資源簡介

目錄
CH1. 伯努利不等式 ............................................................................................................................................ 2
CH2. 均值不等式 ................................................................................................................................................ 2
CH3.冪均不等式 .................................................................................................................................................. 2
CH4. 柯西不等式 ................................................................................................................................................ 3
CH5. 切比雪夫不等式 ....................................................................................................................................... 4
CH6. 排序不等式 ................................................................................................................................................ 5
CH6. 排序積不等式（新加） .......................................................................................................................... 6
CH7. 琴生不等式 ................................................................................................................................................ 6
CH8. 波波維奇亞不等式 ................................................................................................................................... 7
CH9. 加權(quán)不等式 ................................................................................................................................................ 8
CH10. 赫爾德不等式 ......................................................................................................................................... 8
CH11.閔可夫斯基不等式 ................................................................................................................................ 10
CH12.牛頓不等式 .............................................................................................................................................. 10
CH13.麥克勞林不等式 ..................................................................................................................................... 11
CH14.定義多項(xiàng)式 .............................................................................................................................................. 11
CH15.舒爾不等式 .............................................................................................................................................. 12
CH16. 定義序列 ................................................................................................................................................ 14
CH17.繆爾海德不等式 ..................................................................................................................................... 14
CH18.卡拉瑪塔不等式 ..................................................................................................................................... 15
CH19.單調(diào)函數(shù)不等式 ..................................................................................................................................... 16
CH20. 3個對稱變量 pqr 法........................................................................................................................... 16
CH21. 3個對稱變量 uvw法 .......................................................................................................................... 17
CH22. ABC 法 .................................................................................................................................................. 18
CH23. SOS 法 ................................................................................................................................................... 18
CH24. SMV 法 ................................................................................................................................................. 19
CH25.拉格朗日乘數(shù)法 ..................................................................................................................................... 20
CH26.三角不等式 .............................................................................................................................................. 21
CH27.習(xí)題 ........................................................................................................................................................... 22
CH27.習(xí)題解析 .................................................................................................................................................. 23
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
Ch1. 伯努利不等式
1.1 若實(shí)數(shù) x （ i 1,2, ...,n）各項(xiàng)符號相同，且 x 1，則： i i
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1 x x ... x (1) 1 2 n 1 2 n
(1)式為伯努利不等式.
當(dāng) x x ... x x時， (1)式變?yōu)椋?n1 2 n (1 x) 1 nx (2)
Ch2. 均值不等式
2.1 若a ,a , ...,a 為正實(shí)數(shù)，記：
1 2 n
2 2
a a 2... a
⑴ Q 1 2 n ，為平方平均數(shù)，簡稱平方均值；
n
n
a a ... a
⑵ A 1 2 n ，為算術(shù)平均數(shù)，簡稱算術(shù)均值；
n
n
⑶ G n a a ...an 1 2 n ，為幾何平均數(shù)，簡稱幾何均值；
n
⑷ H ，為調(diào)和平均數(shù)，簡稱調(diào)和均值.
n 1 1 1
...
a a a
1 2 n
則： Q A G H
n n n n (3)
iff a a ... a 時，等號成立. （注： iff if and only if 當(dāng)且僅1 2 n
當(dāng).）
(3)式稱為均值不等式.
Ch3.冪均不等式
3.1 設(shè)a (a ,a , ...,a )1 2 n 為正實(shí)數(shù)序列，實(shí)數(shù) r 0 ，則記：
1
r r ra a ... a r
M (a) 1 2 n
r (4)
n
(4)式的 M (a)r 稱為冪平均函數(shù).
3.2 若a (a ,a , ...,a ) r 01 2 n 為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù) ，則：
M (a) M (a)
r s (5)
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當(dāng) r s時， (5)式對任何 r 都成立，即 M (a)關(guān)于 r 是單調(diào)遞增函數(shù). r
(5)式稱為冪平均不等式，簡稱冪均不等式.
3.3 設(shè) m (m ,m , ...,m ) 為非負(fù)實(shí)數(shù)序列，且 m m ... m 1 ，若
1 2 n 1 2 n
a (a ,a , ...,a )為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù) r 0 ，則：
1 2 n
1
m r r rM (a) (m a m a ... m a )r
r 1 1 2 2 n n (6)
(6)式稱為加權(quán)冪平均函數(shù).
