資源簡介

24 圓錐小題壓軸九類
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 第一定義及其應用 1
【題型二】 第二定義及應用 3
【題型三】 第三定義及其應用 5
【題型四】 焦點三角形與離心率 7
【題型五】 定比分點 10
【題型六】 焦點三角形與四心 12
【題型七】 共焦點的橢圓和雙曲線性質 14
【題型八】 切線與切點弦 17
【題型九】 多曲線 19
二、最新模考題組練 23
【題型一】第一定義及其應用
【典例分析】已知橢圓，F1，F2為其焦點，平面內一點P滿足PF2⊥F1F2，且，線段PF1，PF2分別交橢圓于點A，B，若，則=___
【答案】
【詳解】如圖所示，由橢圓的方程可知，，又由，且，所以為等腰直角三角形，又由，所以點為線段的中點，則，且，在等腰直角中，因為，可得，
又由橢圓的定義可知，即，即，又由，所以，又因為，所以直線的方程為，聯立方程組，解得，即，所以。
【經驗總結】
1．三大曲線第一定義
橢圓第一定義：
雙曲線第一定義：
拋物線定義：
2．解題思路
試題中，如果是橢圓和雙曲線，則到一個焦點距離，可轉化為到另一個焦點距離．
【變式演練】
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點，，分別交軸于，兩點，若的周長為16，則的最大值為______.
【答案】4
【詳解】如圖：
由的周長為16，所以的周長為32，AB是雙曲線的通徑，，
，可得，可得則，當且僅當，即時等號成立，故填.
2．已知拋物線的焦點為，直線與交于 ，兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為____．
【答案】
【解析】
如圖所示，設拋物線的準線L,做AQL，于點Q，BPL于點P，拋物線定義可設：|AF|=|AQ|=a，|BF|=|BP|=b。由勾股定理可知，，由梯形的中位線的性質可知，
，則：，當且解答a=b時等號成立，所以最小值為
3．設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任一點，點的坐標為，則的最大值為___．
【答案】15.
【詳解】由橢圓方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1( 3,0),F2(3,0)，如圖所示，
由橢圓的定義可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a |PF2|=10+(|PM| |PF2|) 10+|MF2|==15，
則|PM|+|PF1|的最大值為15.故答案為：15.
【題型二】 第二定義及應用
【典例分析】 已知雙曲線的左、右焦點分別為，為坐標原點.是雙曲線在第一象限上的點，直線分別交雙曲線左、右支于另一點.若，且，則的離心率為__．
【答案】
【解析】設，則由雙曲線的定義可得，又，故，依據雙曲線的對稱性可得，故在中運用余弦定理可得，又在雙曲線上，故，則，所以，即，也即，應填答案。
【經驗總結】
橢圓雙曲線曲線第二定義：
平面上到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數e，即
2．焦半徑公式：
橢圓焦半徑：
雙曲線焦半徑：．，
拋物線焦半徑：
3．焦半徑范圍
橢圓焦半徑范圍：
雙曲線焦半徑范圍：．
拋物線焦半徑范圍：
4.解題技巧：
焦半徑角度公式。其中，為焦半徑與焦點軸所成的角。p為焦點到對應準線的距離
橢圓焦半徑夾角公式：
雙曲線焦半徑左焦點夾角公式：．，
拋物線焦半徑夾角公式：
【變式演練】
1.如圖，橢圓，圓 ，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為__________.
【答案】8
【詳解】設P點的坐標,因為P在橢圓上，所以，則，
因為，所以，又，則 ，
由對稱性得=
.
