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28離心率歸類訓練
目錄
【題型一】 判斷橫放豎放求參 1
【題型二】 直接法 3
【題型三】 補連另一焦點利用定義 4
【題型四】 余弦定理1：基礎型 7
【題型五】 余弦定理2：勾股定理用兩次 10
【題型六】 余弦定理3：余弦定理用兩次 12
【題型七】 中點型 15
【題型八】 多曲線交點1：和拋物線 18
【題型九】 多曲線交點2：與圓 20
【題型十】 多曲線交點3：雙曲線和橢圓 23
【題型十一】雙曲線特性1：漸近線 25
【題型十二】雙曲線特性2：內心 28
【題型十三】難點1：向量計算 31
【題型十四】難點2：小題大做型 34
【題型一】 判斷橫放豎放求參
【典例分析】
已知實數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
【答案】C
【分析】根據成等比數列求得，再根據離心率計算公式即可求得結果.
【詳解】
因為實數成等比數列，故可得，解得或；
當時，表示焦點在軸上的橢圓，此時；
當時，表示焦點在軸上的雙曲線，此時.
故選：C.
【經驗總結】
依據橢圓和雙曲線定義好幾何性質，對方程中含參判斷，要從以下幾方面：
通過討論，確定焦點在x軸還是在y軸上判斷（即俗稱的橫放還是豎放）。
“橢圓”要注意避開倆分母相等這個計算坑
【變式演練】
1.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線M的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由離心率的值求出的值，則可得雙曲線方程，從而可求出其漸近線方程
【詳解】
因為雙曲線的離心率為2，
所以，解得，所以雙曲線方程為，
由，得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：A
2.已知曲線C：的離心率，則實數m值為（ ）
A．6 B．-6 C． D．
【答案】D
【分析】
由曲線C：的離心率，得出是雙曲線，進而得出，，由離心率，即可得出答案．
【詳解】
因為曲線C：的離心率，
所以曲線C：為雙曲線，即，所以，，
所以離心率，解得，
故選：D．
3.設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據橢圓焦點位置分情況討論.
【詳解】當橢圓焦點在軸上時，橢圓方程為，即，解得，
當橢圓焦點在軸上時，橢圓方程為即，解得，
綜上：，故選：B.
【題型二】 直接法
【典例分析】
橢圓上的點到橢圓的焦點的距離的最大值與橢圓的短軸長相等，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意得，進而得，即，再解方程即可得答案.
【詳解】
解：因為橢圓上的點到橢圓的焦點的距離的最大值為，橢圓的短軸長為
所以根據題意得，
所以兩邊平方得，即
等式兩邊同除以得 ，解得或（舍）
所以橢圓的離心率為故選：B
【經驗總結】
直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎性質求離心率
離心率的公式：橢圓；雙曲線
【變式演練】
1.已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據焦距可得的值，根據右焦點到漸近線距離可求得的值，由可得的值，再由即可求解.
【詳解】
因為焦距為，所以，右焦點，，
雙曲線漸近線方程為：，
所以右焦點到它的一條漸近線的距離為，
所以，，所以離心率，故選：C.
2.在平面直角坐標系xOy中，橢圓上存在點P，使得，其中 分別為橢圓的左 右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知結合橢圓定義，用a表示出和，再借助焦點三角形建立不等關系求解即得.
【詳解】
因點P在橢圓上，則，又，于是得，，
而，當且僅當點P在橢圓右頂點時取“=”，即，解得，即，
所以，橢圓的離心率取值范圍是.故選：D
3.設雙曲線E：的離心率為，直線過點和雙曲線E的一個焦點，若直線與圓相切，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得直線，由與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，化簡得出方程，結合離心率的定義，得到，即可求解.
【詳解】
不妨設直線右焦點，則直線的方程為，即，
由直線與圓相切，且，
可得，整理得，即，
即，可得，即，
解得或，因為，可得，所以.故選：D.
【題型三】 補連另一焦點利用定義
【典例分析】
已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】：由題設易知四邊形為矩形，可得，結合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.
