可得平面．連接．因為平面，所以，易證，所以平面，即可得．
試題解析：（Ⅰ）在三棱柱中，因為底面，底面，所以．
又，，所以平面． 而，則．
（Ⅱ）設與的交點為，連結，因為是的中點，是的中點，所以∥．因為平面，平面，所以∥平面．
（Ⅲ）在線段上存在點，使得，且為線段的中點．
證明如下：因為底面，底面，所以．
由已知，為線段的中點，所以．又，所以平面．
取線段的中點，連接．因為平面，所以．
由已知，由平面幾何知識可得．又，所以平面．
又平面，所以．
2.三棱錐中，，面面．
（1）求長；（2）求三棱錐體積；
（3）內（含邊界）上是否存在點，使面． 若存在點，求出點的位置；若不存在點，說明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）存在，在棱上，且．
【分析】(1)根據勾股定理可得,進而可得,再用勾股定理計算即可.
(2) 作的中點,連接可知平面,再求解體積即可.
(3) 作于,再證明面即可.
【詳解】（1）∵,∴.
∵平面⊥平面,平面平面,平面,且,
可知平面,. ∴.
（2）作的中點,連接,由題意知平面,∴.
（3）作于,在上..
∵平面,平面,∴,且,平面,平面,,∴平面,即存在,在棱上,且.
【題型十】 垂直4：難題--翻折中的垂直
【典例分析】
如圖①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起使AD＝，得到如圖②所示的四棱錐A﹣BCDE.
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P為AC的中點，求三棱錐P﹣ABD的體積.
【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）先證，即可求得平面，結合//，即可由線面垂直推證面面垂直；（Ⅱ）根據點是中點，則的體積為體積的一半，再轉化頂點求得的體積，則問題得解.
【詳解】（Ⅰ）因為四邊形是菱形，且點為中點，又，故三角形為等邊三角形，則，又在三角形中，，滿足，
故，又平面，故可得平面，
又因為//，故可得平面，又平面，
故可得平面平面.即證.
【經驗總結】
基本規律
翻折過程中，始終在同一個平面內的點線關系“不變”
【變式演練】
1.如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中，E為DC中點，將它沿AE折成直二面角.
（1）求證：平面BDE；
（2）求四棱錐體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）先證，由面面垂直（直二面角）得平面，再得線線垂直，然后可得線面垂直；
（2）由直二面角即面面垂直，可求得到平面的距離，從而可求得體積．
【詳解】
（1）由題意，所以，所以，
又二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，又因為，，
所以平面BDE；
2.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足為E，，將沿EC折起到的位置，如圖2所示，使平面平面ABCE.
（1）連結BE，證明：平面；
（2）在棱上是否存在點G，使得平面，若存在，直接指出點G的位置不必說明理由，并求出此時三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點G為的中點，.
【分析】
（1）通過面面垂線的性質定理，證得平面ABCE ，由此證得.利用勾股定理計算證明，從而證得平面.
（2）通過線面平行的判定定理，判斷出點G為的中點.利用換頂點的方法，通過，來計算出三棱錐的體積.
【詳解】
1因為平面平面ABCE，平面平面，平面，所以 平面ABCE ，
又因為 平面ABCE，所以 ，又，滿足，所以 ，又 ，所以 平面.
2在棱上存在點G，使得平面，此時點G為的中點.，
由1知，平面ABCE，所以 ，又，所以 平面，
所以CE為三棱錐的高，且 在中，，G為斜邊的中點，
所以 ，所以 .
故，在棱上存在點G，使得平面，
此時三棱錐的體積為.
【題型十一】 體積1：常規求法和等體積轉化型
【典例分析】
如圖所示，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點．
（1）證明：平面；
（2）若M是AB的中點，證明：平面平面；
（3）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【分析】
（1）利用得出平面.（2）通過證明平面，可證得平面平面.（3）利用等體積轉化求出即可.
【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，平面，平面，平面
（2）證明：在正方體中，,是中點，.
平面，平面，則.
平面，平面，且，
平面.平面，∴平面平面
（3）因為平面，所以點，點到平面的距離相等.
故 ．
【經驗總結】
基本規律
1.等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性。
2.盡可能尋找在表面的三個點
3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。
【變式演練】
1.四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.
