資源簡介

考 前 必 背
一、集合
元素與集合 集合中元素的特性:確定性、互異性、無序性
元素與集合的關系是屬于或不屬于關系,分別用符號∈或 表示
集合常用的 表示方法 列舉法、描述法
常用數集 及其記法 自然數集N;正整數集N+或N*;整數集Z;有理數集Q;實數集R;正實數集R+
集合的 基本關系 子集:若對任意x∈A,都有x∈B,則A B或B A
集合相等:若A B,且B A,則A=B
真子集:若A B,且A≠B,則A B或B A
結論:若有限集合A中有n(n∈N+)個元素,則A的子集有2n個,真子集有(2n-1)個
集合的 基本運算 交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}
并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}
補集: UA={x|x∈U,且x A}
二、必要條件與充分條件
命題真假 “若p,則q”是真命題 “若p,則q”是假命題
推出關系 p q p /q
條件關系 p是q的充分條件,q是p的必要條件 p不是q的充分條件,q不是p的必要條件
三、充要條件
一般地,如果p q,且q p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的充要條件,記作p q.
四、含有量詞的命題的否定
命題的類型 命題的符號表示 命題否定的符號表示 命題否定的類型
全稱量詞命題 p: x∈M,x具有性質p(x) p: x∈M,x不具有性質p(x) 存在量詞命題
存在量詞命題 p: x∈M,x具有性質p(x) p: x∈M,x不具有性質p(x) 全稱量詞命題
五、不等式的性質
1.(傳遞性)a>b,b>c a>c.
2.(可加性)a>b a+c>b+c.
3.(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac4.(同向可加性)a>b,c>d a+c>b+d.
5.(可乘性)a>b>0,c>d>0 ac>bd;a>b>0,c6.(可乘方性與可開方性)a>b>0 an>bn(n∈N+,n≥2);
a>b>0 >(n∈N+,n≥2).
六、基本不等式及其應用
1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),當且僅當a=b時,等號成立.
2.利用基本不等式求最值:
已知x>0,y>0,則
(1)若x+y=s(s為定值),則當且僅當x=y時,xy取得最大值.(簡記:和定積最大)
(2)若xy=p(p為定值),則當且僅當x=y時,x+y取得最小值2.(簡記:積定和最小)
七、一元二次不等式與相應函數、方程的關系
設y=ax2+bx+c(a>0),判別式Δ=b2-4ac
判別式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程y= 0的解 x1,x2 (x1函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象
不 等 式 的 解 集 y>0 {x|xx2} R
y<0 {x|x1八、函數的概念與表示
1.函數的三要素
函數的三要素 意義
定義域 在函數y=f(x),x∈A中,集合A稱為函數的定義域,x稱為自變量
值域 集合{f(x)|x∈A}稱為函數的值域,與x值對應的y值稱為函數值
對應關系 某種確定的對應關系f(在定義域下求值域的運算法則)
2.函數的表示法:解析法、列表法、圖象法.
九、函數的單調性
增函數 減函數
定義 設函數y=f(x)的定義域是D,如果對于任意的x1,x2∈D,當x1f(x1)f(x2),那么就稱函數y=f(x)是減函數
圖象 描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
十、函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
奇函數 設函數f(x)的定義域是A,如果對任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=-f(x),那么稱函數f(x)為奇函數 關于原點對稱
偶函數 設函數f(x)的定義域是A,如果對任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=f(x),那么稱函數f(x)為偶函數 關于y軸對稱
十一、冪函數
定義 形如y=xα(α為常數)的函數,即底數是自變量、指數是常數的函數
常見的五種 冪函數的 圖象
性質 冪函數在(0,+∞)上都有定義
當α>0時,圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調遞增
當α<0時,圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減
十二、指數運算與指數函數
1.實數指數冪的運算性質(a>0,b>0,α,β∈R)
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
2.指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性 質 定義域 R
值域 (0,+∞)
過定點 (0,1)
函數值 的變化 當x>0時,y>1; 當x<0時,00時,01
單調性 在R上是增函數. 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于正無窮大; 當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于0 在R上是減函數. 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于0; 當x值趨近于負無窮大時,函數值趨近于正無窮大
十三、對數運算與對數函數
1.對數的概念與運算
概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數b稱為以a為底N的對數,記作logaN=b.其中a叫作對數的底數,N叫作真數
性質 對數式與指數式的互化:ax=N x=logaN(a>0,且a≠1)