【詳解】：由橢圓的對稱性知：，而，
又，即四邊形為矩形，
所以，則且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
綜上，，整理得，
所以.故選：D.
【經驗總結】
橢圓和雙曲線，與一個焦點有關，思維上優先連接另一焦點，分析是否能借助定義解決。
【變式演練】
1.橢圓的左右焦點分別為 ，直線與交于A 兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：結合題干條件得到，表達出，，利用橢圓定義得到關系，結合的范圍求出離心率的最小值.
【詳解】：連接，由題知點A 關于原點對稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.
2.設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：設橢圓的左焦點，由已知條件知四邊形為矩形，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據，得到的范圍，然后利用對勾函數的值域得到的范圍，然后由求解.
【詳解】：如圖所示：
設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B
3.設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯立可得Q點坐標，Q點坐標代入橢圓標準方程可得a、b、c關系﹒
【詳解】：設橢圓右焦點為，連接Q，
∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，
∵Q在橢圓上，∴，又，解得，
∴離心率．故選：D．
【題型四】 余弦定理1：基礎型
【典例分析】
已知雙曲線的左 右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標原點)，交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：根據雙曲線的定義和余弦定理建立關于的方程，從而可得雙曲線的離心率．
【詳解】：根據雙曲線的對稱性，不妨設點在第二象限，設，因為，點到直線的距離，
所以，因為，所以，因為，所以，
由雙曲線的定義可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即離心率.故選：C.
【經驗總結】
一般情況下，焦點三角形，可以構造余弦定理。
【變式演練】
1.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與交于點，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：由題設知△為等腰直角三角形，即、，結合雙曲線的定義求、，在△中應用余弦定理，構造齊次方程，求離心率即可.
【詳解】：由且知：△為等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，則，
而在△中，，
∴，則，故.
故選：B.
2.設點，分別為雙曲線的左右焦點.點，分別在雙曲線的左，右支上，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：由及數量積的運算律可得，設，則，，利用雙曲線的定義及直角三角形可求得（不合題意舍去），然后求出，再用余弦定理得出關系求得離心率．
【詳解】：，共線，且， ，
，則，故有，
設，則，，由雙曲線的定義可得
∴，整理得，解得：或，
若，則，，不滿足，舍去；
若，，符合題意，則，，
此時，在中，，
即，得到，即，
∴．故選：B．
3.設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：由題意可得△MNF2為等腰直角三角形，設|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，運用雙曲線的定義，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的關系，即可得到所求離心率．
【詳解】：因為即所以
在三角形中，有余弦定理可得：所以
即因為以MN為直徑的圓經過右焦點F2，所以，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2為等腰直角三角形，設|MF2|＝|NF2|＝m，則|MN|m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，兩式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，
化為c2＝3a2，即e．故選：B．
【題型五】 余弦定理2：勾股定理用兩次
【典例分析】
如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【詳解】：如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，
由對稱性可知，點是線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
設，則，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
從而有，中，，整理得，，
所以雙曲線E的離心率為．故選：B
【經驗總結】
焦點三角形或者焦點弦，有垂直（或者在圓上）可以構造勾股定理，特別是焦點弦，倆交點，可以構造兩個勾股定理。
【變式演練】
1.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若，且的周長為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】：根據條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關于的等式，進而可求得離心率.
【詳解】：由雙曲線定義知，
則，，所以，
∴的周長為，∴，，
由，
所以，故，∴，∴，，∴，
在中，，故.故選：A.
2.已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】：根據雙曲線的幾何性質和平面幾何性質，建立關于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項.
【詳解】：由題意可設右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，
設的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，
所以，且，則，，所以，所以，
則在中，可得，，即，解得，所以，
故選：A．
3.已知，是雙曲線：的左，右焦點，過點傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】：設，據雙曲線的定義可用表示，作，構造直角三角形可計算得，并用勾股定理列出了，進而可求.
