資源簡(jiǎn)介

考 前 必 背
一、直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系
　　1.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合時(shí)所成的角,稱為直線l的傾斜角.
當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0°.
直線的傾斜角α∈[0,π).
2.當(dāng)直線l的傾斜角α≠時(shí),其傾斜角α和斜率k滿足k=tan α.
3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率為k=.
二、直線的方程
　　直線方程的五種形式及適用范圍:
名稱 已知條件 方程 適用范圍
點(diǎn)斜式 過(guò)一點(diǎn)、斜率 y-y0=k(x-x0) 與x軸不垂直的直線
斜截式 在y軸上的 截距、斜率 y=kx+b
兩點(diǎn)式 過(guò)兩點(diǎn) 與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式 在x軸,y軸上 的截距 =1 不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全為0) 所有直線
點(diǎn)法式 過(guò)一點(diǎn)、直線法 向量n=(A,B) A(x-x0)+ B(y-y0)=0 所有直線
三、直線間的位置關(guān)系與距離公式
　　1.兩條直線平行和垂直的判定
對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2.
位置關(guān)系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直線l1,l2的斜率都不存在時(shí),l1與l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直線斜率為零,另一直線斜率不存在時(shí),兩條直線垂直
　　2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.
　　3.距離公式
(1)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離|P1P2|=;
(2)點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=(A,B不全為0);
(3)兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離d=(A,B不全為0,且C1≠C2).
四、圓的方程
圓的定義 圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合
圓 的 方 程 標(biāo)準(zhǔn)式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心坐標(biāo):(a,b)
半徑為r
一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圓心坐標(biāo):
半徑r=
五、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
　　1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法
(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系判斷;
(2)代數(shù)法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,利用判別式Δ判斷.
位置關(guān)系 幾何法 代數(shù)法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相離 d>r Δ<0
　　2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置關(guān)系 幾何法:根據(jù)圓心距d=|O1O2|與r1+r2或|r1-r2|的大小關(guān)系進(jìn)行判斷 代數(shù)法:根據(jù)兩圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷
外離 d>r1+r2 無(wú)解
外切 d=r1+r2 一組實(shí)數(shù)解
相交 |r1-r2|內(nèi)切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實(shí)數(shù)解
內(nèi)含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無(wú)解
六、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
圖形
性 質(zhì) 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
對(duì)稱性 對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a,a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng); 短軸B1B2的長(zhǎng)為2b,b為短半軸長(zhǎng)
焦距 |F1F2|=2c
離心率 e=,e∈(0,1),其中c=
a,b,c的關(guān)系 a2=b2+c2
七、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0)
圖形
性 質(zhì) 范圍 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
對(duì)稱性 對(duì)稱軸:坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
軸 實(shí)軸A1A2的長(zhǎng)為2a,a為實(shí)半軸長(zhǎng); 虛軸B1B2的長(zhǎng)為2b,b為虛半軸長(zhǎng)
a,b,c的關(guān)系 c2=a2+b2
八、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
性 質(zhì) 頂點(diǎn) O(0,0)
對(duì)稱軸 x軸 y軸
焦點(diǎn) F F F F
離心率 e=1
準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下
九、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷
　　聯(lián)立直線l與圓錐曲線C的方程,消去x(或y),得ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),設(shè)其判別式為Δ,則有:
(1)若a=0,則當(dāng)b=0時(shí),l與C相離(無(wú)交點(diǎn));當(dāng)b≠0時(shí),l與C相交(1個(gè)交點(diǎn)).
(2)若a≠0,則當(dāng)Δ>0時(shí),l與C相交(2個(gè)交點(diǎn));當(dāng)Δ=0時(shí),l與C相切(1個(gè)交點(diǎn));當(dāng)Δ<0時(shí),l與C相離(無(wú)交點(diǎn)).
十、圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式
　　當(dāng)直線的斜率存在時(shí),不妨設(shè)直線y=kx+b與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則可得弦長(zhǎng)公式:
|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=|y1-y2|=·(k≠0);
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),|AB|=|y2-y1|.
十一、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
　　1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
運(yùn)算 坐標(biāo)表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
減法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
數(shù)乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
數(shù)量積 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
結(jié)論 坐標(biāo)表示
共線 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量長(zhǎng)度 |a|=
向量夾 角公式 cos=
　　3.空間兩點(diǎn)間的距離公式
設(shè)P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),則|PQ|=.
十二、空間向量基本定理
　　如果向量a,b,c是空間三個(gè)不共面的向量,p是空間任意一個(gè)向量,那么存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
十三、空間向量
　　1.設(shè)直線l,m的方向向量分別為μ,v,平面α,β的法向量分別為n1,n2,則
線線平行 l∥m或l與m重合 μ∥v μ=λv,λ∈R
線面平行 l∥α或l α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β或α與β重合 n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
線線垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
線面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
線線角 l,m所成的角θ∈
線面角 l,α所成的角θ∈
二面角 二面角θ∈[0,π],cos θ=
　　2.點(diǎn)到平面的距離
點(diǎn)P到平面α的距離,等于點(diǎn)P與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)A連線所得向量,在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長(zhǎng)度,即d=|·n0|.
　　3.點(diǎn)到直線的距離
若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn),l0是直線l的單位方向向量,點(diǎn)A是直線l上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l的距離為d=.
十四、計(jì)數(shù)原理
1.排列與排列數(shù)
(1)排列
一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
(2)排列數(shù)公式
=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].
2.組合與組合數(shù)
(1)組合
一般地,從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素為一組,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
(2)組合數(shù)公式
===.
(3)組合數(shù)的性質(zhì)
①=;②=+.
3.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn,簡(jiǎn)寫成(a+b)n=an-kbk.
(2)二項(xiàng)式通項(xiàng):Tk+1=an-kbk,通項(xiàng)為二項(xiàng)展開(kāi)式的第(k+1)項(xiàng).
4.二項(xiàng)式系數(shù)的和:(a+b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即+++…+=2n.
十五、概率
　　1.條件概率
設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.
2.乘法公式與事件的獨(dú)立性
(1)乘法公式
P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).
P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).
(2)相互獨(dú)立事件
如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的兩個(gè)事件就叫作相互獨(dú)立事件.事件A與事件B相互獨(dú)立 P(AB)=P(A)P(B).
3.全概率公式
設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)任意一個(gè)事件A有P(A)=P(Bi)P(A|Bi),稱此公式為全概率公式.
4.離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差
名稱 表現(xiàn)形式(或公式) 性質(zhì)
分布列 Xx1x2…xnPp1p2…pn
pi>0,i=1,2,…,n,…; p1+p2+…+pn+…=1
期望 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn E(aX+b)=aEX+b
方差 DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi (1)D(aX+b)= a2DX; (2)DX=E(X2)-(EX)2
　　5.幾種常見(jiàn)的概率分布
名稱 概念(或公式) 數(shù)字特征
二項(xiàng)分布 P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.記作X~B(n,p) EX=np; DX=np(1-p)
超幾何 分布 P(X=k)=,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+ EX=
正態(tài)分布 隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X~N(μ,σ2) 若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2; P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5
十六、統(tǒng)計(jì)案例
　　1.線性回歸方程
方程=x+是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回歸方程,其中,是待定參數(shù),其最小二乘估計(jì)分別為
2.相關(guān)系數(shù)
r=.
3.2×2列聯(lián)表
　　B A　　 B1 B2 總計(jì)
A1 a b a+b
A2 c d c+d
總計(jì) a+c b+d a+b+c+d
　　4. 獨(dú)立性檢驗(yàn):χ2=,其中n=a+b+c+d.

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