資源簡介

25 軌跡八類求法
目錄
一、熱點題型歸納 1
【題型一】 直接法求軌跡 1
【題型二】 相關點代入法求軌跡 2
【題型三】 定義法求軌跡 4
【題型四】 交軌法求軌跡 5
【題型五】 參數求軌跡 6
【題型六】 立體幾何中的軌跡 8
【題型七】 向量與求軌跡 12
【題型八】 新高考：復數中求軌跡 17
二、最新模考題組練 19
一般情況下，求軌跡題，多在解析幾何大題第一問，小題不太多。本專題例題所選大題，大多把第二問隱去。第二問放到下一個專題中歸納細講。
【題型一】直接法求軌跡
【典例分析】
設點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
設動點，根據已知條件，結合斜率公式，即可求解.
【詳解】
解：設動點，則，則，，，
直線與直線的斜率之積為定值，，化簡可得，，
故點的軌跡方程為.故選：C.
【經驗總結】
可以直接列出等量關系式
解題步驟：
1.根據已知條件及一些基本公式（兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線斜率公式等。）
2.根據公式直接列出動點滿足的等量關系式，從而得到軌跡方程。
3.注意“多點”和“少點”，一般情況下，斜率和三角形頂點等約束條件
【變式演練】
1.若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區域的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.
【詳解】
以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，
則，化簡并整理得：，
于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，
所以M點的軌跡圍成區域的面積為.故選：D
2.已知點，直線，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且，則動點的軌跡C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
設點，得到，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】
設點，則，因為且，所以，
即，整理得，所以動點的軌跡的方程為.故選：A
3.已知M(4,0)，N(1,0)，若動點P滿足·＝6||.(1)求動點P的軌跡C的方程；
解　(1)設動點P(x，y)，則＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)，
由已知得－3(x－4)＝6，化簡得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.∴點P的軌跡方程是橢圓C：＋＝1.
【題型二】 相關點代入法
【典例分析】
已知△ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程．
【解析】解：設，，由重心公式，得
又在拋物線上，．　　　③
將①，②代入③，得，即所求曲線方程是．
【經驗總結】
一般情況下，所求點的運動，依賴于另外一個或者兩個多個點的運動，可以通過對這些點設坐標來尋求代換關系。
求誰設誰，設所求點坐標為（x，y）
所依賴的點稱之為“參數點”，設為或等
“參數點”滿足某個（些）方程，可供代入
尋找所求點與“參數點”之間的坐標關系，反解參數值。
代入方程，消去參數值
【變式演練】
1.已知拋物線 的焦點為.
(1)點滿足.當點在拋物線上運動時,求動點的軌跡方程;
【答案】(1)設動點的坐標為,點的坐標為,則,
因為的坐標為,所以,
由得.
即 解得 代入,得到動點的軌跡方程為.
2.已知圓與直線相切，點為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線.
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
【答案】（1）
試題解析：（I）設動點，由于軸于點
又圓與直線即相切，∴圓
由題意，，得
即
將代入，得曲線的方程為
3.設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程．
【解析】解　設M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴，即.∴－x＋＝0，即y2＝4x.故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x.
【題型三】 定義法
【典例分析】
已知動圓過定點，且與圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程．
【解析】依題意，，說明點到定點的距離的差為定值，∴動點的軌跡是雙曲線的一支，
∵，∴．∵，∴∴ 動圓圓心的軌跡方程是．
【經驗總結】
若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接求．
橢圓，雙曲線，拋物線的定義
一些特殊圖像的定義，如阿波羅尼斯圓
兩個圓內外切情況下，較多與圓錐曲線定義有關
【變式演練】
已知兩個定圓O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它們的半徑分別是1和2，.動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切，求動圓圓心M的軌跡方程，
【解析】解　由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內切，有|MO1|＝r－1；由動圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.∴點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支．∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴點M的軌跡方程為－＝1 (x≤－)．
2、已知點，直線，點是直線上動點，若過垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡是（ ）
雙曲線 B、拋物線 C、橢圓 D、圓
【答案】
【解析】由題意知，點的軌跡為拋物線。
3.已知點滿足條件.