（1）證明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱錐P﹣ACE的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）過A作AF⊥DC于F，推導出AC⊥DA，AC⊥PA，從而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．
（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱錐P﹣ACE的體積．
【詳解】（1）過A作AF⊥DC于F，因為AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，
所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥PA，
又PA，AD 平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，又PD 平面PAD，∴AC⊥PD.
（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，
所以，，
所以三棱錐P﹣ACE的體積VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.
2.如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；
（II）求四面體的體積.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).
試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結合條件中的數據證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結果．
試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.
因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為.
取的中點，連結.由得，.
由得到的距離為，故.
所以四面體的體積.
【題型十二】 體積2：難題--多面體割補型
【典例分析】
如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求多面體的體積.
【答案】(I)證明見解析； （Ⅱ）證明見解析； （III）3.
【分析】（Ⅰ）可證，從而得到平面．
（Ⅱ）可證平面，從而得到平面平面
（Ⅲ）可證幾何體是三棱柱，從而利用公式可求幾何體的體積.
【詳解】（Ⅰ）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故．
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）連接．在等腰梯形中，，從而四邊形為平行四邊形，
又，故四邊形為菱形，故.
在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.
因為，從而，而平面平面，
平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
因為，故平面.
因為平面，故平面平面.
（III）設．由（Ⅰ）得平面且，由（Ⅱ）得，
而平面，平面，故平面，
因為，故平面平面，
又，故四邊形為平行四邊形，
故，所以，所以幾何體是三棱柱．
由（Ⅱ）得平面，平面，故，
所以.由（Ⅱ）得平面．
所以多面體的體積為：．
在等腰梯形中，，
又為銳角，故，故，所以，
所以，故多面體的體積為：.
【經驗總結】
基本規律
1.大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱錐+四棱錐
2.多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”
【變式演練】
1.如圖，已知平面平面，B為線段中點，，四邊形為正方形，平面平面，，，M為棱中點.
（1）求證：平面平面；
（2）若，求多面體的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性質定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明.
（2）延長至使得，得到三棱柱，，再求出即為三棱柱的高，利用柱體、錐體的體積公式即可求解.
【詳解】
（1）由正方形知，，
又平面平面，且交線為，平面，
∴平面，又平面，∴平面平面.
（2）延長至使得，則得到三棱柱，
所求幾何體的體積，取的中點M，
由條件為正三角形，∴，
∴，由平面平面且交線為，
∴平面，即為三棱柱的高，
∵.
.
所以.
2.如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求多面體的體積.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）取的中點.連接，，可證，，然后利用平面平面，可證平面.（Ⅱ）將多面體分為四棱錐和三棱錐兩部分，將轉化為，然后利用四棱錐和三棱錐的體積公式分別求出然后求和即可.
解：（Ⅰ）如圖，取的中點.連接，.在矩形中，∵，分別為線段，的中點，
∴.又平面，平面，∴平面.
在中，∵，分別為線段，的中點，∴.
又平面，平面，∴平面.
又，平面，∴平面平面
又平面，∴平面.
（Ⅱ）如圖，過點作于.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.同理平面.
連接，.在中，∵，，∴.同理.
∵，∴等邊的高為，即.連接.
∴
.
【題型十三】 體積3：難題---兩部分體積比
【典例分析】
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，、分別是、的中點.
（1）證明：平面；
（2）若是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求的值.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【分析】（1）連接，可得，利用面面垂直的性質可證平面，利用線面垂直的性質可證，由，，可證，，利用線面垂直的判定定理即可證明平面；
（2）連接、，設，則，利用，可得，進而解得的值，即可得出的值.
【詳解】（1）連接，且是的中點，
又平面平面，平面平面，平面，平面.
平面，又為菱形，且、分別為棱、的中點，，
，，又，，平面；
（2）如圖，連接、，設，則，，
又，，，解得，即.
【經驗總結】
基本規律
1.直接求體積，大多數是難度較大。
2.利用等體積轉化（或者不等體積轉化）
3.尋找合適的底面和平行高轉化。
【變式演練】
1.如圖，是邊長為3的正方形，平面，平面，.
（1）證明：平面平面；
（2）在上是否存在一點，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析（2）存在點且滿足條件.
【解析】
試題分析：（1）根據，結合面面平行的判定定理可知兩個平面平行；（2）先求出整個幾何體的體積.假設存在一點，過作交于，連接，設，求得幾何體的體積，將其分割成兩個三棱錐，利用表示出兩個三棱錐的高，再利用體積建立方程，解方程組求得的值.