loga1=0,logaa=1,=N,logaaN=N(a>0,且a≠1)
運算 性質 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,則 (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)loga=logaM-logaN; (3)logaMb=blogaM
換底 公式 logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1), 推論:loNn=logbN,logbN=(N>0,b>0,m≠0,且N≠1,b≠1)
2.對數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
定義域 (0,+∞)
值域 R
過定點 圖象過定點(1,0),即x=1時,y=0
單調性 在定義域(0,+∞)上是增函數. 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于正無窮大;當x值趨近于0時,函數值趨近于負無窮大 在定義域(0,+∞)上是減函數. 當x值趨近于正無窮大時,函數值趨近于負無窮大;當x值趨近于0時,函數值趨近于正無窮大
函數值 特點 x∈(0,1)時,y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)時,y∈[0,+∞) x∈(0,1)時,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)時,y∈(-∞,0]
對稱性 函數y=logax的圖象與函數y=x的圖象關于x軸對稱
補充性質 設y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1, (1)當x>1時,“底大圖低”,即若a>b,則y1b,則y1>y2
十四、函數的零點
概念 使得f(x0)=0的數x0稱為方程f(x)=0的解,也稱為函數f(x)的零點
方程的根與函數 零點的關系 方程f(x)=0有實數根 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有交點
零點存在定理 若函數y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續的曲線,并且在區間端點的函數值一正一負,即f(a)·f(b)<0,則在開區間(a,b)內,函數y=f(x)至少有一個零點,即在區間(a,b)內相應的方程f(x)=0至少有一個解
十五、二分法求函數y=f(x)零點近似值的步驟
1.確定零點x0的初始區間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε.
2.求區間(a,b)的中點c.
3.計算f(c),并進一步確定零點所在的區間:
(1)若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數的零點;
(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a,c)),則令b=c;
(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令a=c.
4.判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值(可以是[a,b]中的任意一個值);否則重復步驟2~4.
十六、抽樣
簡單隨機抽樣 一般地,從N(N為正整數)個不同個體構成的總體中,逐個不放回地抽取n(1≤n分層隨機抽樣 將總體按其屬性特征分成互不交叉的若干類型(有時稱作層),然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的個體,這種抽樣方法通常叫作分層隨機抽樣
十七、頻率分布直方圖
在頻率分布直方圖中,縱軸表示,數據落在各小組內的頻率用小矩形的面積來表示,各小矩形的面積總和等于1.
十八、用樣本估計總體的數字特征
1.樣本的數字特征
平均數 x1,x2,…,xn的平均數是=(x1+x2+…+xn)
眾數 一組數據中出現次數最多的數據
中位數 將一組數據按從小到大的順序排列后,“中間”的那個數據
方差 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
標準差 s=
2.分層隨機抽樣的均值與方差
(1)分層隨機抽樣的平均數:設樣本中不同層的平均數分別為,,…,,相應權重分別為w1,w2,…,wn,則這個樣本的平均數為w1+w2+…+wn.為了簡化表示,引進求和符號,記作w1+w2+…+wn=wi.
(2)分層隨機抽樣的方差:設樣本中不同層的平均數分別為,,…,,方差分別為,,…,,相應的權重分別為w1,w2,…,wn,則這個樣本的方差為s2=wi[+(-)2],其中為這個樣本的平均數.
3.百分位數:一般地,當總體是連續變量時,給定一個百分數p∈(0,1),總體的p分位數有這樣的特點:總體數據中的任意一個數小于或等于它的可能性是p.
十九、隨機事件的運算
定義 符號表示
交事件(積事件) 由事件A與事件B都發生所構成的事件,稱為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB)
并事件(和事件) 由事件A和事件B至少有一個發生(即A發生,或B發生,或A,B都發生)所構成的事件,稱為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
互斥事件 不能同時發生的兩個事件A與B稱為互斥事件 A∩B=
對立事件 若A∩B= ,且A∪B=Ω,則稱事件A與事件B互為對立事件,事件A的對立事件記作 A∪B=Ω,且A∩B=
二十、事件的概率運算
互斥事件的概率加法公式 概率乘法公式 古典概型
如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B) 若事件A與事件B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B) P(A)=

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