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
【答案】（Ⅰ）;
試題解析：（Ⅰ） 滿足條件，
所以點P的軌跡是以， 為焦點，長軸長為4的橢圓，
， ，因此所求點P的軌跡C的方程為．
【題型四】 交軌法
【典例分析】
如圖，橢圓：，a，b為常數)，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。
(Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程;【2012高考真題遼寧理20】
【解析】設，又知，則
直線的方程為 ①
直線的方程為 ②
由①②得 ③
由點在橢圓上，故可得，從而有，代入③得
【經驗總結】
交軌法，即軌跡交點法。
所求點滿足條件方程1
所求點滿足條件方程2
動點是兩軌跡方程，則滿足兩個軌跡所組成的方程組，通過兩個方程選擇適當的技巧消去參數得到軌跡的普通方程
參數法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.
【變式演練】
1.已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。
【解析】解1:(利用點的坐標作參數)令，則而.設與的交點為
因為共線，所以 因為共線，所以
兩式相乘得①， 而即代入①
得，　即交點的軌跡方程為　
2.由圓外一定點向圓做割線，交圓周于A、B兩點，求弦AB中點的軌跡
【解析】解答：設動弦AB的中點為P，P點的軌跡是經過定點的割線，設其斜率為k（參數），其方程為
b=k（x-a） （1）
再有意義可知，P點是在過O點到線AB的弦心距所在的直線上，其斜率為，方程為
Y=x （2）
P點是兩直線系（1）、（2）相應直線之交點，兩式相乘，消去參數，得
（本題另解法，也可以連接OQ，直接以OQ為直徑的圓的方程即可）
【題型五】 參數法
【典例分析】
如圖3所示，過雙曲線C：的左焦點F作直線l與雙曲線交于P、Q，以OP、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求點M的軌跡方程。
【解析】設所求點M的坐標為（x，y），則平行四邊形中心N的坐標為。　而雙曲線左焦點F為（-2，0），　當直線l不垂直x軸時，斜率存在，設l：y=k(x+2)。　與雙曲線方程聯立消去y，得。　又設P、Q的坐標分別為，由韋達定理知。
　∵N為PQ的中點，　∴　　即　消去參數k得，這就是點M的軌跡。　當直線l垂直于x軸時，此時M為（-4，0）仍滿足上述方程。
　故點M的軌跡方程為。
【經驗總結】
解題步驟：
1 引入參數，用此參數分別表示動點的橫縱坐標；
2.消去參數，得到關于的方程，即為所求軌跡方程。
【變式演練】
1.已知拋物線y2＝4px (p>0)，O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．
【解析】審題視角　(1)點M的運動是由A點的運動引起的，而A的變動又和OA的斜率有關．(2)若OA的斜率確定，A的坐標確定，M的坐標也確定，所以可選OA的斜率為參數．
規范解答
解　設點M的坐標為(x，y)，直線OA的方程為y＝kx， [1分]
顯然k≠0，則直線OB的方程為y＝－x. [2分]
由解得A點的坐標為，
類似地可得B點的坐標為(4pk2，－4pk)， [6分]從而知當k≠±1時，kAB＝＝.
故得直線AB的方程為y＋4pk＝(x－4pk2)，即y＋4p＝x， ① [9分]
直線OM的方程為y＝－x. ② [10分]可知M點的坐標同時滿足①②，
由①及②消去k得4px＝x2＋y2，即(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)， [12分]
當k＝±1時，容易驗證M點的坐標仍適合上述方程．
故點M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，它表示以點(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓．
2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；
【解析】解：（I）設△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得
∴
所以重心為G的軌跡方程為
3.設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MN⊥MQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程．
【解析】解：設點的坐標則
由（1）－（2）可得
又MN⊥MQ，所以直線QN的方程為，又直線PT的方程為從而得所以代入（1）可得此即為所求軌跡方程.