試題解析：
解：
（1）∵平面，平面，
∴，∴平面，
∵是正方形，，∴平面，
∵，平面，平面，∴平面平面.
（2）假設存在一點，過作交于，連接，
，
設，則，
設到的距離為，則，，
∴，解得，即存在點且滿足條件.
2.如圖，多面體中，，平面⊥平面，四邊形為矩形，∥，點在線段上，且.
(1)求證：⊥平面；
(2)若，求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.
【答案】（1）證明見解析(2) 11:1
【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再由面面垂直的性質定理得線面垂直；
（2）連接EB,AE. 多面體被分為四個三棱錐，由它們之間的體積關系可求得比值．
【詳解】（1）因為四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB.為AB=DE=2，所以CD=DE=2.
因為點G在線段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=
所以，即又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD,DE平面CDE，
所以DE⊥平面ABCD.
(2)設三棱錐G-BCD的體積為1，連接EB,AE.因為EG=2GC,所以CG=EC,所以.
易知又EF=2BC,BC∥EF，所以，故
又，所以故
故多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比為11:1.
【題型十四】 體積4：難題---動點型
【典例分析】
如圖，是邊長為3的等邊三角形，四邊形為正方形，平面平面.點，分別為棱，上的點，且，為棱上一點，且.
（Ⅰ）當時，求證：平面；
（Ⅱ）已知三棱錐的體積為，求的值.
【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）先連接，根據面面平行的判定定理，先證明平面平面，進而可得出結論成立；（Ⅱ）取的中點為，連接，證明平面；再過點作于點，得平面，再由求出，進而可得出結果.
解：（Ⅰ）連接，當時，且，四邊形是平行四邊形，.，
，，，，
平面平面，又平面，平面.
（Ⅱ）取的中點為，連接，則，平面平面，平面.
過點作于點，則，平面，則.
.，.
，即.
【變式演練】
1.如圖，四邊形ABCD為矩形，△BCF為等腰三角形，且∠BAE＝∠DAE＝90°，EA//FC.
（1）證明：BF//平面ADE.
（2）設，問是否存在正實數，使得三棱錐A﹣BDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在正實數.
【解析】
【分析】
（1）通過證明平面平面來證明BF//平面ADE；
（2）設，，則，利用等體積法，則，可得關于的方程，求解可得.
【詳解】
（1）因為，平面，平面，所以平面，
因為，平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面
故平面；
（2），又，
平面，
設，，則，
在矩形和中，有，，
所以在中，邊上的高，
又，
所以，由等體積法得，
即，∴，
所以存在正實數，使得三棱錐的高恰好等于.
2.如圖所示，在三棱錐中，平面，，，.
（1）證明：平面；
（2）若為棱的中點，點為棱上一點，且三棱錐的體積為，通過計算判斷點的位置.
【答案】（1）證明見解析；（2）點為棱上靠近點的三等分點.
【分析】（1）根據余弦定理，可得，再由勾股定理可證，再根據線面垂直的定義可證，由此根據線面垂直的判定定理，即可證明結果；
（2）在中，由勾股定理，易求得，根據，根據三棱錐的體積公式可求，再根據，由此即可求出結果.
【詳解】（1）由題可得， ，，
由余弦定理可得所以.
∴，∴.又平面，∴，
又，∴平面.
（2）在中，由勾股定理，易求得， ∵，
過點作垂直于于點，如下圖所示：
則，
又，又
又，所以,所以 ∴.
∴點為棱上靠近點的三等分點.
【題型十五】 體積5：難題--最值型
【典例分析】
如圖，三棱錐中，側面是邊長為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉至平面的位置，記點旋轉后對應的點為（不在平面內），、分別是、的中點.（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）連接、，利用面面垂直的性質定理得出平面，可得出，利用勾股定理計算出，推導出是以為直角的直角三角形，再由中位線的性質得出，由此可得出；
（2）由的面積為定值，可知當平面平面時，三棱錐的體積最大，連接、，推導出平面，計算出、以及的面積，然后利用錐體的體積公式可求得結果.