【詳解】：設，則，從而，進而.過作，則.如圖：在中，，；
在中，，即，所以.故選：A
【題型六】 余弦定理3：余弦定理用兩次
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
根據題中的條件求出，根據三角形兩邊之和大于第三邊得到，再根據，得到，即可求出離心率的取值范圍.
【詳解】：解：如圖所示：，是雙曲線的左右焦點，延長交于點，是的角平分線，，又點在雙曲線上，
，，又是的中點，是的中點，
是的中位線，，即，
在中，，，，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，
兩邊平方得：，即，兩邊同除以并化簡得：，
解得：，又，，在中，由余弦定理可知，，
在中，，即，
又，解得：，又，
,即， ，綜上所述：.故選：B.
【經驗總結】
焦點弦倆交點，可以分開為兩次構造余弦定理
【變式演練】
1.設分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，設，則，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求橢圓的離心率.
【詳解】：由題意，如圖：
設，因，則，
由橢圓的定義知，，，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，
在中，由余弦定理得：，
即，即，即，
所以，橢圓的離心率為.故選：A.
2.已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經過B，C兩點.若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先畫出大致圖象，結合雙曲線的定義以及余弦定理求得a，c之間的關系即可得到結論.
【詳解】：如圖：連接AC，BD，設雙曲線的焦距AD＝2c，實軸長為2a，
則BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，
設AB＝m，則CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，
在△ABD中，由余弦定理及題設可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，
在△ACD中，由余弦定理及題設可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，
整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），
兩式相結合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，
∴雙曲線Γ的離心率為e.故選：A.
3.．已知橢圓的兩個焦點分別是，，過的直線交橢圓于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據所給關系式利用橢圓的定義用a、c表示出邊、、、，在、中利用余弦定理求出、，再根據兩角互補列出關系式即可求得離心率.
【詳解】：由題意作出草圖，如下圖所示，
由橢圓的定義可知，
， ，則，
，，，則，
在中由余弦定理可得，
在中有余弦定理可得，
，，，
化簡得，.所以橢圓的離心率為．故選：C
【題型七】 中點型
【典例分析】
已知橢圓的左焦點為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：依據題給條件得到關于的關系式，即可求得橢圓的離心率.
【詳解】：設在橢圓上，
所以，兩式相減，
得，
由直線AB的傾斜角為，可知，所以；
設，，
所以，所以，
所以，即，所以.
故選：B.
【經驗總結】
中點型可以點差法，，點代入法計算
【變式演練】
1.已知О為坐標原點，雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點，其中M為線段OB的中點．O、A、F、M四點共圓，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】：根據題意得到，，，，再根據O、A、F、M四點共圓，可知四邊形為等腰梯形，利用，求得a，b關系即可.
【詳解】：由題意得：，，，
因為M為線段OB的中點，又為AB的中點，，即四邊形為梯形，
又O、A、F、M四點共圓，即四邊形為圓內接四邊形，而圓內接四邊形的對角互補，可知四邊形為等腰梯形，，即，整理得，所以，故選：A
2.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點.點為線段的中點，且.若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】:設，根據雙曲線的定義得出，從而求出，在中利用余弦定理以及離心率的定義即可求解.
【詳解】:點為線段的中點，且，則,
設，則，
又為直角三角形，，即，
，，由雙曲線的定義可得，
，，，，
又，在中，由余弦定理可得
，，離心率.故選：A
3.已知，分別是橢圓的左、右焦點．若橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線恰好經過焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】:根據中垂直的性質可得，根據列不等式，結合離心率公式以及橢圓離心率即可得解.
【詳解】:如圖：因為線段的垂直平分線恰好經過焦點，所以，
當點位于橢圓的左頂點時，最大為；
當點位于橢圓的右頂點時，最小為；
所以，可得，所以，
故選：C
【題型八】 多曲線交點1：和拋物線
【典例分析】
已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】：過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，
設PA的傾斜角為，則，
當m取得最大值時，最小，此時直線PA與拋物線相切，
設直線PA的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為PA﹣PB=2（﹣1）， ∴雙曲線的離心率為．
故選B．
【變式演練】
1.已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：過點P引拋物線準線的垂線，交準線于D，根據拋物線的定義可知，記，根據題意，當最小，即直線與拋物線相切時滿足題意，進而解出此時P的坐標，解得答案即可.