2.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= 。
【解析】
設
3.設F1，F2為雙曲線的左右焦點，P為雙曲線右支上任一點，當最小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是 ．
【答案】（1，3]
【解析】由定義知：|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．當且僅當，即||PF1|=2a時取得等號．
設P（x0，y0），（x0≤﹣a）依焦半徑公式得：|PF1|=﹣e×x0﹣a=2a，∴又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．
【題型三】第三定義及其應用
【典例分析】 已知橢圓的右焦點為,且離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設三條邊的中點分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標原點，若直線的斜率之和為1.則__________．
【答案】
【解析】由題意可得，所以，設
，兩式作差得，則，，同理可得，所以，填。
【經驗總結】
第三定義，又叫中點弦定理
（1）AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.
（2） AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.
（3）AB是拋物線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則
2．擴展推論
（1）AB是橢圓的關于原點對稱的兩點，M橢圓上異于A、B的任一點，若斜率存在，則
（2）AB是橢圓的關于原點對稱的兩點，M橢圓上異于A、B的任一點，若斜率存在，則
【變式演練】
1.設雙曲線的左，右頂點為是雙曲線上不同于的一點，設直線的斜率分別為，則當取得最小值時，雙曲線C的離心率為
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】設，由雙曲線，則，設，則，可得，則，所以，所以，設，則，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以當時，函數取得最小值，即當取得最小值時，，
所以雙曲線的離心率為，故選D．
2.已知平行四邊形內接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意，關于原點對稱，設，，，故選A.
3.在平面直角坐標系中，為坐標原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________
【答案】
【解析】設P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵點M，N在雙曲線上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），設k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據題意可知k0MkON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在雙曲線2x2-y2=20上；
設該雙曲線的左，右焦點為F1，F2，由雙曲線的定義可推斷出為定值，該定值為
【題型四】焦點三角形與離心率
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左，右焦點，是雙曲線上在第一象限內的點，若且.延長交雙曲線右支于點，則的面積等于________．
【答案】4
【詳解】由題意知，根據雙曲線定義，所以，，所以.由圖知，所以，為等腰三角形，又因為，所以，則為等腰直角三角形，所以.所以.
【經驗總結】
1．焦點三角形
（1）焦點三角形面積
橢圓：
雙曲線：
AB為過拋物線y2=2px焦點的弦，
2．頂角
（1）．橢圓頂角在短軸頂點處最大。
（2）雙曲線頂角無最大最小
3．與余弦定理結合
(1)設橢圓（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
(2)設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
【變式演練】
1.點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】.
【詳解】∵圓M與軸相切于焦點F，∴不妨設M(c,y),則(因為相切,則圓心與F的連線必垂直于x軸)M在橢圓上,則或(a2=b2+c2)，∴圓的半徑為，過M作MN⊥y軸與N,則PN=NQ,MN=c，
PN,NQ均為半徑,則△PQM為等腰三角形，∴PN=NQ=，∵∠PMQ為鈍角,則∠PMN=∠QMN>45°，
即PN=NQ>MN=c所以得,即，得，a2 2c2+c2e2>2c2，
，e4 4e2+1>0(e2 2)2 3>0e2 2< (02.已知雙曲線的左、右焦點分別為，是右支上的一點，是的延長線上一點，且，若，則的離心率的取值范圍是______________．
【答案】
詳解：設，則，，
∴，即，
又即，得：
∴方程有大于的根∴
得，又∴故答案為：
3.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，，則與的面積之比__________．
【答案】
【解析】設F到直線AB的距離為d，則設AB：代入中易得，從而可得.
【題型五】定比分點
【典例分析】已知橢圓： 的左、右焦點分別為，點在橢圓上， 且，則當時，橢圓的離心率的取值范圍為______．
【答案】
因為，所以可設，由，得，即，因為在橢圓上，所以，即，即，即，即在區間上為增函數，所以，即橢圓的離心率的取值范圍為.
【經驗總結】
1．橢圓與雙曲線焦點弦定比分點
過圓錐曲線的焦點F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實軸）的夾角為
2．拋物線焦點弦的定比分點
3．焦點弦直線斜率
若直線斜率為k，
【變式演練】
1.設雙曲線：的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為__________．
【答案】
詳解：由可得，設，
過分別做準線的垂線，垂足為，由雙曲線定義得，，過做垂直于垂足，
因為斜率為，所以在中，，可得 ，
即，解得 ，的離心率為，故答案為.