【詳解】（1）如圖，連接、，因為，是的中點，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以．
因為為邊長為的正三角形，所以，
又，所以由勾股定理可得，
又，，，
，則，，
所以為直角三角形，且，
又、分別是、的中點，所以，所以；
（2）如圖，連接、，因為三棱錐與三棱錐為同一個三棱錐，且的面積為定值，所以當三棱錐的體積最大時，則平面平面，
，則，為的中點，則，
平面平面，平面平面，平面，
平面，此時點到平面的距離為，
在中，因為，，所以，
所以的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為．
【變式演練】
1.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．
（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；
（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【分析】
(1)利用,可得平面,根據面面垂直的判定定理可證平面平面;
(2) 由底面，得平面平面．將問題轉化為點到直線的距離有無最大值即可解決.
【詳解】（1）證明:因為，為線段的中點，所以,
因為底面，平面，所以,又因為底面為正方形，所以，,所以平面,因為平面，所以,因為，所以平面,因為平面，所以平面平面.
（2）由底面，則平面平面,
所以點到平面的距離（三棱錐的高）等于點到直線的距離,
因此，當點在線段，上運動時，三棱錐的高小于或等于2,
當點在線段上運動時,三棱錐的高為2,因為的面積為,
所以當點在線段上，三棱錐的體積取得最大值,最大值為.
由于三棱錐的體積等于三棱錐的體積,所以三棱錐體積存在最大值.
2.如圖所示，在矩形中，，E為邊的中點，將沿直線翻折為，若F為線段的中點.在翻折過程中，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求多面體體積的最大值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）取的中點G，連接，，證明平面，平面，得到平面平面，則面；
（Ⅱ）多面體體積等于三棱錐的體積，要使三棱錐的體積最大，則需F到底面距離最大，即平面底面.此時平面底面，求出到底面的距離，可得F到底面的距離，再由棱錐體積公式求解.
【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點G，連接，，∵F為線段的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面，
又，，∴四邊形為平行四邊形，則.可得平面，
又，可得平面平面，則面；
（Ⅱ）解：多面體體積等于三棱錐的體積，而底面三角形的面積為定值，
要使三棱錐的體積最大，則需F到底面距離最大，即平面底面.
此時平面底面，由，可得到底面的距離為，
則F到底面的距離為.∴多面體體積的最大值為.
模擬題
1.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側面底面ABCD，，．
（1）若PB的中點為E，求證：平面PCD；
（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）取PC的中點F，連接EF，DF，推導出四邊形ADFE是平行四邊形，，由此能證明平面PCD；
（2）△為等邊三角形，是中點，作，以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（1）
如圖，取PC的中點F，連接EF，DF，
，F分別為PB，PC的中點，
，，且，
且，四邊形ADFE是平行四邊形，，
平面PCD，平面PCD，平面PCD．
2.（廣東省潮州市2022屆高三上學期期末數學試題）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，，，點E，F分別為CD，AP的中點．
（1）證明:PC//平面BEF；
（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．
【答案】（1）證明過程見解答；（2）
【分析】
（1）連接，交于，連接，易證，故，即點為的中點，從而得，再由線面平行的判定定理即可得證；
（2）取的中點，連，，則，由面面，可推出，由和，可證得，故以，，所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，依次寫出、、、和的坐標，由面，知面的一個法向量為，根據法向量的性質可求得面的法向量，再由即可得解．
（1）證明：連接，交于，連接，點為的中點，，
，，，
，，即點為的中點，又為的中點，，
面，面，面
3.在四棱錐中，，，，，平面平面.
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析（2）不存在；詳見解析
【分析】（1）取中點為，連接，可得，再由平面平面可得，則，由此可得結論；
（2）任取上一點，連接，過作直線平行于交于，連接，則，假設平面，可得與已知矛盾，由此得出結論．
【詳解】
（1）證：取中點為，連接，
因為，所以，
因為平面平面且相交于，
所以平面，所以，
因為，所以，
因為在平面內，所以，
所以；
（2）不存在.理由如下：
任取上一點，連接，
過作直線平行于交于，連接，則.
假設平面，
所以，
因為，所以四邊形為平行四邊形.
所以與已知矛盾.