【題型六】 立體幾何中的軌跡
本方法可參考立體幾何專題對應的軌跡題型和方法總結
【典例分析】
已知正方體的棱長為a，定點M在棱上（但不在端點A，B上），點P是平面內的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為，則點P的軌跡所在曲線為（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】D
【分析】
作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式以及，整理可知點P的軌跡.
【詳解】
作，，垂足分別為
以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：
設，，，由正方體結構特征可知，平面，易證平面，，，
，整理得：的軌跡是拋物線。故選：D．
【經驗總結】
立體幾何內的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入
建系，利用空間坐標系求出方程。
通過轉化，把空間關系轉化為平面關系，把空間軌跡轉化為平面軌跡求解。
【變式演練】
1.如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，并且平面，則動點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．線段
【答案】D
【分析】
取棱的中點，棱的中點，證明平面平面，是側面上的動點，可得是線段上的點時，平面，即可得出結論．
【詳解】
取棱的中點，棱的中點，則，，
，平面，平面，平面，
同理，平面，，平面平面，
是側面上的動點，是線段上的點時，平面，故選：D
2.在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方體（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為________.
【答案】
【分析】
由題意易知，由此可得，在平面上，建立平面直角坐標系，可知點的軌跡為圓與四邊形的交點，由弧長公式可求解.
【詳解】
如圖，在棱長為6的正方體中，
則平面，平面，
又，在平面上，，，
又，，
，即，
如圖，在平面中，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，
則，，，
由，知，
化簡整理得，，圓心，半徑的圓，
所以點的軌跡為圓與四邊形的交點，即為圖中的
其中，，，則
由弧長公式知
故答案為：.
3.如圖，正方體中，為邊的中點，點在底面和側面上運動并且使，那么點的軌跡是（ ）
A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧
C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧
【答案】C
【分析】
以點為坐標原點建立空間直角坐標系，可求得，，等點的坐標，從而可求得，設設與底面所成的角為，繼而可求得，比較與的大小，利用正圓錐曲線被與中心軸成的平面所截曲線，即可得到答案．
【詳解】
解：點的軌跡實際是一個正圓錐面和兩個平面的交線；這個正圓錐面的中心軸即為，頂點為，頂角的一半即為；
如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，0，，，1，，，1，，，1，，，1，，，
設與底面所成的角為，則，，
該正圓錐面和底面的交線是雙曲線弧；
同理可知，點在平面的交線是雙曲線弧，
故選：C．
【題型七】 向量與軌跡
【典例分析】
已知O，A，B為平面上三點，若，，動點P和實數，滿足，，，則動點P軌跡的測度是__________.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；當動點的軌跡是平面區域時，其測度指該區域面積.）
【答案】
【分析】
根據，得出點的坐標，設點結合，，得出關于滿足的可行域，求出可行域面積即可.
【詳解】
由，可得
設
由
因為，
所以，滿足的可行域如下圖四邊形
所以故填:
【經驗總結】
向量背景下求軌跡
1.向量幾何意義
2.向量坐標運算或者數量積運算
【變式演練】
1.已知為平面內一定點且，平面內的動點滿足：存在實數，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.
【答案】
【分析】
以為圓心，以為半徑作圓，過作圓的切線，分別與圓切于點，，連結，，延長與圓交于點，設點，滿足，由，則點在的延長線上，若要存在使得，所以的延長線與圓有交點，從而得出點點的軌跡圖形，從而可求解.
【詳解】
以為圓心，以為半徑作圓，
過作圓的切線，分別與圓切于點，，
連結，，延長與圓交于點，
存在點以及實數，設點，滿足，
，即
由，可知點在的延長線上，
若要存在使得，相當于的延長線與圓有交點，
故只能在圖中陰影部分，所以點的軌跡面積，
因為與圓相切于點，所以，
由勾股定理可知，，所以，同理，因為，所以，
所以，綜上所述，的面積為.
故答案為：.