2.拋物線，直線l經過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，若，則（O為坐標原點）的面積為______．
【答案】
【詳解】由題意可知：，結合焦半徑公式有：，
解得：，故直線AB的方程為：，與拋物線方程聯立可得：，
則，故的面積.
3.直線過橢圓：（a＞0，b＞0）的左焦點F和上頂點A，與圓心在原點的圓交于P，Q兩點，若，∠POQ=120°，則橢圓離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】橢圓的焦點在軸上，,，
故直線的方程為，即，直線（即）的斜率為，
過作的垂線，則為的中點，，
，是的中點，直線的斜率，，不妨令，
則，橢圓的離心率，故選D.
【題型六】焦點三角形與四心
【典例分析】已知是拋物線的焦點，，在拋物線上，且的重心坐標為，則____．
【答案】【詳解】設點A,B,焦點F(1,0),的重心坐標為,
由重心坐標公式可得,，即， ，
由拋物線的定義可得,由點在拋物線上可得，作差，化簡得，代入弦長公式得|AB|=，
則，故答案為：
【經驗總結】
1．三角形內心
（1）三角形內切圓半徑，則橢圓焦點三角形內切圓
（2）雙曲線焦點三角形內心在過定點所做實軸的垂線上。
2．解題思路
解析幾何中，多考察內心。內心是角平分線交點，則可考慮面積等分法等技巧。
【變式演練】
1..已知點為雙曲線右支上的一點，點分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線的斜率為，若為的內心，且，則的值為 ．
【答案】
試題分析：設內切圓半徑為，由題意知，即
，即.又因為，所以.
2.橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F2，弦AB過點F1，若△ABF2的內切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則|y1﹣y2|= ．
【答案】
解：由題意作圖如下，，∵△ABF2的內切圓周長為π，∴△ABF2的內切圓的半徑長r=，又∵△ABF2的周長l=4a=16，故S△ABF2=16×=4，且S△ABF2=|F1F2|×|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|，
故|y1﹣y2|=，故答案為：．
3.點、分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，則的內切圓半徑的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，設的內切圓圓心為，內切圓與三邊分別相切于點，根據圓的切線可知：，，，又根據雙曲線定義 ，即，所以，即，又因為，所以，，所以點為右頂點，即圓心，
考慮點在無窮遠時，直線的斜率趨近于，此時方程為，此時圓心到直線的距離為，解得，因此內切圓半徑，所以選擇A.
【題型七】共焦點的橢圓雙曲線性質
【典例分析】
橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【詳解】
設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，并設，，焦距為，在中，由余弦定理得，由橢圓和雙曲線的定義得，解得.
代入，得，
即，，
即，，因此，.故選：B.
【經驗總結】
共焦點橢圓雙曲線
橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，橢圓離心率為，雙曲線為
1.
2.則P點坐標為
【變式演練】
1.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則_______.
【答案】4
【解析】如圖，設橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長，由定義知
∴，，設，
由余弦定理得：，化簡得：，
所以，故填4.
2.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
詳解：設，∵，∴，
一方面，另一方面，
∴，，，，
∴，，當且僅當，即時等號成立，
∴所求最大值為．故選D．
3.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率之積的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓方程中的定長為，雙曲線方程中的定長為，由題意可得：
，解得：，在中應用余弦定理有：，整理可得：，則：，
結合取特殊值進行排除：取，此時，排除BD選項，
取，此時，排除C選項，本題選擇A選項.
【題型八】切線與切點弦
【典例分析】
過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p>0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點的縱坐標為6，則p的值是________．
【答案】1或2
【解析】設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，依題意得，y′＝，切線MA的方程是y－y1＝ (x－x1)，即y＝x－.又點M (2，－2p)位于直線MA上，于是有－2p＝×2－，即x12－4x1－4p2＝0；同理有x22－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的兩根，則x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由線段AB的中點的縱坐標是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.