所以棱上不存在點，使平面．
4.如圖，在多面體中，底面是邊長為的的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，和分別是和的中點．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．
【解析】
試題分析：第一問根據三角形的中位線找到平行線，利用面面平行的判定定理，在其中一個平面內找到和另一個平面平行的兩條相交直線，證得結果，第二問先在幾何體中找到共點的相互垂直的三條直線，建立相應的空間直角坐標系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判斷求得二面角的余弦值，結合二面角的取值范圍，求得二面角的大小．
試題解析：（Ⅰ）證明：在中，因為分別是的中點，
所以， 又因為平面，平面，
所以平面． 設，連接，
因為為菱形，所以為中點
在中，因為，，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面． 又因為，平面，
所以平面平面．
5.如圖，在直四棱柱中，點是線段上的一個動點，分別是的中點.
（1）求證：平面.
（2）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，
【分析】（1）利用三角形中位線及線面平行的判定定理證明線面平行；
（2）找的中點，作輔助線，證明平面平面.
【詳解】（1）如圖，連接，在中，分別是的中點，.
又平面，平面，平面.
（2）如圖，在棱上存在點，點為的中點，使得平面平面.理由如下：
∵點是的中點，點是的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面;
由（1）知平面，且，
∴平面平面.∴棱上存在點，使得平面平面，且.
6.如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.
（1）求證：平面；（2）求證：平面.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據，分別是，的中點，即可證明，從而可證平面；
（2）先根據為正三角形，且D是的中點，證出，再根據平面平面，得到平面，從而得到，結合，即可得證．
【詳解】（1）∵，分別是，的中點∴∵平面，平面
∴平面.
（2）∵為正三角形，且D是的中點。∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴
∵且∴∵，平面，且
∴平面.
7.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點E在棱上（異于點P，C），平面與棱交于點F.
（1）求證：；
（2）若，求證：平面平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據四邊形是矩形，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，再由線面平行的性質定理得到.
（2）根據四邊形是矩形，所以，再由，，得到，又，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理證明.
【詳解】
（1）因為四邊形是矩形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
因為平面，平面平面，
所以.
（2）因為四邊形是矩形，所以.
因為，，所以.
又，點在棱上（異于點），
所以點異于點，所以.
又，平面，所以平面.
又平面，
所以平面平面.
8.如圖所示，在正三棱柱中，，是上的一點，且.
（1）求證：平面；
（2）在棱上是否存在一點，使直線平面？若存在，找出這個點，并加以證明，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）存在這樣的點，且點為的中點
試題分析：（1）連接A1C交AC1于E點，利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
（2）在棱CC1上存在一點P，P為CC1的中點，使直線PB1⊥平面AC1 D．利用正三棱柱的性質和正三角形的性質可得AD⊥B1P．在正方形BCC1B1中，可得△CC1D≌△C1B1P，即可證明B1P⊥C1 D．再利用線面垂直的判定定理即可證明．
試題解析：（1）證明：因為是正三棱柱，
所以平面，所以，又，,
所以平面，所以，所以是的中點.
如圖，連接，設與相交于點，則點為的中點，
連接，則在中，因為分別是的中點，
所以，又在平面內，不在平面內，
所以平面.
（2）存在這樣的點，且點為的中點，
下面證明：由（1）知平面，故，
設與相交于點，由于≌，故,
因為，從而∽，
所以，所以.
因為，所以平面
9.已知四邊形是梯形(如圖1)，，，，，E為的中點，以為折痕把折起，使點D到達點P的位置(如圖2)，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求點C到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）取的中點M，連接，，，根據，易得，再利用平面幾何知識，由，得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，進而由面面垂直的判定定理得證.
【詳解】（1）證明：連接，
因為，，，E為的中點，，
所以四邊形是邊長為1的正方形，且.如圖，取的中點M，連接，，，
因為，所以，且，.
因為，所以.所以
因為，，，所以，
所以. 因為，所以平面. 因為平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，，且. 因為，
所以為正三角形且邊長為1. 設點C到平面的距離為d，
則，所以，
即，解得. 所以點C到平面的距離為.
10.如圖，在四棱錐中，底面，， ，，點為的中點，平面交側棱于點，且四邊形為平行四邊形.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，求四棱錐的體積.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
【分析】（1）要證平面平面，只需證明平面，即可求得答案；
（2）由（1）可知，，即，可得，結合已知，根據椎體體積公式，即可求得答案.
【詳解】（1）為平行四邊形.且， 點為的中點
，，，又底面，
得，平面平面
又平面，平面平面
（2）由（1）可知，即，
又由題可知，又由底面，平面，
可得，平面，又
點到平面的距離為，
11.如圖，邊長為的等邊所在平面與菱形所在平面互相垂直，且，,．
（1）求證：平面；
（2）求多面體的體積．
【答案】（1）證明見詳解；（2）.