3.4 若 a (a ,a , ...,a ) 為 正 實(shí) 數(shù)序 列 ，且 實(shí)數(shù) r 0 ， 對 mM (a) 則 ：
1 2 n r
m
M (a) mM (a)
r s
1 1
即： r(m a r rm a ... m a )r s s(m a m a s... m a ) s
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n (7 )
當(dāng) 時， 式對任何 都成立，即 mr s (7 ) r M (a)關(guān)于 r 是單調(diào)遞增函數(shù). r
(7 )式稱為加權(quán)冪平均不等式，簡稱加權(quán)冪均不等式.
Ch4. 柯西不等式
4.1 若a ,a , ...,a 和b ,b , ...,b 均為實(shí)數(shù)，則：
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2(a a ... a )(b b ... b ) (a b a b ... a b )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n (8)
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.（注： iff if and only if 當(dāng)且僅
b b b
1 2 n
當(dāng).）
(8)式為柯西不等式.
4.2 柯西不等式還可以表示為：
2 2a a 2 2 2 2... a b b ... b a b a b ... a b
( 1 2 n )( 1 2 n ) ( 1 1 2 2 n n 2)
n n n
(9)
簡稱：“平方均值兩乘積，大于積均值平方”
a b a b ... a b
我 們 將 1 1 2 2 n n 簡 稱 為 積 均 值 ， 記 ：
n
a b a b ... a b
D 1 1 2 2 n n
n .
n
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則： 2 2 4[Q (a)] [Q (b)] [D (ab)] ，即： Q (a)Q (b) D (ab)
n n n n n n (10)
4.3 推論 1：若a,b,c, x, y, z 為實(shí)數(shù)， x, y, z 0 ，則：
2 2 2 2a a a (a a ... a )
1 2 ... n 1 2 n (11)
b b b b b ... b
1 2 n 1 2 n
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
b b b
1 2 n
(11)式是柯西不等式的推論，稱權(quán)方和不等式.
4.4 推論 2：若a ,a , ...,a 和b ,b , ...,b 均為實(shí)數(shù)，則：
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2 2a b a b ... a b (a a ... a ) (b b ... b )
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
(12)
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
b b b
1 2 n
4.5 推論 3：若a,b,c, x, y, z 為正實(shí)數(shù)，則：
x y z
(b c) (c a) (a b) 3(ab bc ca) (13)
y z z x x y
Ch5. 切比雪夫不等式
5.1 若a a ... a ；b b ... b ，且均為實(shí)數(shù).則：
1 2 n 1 2 n
(a a ... a )(b b ... b ) n(a b a b ... a b )
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n (14)
iff a a ... a 或 b b ... b 時，等號成立. 1 2 n 1 2 n
(12)式為切比雪夫不等式.
由于有 a a ... a ，b b ... b1 2 n 條件，即序列同調(diào)， 1 2 n
所以使用時，常采用WLOG a a ... a1 2 n ……
(注：WLOG Without Loss Of Generality 不失一般性)
5.2 切比雪夫不等式常常表示為：
a a ... a b b ... b a b a b ... a b
( 1 2 n )( 1 2 n ) ( 1 1 2 2 n n ) (15)
n n n
簡稱：“切比雪夫同調(diào)數(shù)，均值積小積均值”.
即：對切比雪夫不等式采用同單調(diào)性的兩個序列表示時，兩個序列數(shù)的均
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值之積不大于兩個序列數(shù)各積之均值. 則： 2A (a)A (b) [D (ab)]
n n n
即： A (a)A (b) D (ab)
n n n (16)
Ch6. 排序不等式
6.1 若a a ... a ；b b ... b 為實(shí)數(shù)，對于 (a ,a , ...,a )的任何輪換
1 2 n 1 2 n 1 2 n
(x , x , ..., x )，都有下列不等式：
1 2 n
a b a b ... a b x b x b ... x b a b a b ... a b
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n n 1 n 1 2 1 n
(17 )
(17 )式稱排序不等式（也稱重排不等式）.