2.如圖，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當P在C點時，，
B．當時，
C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段
D．當P是線段CE的中點時，，
【答案】ACD
【分析】
利用三角形法則以及三點共線的性質和平面向量基本定理對應各個選項逐個求解即可．
【詳解】
選項：因為為的中點，則，
所以，則，所以，，故正確；
選項：當時，點在線段上，故，故錯誤；
選項：當為定值1時，，，三點共線，又是平行四邊形內（含邊界）的一點，故的軌跡是一條線段，故正確；
選項：當是線段的中點時，
，
所以，故正確，
故選：．
3.已知是所在平面內一點，以下說法正確的是（ ）
A．若動點滿足，則點的軌跡一定通過的重心．
B．若點滿足，則點是的垂心．
C．若為的外心，且，則是的內心．
D．若，則點為的外心
【答案】AD
【分析】
由正弦定理結合共線向量可判斷A；將題設轉化可得出點的位置，從而可判斷B；依題意結合共線向量可得出點的位置，進而可判斷C；由數量積的運算可得，由此可判斷D.
【詳解】
對于選項A：由正弦定理得（為外接圓半徑），設的中點為，則由條件可得，所以與共線，因為是中線，所以點的軌跡一定通過的重心. 故A正確；
對于選項B：由得，則是的角平分線；同理，由得是的角平分線，所以點是的內心. 故B錯誤；
對于選項C：設的中點為點，由得，所以，由是外心可得，所以，所以；同理，，所以點是的垂心. 故C錯誤；
對于選項D：由得，則，即，同理，由得，故點是的外心. 故D正確.
故選：AD.
【題型八】 復數中的軌跡（新高考）
【典例分析】
已知復平面內點對應的復數為，點對應的復數為，．若，在的軌跡上任取一點，求的面積取值范圍．
【答案】
【分析】
先求出點軌跡為圓，與直線的方程，再求出的長度，最后用點到直線的距離求邊上的高，轉化為圓上的點到直線的距離的最值問題求解即可
【詳解】
因為，所以點軌跡為；
又因為點對應的復數為，點對應的復數為，
則線段的方程為：，
的長度為．
則知點到直線的距離為：．
則．則．
【經驗總結】
復數中的軌跡，基本是轉化為解析幾何來求
利用復數的模運算轉化
利用復數的幾何意義
【變式演練】
1.若復數滿足，則復數對應的點的軌跡圍成圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用復數的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.
【詳解】
復數滿足，表示復數對應的點的軌跡是以點為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.
故選：D
2.已知復數滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
【答案】A
【分析】
設，由復數的幾何意義可知，表示點到定點與的距離之和為2，進而可得結果.
【詳解】
，根據復數的幾何意義知表示點到定點與的距離之和為2，而，故點的軌跡為線段.
故選：A
3.設非零復數是復平面上一定點，為復平面上的動點，其軌跡方程，為復平面上另一個動點滿足，則在復平面上的軌跡形狀是（ ）
A．雙曲線 B．圓 C．一條直線 D．拋物線
【答案】B
【分析】
根據已知條件求得，由此判斷出的軌跡.
【詳解】
因為，所以，代入，得，
兩邊同乘，得，所以在復平面上的軌跡形狀是以為圓心，為半徑的圓.
故選:B
模擬題
1．設是定直線的法向量，定點在直線上，定點在直線外，為一動點，若點滿足，則動點的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】D
【分析】
以為原點，直線為軸，建立直角坐標系，設出點的坐標及，根據題意列出的方程，從而可判斷出動點的軌跡為拋物線.
【詳解】
以為原點，直線為軸，建立直角坐標系，設，，
則，，
因為，所以，
整理，得，所以動點的軌跡為拋物線.故選：D.
2.已知O是所在平面內的一定點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】
表示的是方向上的單位向量，畫圖象，根據圖象可知點在的角平分線上，故動點必過三角形的內心.