【分析】
（1）先利用已知條件得到線面平行，再證面面，即可得出結論；（2）利用已知條件分別求出三棱錐和四棱錐的體積，相加即為多面體的體積.
【詳解】（1）四邊形是菱形，，又面,面，面,
同理得，面，面，且，面面，
又面，平面；
（2），，
，在菱形中，，
，，面面，
取的中點，連接，面，面，由（1）知，面面，
點到面的距離為，又點到面的距離為，連接，
則.
12.如圖，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為線段上一點．
（1）若點是的中點，求證：平面；
（2）若直線與平面所成的線面角的大小為，求．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）連接，交于點，連接，由題意結合平面幾何知識可得，再由線面平行的判定即可得解；
（2）由題意結合面面垂直的性質、線面角的概念可得，進而可得，再由棱錐的體積公式求出、，即可得解.
【詳解】（1）連接，交于點，連接，如圖：
因為四邊形為正方形，所以為線段的中點，又點是的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面；
（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以平面，平面，
所以即為直線與平面所成的線面角，所以，
因為，所以，，
所以，因為四邊形為正方形，四邊形為矩形，
由可得平面，所以，
所以.
13.如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由分別為，的中點，，根據條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；
（2）根據已知條件求得和到的距離，根據椎體體積公式，即可求得.
【詳解】（1）分別為，的中點，又
在等邊中，為中點，則又側面為矩形，
由，平面平面
又，且平面，平面，平面
又平面，且平面平面
又平面平面平面
平面平面
（2）過作垂線，交點為，畫出圖形，如圖
平面平面，平面平面
又為的中心.
故：，則，平面平面，平面平面，
平面平面又在等邊中
即由（1）知，四邊形為梯形
四邊形的面積為：
，為到的距離，.
14.如圖，扇形的圓心角為，半徑為2，四邊形為正方形，平面平面；過直線作平面交于點，交于點．
（1）求證：；（2）求三棱錐體積的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）利用線面平行的性質，證過的平面即可；
（2）設，得，則結合配方法或基本不等式即可求解.
【詳解】（1）因為，，，所以
又平面，平面，所以．
（2）因為平面所以平面，平面平面，，
所以平面，即線段的長就是三棱錐的高：
因為，，所以．
設，則，所以三棱錐的體積為
．
法一：．所以，當時，．
法二：．所以，當且僅當時，．22 ：立體幾何大題
【題型一】 平行1：四邊形法證線面平行
【典例分析】
如圖，在正方體中，E，F分別是，CD的中點．
（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【經驗總結】
基本規律
1.利用平移法做出平行四邊形
2.利用中位線做出平行四邊形
【變式演練】
1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中點.（1）求證：平面PAD；
（2）若，求三棱錐P-ACE的體積.
2.如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由．
【題型二】 平行2：中位線法證線面平行
【典例分析】
.如圖，四棱錐中，側面底面，底面為梯形，，且，.交于點，為的重心.
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積.
【經驗總結】
基本規律
中位線法難點在于怎么“發現三角形”
【變式演練】
1.如圖，三棱臺，平面平面，側面是等腰梯形，, 分別是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
2.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，M為PB上靠近B的三等分點.（1）求證：平面ACM；
（2）求直線PD與平面ACM的距離.
【題型三】 平行3：做平行平面法證線面平行
【典例分析】
如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點，滿足，△PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90°，E為PA的中點.
（1）求：DE//平面PBC；（2）求二面角A－BE－D的余弦值.
【經驗總結】
基本規律
做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證明后續的“探索性”題型時非常實用。授課時可以先用“中點型”培養“找面做面”的思維。
【變式演練】
1.在四棱錐中，，.
（1）若E為PC的中點，求證：平面PAD.
（2）當平面平面ABCD時，求二面角的余弦值.
2.如圖所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形，，且，是△的中線，點E是棱的中點．
（1）證明：∥平面．
（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值．
（3）在（2）條件下，求點D到平面的距離．
【題型四】 平行4：難題--線面探索型
【典例分析】
在四棱錐中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求證：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求證：；
（Ⅲ）在棱上是否存在點（異于點）使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【經驗總結】
基本規律
1.常規題，對應的點大多在中點處。
2.要多訓練非中點的題選。
【變式演練】
1.如圖所示四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．
求四棱錐的體積；
求證：平面；
在棱上是否存在點異于點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
2.如圖，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，點是線段的中點.