【經驗總結】
1．切線
（1）設橢圓的點（不與長軸重合），則過點的切線的方程為：
（2）設雙曲線的點（不與長軸重合），則過點的切線的方程為：
（3）設拋物線的點，則過點的切線的方程為：
2．切點弦
在形式上，和切線方程一致。
【變式演練】
1.兩個長軸在軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓．若，分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內層橢圓作切線，，切點分別為，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設內橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯立，根據直線為橢圓的切線，由△，得到，同理得到，然后由兩切線斜率之積等于求解.
【詳解】
解：設內橢圓方程為，外橢圓為，
切線的方程為，
聯立，
消去可得：，
因為直線為橢圓的切線，所以△，
化簡可得：，
設直線的方程為：，同理可得，
因為兩切線斜率之積等于，所以，
所以橢圓的離心率為．
故選：B．
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點M，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作于點，于點，可得，，根據求出和，結合雙曲線定義可得的關系，從而得到雙曲線的漸近線方程.
【詳解】
如圖，作于點于點B，因為與圓相切，
所以，
在中，，所以．
又點M在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：
所以，
整理得：，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為．故選C．
3.過拋物線的焦點的直線交于兩點，在點處的切線與軸分別交于點，若的面積為，則_________________。
【答案】2
【詳解】由題意，焦點，設直線，不妨設為左交點，，則過的切線為，則，所以，解得，則，根據拋物線的定義可得.
【題型九】多曲線
【典例分析】
已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，設PA的傾斜角為，則，當m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切，
設直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為PA﹣PB=2（﹣1）， ∴雙曲線的離心率為．故選B．
【經驗總結】
解題思路
橢圓、雙曲線和拋物線的交點，要緊扣對應多曲線定義。涉及到解三角形，和求最值等等知識。
【變式演練】
1.已知點是拋物線：與橢圓：的公共焦點，是橢圓的另一焦點，P是拋物線 上的動點，當取得最小值時，點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】
分析：由題意可知與拋物線相切時，取得最小值，求出此時點的坐標，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率．
詳解：拋物線的焦點坐標為，準線方程為，
過向拋物線的準線作垂線，則，所以,
顯然當直線與拋物線相切時，最小，即取得最小值，
設直線的方程為，代入可得，
令，可得，
不妨設在第一象限，則，所以，即，
因為在橢圓上，且為橢圓的焦點，
所以，解得或（舍去），
所以，所以離心率為．
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，其中也是拋物線的焦點，與在一象限的公共點為，若直線斜率為，則雙曲線離心率為______．
【答案】
【解析】是雙曲線的右焦點且是拋物線的焦點，，
解得，所以拋物線的方程為；由,
如圖，過作拋物線準線的垂線,垂足為，設，
則，
由，可得，在中， ,由余弦定理可得
,,又,故答案為.
3.已知橢圓的左、右焦點分別為，拋物線 的焦點與重合，若點為橢圓和拋物線的一個公共點且，則橢圓的離心率為_____．
【答案】或
【詳解】由在拋物線上可得：，又，
解得. 中，利用余弦定理可得：
化簡得： 所以，解得或，故填或.
模擬題
1．如圖，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦、，若與面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為______.
【答案】
【分析】
根據焦半徑公式表示出面積表達式，根據直線和x軸夾角的范圍得到面積的范圍.
【詳解】
設直線AC和x軸的夾角為由焦半徑公式得到
面積之和為：
通分化簡得到
原式子化簡為根據二次函數的性質當t=1時有最小值，此時拋物線方程為：。故答案為.