【詳解】：如圖，易知點在拋物線C的準線上，作PD垂直于準線，且與準線交于點D，記，則.
由拋物線定義可知，.由圖可知，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設切線方程為，代入拋物線方程并化簡得：
，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.
于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.
故選：D.
2.已知拋物線和橢圓（），直線l與拋物線M相切，其傾斜角為，l過橢圓N的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點，，則橢圓N的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根據題意，利用導數的幾何意義求出的方程，以及點坐標，則可得到方程，求得，則離心率得解.
【詳解】：根據題意，作圖如下：
因為，故可得，
根據直線斜率為，解得切點為，故直線的方程為，整理得
故可得橢圓的右焦點坐標為.過點作軸的垂直，垂足為，
則在中，由，容易得，
則可得，又點在橢圓上，故可得，結合，
解得，故離心率為.故選：B.
3.已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意畫出幾何圖形,由橢圓和拋物線的對稱性可知AB與軸交于橢圓的另一焦點,則.根據正三角形性質可得結合橢圓定義,可由勾股定理求得橢圓的離心率.
【詳解】：由題意可知,畫出幾何圖形如下圖所示:
由橢圓與拋物線的對稱性可知, AB與軸交于橢圓的另一焦點,則.
由橢圓定義可知,且為正三角形.所以則
由正三角形性質可知為直角三角形.所以
即,化簡可得所以 故選:C
【題型九】 多曲線交點2：與圓
【典例分析】
已知雙曲線的右焦點為，以實軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個交點為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】：將一條漸近線方程與以實軸為直徑的圓方程聯立可得出點坐標，進而可得直線的斜率，通過直線與另一條漸近線斜率相等即可得出的關系，從而求得雙曲線的離心率.
【詳解】：不妨設為第一象限的交點.聯立方程組可得的坐標為，所以直線的斜率.因為直線與另一條漸近線平行，所以，所以，則，故的離心率.故選：D.
【變式演練】
1.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：利用雙曲線的定義，幾何關系以及對稱性，再利用平行四邊形的特點，
以及點在圓周上的向量垂直特點，列方程可解.
【詳解】：設 ，則 ，
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知： ，
連接 ，則有 ，
由于 在以AD為直徑的圓周上， ，
∵ABCD為平行四邊形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，故選：D.
2.已知雙曲線與圓在第二象限相交于點分別為該雙曲線的左、右焦點，且，則該雙曲線的離心率為( )
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】：根據正弦定理得，結合雙曲線定義可求，可判斷為直角三角形，故可求M點坐標，將M點坐標代入雙曲線方程即可求得a與b關系，故而求出離心率的值.
【詳解】：在中，∵，
∴由正弦定理知，，
又∵，∴，，
∴在中，，，，
∴，∴.
設，則由等面積得：，即，
∵在上，∴，
∵在上，
∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故選：C.
3.已知，分別為雙曲線的左 右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為M，N，設四邊形的周長C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】：聯立圓和雙曲線的方程，并利用對稱性、雙曲線的定義、勾股定理，結合，解得雙曲線的離心率的平方為
【詳解】：
如圖所示，根據題意繪出雙曲線與圓的圖像，設
由圓與雙曲線的對稱性可知，點與點關于原點對稱，可得：
因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為。因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，
聯立化簡可得：。整理可得：
，則有：因為，所以，
因為可得：
因為，聯立可得：
因為為圓的直徑，可得：，即
，以離心率的平方為：
又，則故選：A
【題型十】 多曲線交點3：雙曲線和橢圓
【典例分析】
已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線，則橢圓與雙曲線的離心率之積的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由橢圓和雙曲線的方程有相同的焦點，得出，再表示出橢圓與雙曲線的離心率之積，即可求出范圍．
【詳解】：由題可知，橢圓焦點在軸上，則，
對于雙曲線焦點在軸上，則，
橢圓和雙曲線有相同的焦點，則，即，
設橢圓與雙曲線的離心率分別為，則，
∴．故選：A．
【變式演練】
1.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共交點，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數之和的最大值為
A． B． C．2 D．
【答案】A
設橢圓方程為，雙曲線方程為，焦距為由橢圓和雙曲線的定義，不妨設在第一象限，求出為焦點），在中利用余弦定理，求出關系，進而得出橢圓與雙曲線的離心率關系，利用三角換元，結合正弦函數的有界性，即可求解.