（1）求證：；
（2）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值；若不存在，請說明理由.
【題型五】 平行5：證面面平行
【典例分析】
如圖所示，在三棱柱中，分別是的中點，
求證：（1）四點共面； （2）平面平面．
【經驗總結】
基本規律
面面平行的核心思維是“線面平行”。
【變式演練】
1.如圖，在圓柱中，，分別是上、下底面圓的直徑，且，，分別是圓柱軸截面上的母線.
（1）若，圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.
（2）證明：平面平面.
2.如圖①，在梯形中，AB∥PC，△ABC與△PAC均為等腰直角三角形，＝90°，，D，E分別為PA，PC的中點．將△PDE沿DE折起，使點P到點P的位置（如圖②），為線段的中點．在圖②中解決以下兩個問題：
（1）求證：平面GAC∥平面；
（2）若直線PA與平面PABC所成的角為30°時，求三棱錐P－ACG的體積．
【題型六】 平行6：難題--面面平行探索性題型
【典例分析】
已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.
（1）求證:；
（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【經驗總結】
基本規律
找面的經驗：任何一對互相平行平面，和第三個平面相交，交線互相平行
【變式演練】
1.在正方體中，、分別為、的中點，，，如圖.
（1）若交平面于點，證明：、、三點共線；
（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.
2.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點.
（1）求證：平面
（2）直線上是否存在一點，使平面平面？ 若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.
【題型七】 垂直1：線面垂直
【典例分析】
如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝，ABEF為直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求證：AC⊥平面ABEF．
（2）求多面體ABCDE與多面體ADEF的體積的比值．
【經驗總結】
基本規律
講透徹“三垂線定理”這個最常用的模型
【變式演練】
1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．
（1）求證：AM∥平面PBC；
（2）求證：BD⊥平面PBC．
2.如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中點，求證：
（1）平面；（2）平面.
【題型八】 垂直2：面面垂直
【典例分析】
如圖，在以為頂點，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內一點，且是圓的切線，連接交圓于點，連接，.
（1）求證：平面平面；
（2）若是的中點，連接，，當二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【經驗總結】
基本規律
核心思維：尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）
【變式演練】
1.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求多面體的體積.
2.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．
（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；
（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【題型九】 垂直3：難題--垂直探索性題型
【典例分析】
直三棱柱中，，，，點是線段上的動點.
（1）當點是的中點時，求證：平面；
（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.
【經驗總結】
基本規律
使用好“逆向思維”這個證明垂直的捷徑方法：要證明的必然是成立的。
【變式演練】
1.如圖，在三棱柱中，底面，，點是的中點．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：∥平面．
（Ⅲ）設，，在線段上是否存在點，使得 若存在，確定點的位置; 若不存在，說明理由．
2.三棱錐中，，面面．
（1）求長；（2）求三棱錐體積；
內（含邊界）上是否存在點，使面． 若存在點，求出點的位置；若不存在點，說明理由．
【題型十】 垂直4：難題--翻折中的垂直
【典例分析】
如圖①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E為AD的中點，將△ABE沿BE折起使AD＝，得到如圖②所示的四棱錐A﹣BCDE.
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P為AC的中點，求三棱錐P﹣ABD的體積.
【經驗總結】
基本規律
翻折過程中，始終在同一個平面內的點線關系“不變”
【變式演練】
1.如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中，E為DC中點，將它沿AE折成直二面角.
（1）求證：平面BDE；
（2）求四棱錐體積.
2.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足為E，，將沿EC折起到的位置，如圖2所示，使平面平面ABCE.
（1）連結BE，證明：平面；
（2）在棱上是否存在點G，使得平面，若存在，直接指出點G的位置不必說明理由，并求出此時三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.
【題型十一】 體積1：常規求法和等體積轉化型
【典例分析】
如圖所示，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點．
（1）證明：平面；
（2）若M是AB的中點，證明：平面平面；
（3）求三棱錐的體積．
【經驗總結】
基本規律
1.等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性。
2.盡可能尋找在表面的三個點
3.利用好“同底等高”和“同底比例高”。
【變式演練】
1.四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.