2．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于兩點，分別交軸于兩點，若的周長為12，則取得最大值時該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，得 ①，且分別為的中點．由雙曲線定義，知 ②， ③，聯立①②③，得．因為的周長為12，所以的周長為24，即，亦即，所以．令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，此時，所以，所以，故選C．
3.橢圓的一個焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，點C是點關于原點的對稱點.若，，則橢圓的離心率為__________．
【答案】
【解析】 作另一個焦點，連接和，則四邊形為平行四邊形，
所以，且，則三角形為等腰直角三角形，
設，則，即， 所以，
在三角形中，由勾股定理得，
所以，所以.
4.已知兩定點A（－1，0）和B（1，0）,動點在直線上移動，橢圓C
以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為 ．
【答案】
試題分析：由題意可知所以離心率，因為在直線上移動，所以，過點作直線的對稱點，則此時此時有最小值為由中點坐標公式可得，由兩點間距離公式，所以，所以=．
5.已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于兩點．設直線的斜率分別為，當最小時，雙曲線的離心率為________________．
【答案】
【解析】設，顯然． ∵點在雙曲線上，∴，兩式相減得， ∴ . 由，
設， 則，∴求導得，由得． ∴在單調遞減，在單調遞增，時即時取最小值， ∴，∴．
6.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，，則與的面積之比__________．
【答案】
【解析】設F到直線AB的距離為d，則設AB：代入中易得，從而可得.
7.已知、是過拋物線（）的焦點的直線與拋物線的交點，是坐標原點，且滿足，，則的值為__________．
【答案】
【解析】不妨設直線的斜率，如圖所示，分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為過作于，，即有為的中點，即，
，，即，由，易知直線的斜率為，不妨取直線的方程為，聯立得，所以，故答案為.
8.已知雙曲線：的左，右頂點分別為，，點為雙曲線
的左焦點，過點作垂直于軸的直線與雙曲線交于點，，其中點在第二象限，連接
交軸于點，連接交于點，若，則雙曲線的離心率為_______.
【答案】5
【解析】根據題意，如圖作出雙曲線的草圖：雙曲線C：中，PQ過左焦點F且垂直與x軸，
假設P在Q的上方，則xP=xQ=﹣c，將x=﹣c代入雙曲線的方程可得：yP=，yQ=﹣，則|PF|=|FQ|=，
又由OE∥PM，則△EOB∽△PFB，則有，則|EO|=c-a，
而△EOA∽△MFA，則有，即，整理可得：c=5a，
則e=5，故雙曲線的離心率為5；故答案為：5．
9.設拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限內一點，滿足，已知為拋物線準線上任一點，當取得最小值時，的外接圓半徑為______.
【答案】
詳解：由拋物線的方程可知，
設，又由，根據拋物線的定義可知，
解得，代入拋物線的方程，可得，即，作拋物線的焦點，關于拋物線準線的對稱點得，連接交拋物線的準線于點，此時能使得取得最小值，此時點的坐標為，在中，，由余弦定理得，則，由正弦定理得，所以，即三角形外接圓的半徑為.
10.在等腰梯形中， ，且，其中，以為焦點且過點的雙曲線的離心率為，以為焦點且過點的橢圓的離心率為，若對任意，不等式恒成立，則的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】試題分析：由平幾知識可得，所以，因為在上單調遞減，所以，由不等式恒成立，得，即的最大值是，選B.
11.過拋物線的焦點，且斜率為的直線與拋物線交于兩點，則____________．
【答案】
【詳解】方法一：
方法二：拋物線的焦點的坐標為 斜率為且過焦點的直線方程為
聯立拋物線方程，得，化簡得 設兩個交點坐標分別為
所以則
所以
12.畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面積的最大值.
【詳解】
因為，所以，，所以，蒙日圓的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，則，
所以，，當且僅當時，等號成立.
故選：A.