【詳解】：設橢圓方程為，雙曲線方程為，
左右焦點分別為不妨設在第一象限，
，得，在中，，
即，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，
設，
取，，當時，取得最大值為.故選:A.
2.橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先將橢圓和雙曲線的、、分別設出, 并設,,在中,根據余弦定理可得,根據幾何意義,整理為；再分別根據橢圓與雙曲線的定義,將該式分別整理為,,利用,對等式兩邊同除,分別得到,,建立兩式的聯系,即可得出結果
【詳解】：設橢圓的長半軸為,雙曲線的實半軸為,半焦距為,設,,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在橢圓中，由定義得, ①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 ②
在雙曲線中，由定義得,①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 ③
聯立②③得,即,.故選B
3.已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，，為左焦點，為右焦點，P點為它們在第一象限的一個交點，且，設，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設橢圓的長半軸長為半焦距為,雙曲線的實半軸長為,半焦距為,根據橢圓和雙曲線的定義可得,,然后在焦點三角形中,由余弦定理以及離心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.
【詳解】：設橢圓的長半軸長為,半焦距為,雙曲線的實半軸長為,半焦距為,
根據橢圓的定義可得:,根據雙曲線的定義可得:,
兩式聯立解得:,,在焦點三角形中,由余弦定理得:,
化簡得:,兩邊同時除以,得:,
由柯西不等式得:
,即,
所以,所以.故選B.
【題型十一】 雙曲線特性1：漸近線
【典例分析】
已知雙曲線的左 右焦點分別是，，在其漸近線上存在一點，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】：由題意問題轉化為雙曲線的漸近線與雙曲線有公共點即可，據此可得兩曲線漸近線斜率間的關系，進而求出離心率范圍.
【詳解】：雙曲線的漸近線方程為，,點P在雙曲線上，
雙曲線的漸近線方程為，因為與雙曲線相交，
所以由雙曲線漸近線性質可知只需，即，則，解得，
故該雙曲線離心率的取值范圍是，故選：A
【變式演練】
1.已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線，垂足為，為坐標原點，且平分，則的離心率為( )
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】：根據已知條件求出P點坐標和直線PA方程，平分，則O到PM的距離等于到AP的距離，列式可求離心率﹒
【詳解】：如圖，雙曲線的漸近線取，則，
由，
∴P()，，故，∴，即
∵平分，∴O到PM的距離等于O到AP的距離|OM|，
即，化簡整理得，解得e=2，故選：A﹒
2.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為，設，則，求出點P，Q的坐標，得出，，根據，再利用余弦定理求出，之間的關系，即可得出雙曲線的離心率．
【詳解】：由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設雙曲線的漸近線為．
設，則，由，解得或，∴，．
又為雙曲線的左頂點，則，
∴，，，
在中，，由余弦定理得，
即，即，
則，所以，則，
即，所以∴．故選：C.
3.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根據題意，不妨取點在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結果.
【詳解】：
因為以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，不妨取點在第二象限，
所以，則，
因為雙曲線的漸近線方程為，則，所以；
記，則，由解得，
因為，由雙曲線的定義可得，所以，，
由余弦定理可得：，
則，所以，整理得，解得，
所以雙曲線的離心率為.故選：C.
【題型十二】 雙曲線特性2：內心
【典例分析】
已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內心到y軸的距離為，則C的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：根據題目信息畫出準確圖像，本題重難點在于合理利用三角形內心性質，以及角平分線定理，得到關系后即可求出離心率.
