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平面向量
一．向量有關概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：
2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；
③平行向量無傳遞性！（因為有)；
④三點共線共線；
6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如
下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；
2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；
3．坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1＋e2。如
（1）若，則______（答：）；
（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是
A. B.
C. D.
（答：B）；
（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；
（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___
（答：0）
四．實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。
五．平面向量的數量積：
1．兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
2．平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即＝。規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是一個實數，不再是一個向量。如
（1）已知，與的夾角為，則等于____
（答：1）；
（2）已知，則等于____
（答：）；
（3）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____
（答：）
3．在上的投影為，它是一個實數，但不一定大于0。如
已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）
4．的幾何意義：數量積等于的模與在上的投影的積。
5．向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；
②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如
（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______
（答：或且）；
六．向量的運算：
1．幾何運算：
①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如
（1）化簡：①___；②____；③_____
（答：①；②；③）；
（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____
（答：）；
2．坐標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。如
（1）已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上
（答：）；
（2）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標是
（答：（9,1））
②實數與向量的積：。
③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如
設，且，，則C、D的坐標分別是__________
（答：）；
④平面向量數量積：。如
已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）,若x＝，求向量、的夾角；
⑤向量的模：。如
已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____ （答：）；
⑥兩點間的距離：若，則。
七．向量的運算律：
1．交換律：，，；
2．結合律：，；
3．分配律：，。
如
下列命題中：① ；② ；③
；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是_____（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？
八．向量平行(共線)的充要條件：＝0。如
(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同（答：2）；
（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；
（3）設，則k＝_____時，A,B,C共線（答：－2或11）
九．向量垂直的充要條件： .
如
(1)已知，若，則 （答：）；
（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
已知向量，且，則的坐標是________ （答：）
十．有關推論
三角形ABC內一點O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,點M滿足OA+OB+OC=OM，則M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且滿足OA+OB+OC=0，則O是三角形ABC的重心。
三點共線：三點A,B,C共線推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
平面三角形ABC內有一點O，則S△BCO*OA+S△ACO*OB+S△ABO*OC=0
十一.極化恒等式
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