13.己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，由對稱性不妨設P點在y軸的右側，過作準線的垂線，垂足為，則根據則拋物線的定義，可得，設的傾斜角為，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設直線的方程為，與聯立，得，
令，解得可得，又此時點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上
雙曲線的實軸故答案選B24 圓錐小題壓軸
【題型一】第一定義及其應用
【典例分析】已知橢圓，F1，F2為其焦點，平面內一點P滿足PF2⊥F1F2，且，線段PF1，PF2分別交橢圓于點A，B，若，則=___
【經驗總結】
1．三大曲線第一定義
橢圓第一定義：
雙曲線第一定義：
拋物線定義：
2．解題思路
試題中，如果是橢圓和雙曲線，則到一個焦點距離，可轉化為到另一個焦點距離．
【變式演練】
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點，，分別交軸于，兩點，若的周長為16，則的最大值為______.
2．已知拋物線的焦點為，直線與交于 ，兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為____．
3．設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任一點，點的坐標為，則的最大值為___．
【題型二】 第二定義及應用
【典例分析】 已知雙曲線的左、右焦點分別為，為坐標原點.是雙曲線在第一象限上的點，直線分別交雙曲線左、右支于另一點.若，且，則的離心率為__．
【經驗總結】
橢圓雙曲線曲線第二定義：
平面上到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數e，即
2．焦半徑公式：
橢圓焦半徑：
雙曲線焦半徑：．，
拋物線焦半徑：
3．焦半徑范圍
橢圓焦半徑范圍：
雙曲線焦半徑范圍：．
拋物線焦半徑范圍：
4.解題技巧：
焦半徑角度公式。其中，為焦半徑與焦點軸所成的角。p為焦點到對應準線的距離
橢圓焦半徑夾角公式：
雙曲線焦半徑左焦點夾角公式：．，
拋物線焦半徑夾角公式：
【變式演練】
1.如圖，橢圓，圓 ，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為__________.
2.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若則= 。
3.設F1，F2為雙曲線的左右焦點，P為雙曲線右支上任一點，當最小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是 ．
【題型三】第三定義及其應用
【典例分析】 已知橢圓的右焦點為,且離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設三條邊的中點分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標原點，若直線的斜率之和為1.則__________．
【經驗總結】
第三定義，又叫中點弦定理
（1）AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.
（2） AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.
（3）AB是拋物線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則
2．擴展推論
（1）AB是橢圓的關于原點對稱的兩點，M橢圓上異于A、B的任一點，若斜率存在，則
（2）AB是橢圓的關于原點對稱的兩點，M橢圓上異于A、B的任一點，若斜率存在，則
【變式演練】
1.設雙曲線的左，右頂點為是雙曲線上不同于的一點，設直線的斜率分別為，則當取得最小值時，雙曲線C的離心率為
A. B. C. D.
2.已知平行四邊形內接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐標系中，為坐標原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________
【題型四】焦點三角形與離心率
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左，右焦點，是雙曲線上在第一象限內的點，若且.延長交雙曲線右支于點，則的面積等于________．
【經驗總結】
1．焦點三角形
（1）焦點三角形面積
橢圓：
雙曲線：
AB為過拋物線y2=2px焦點的弦，
2．頂角
（1）．橢圓頂角在短軸頂點處最大。
（2）雙曲線頂角無最大最小
3．與余弦定理結合
(1)設橢圓（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
(2)設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
【變式演練】
1.點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于，若是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是________．
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，是右支上的一點，是的延長線上一點，且，若，則的離心率的取值范圍是______________．
3.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，，則與的面積之比__________．
【題型五】定比分點
【典例分析】已知橢圓： 的左、右焦點分別為，點在橢圓上， 且，則當時，橢圓的離心率的取值范圍為______．
【經驗總結】
1．橢圓與雙曲線焦點弦定比分點
過圓錐曲線的焦點F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實軸）的夾角為
2．拋物線焦點弦的定比分點
3．焦點弦直線斜率
若直線斜率為k，
【變式演練】
1.設雙曲線：的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為__________．
2.拋物線，直線l經過拋物線的焦點F，與拋物線交于A、B兩點，若，則（O為坐標原點）的面積為______．
3.直線過橢圓：（a＞0，b＞0）的左焦點F和上頂點A，與圓心在原點的圓交于P，Q兩點，若，∠POQ=120°，則橢圓離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型六】焦點三角形與四心
【典例分析】已知是拋物線的焦點，，在拋物線上，且的重心坐標為，則____．
【經驗總結】
1．三角形內心
（1）三角形內切圓半徑，則橢圓焦點三角形內切圓
（2）雙曲線焦點三角形內心在過定點所做實軸的垂線上。
2．解題思路
解析幾何中，多考察內心。內心是角平分線交點，則可考慮面積等分法等技巧。
【變式演練】
1..已知點為雙曲線右支上的一點，點分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線的斜率為，若為的內心，且，則的值為 ．
2.橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F2，弦AB過點F1，若△ABF2的內切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則|y1﹣y2|= ．
3.點、分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，則的內切圓半徑的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型七】共焦點的橢圓雙曲線性質
【典例分析】
橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則（ ）
A．B．C． D．
【經驗總結】
共焦點橢圓雙曲線
橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點為，橢圓離心率為，雙曲線為
1.
