資源簡介

考 前 必 背
一、集合
集合與元素 集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性
集合間的 基本關系 子集:若對任意x∈A,都有x∈B,則A B(或B A)
真子集:若A B,且B中至少有一個元素不屬于A, 則A B(或B A)
相等:若A B,且B A,則A=B
結論:若有限集A中有n(n∈N+)個元素,則A的子集有2n個,真子集有(2n-1)個
補集: UA={x|x∈U,且x A},A B UA UB
集合的 交與并 并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B},A B A∪B=B
交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B},A B A∩B=A
二、充分條件和必要條件
命題真假 “若p,則q”為真命題 “若p,則q”為假命題
推出關系 由p能推出q,記作p q 由p不能推出q,記作p /q
條件關系 p叫作q的充分條件 p不是q的充分條件
q叫作p的必要條件 q不是p的必要條件
三、充要條件
如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p q,又有q p,就記作p q.此時,p既是q的充分條件,又是q的必要條件,我們稱p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.概括地說,如果p q,那么p與q互為充要條件.
四、全稱量詞與全稱命題
全稱量詞 全稱命題 全稱命題的 真假判斷
短語“所有”“任意”“每一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞,并用符號 “ ”表示 含有全稱量詞的命題,叫作全稱命題.全稱命題“對M的任一個元素x,有p(x)成立”可用符號簡記為 x∈M,p(x) 全真為真,一假為假
五、存在量詞與特稱命題
存在量詞 特稱命題 特稱命題 的真假判斷
短語“存在某個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞,并用符號“ ”表示 含有存在量詞的命題,叫作特稱命題. 特稱命題“存在M的某個元素x,使p(x)成立”可用符號簡記為 x∈M,p(x) 一真為真,全假為假
六、全稱命題和特稱命題的否定
命題的類型 命題的符號表示 命題的否定 的符號表示 命題的否定 的類型
全稱命題 p: x∈I,p(x) p: x∈I, p(x) 特稱命題
特稱命題 p: x∈I,p(x) p: x∈I, p(x) 全稱命題
七、不等式的主要性質
1.對稱性:a>b b2.傳遞性:a>b,b>c a>c.
3.加法法則:a>b a+c>b+c;a+b>c a>c-b;a>b,c>d a+c>b+d.
4.乘法法則:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 acb>0,c>d>0 ac>bd.
5.倒數法則:a>b,ab>0 <;a>b,ab<0 >.
6.乘方法則:a>b>0 an>bn(n∈N+).
7.開方法則:a>b>0 >(n∈N+).
八、基本不等式
定理:對任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立.
推論:對任意a,b≥0,必有≥,當且僅當a=b時等號成立.
九、二次函數與一元二次方程、不等式
設一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為x1、x2,且x1≤x2,Δ=b2-4ac,則不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集的各種情況如下表:
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的圖象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x< x1或x>x2} xx∈R且 x≠- R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1十、函數的概念及其表示
函數 一般地,設A,B是兩個非空的實數集,如果按照某種確定的對應關系f,對于集合A中的任何一個數x,在集合B中都有唯一的數y和它對應,那么稱這樣的對應f:A→B為定義于A取值于B的函數,也記作y=f(x)(x∈A,y∈B)
表示法 解析法、列表法和圖象法
十一、函數的單調性與奇偶性
1.函數的單調性
增函數 減函數
設函數f(x)的定義域為I,區間D I:如果 x1,x2∈D
當x1f(x2),那么就稱f(x)在區間D上單調遞減,D叫作f(x)的遞減區間
2.函數的最大(小)值
前提 一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足
條件 x∈I,都有f(x)≤M; x0∈I,使得f(x0)=M x∈I,都有f(x)≥M; x0∈I,使得f(x0)=M
結論 那么稱M是函數f(x)的最大值 那么稱M是函數f(x)的最小值
3.函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫作偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果 x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫作奇函數 關于原點對稱
十二、冪函數
定義 一般來說,當x為自變量而α為非零實數時,函數y=xα叫作(α次)冪函數
常見五 種冪函 數的圖象
性質 冪函數在(0,+∞)上都有定義
當α>0時,圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上單調遞增