【詳解】：因為A在B的上方，且這兩點都在C上，所以，
則．因為，所以A是線段的中點，又軸，所以，，
所以的內心G在線段上．因為G到y軸的距離為，
所以，所以，因此，
即．故．故選：B
【變式演練】
1.設分別為雙曲線的左右焦點，點為雙曲線上的一點，若的重心和內心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】：先求出的重心坐標，再根據雙曲線定義及切線長定理求出的內心橫坐標，根據重心與內心橫坐標相同得到方程，求出離心率.
【詳解】：將代入，解得：，即，不妨令，則，，所以重心坐標為，設的內心為D，內切圓與，的切點分別為A，B，與x軸切點為C，則PA=PB，，，且點D與點C橫坐標相同，又由雙曲線定義知：，從而，設，則，解得：，故點C為雙曲線的右頂點，故D點的橫坐標為a，因為的重心和內心的連線與x軸垂直，所以，解得：，即，解得：.故選：A
2.已知雙曲線，的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】：根據給定條件探求出的內切圓圓心坐標，再借助點到直線距離公式計算作答.
【詳解】：令雙曲線的半焦距為c，則，由對稱性不妨令與平行的漸近線為，
直線方程為：，即，
令的內切圓與三邊相切的切點分別為A，B，C，令點，如圖，
由切線長定理及雙曲線定義得：，
即，而軸，圓半徑為，則有，
點到直線的距離：，整理得，即，而，解得，
所以雙曲線的離心率為2.故選：A
3.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】：設雙曲線的左、右焦點分別為，，設雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，聯立雙曲線的方程可得點的坐標，設，，運用三角形的等面積法，以及雙曲線的定義，結合銳角三角函數的定義，化簡變形可得關于，的方程，結合離心率公式可得所求值．
【詳解】：設雙曲線的左、右焦點分別為，，設雙曲線的一條漸近線方程為，
可得直線的方程為，與雙曲線聯立，
可得，，設，，由三角形的等面積法可得，
化簡可得，①由雙曲線的定義可得，②
在三角形中，為直線的傾斜角），
由，，可得，可得，③
由①②③化簡可得，即為，可得，則．故選：A．
【題型十三】 難點1：借助向量構造
【典例分析】
已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：根據條件可確定在的角平分線上，且是的內心，由向量關系式求出線段長的比，利用雙曲線定義求解.
【詳解】：由，，則點在的角平分線上，
由點在直線上，則是的內心，由，
由奔馳定理（已知P為△ABC內一點，則有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，
,
即
則，
設，，，
則，，則.
故選：C
【變式演練】
1.已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（ ）
【答案】C
由已知，得，在中，利用余弦定理及面積公式可得，再利用的內切圓的半徑，可知，建立等式關系，再由已知結合正弦定理得到關系式，結合，將關系式轉化為的關系式，從而求得離心率.
【詳解】：由題可知，
即，
在中，利用橢圓定義知，由余弦定理得
即，整理得
易得面積
又的內切圓的半徑為，利用等面積法可知，
所以
由已知，得，則，即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
兩邊同除以，則，解得或（舍去）
故選：C.
2.橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線交于，兩點，若，，其中為坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】：由可得，若，有，結合可求得，，最后結合幾何圖形有即可求得離心率
【詳解】：由題意，有，即，知
過左焦點的直線交于，兩點，令，
有，，且由上知①
又∵有，且知：
∴由知：②，由①、②可知：，
∴結合幾何圖形知：，即得故選：C
3.已知雙曲線的虛軸的一個頂點為，左頂點為，雙曲線的左、右焦點分別為，，點為線段上的動點，當取得最小值和最大值時，的面積分別為，，若，則雙曲線的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設直線所在直線的方程為，設，，，則可得，，從而可求出兩向量的數量積的表達式，由二次函數的性質可求出當時，取得最小值，從而可求；當時，在處取得最大值，此時，，由可求出，進而可求離心率的值.