2.則P點坐標為
【變式演練】
1.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則_______.
2.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
3.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率之積的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型八】切線與切點弦
【典例分析】
過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p>0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點的縱坐標為6，則p的值是________．
【經驗總結】
1．切線
（1）設橢圓的點（不與長軸重合），則過點的切線的方程為：
（2）設雙曲線的點（不與長軸重合），則過點的切線的方程為：
（3）設拋物線的點，則過點的切線的方程為：
2．切點弦
在形式上，和切線方程一致。
【變式演練】
1.兩個長軸在軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓．若，分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內層橢圓作切線，，切點分別為，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點M，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
3.過拋物線的焦點的直線交于兩點，在點處的切線與軸分別交于點，若的面積為，則_________________。
【題型九】多曲線
【典例分析】
已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【經驗總結】
解題思路
橢圓、雙曲線和拋物線的交點，要緊扣對應多曲線定義。涉及到解三角形，和求最值等等知識。
【變式演練】
1.已知點是拋物線：與橢圓：的公共焦點，是橢圓的另一焦點，P是拋物線 上的動點，當取得最小值時，點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______.
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，其中也是拋物線的焦點，與在一象限的公共點為，若直線斜率為，則雙曲線離心率為______．
3.已知橢圓的左、右焦點分別為，拋物線 的焦點與重合，若點為橢圓和拋物線的一個公共點且，則橢圓的離心率為_____．
模擬題
1．如圖，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦、，若與面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為______.
2．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于兩點，分別交軸于兩點，若的周長為12，則取得最大值時該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.橢圓的一個焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，點C是點關于原點的對稱點.若，，則橢圓的離心率為__________．
4.已知兩定點A（－1，0）和B（1，0）,動點在直線上移動，橢圓C
以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為 ．
5.已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于兩點．設直線的斜率分別為，當最小時，雙曲線的離心率為________________．
6.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，，則與的面積之比__________．
7.已知、是過拋物線（）的焦點的直線與拋物線的交點，是坐標原點，且滿足，，則的值為__________．
8.已知雙曲線：的左，右頂點分別為，，點為雙曲線
的左焦點，過點作垂直于軸的直線與雙曲線交于點，，其中點在第二象限，連接
交軸于點，連接交于點，若，則雙曲線的離心率為_______.
9.設拋物線的焦點為，為拋物線上第一象限內一點，滿足，已知為拋物線準線上任一點，當取得最小值時，的外接圓半徑為______.
10.在等腰梯形中， ，且，其中，以為焦點且過點的雙曲線的離心率為，以為焦點且過點的橢圓的離心率為，若對任意，不等式恒成立，則的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
11.過拋物線的焦點，且斜率為的直線與拋物線交于兩點，則____________．
12.畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
13.己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．

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