【詳解】
如圖，設，，
已知均為單位向量，
故四邊形為菱形，所以平分，由
得，又與有公共點，故三點共線，
所以點在的角平分線上，故動點的軌跡經過的內心.故選：A.
3.已知兩定點，，動點與 的距離之比（且），那么點的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】B
【分析】
設，由已知得，整理得，由恒等式思想可求得答案.
【詳解】
解：設，則，即，又，所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
故選：B.
4.已知橢圓（a>b>0）的兩個焦點分別為F1，F2，設Р為橢圓上一動點，角的外角平分線所在直線為l，過點F2做l的垂線，垂足為S，當點Р在橢圓上運動時，點S的軌跡所圍成的圖形的面積為：（ ）
A．a2 B．4a2 C．' D．
【答案】C
【分析】
延長交的延長線于，可證得，且是的中點，由此可求得的長度是定值，即可求點的軌跡為圓，進而可得結果
【詳解】
是以，為焦點的橢圓上一點，過焦點作外角平分線的垂線，垂足為，延長交的延長線于，得，
由橢圓的定義知，故有，
連接，知是三角形的中位線，
∴，即點到原點的距離是定值，
由此知點的軌跡是以原點為圓心、半徑等于的圓．
故點所形成的圖形的面積為．
故選：C.
5.試運用類似上面的解法解下列問題：求函數的值域．
【答案】．
【分析】
利用復數的幾何意義求復數模的取值范圍的解題思路，尋求利用斜率求三角函數值域．
【詳解】
如圖所示，設A的坐標為， B的坐標為，則的斜率為，
∴函數的值域為直線的斜率的取值范圍．
點B的軌跡為以O為圓心，半徑為1的圓，方程為①，
過點A作圓的切線和，設切線方程為②，
將②代入①，得，整理得．
∵直線和圓相切，
∴，即③，又A在切線上，
∴④，由③、④得：，．
∴直線的斜率的取值范圍是，則函數的值域是．
6.古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現：平面上到兩定點A，B距離之比為常數（且）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：
如圖，在長方體中，，點E在棱AB上，，動點P滿足.若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點P在長方體內部運動，F為棱的中點，M為CP的中點，則點M到平面的距離的最小值為___________.
【答案】
【分析】
①建立空間直角坐標系，設，求出點P的軌跡為，即得解；②先求出點P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.
【詳解】
①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標系，
則設，
由得，
所以，
所以若點在平面內運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為.
②設點，由得，
所以，
由題得
所以設平面的法向量為，
所以，令，則由題得，
所以點P到平面的距離為，
因為，
所以，所以點M到平面的最小距離為.故答案為：；.
7.滿足的點的軌跡是（ ）
A．圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線
【答案】C
【分析】
根據題意得出點到點和到直線：的距離相等，從而可得出點P的軌跡.
【詳解】
依題意得，點到點和到直線：的距離相等，
又在上，所以點P的軌跡是直線，即為過點且與垂直的直線.
故選：C.
8.已知定點、，是動點且直線、的斜率之積為，則動點的軌跡可能是（ ）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
【答案】ABC
【分析】
設點，根據已知條件可得出，其中，對實數的取值進行分類討論，可得出動點的軌跡的形狀.
【詳解】
設點，則，則，其中.
當時，則方程為，此時點的軌跡是圓的一部分；
當且時，動點的軌跡是橢圓的一部分；
當時，動點的軌跡是雙曲線的一部分.
故選：ABC.
9.如圖，設點A，B的坐標分別為，，直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為.
（1）求P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，點M N是軌跡為C上不同于A，B的兩點，且滿足APOM，BPON，求△MON的面積.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）設點的坐標為，根據列方程化簡即可求解；
（2）設直線的方程為，的坐標分別為，聯立方程，得根與系數的關系，根據可得，代入三角形面積公式即可化簡求值.
（1）
由已知設點的坐標為，
由題意知，
化簡得的軌跡方程為
（2）
證明：由題意是橢圓上非頂點的兩點，且，
則直線斜率必存在且不為0，又由已知.
