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考 前 必 背
第1章　直線與方程
一、直線的斜率與傾斜角
直線l的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.
規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.
若直線l的傾斜角α≠90°,則其斜率k=tan α.
若P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直線l上的兩點,則l的斜率k=.
二、直線的方程
直線方程的五種形式及適用范圍:
名稱 幾何條件 方程 適用條件
點斜式 直線上一定點(x0,y0)、斜率k y-y0=k(x-x0) 不與x軸垂直的直線
斜截式 直線在y軸上的截距b、斜率k y=kx+b
兩點式 直線上兩點(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) = 與兩坐標軸均不垂直的直線
截距式 直線在x軸上的截距a、直線在y軸上的截距b +=1 (a≠0,b≠0) 不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線
一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直線
三、兩條直線的平行與垂直
1.兩條直線的平行
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
對應關系 l1∥l2 k1=k2 l1∥l2 兩直線斜率都不存在
圖示
　　2.兩條直線的垂直
圖示
對應關系 l1⊥l2(兩直線斜率都存在) k1·k2=-1 l1的斜率不存在,l2的斜率為0 l1⊥l2
　　3.兩條直線的交點
直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2的交點坐標就是方程組的解.
四、平面上的距離
1.兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離為P1P2=.
2.點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.
3.兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)間的距離d=.
第2章　 圓與方程
一、圓的方程
1.標準形式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r.
2.一般形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心坐標為,半徑r=(存在條件:D2+E2-4F>0).
二、點與圓的位置關系
已知點M(x0,y0)和圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),設點M到圓心的距離為d,則點M在圓內 dr.
三、直線與圓的位置關系
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數(shù) 2 1 0
判定方法 幾何法:設圓心(a,b)到直線的距離d= dr
代數(shù)法:由消元得到一元二次方程的判別式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
四、圓與圓的位置關系
　　設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置關系 方法
幾何法:根據(jù)圓心距d=O1O2與r1+r2或|r1-r2|的大小關系進行判斷 代數(shù)法:根據(jù)兩圓方程組成的方程組的解的個數(shù)進行判斷
外離 d>r1+r2 無解
外切 d=r1+r2 一組實數(shù)解
相交 |r1-r2|內切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解
內含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解
第3章　圓錐曲線與方程
一、橢圓的定義、標準方程和幾何性質
定義 平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓
標準方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
圖形
幾 何 性 質 范圍 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a
對稱性 對稱軸:兩坐標軸　　對稱中心:坐標原點
頂點 A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a); B1(-b,0),B2(b,0)
軸長 長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b
焦距 F1F2=2c
離心率 e=∈(0,1)
a,b,c 的關系 a2=b2+c2
二、雙曲線的定義、標準方程和幾何性質
定義 平面內到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫作雙曲線
標準方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
圖形
幾 何 性 質 范圍 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≥a或y≤-a
對稱性 對稱軸:兩坐標軸　對稱中心:坐標原點
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線 y=±x y=±x
離心率 e=∈(1,+∞)
實虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實軸,且A1A2=2a,線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,且B1B2=2b;a叫作雙曲線的實半軸長,b叫作雙曲線的虛半軸長
a,b,c 的關系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
三、拋物線的定義、標準方程和幾何性質
定義 平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線,定點F叫作拋物線的焦點,定直線l叫作拋物線的準線
標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的幾何意義:焦點F到準線l的距離
圖形
頂點 O(0,0)
對稱軸 x軸 y軸
焦點 F F F F
離心率 e=1
準線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
通徑長 2p
四、直線與圓錐曲線的位置關系的判斷
　　聯(lián)立直線l與圓錐曲線C的方程,消去x(或y),得到一個關于變量y(或x)的方程,即ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),則
(1)若a=0,則得到一個一元一次方程,此時直線l與C相交(1個交點),若C為雙曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行或重合于拋物線的對稱軸.
(2)若a≠0,則當Δ>0時,l與C相交(2個交點);當Δ=0時,l與C相切(1個交點);當Δ<0時,l與C相離(無交點).
五、圓錐曲線的弦長公式
　　當直線斜率存在時,不妨設直線y=kx+b與圓錐曲線C相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則可得弦長公式:AB=|x1-x2|=·或AB=|y1-y2|=·(k≠0);
當直線斜率不存在時,AB=|y2-y1|.
第4章　數(shù)列
一、等差數(shù)列
　　1.等差數(shù)列的定義
一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.
2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式
設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d,前n項和公式為Sn=或Sn=na1+d.
二、等比數(shù)列
　　1.等比數(shù)列的定義
一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為=q(n∈N*,q為非零常數(shù),an的各項均不為0).
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,則其通項公式為an=a1qn-1,前n項和公式為Sn=
3.常見的數(shù)列求和方法
分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法、并項求和法.
第5章　導數(shù)及其應用
一、導數(shù)的幾何意義
　　函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k=f '(x0).
二、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
基本初等函數(shù) 導數(shù)
f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)) f '(x)=k
f(x)=C(C為常數(shù)) f '(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*) f '(x)=αxα-1
f(x)=sin x f '(x)=cos x
f(x)=cos x f '(x)=-sin x
f(x)=ex f '(x)=ex
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a
f(x)=ln x f '(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=logae=
三、導數(shù)的運算法則
　　已知函數(shù)f(x),g(x)的導數(shù)f '(x),g'(x)均存在,則有
(1)[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=(g(x)≠0).
四、復合函數(shù)的導數(shù)
　　復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為y'x=y'u·u'x,即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.
五、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系
　　已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上可導,若f '(x)>0,則f(x)在(a,b)內單調遞增;若f '(x)<0,則f(x)在(a,b)內單調遞減;若f '(x)=0,則f(x)在(a,b)內是常數(shù)函數(shù).
六、函數(shù)的極值與導數(shù)
條件 f '(x0)=0
x0左側的附近:f '(x)>0,x0右側的附近:f '(x)<0 x0左側的附近:f '(x)<0,x0右側的附近:f '(x)>0
圖象
極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值
極值點 x0為極大值點 x0為極小值點
七、函數(shù)的最值
　　1.在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.
2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.

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