資源簡介

考 前 必 背
第一章　空間向量與立體幾何
一、共線向量、共面向量定理
　　1.共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.
二、空間向量基本定理
　　如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空間向量運算的坐標表示
　　1.空間向量運算的坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
運算 坐標表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
減法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
數乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
數量積 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空間向量常用結論的坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
結論 坐標表示
共線 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|==
夾角 cos==
　　3.空間兩點間的距離公式
設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則P1P2=||=
.
四、空間向量的應用
　　1.設直線l,m的方向向量分別為μ,v,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
線線平行 l∥m μ∥v μ=λv,λ∈R
線面平行 l∥α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
線線垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
線面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
線線夾角 l,m的夾角θ∈,cos θ=
線面夾角 l,α的夾角為θ∈,sin θ=
面面夾角 α,β的夾角為θ∈,cos θ=
　　2.點到直線的距離
設=a,直線l的單位方向向量為μ,則向量在直線l上的投影向量=(a·u)u,點P到直線l的距離PQ==
.
3.點到平面的距離
已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離PQ===.
第二章　直線和圓的方程
一、直線的傾斜角與斜率
　　1.直線的傾斜角
定義 當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角
規定 當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0
范圍 [0,π)
　　2.直線的斜率
定義 當直線l的傾斜角α≠時,其傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan α
斜率公式 經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=
　　3.直線的方向向量
直線的方向向量 設A,B為直線上的兩點,則就是這條直線的方向向量
方向向量的坐標 設A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),則直線AB的一個方向向量為=(x2-x1,y2-y1)
方向向量與斜率 若直線l的斜率為k,則直線l的一個方向向量為(1,k)
　　4.兩條直線平行和垂直的判定
對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2.
位置關系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直線l1,l2的斜率都不存在時,l1與l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直線斜率為零,另一直線斜率不存在時,兩條直線垂直
二、直線的方程
　　直線方程的五種形式及適用范圍:
名稱 幾何條件 方程 適用條件
斜截式 縱截距、斜率 y=kx+b 與x軸不垂直的直線
點斜式 過一點、斜率 y-y0=k(x-x0)
兩點式 過兩點 = 與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式 橫、縱截距 +=1 不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不同時為0) 所有直線
三、直線的交點坐標與距離公式
　　1.兩條直線的交點坐標
直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)的公共點的坐標就是方程組的解.
位置關系 方程組的解的個數
相交 方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解
平行 方程組無解
重合 方程組有無數個解
　　2.距離公式
距離類型 已知幾何元素 距離公式
兩點間的距離 兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2) |P1P2|=
點到直線的距離 點P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C =0(A,B不同時為0) d=
兩條平行直線 間的距離 兩條平行直線 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 (A,B不同時為0) d=
四、圓的方程
圓的定義 平面上到定點的距離等于定長的點的集合
圓 的 方 程 標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心坐標:(a,b)
半徑為r
一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圓心坐標:
半徑r=
五、直線與圓、圓與圓的位置關系
　　1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法
(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系判斷;
(2)代數法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,利用判別式Δ判斷.
位置關系 幾何法 代數法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相離 d>r Δ<0
　　2.圓與圓的位置關系
設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>
0).
方法　　　　 位置 關系 幾何法:根據圓心距d=|O1O2|與r1+r2或|r1-r2|的大小關系進行判斷 代數法:根據兩圓方程組成的方程組解的個數進行判斷
外離 d>r1+r2 無解
外切 d=r1+r2 一組實數解
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實數解
內含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解
第三章　圓錐曲線的方程
一、橢圓
　　1.橢圓的定義
定義 平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距
符號 語言 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數
軌跡 類型 a>c 點M的軌跡為橢圓
a=c 點M的軌跡為線段
a　　2.橢圓的標準方程及其幾何性質
標準方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
圖形
性 質 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
對稱性 對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點 坐標 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
軸 長軸A1A2的長為2a,a為長半軸長; 短軸B1B2的長為2b,b為短半軸長
焦距 |F1F2|=2c
離心率 e=,e∈(0,1)
a,b,c的關系 a2=b2+c2
二、雙曲線
　　1.雙曲線的定義
定義 平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距
符號語言 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數,且a>0,c>0
軌跡類型 aa=c 點M的軌跡為兩條射線(不含絕對值時為一條射線)
a>c 點M不存在
　　2.雙曲線的標準方程及其幾何性質
標準方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
圖形
性 質 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性 對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=,e∈(1,+∞)
軸 實軸A1A2的長為2a,a為實半軸長; 虛軸B1B2的長為2b,b為虛半軸長
a,b,c的關系 c2=a2+b2
三、拋物線
　　1.拋物線的定義
定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線
符號語言 集合P={M||MF|=d}(d為點M到準線l的距離)
特例 當F∈l時,動點M的軌跡是過F點垂直于l的直線
　　2.拋物線的標準方程及其幾何性質
標準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p的幾何意義:焦點F到準線l的距離
圖形
性 質 頂點 O(0,0)
對稱軸 y=0 x=0
焦點 F F F F
離心率 e=1
準線 方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口 方向 向右 向左 向上 向下
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