因為，所以
設直線的方程為，代入橢圓方程，
得....①，
設的坐標分別為，則
又，
所以，得
又，
所以，
即的面積為定值.
10.在平面直角坐標系中，動圓經過點，且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線.
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與曲線交于、兩點，若以為直徑的圓經過點（為坐標原點），求直線的方程.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）分析可知點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，即可求得軌跡的方程；
（2）設點、，將直線的方程與曲線的方程聯立，由求出的取值范圍，列出韋達定理，由已知可得出，利用韋達定理結合平面向量數量積的坐標運算可求得的值，即可得出直線的方程.
（1）
解：由題意可知，點到點和到直線的距離相等，
故點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，且，得，
因此，動圓圓心的軌跡的方程為.
（2）
解：設點、，聯立得，
若，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.
所以，，且有，解得且，
由韋達定理可得，則，
因為以為直徑的圓經過點，則，解得，
故直線的方程為.25 軌跡
一般情況下，求軌跡題，多在解析幾何大題第一問，小題不太多。本專題例題所選大題，大多把第二問隱去。第二問放到下一個專題中歸納細講。
【題型一】直接法求軌跡
【典例分析】
設點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A． B．
C． D．
【經驗總結】
可以直接列出等量關系式
解題步驟：
1.根據已知條件及一些基本公式（兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線斜率公式等。）
2.根據公式直接列出動點滿足的等量關系式，從而得到軌跡方程。
3.注意“多點”和“少點”，一般情況下，斜率和三角形頂點等約束條件
【變式演練】
1.若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區域的面積為（ ）
A． B． C． D．
2.已知點，直線，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且，則動點的軌跡C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
已知M(4,0)，N(1,0)，若動點P滿足·＝6||.(1)求動點P的軌跡C的方程；
【題型二】 相關點代入法
【典例分析】
已知△ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程．
【經驗總結】
一般情況下，所求點的運動，依賴于另外一個或者兩個多個點的運動，可以通過對這些點設坐標來尋求代換關系。
求誰設誰，設所求點坐標為（x，y）
所依賴的點稱之為“參數點”，設為或等
“參數點”滿足某個（些）方程，可供代入
尋找所求點與“參數點”之間的坐標關系，反解參數值。
代入方程，消去參數值
【變式演練】
1.已知拋物線 的焦點為.
(1)點滿足.當點在拋物線上運動時,求動點的軌跡方程;
2.已知圓與直線相切，點為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線.
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
3.設F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且＝2，⊥，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程．
【題型三】 定義法
【典例分析】
已知動圓過定點，且與圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程．
【經驗總結】
若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接求．
橢圓，雙曲線，拋物線的定義
一些特殊圖像的定義，如阿波羅尼斯圓
兩個圓內外切情況下，較多與圓錐曲線定義有關
【變式演練】
1、已知兩個定圓O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它們的半徑分別是1和2，.動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切，求動圓圓心M的軌跡方程，
2、已知點，直線，點是直線上動點，若過垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡是（ ）
雙曲線 B、拋物線 C、橢圓 D、圓
3.已知點滿足條件.
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
【題型四】 交軌法
【典例分析】
如圖，橢圓：，a，b為常數)，動圓，。點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點。
(Ⅰ)求直線與直線交點M的軌跡方程;
【經驗總結】
交軌法，即軌跡交點法。
所求點滿足條件方程1
所求點滿足條件方程2
動點是兩軌跡方程，則滿足兩個軌跡所組成的方程組，通過兩個方程選擇適當的技巧消去參數得到軌跡的普通方程
參數法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.