其中， a b a b ... a b 稱正序和， a b a b ... a b 稱反序和，
1 1 2 2 n n n 1 n 1 2 1 n
x b x b ... x b 稱亂序和. 故 (17 )式可記為： 1 1 2 2 n n
正序和 亂序和 反序和 (18)
6.2 推論：若a ,a , ...,a 為實(shí)數(shù)，設(shè) (x , x , ..., x )為 (a ,a , ...,a )的一個排序，
1 2 n 1 2 n 1 2 n
則：
2 2 2
a a ... a a x a x ... a x
1 2 n 1 1 2 2 n n (19)
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Ch6. 排序積不等式（新加）
設(shè)a1 a2 ..... an ,b1 b2 ..... bn ,
xi 是 ai的一個排列， yi 是 bi的一個排列,
ai bi 0, xi yi 0, (i 1,2...n,n 2)
n n
求證 (ai bi ) (xi yi )
i 1 i 1
證明：不妨設(shè)xi =ai，(i 1,2...n),設(shè)yt最小，如果t 1,
(x1 y1)(xt yt ) (a1 y1)(at yt )，現(xiàn)在我們交換
y1和yt，得到新的乘積(a1 yt )(at y1),由于，
(a1 yt )(at y1)-(a1 y1)(at yt )=a1y1 at yt a1yt at y1
有排序不等式，上式大于等于0，也就是交換yt和y1的
n
位置 (xi yi )不會變小，同時新的兩數(shù)大小在舊的兩
i 1
數(shù)之間，依然是大于等于0的，這樣我們把b1=yt調(diào)整到
第一個位置，類似的我們可以將bk (k 2,...n)調(diào)整到第
n
k個位置變成 (ai bi )，于是我們有
i 1
n n
(ai bi ) (xi yi ) 證畢。
i 1 i 1
類似的可以證明如下結(jié)論：
設(shè)a1 a2 ..... an 0,b1 b2 ..... bn 0,
xi 是 ai的一個排列， yi 是 bi的一個排列,
n n
求證 (xi yi ) (ai bi )
i 1 i 1
Ch7. 琴生不等式
7.1 定義凸函數(shù)：對一切 x, y [a,b]， (0,1)，若函數(shù) f :[a,b] R是向下
凸函數(shù)，則：
f ( x (1 )y) f (x) (1 ) f ( y) (20)
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(20)式是向下凸函數(shù)的定義式.
注： f :[a,b] R表示區(qū)間[a,b]和函數(shù) f (x)在[a,b]區(qū)間都是實(shí)數(shù).
7.2 若 f : (a,b) R對任意 x (a,b)，存在二次導(dǎo)數(shù) f ''(x) 0 ，則 f (x) 在
(a,b)區(qū)間為向下凸函數(shù)；iff x (a,b)時，若 f ''(x) 0，則 f (x)在(a,b)
區(qū)間為嚴(yán)格向下凸函數(shù).
7.3 若 f , f , ..., f 在
1 2 n (a,b)區(qū)間為向下凸函數(shù)，則函數(shù)c f c f ... c f 在1 1 2 2 n n
在 (a,b)區(qū)間對任何 c ,c , ...,c (0, )也是向下凸函數(shù). 1 2 n
7.4 若 f : (a,b) R 是 一 個 在 (a,b) 區(qū) 間 的 向 下 凸 函 數(shù) ， 設(shè) n N ，
, , ..., (0,1) 為 實(shí) 數(shù) ， 且 ... 1 ， 則 對 任 何
1 2 n 1 2 n
x , x , ..., x (a,b)，有：
1 2 n
f ( x x ... x ) f (x ) f (x ) ... f (x )
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n (21)
(21)式就是加權(quán)的琴生不等式.
簡稱：“對于向下凸函數(shù)，均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值”.
Ch8. 波波維奇亞不等式
8.1 若 f :[a,b] R是一個在[a,b]區(qū)間的向下凸函數(shù)，則對一切 x, y, z [a,b]，
有：
x y z f (x) f ( y) f (z) 2 x y y z z x
f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( )]
3 3 3 2 2 2
(22)
(22)式就是波波維奇亞不等式.
8.2 波波維奇亞不等式可以寫成：
x y z f (x) f ( y) f (z) x y y z z x
f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
3 3 2 2 2
2 3
(23)
簡稱：“對于向下凸函數(shù)的三點(diǎn)情況，三點(diǎn)均值的函數(shù)與函數(shù)的均值之平
均值，不小于兩點(diǎn)均值的函數(shù)值之平均值”.