當α<0時,圖象都過點(1,1),且在(0,+∞)上單調遞減
十三、指數與指數函數
1.正數的分數指數冪
定義 =(a>0,m,n∈N,n>1) ==(a>0,m,n∈N,n>1)
運算性質 ar·as=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q
2.指數函數及其性質
概念 一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:R;值域:(0,+∞)
圖象過定點(0,1),即x=0時,y=1
x>0時,y>1;x<0時,01;x>0時,0在(-∞,+∞)上是增函數 在(-∞,+∞)上是減函數
十四、對數與對數函數
1.對數的概念與運算(a>0且a≠1,M>0,N>0)
定義 一般地,如果ab=N,那么b叫作以a為底,(正)數N的對數,記作b=logaN
常用對數 以10為底的對數叫作常用對數,并把log10N記為lg N
自然對數 以無理數e=2.718 28…為底的對數叫作自然對數,并把logeN記為ln N
結論 loga1=0;logaa=1;=N;logaab=b(b∈R)
運算性質 ①loga(M·N)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)
換底公式 logbN=(b>0且b≠1)
2.對數函數及其性質
概念 一般地,函數y=logax(a>0且a≠1)叫作對數函數,其中x是自變量,定義域是(0,+∞)
底數的 范圍 a>1 0圖象
性質 定義域:(0,+∞);值域:R
圖象過定點(1,0),即x=1時,y=0
x>1時,y>0;01時,y<0;00
在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
十五、函數與方程
1.函數的零點
概念 對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫作函數y=f(x)的零點
等價關系 方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點
函數零點 存在定理 一般地,當x從a到b逐漸增加時,如果f(x)連續變化且有f(a)·f(b)<0,則存在點x0∈(a,b),使得f(x0)=0
2.二分法求函數零點近似值的步驟
設函數y=f(x)定義在區間D上,其圖象是一條連續曲線.我們希望求它在D上的一個零點x0的近似值x,使它與零點的誤差不超過給定的正數ε,即使得|x-x0|≤ε.
(1)在D內取一個閉區間[a,b] D,使f(a)與f(b)異號,即f(a)·f(b)<0;
(2)取區間[a,b]的中點m=(a+b);
(3)如果|m-a|<ε,則取m為f(x)的零點近似值,計算終止;
(4)計算f(m),如果f(m)=0,則m就是f(x)的零點,計算終止;
(5)f(m)與f(a)同號則令a=m,否則令b=m,再執行(2).
十六、三角函數
1.同角三角函數的基本關系
(1)sin2α+cos2α=1;
(2)tan α=.
2.誘導公式
記憶口訣:奇變偶不變,符號看象限.
3.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質
函數 y=sin x y=cos x y=tan x
圖象
定義域 R R xx≠kπ+,k∈Z
值域 [-1,1] [-1,1] R
單調性 單調遞增區間:2kπ-,2kπ+,k∈Z; 單調遞減區間:2kπ+,2kπ+,k∈Z 單調遞增區間:[2kπ-π,2kπ],k∈Z; 單調遞減區間: [2kπ,2kπ+π], k∈Z 單調遞增區間:kπ-,kπ+,k∈Z
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
對稱性 對稱中心: (kπ,0),k∈Z 對稱中心:kπ+,0,k∈Z 對稱中心: ,k∈Z
對稱軸: x=kπ+,k∈Z 對稱軸: x=kπ,k∈Z
周期 2π 2π π
4.三角函數的圖象變換
由函數y=sin x的圖象通過變換得到函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法:
十七、統計
1.隨機抽樣
簡單隨 機抽樣 一般地,設一個總體含有N個個體,從中無放回地抽取n(n≤N)個個體為樣本,如果總體內的每個個體都有相同的可能性被抽到,則把這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣
分層 抽樣 當總體由差異明顯的幾個部分組成時,為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況,把總體中各個個體按照某種特征或某種規則劃分為互不交叉的層,然后對各層按其在總體中所占比例獨立進行簡單隨機抽樣,這種抽樣方法稱為分層抽樣
2.用樣本估計總體
頻率分布 樣本中某個數據(范圍)在總體中占有的比例稱為這個數據(范圍)的頻率,使用頻率分布表、頻率分布直方圖表達樣本數據的頻率分布
樣 本 的 數 字 特 征 百分位數 位于按一定順序排列的一組數據中某一個百分位置的數值,以Pr表示,其中r是區間[1,99]上的整數
眾數 觀測數據中出現次數最多的數據
中位數 將一組觀測數據按從小到大的順序排列后,處于中間位置的數或者中間兩個數的平均數
平均數 x1,x2,…,xn的平均數=(x1+x2+…+xn)
方差、 標準差 s2=(xi-)2,s=
3.頻率分布直方圖的特征
(1)各個小矩形的面積和為1.
(2)縱軸的含義為,矩形的面積=組距×=頻率.
(3)樣本數據的平均數的估計值等于各個小矩形的面積與各自小矩形底邊中點橫坐標之積的和.
(4)眾數為最高矩形的底邊中點的橫坐標.

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