【變式演練】
1.已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。
2.由圓外一定點向圓做割線，交圓周于A、B兩點，求弦AB中點的軌跡
【題型五】 參數法
【典例分析】
如圖3所示，過雙曲線C：的左焦點F作直線l與雙曲線交于P、Q，以OP、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求點M的軌跡方程。
【經驗總結】
解題步驟：
1 引入參數，用此參數分別表示動點的橫縱坐標；
2.消去參數，得到關于的方程，即為所求軌跡方程。
【變式演練】
1.已知拋物線y2＝4px (p>0)，O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．
2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；
3.設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MN⊥MQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程．
【題型六】 立體幾何中的軌跡
本方法可參考立體幾何專題對應的軌跡題型和方法總結
【典例分析】
已知正方體的棱長為a，定點M在棱上（但不在端點A，B上），點P是平面內的動點，且點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為，則點P的軌跡所在曲線為（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【經驗總結】
立體幾何內的軌跡，，嘗嘗從以下方向切入
建系，利用空間坐標系求出方程。
通過轉化，把空間關系轉化為平面關系，把空間軌跡轉化為平面軌跡求解。
【變式演練】
1.如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，并且平面，則動點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．線段
2.在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方體（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為________.
3.如圖，正方體中，為邊的中點，點在底面和側面上運動并且使，那么點的軌跡是（ ）
A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧
C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧
【題型七】 向量與軌跡
【典例分析】
已知O，A，B為平面上三點，若，，動點P和實數，滿足，，，則動點P軌跡的測度是__________.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；當動點的軌跡是平面區域時，其測度指該區域面積.）
【經驗總結】
向量背景下求軌跡
1.向量幾何意義
2.向量坐標運算或者數量積運算
【變式演練】
1.已知為平面內一定點且，平面內的動點滿足：存在實數，使，若點的軌跡為平面圖形，則的面積為___________.
2.如圖，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當P在C點時，，
B．當時，
C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段
D．當P是線段CE的中點時，，
3.已知是所在平面內一點，以下說法正確的是（ ）
A．若動點滿足，則點的軌跡一定通過的重心．
B．若點滿足，則點是的垂心．
C．若為的外心，且，則是的內心．
D．若，則點為的外心
【題型八】 復數中的軌跡（新高考）
【典例分析】
已知復平面內點對應的復數為，點對應的復數為，．若，在的軌跡上任取一點，求的面積取值范圍．
【經驗總結】
復數中的軌跡，基本是轉化為解析幾何來求
利用復數的模運算轉化
利用復數的幾何意義
【變式演練】
1.若復數滿足，則復數對應的點的軌跡圍成圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知復數滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
3.設非零復數是復平面上一定點，為復平面上的動點，其軌跡方程，為復平面上另一個動點滿足，則在復平面上的軌跡形狀是（ ）
A．雙曲線 B．圓 C．一條直線 D．拋物線
模擬題
1．設是定直線的法向量，定點在直線上，定點在直線外，為一動點，若點滿足，則動點的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
2.已知O是所在平面內的一定點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
3.已知兩定點，，動點與 的距離之比（且），那么點的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．4
4.已知橢圓（a>b>0）的兩個焦點分別為F1，F2，設Р為橢圓上一動點，角的外角平分線所在直線為l，過點F2做l的垂線，垂足為S，當點Р在橢圓上運動時，點S的軌跡所圍成的圖形的面積為：（ ）
A．a2 B．4a2 C．' D．
5.試運用類似上面的解法解下列問題：求函數的值域．
6.古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現：平面上到兩定點A，B距離之比為常數（且）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：
如圖，在長方體中，，點E在棱AB上，，動點P滿足.若點P在平面ABCD內運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點P在長方體內部運動，F為棱的中點，M為CP的中點，則點M到平面的距離的最小值為___________.
7.滿足的點的軌跡是（ ）
A．圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線
8.已知定點、，是動點且直線、的斜率之積為，則動點的軌跡可能是（ ）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
9.如圖，設點A，B的坐標分別為，，直線AP，BP相交于點P，且它們的斜率之積為.
（1）求P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，點M N是軌跡為C上不同于A，B的兩點，且滿足APOM，BPON，求△MON的面積.
10.在平面直角坐標系中，動圓經過點，且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線.
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與曲線交于、兩點，若以為直徑的圓經過點（為坐標原點），求直線的方程.

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