【詳解】：解：由題意可知，，則直線所在直線的方程為，
因為點在線段上，可設，其中．
設雙曲線的焦距為，則，，，
從而，，
故．
因為，所以當時，取得最小值，
此時，．
當，即時，無最大值，所以不符合題意；
當，即時，在處取得最大值，此時，，
因為，所以，解得，符合題意．
綜上，，，，故雙曲線的離心率．故選:A.
【題型十四】 難點2：小題大做型
【典例分析】
已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設該橢圓的離心率為e，下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】A
【分析】：設在軸上方，在軸下方，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯立直線的方程與橢圓方程可求的坐標，同理可求的坐標，利用三點共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.
【詳解】：
不失一般性，設在軸上方，在軸下方，
設直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，
則，，，且.
又.
又直線的方程為，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因為共線，故，
整理得到即，
若，，
因為，，故，所以，
故.故選：A.
【變式演練】
1.已知是離心率為的橢圓外一點，經過點的光線被軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】：由題意知，設過點的直線方程為：，反射后的切線方程為：，聯立切線方程與橢圓的方程，利用求解即可.
【詳解】：由題意可知，又，故，
設過點的直線斜率為，則直線方程為：，即
則反射后的切線方程為：
由得，
因為所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，
，
化簡得：，即，解得
2.雙曲線上有兩點、，為坐標原點，為雙曲線焦點，滿足，當、在雙曲線上運動時，使得恒成立，則離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】：先根據得到，再聯立直線方程和雙曲線方程利用韋達定理化簡得到，從而得到為定值，即可求解離心率.
【詳解】：設，直線:因為，即
聯立，整理得，
代入得
所以整理得
即由到直線:的距離所以距離為一個定值
又又
即所以
又所以又所以故選：A
3.已知雙曲線的離心率為，過的左焦點作直線，直線與雙曲線分別交于點，與的兩漸近線分別交于點，若，則______.
【答案】
根據雙曲線的離心率與左焦點可得雙曲線,再根據可得為的中點,再設,根據可得坐標,代入漸近線方程可求得關于的表達式,再代入雙曲線求得,進而求出直線的方程,再聯立雙曲線與其漸近線的方程即可得.
【詳解】：因為雙曲線的離心率為,左焦點,故又,故
故.因為,故為的中點.
設,因為,故,解得.不妨設在漸近線上,則,即.代入則,解得,即.
故直線的斜率,故的方程：.
聯立雙曲線方程：即.設,則.
再聯立漸近線,即.故.
故答案為：28 離心率
【題型一】 判斷橫放豎放求參
【典例分析】
已知實數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
【經驗總結】
依據橢圓和雙曲線定義好幾何性質，對方程中含參判斷，要從以下幾方面：
通過討論，確定焦點在x軸還是在y軸上判斷（即俗稱的橫放還是豎放）。
“橢圓”要注意避開倆分母相等這個計算坑
【變式演練】
1.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線M的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
2.已知曲線C：的離心率，則實數m值為（ ）
A．6 B．-6 C． D．
3.設是橢圓的離心率，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型二】 直接法
【典例分析】
橢圓上的點到橢圓的焦點的距離的最大值與橢圓的短軸長相等，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【經驗總結】
直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎性質求離心率
離心率的公式：橢圓；雙曲線
【變式演練】
1.已知雙曲線的右焦點到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.在平面直角坐標系xOy中，橢圓上存在點P，使得，其中 分別為橢圓的左 右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.設雙曲線E：的離心率為，直線過點和雙曲線E的一個焦點，若直線與圓相切，則（ ）
A． B． C． D．
【題型三】 補連另一焦點利用定義
【典例分析】
已知橢圓C：的左，右焦點，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【經驗總結】
橢圓和雙曲線，與一個焦點有關，思維上優先連接另一焦點，分析是否能借助定義解決。
【變式演練】
1.橢圓的左右焦點分別為 ，直線與交于A 兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2.設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3.設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型四】 余弦定理1：基礎型
【典例分析】
已知雙曲線的左 右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標原點)，交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【經驗總結】
一般情況下，焦點三角形，可以構造余弦定理。
【變式演練】
1.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與交于點，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.設點，分別為雙曲線的左右焦點.點，分別在雙曲線的左，右支上，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型五】 余弦定理2：勾股定理用兩次
【典例分析】
如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【經驗總結】
焦點三角形或者焦點弦，有垂直（或者在圓上）可以構造勾股定理，特別是焦點弦，倆交點，可以構造兩個勾股定理。
【變式演練】
1.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若，且的周長為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．
3.已知，是雙曲線：的左，右焦點，過點傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【題型六】 余弦定理3：余弦定理用兩次
【典例分析】
已知，分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【經驗總結】
焦點弦倆交點，可以分開為兩次構造余弦定理
【變式演練】