8.3 若 f :[a,b] R是一個在[a,b]區(qū)間的向下凸函數(shù)，a ,a , ...,a [a,b]1 2 n ，則：
f (a ) f (a ) ... f (a ) n(n 2) f (a) (n 1)[ f (b ) f (b ) ... f (b )]
1 2 n 1 2 n
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(24)
a a ... a 1
其中： a 1 2 n ，b a （對所有的 i ） i j
n n 1 i j
(24)式是普遍的波波維奇亞不等式.
x y z y z z x
當(dāng) a x，a y ，a z ，n 3時，a ，b ，b ，
1 2 3 1 2
3 2 2
x y
b
3
2
代入 (23)式得：
x y z y z z x x y
f (x) f ( y) f (z) 3 f ( ) 2[ f ( ) f ( ) f ( )]
3 2 2 2
x y z f (x) f ( y) f (z) 2 x y y z z x
即： f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( )]
3 3 3 2 2 2
(25)
(25)式正是 (22)式.
Ch9. 加權(quán)不等式
9.1 若a (0, )， [0,1]（ i 1,2, ...,n），且 ... 1，則： i i 1 2 n

a 1a 2 ...a n a a ... a
1 2 n 1 1 2 2 n n (26)
(26)式就是加權(quán)的均值不等式，簡稱加權(quán)不等式.
(26)式形式直接理解為：幾何均值不大于算術(shù)均值.
Ch10. 赫爾德不等式
p q
1 1 a b
10.1 若實(shí)數(shù)a,b 0，實(shí)數(shù) p,q 1且 1，則：ab (27 )
p q p q
p q
iff a b 時，等號成立.
(27 )式稱為楊氏不等式.
1 1
10.2 若a ,a , ...a 和b ,b , ...b1 2 n 1 2 n為正實(shí)數(shù)， p,q 1且 1，則：
p q
1 1
p p pa b a b ... a b (a a ... a ) p q q q(b b ... b )q
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
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(28)
(28)式稱為赫爾德不等式.
p p p
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
q q q
b b b
1 2 n
10.3 赫爾德不等式還可以寫成：
p p
1
p q q q
1
a b a b ... a b a a ... a p b b ... b1 1 2 2 n n ( 1 2 n ) ( 1 2 n )q
n n n
(29)
即： 2[D (ab)] M (a)M (b)n p q ，即： M (a)M (b) D (ab) (30) p q n
簡稱：“冪均值的幾何均值不小于積均值”.
1 1
（注：赫爾德與切比雪夫的不同點(diǎn)：赫爾德要求是 1，切比雪夫要
p q
求是同調(diào)；赫爾德的積均值小，切比雪夫的積均值大.）
10.4 若 a ,a , ...a 、 b ,b , ...b 和 m ,m , ...m 為三個正實(shí)數(shù)序列， p,q 1 且1 2 n 1 2 n 1 2 n
1 1
1，則：
p q
1 1
n n p p
n
q q a b m a m b m i i i i i i i (31)
i 1 i 1 i 1
(31)式稱為加權(quán)赫爾德不等式.
p p p
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
q q q
b b b
1 2 n
10.5 若 aij ( i 1,2, ...,m ; j 1,2, ...,n ) ， , , ..., 為 正 實(shí) 數(shù) 且1 2 n
... 1，則：
1 2 n
m n n m

( a j ) ( a ) jij ij (32)
i 1 j 1 j 1 i 1
(32)式稱為普遍的赫爾德不等式.
10.6 推論：若 a ,a ,a N ，b ,b ,b N ，c ,c ,c N1 2 3 1 2 3 1 2 3 ，則：
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3(a a a )(b b b )(c c c ) (a b c a b c a b c )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
(33)
簡稱：“立方和的乘積不小于乘積和的立方”.
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Ch11.閔可夫斯基不等式
11.1 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b 為正實(shí)數(shù)，且
1 2 n 1 2 n p 1，則：
n 1 n 1 n 1
p p p p( (a b ) ) ( a ) p ( b ) p (34) i i i i
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
b b b
1 2 n
(34)式稱為第一閔可夫斯基不等式.
11.2 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b 為正實(shí)數(shù)，且 p 1，則： 1 2 n 1 2 n
1
n n p n
1
p p p p( a ) ( b ) (a b ) p i i i i (35)
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
b b b
1 2 n
(35)式稱為第二閔可夫斯基不等式.