（1）證明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱錐P﹣ACE的體積.
2.如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點．（I）證明平面；
（II）求四面體的體積.
【題型十二】 體積2：難題--多面體割補型
【典例分析】
如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，，，，．
（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求多面體的體積.
【經驗總結】
基本規律
1.大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱錐+四棱錐
2.多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”
【變式演練】
1.如圖，已知平面平面，B為線段中點，，四邊形為正方形，平面平面，，，M為棱中點.
（1）求證：平面平面；
（2）若，求多面體的體積.
2.如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求多面體的體積.
【題型十三】 體積3：難題---兩部分體積比
【典例分析】
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，、分別是、的中點.
（1）證明：平面；
（2）若是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求的值.
【經驗總結】
基本規律
1.直接求體積，大多數是難度較大。
2.利用等體積轉化（或者不等體積轉化）
3.尋找合適的底面和平行高轉化。
【變式演練】
1.如圖，是邊長為3的正方形，平面，平面，.
（1）證明：平面平面；
（2）在上是否存在一點，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
2.如圖，多面體中，，平面⊥平面，四邊形為矩形，∥，點在線段上，且.
(1)求證：⊥平面；
(2)若，求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.
【題型十四】 體積4：難題---動點型
【典例分析】
如圖，是邊長為3的等邊三角形，四邊形為正方形，平面平面.點，分別為棱，上的點，且，為棱上一點，且.
（Ⅰ）當時，求證：平面；
（Ⅱ）已知三棱錐的體積為，求的值.
【變式演練】
1.如圖，四邊形ABCD為矩形，△BCF為等腰三角形，且∠BAE＝∠DAE＝90°，EA//FC.
（1）證明：BF//平面ADE.
（2）設，問是否存在正實數，使得三棱錐A﹣BDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
2.如圖所示，在三棱錐中，平面，，，.
（1）證明：平面；
（2）若為棱的中點，點為棱上一點，且三棱錐的體積為，通過計算判斷點的位置.
【題型十五】 體積5：難題--最值型
【典例分析】
如圖，三棱錐中，側面是邊長為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉至平面的位置，記點旋轉后對應的點為（不在平面內），、分別是、的中點.（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積的最大值.
【變式演練】
1.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．
（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；
（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
2.如圖所示，在矩形中，，E為邊的中點，將沿直線翻折為，若F為線段的中點.在翻折過程中，
（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求多面體體積的最大值.
模擬題
1.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側面底面ABCD，，．
（1）若PB的中點為E，求證：平面PCD；
（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．
2.（廣東省潮州市2022屆高三上學期期末數學試題）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，，，點E，F分別為CD，AP的中點．
（1）證明:PC//平面BEF；
（2）若PAPD，且PA=PD，面PAD面ABCD，求二面角C-BE-F的余弦值．
3.在四棱錐中，，，，，平面平面.
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
4.如圖，在多面體中，底面是邊長為的的菱形，，四邊形是矩形，平面平面，，和分別是和的中點．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
5.如圖，在直四棱柱中，點是線段上的一個動點，分別是的中點.
（1）求證：平面.
（2）在棱上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
6.如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.
（1）求證：平面；（2）求證：平面.
7.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點E在棱上（異于點P，C），平面與棱交于點F.
（1）求證：；
（2）若，求證：平面平面.
8.如圖所示，在正三棱柱中，，是上的一點，且.
（1）求證：平面；
（2）在棱上是否存在一點，使直線平面？若存在，找出這個點，并加以證明，若不存在，請說明理由.
9.已知四邊形是梯形(如圖1)，，，，，E為的中點，以為折痕把折起，使點D到達點P的位置(如圖2)，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求點C到平面的距離.
10.如圖，在四棱錐中，底面，， ，，點為的中點，平面交側棱于點，且四邊形為平行四邊形.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，求四棱錐的體積.
11.如圖，邊長為的等邊所在平面與菱形所在平面互相垂直，且，,．
（1）求證：平面；
（2）求多面體的體積．
12.如圖，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為線段上一點．
（1）若點是的中點，求證：平面；
（2）若直線與平面所成的線面角的大小為，求．
13.如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
14.如圖，扇形的圓心角為，半徑為2，四邊形為正方形，平面平面；過直線作平面交于點，交于點．
（1）求證：；（2）求三棱錐體積的最大值．

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