1.設分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經過B，C兩點.若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.．已知橢圓的兩個焦點分別是，，過的直線交橢圓于，兩點，若且，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B．
C． D．
【題型七】 中點型
【典例分析】
已知橢圓的左焦點為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【經驗總結】
中點型可以點差法，，點代入法計算
【變式演練】
1.已知О為坐標原點，雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點，其中M為線段OB的中點．O、A、F、M四點共圓，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
2.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點.點為線段的中點，且.若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．2 B． C． D．
3.已知，分別是橢圓的左、右焦點．若橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線恰好經過焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型八】 多曲線交點1：和拋物線
【典例分析】
已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
【變式演練】
1.已知點F為拋物線C：的焦點，點，若點Р為拋物線C上的動點，當取得最大值時，點P恰好在以F，為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.橢圓N的右焦點F，與橢圓相交于A、B兩點，，則橢圓N的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為
A． B． C． D．
【題型九】 多曲線交點2：與圓
【典例分析】
已知雙曲線的右焦點為，以實軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個交點為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【變式演練】
1.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點，過點，分別作直線，交雙曲線于，，，四點，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.已知雙曲線與圓在第二象限相交于點分別為該雙曲線的左、右焦點，且，則該雙曲線的離心率為( )
A． B． C． D．2
3.已知，分別為雙曲線的左 右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為M，N，設四邊形的周長C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為（ ）
A． B． C． D．
【題型十】 多曲線交點3：雙曲線和橢圓
【典例分析】
已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線，則橢圓與雙曲線的離心率之積的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共交點，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數之和的最大值為
A． B． C．2 D．
2.橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則
A． B．
C． D．
3.已知橢圓與雙曲線有公共焦點，，，為左焦點，為右焦點，P點為它們在第一象限的一個交點，且，設，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為
A． B． C． D．
【題型十一】 雙曲線特性1：漸近線
【典例分析】
已知雙曲線的左 右焦點分別是，，在其漸近線上存在一點，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線，垂足為，為坐標原點，且平分，則的離心率為( )
A．2 B． C．3 D．
2.已知雙曲線：（，）的左右焦點分別為、、A為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，若線段交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【題型十二】 雙曲線特性2：內心
【典例分析】
已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點（A在B的上方），，點E在y軸上，且軸．若的內心到y軸的距離為，則C的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【變式演練】
1.設分別為雙曲線的左右焦點，點為雙曲線上的一點，若的重心和內心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2.已知雙曲線，的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
3.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【題型十三】 難點1：借助向量構造
【典例分析】
已知雙曲線的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式演練】
1.已知橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（ ）
2.橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線交于，兩點，若，，其中為坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3.已知雙曲線的虛軸的一個頂點為，左頂點為，雙曲線的左、右焦點分別為，，點為線段上的動點，當取得最小值和最大值時，的面積分別為，，若，則雙曲線的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
【題型十四】 難點2：小題大做型
【典例分析】
已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設該橢圓的離心率為e，下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【變式演練】
1.已知是離心率為的橢圓外一點，經過點的光線被軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2.雙曲線上有兩點、，為坐標原點，為雙曲線焦點，滿足，當、在雙曲線上運動時，使得恒成立，則離心率取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.已知雙曲線的離心率為，過的左焦點作直線，直線與雙曲線分別交于點，與的兩漸近線分別交于點，若，則______.

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