11.3 若a ,a , ...,a ；b ,b , ...,b ；m ,m , ...,m 為三個正實(shí)數(shù)序列，且 ，
1 2 n 1 2 n 1 2 n p 1
則：
n 1 n 1 n 1
p( (a b ) m ) p p( a m ) p (i i i i i
p
b m ) p (36)
i i
i 1 i 1 i 1
a a a
iff 1 2 ... n 時，等號成立.
b b b
1 2 n
(36)式稱為第三閔可夫斯基不等式.
Ch12.牛頓不等式
12.1 若a ,a , ...,a1 2 n為任意實(shí)數(shù)，考慮多項(xiàng)式：
n n 1P(x) (x a )(x a )...(x a ) c x c x ... c x c
1 2 n 0 1 n 1 n (37 )
的系數(shù) c ,c , ...,c0 1 n 作為a ,a , ...,a1 2 n 的函數(shù)可表達(dá)為：
c 1
0 ；
c a a ... a
1 1 2 n ；
c a a a a ... a a a a2 1 2 1 3 n 1 n i j ；（ i j n）
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c a a a ；（ ） 3 i j k i j k n
……
c a a ...a .
n 1 2 n
c
k k !(n k)!對每個 k 1,2, ...,n，我們定義 p c k k (38) k
C n!
n
則 (37 )式類似于二項(xiàng)式定理，系數(shù)為： kc C p . k n k
12.2 若a ,a , ...,a 為正實(shí)數(shù)，則對每個
1 2 n k 1,2, ...,n 1有：
2p p p
k 1 k 1 k (39)
iff a a ... a 時，等號成立. 1 2 k
(39)式稱為牛頓不等式.
Ch13.麥克勞林不等式
13.1 若a ,a , ...,a 為正實(shí)數(shù)，按
1 2 n (38)定義，則：
1 1 1
p p 2 ... p k ... p n
1 2 k n (40)
iff a a ... a 時，等號成立. 1 2 k
(40)稱麥克勞林不等式.
Ch14.定義多項(xiàng)式
14.1 若 x , x , ..., x 為正實(shí)數(shù)序列，并設(shè) , , ..., 為任意實(shí)數(shù).
1 2 n 1 2 n
記： F(x , x , ..., x ) x 1 x 2 ...x n ；
1 2 n 1 2 n
T[ , , ..., ]為F(x , x , ..., x )所有可能的積之和，遍及 , , ..., 1 2 n 1 2 n 1 2 n 的所
有輪換.
14.2 舉例說明
⑴ T[1,0,0]：表示共有 3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6 項(xiàng).第1個參數(shù)
的指數(shù)是1，第 2和第 3個參數(shù)的指數(shù)是0 .
故：T[1,0,0] 1 0 0 1 0 0 1 0 0(3 1)! (x y z y x z z y x ) 2(x y z) .
⑵ T[1,1]：表示共有 2個參數(shù)的所有積之和，共有 2! 2項(xiàng).第1個和第2
個參數(shù)的指數(shù)是1.
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故： 1 1T[1,1] (2 1)! (x y ) 2xy .
⑶ T[1,2]：表示共有 2個參數(shù)的所有積之和，共有2! 2項(xiàng).第1個參數(shù)的
指數(shù)是 1，第 2個參數(shù)的指數(shù)是 2 .
故： 1 2 1 2 2 2T[1,2] (2 1)! (x y y x ) xy x y .
⑷ T[1,2,1]：表示共有 3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6 項(xiàng).第1個參數(shù)
的指數(shù)是1，第 2個參數(shù)的指數(shù)是 2，第 3個參數(shù)的指數(shù)是
1.
故： 2 2 2T[1,2,1] 2(xy z x yz xyz ).
即：T[1,2,1] T[2,1,1]
⑸ T[2,1,0]：表示共有 3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6 項(xiàng).第1個參數(shù)
的指數(shù)是 2，第 2個參數(shù)的指數(shù)是1，第 3個參數(shù)的指數(shù)是
0 .
故： 2 2 2 2 2 2T[2,1,0] x y x z y x y z z x z y .
⑹ T[3,0,0]：表示共有 3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6 項(xiàng).第1個參數(shù)
的指數(shù)是 3，第 2個和第 3個參數(shù)的指數(shù)是0 .
故： 3 3 3T[3,0,0] 2(x y z ).
⑺ T[a,b,c]：表示共有 3個參數(shù)的所有積之和，共有3! 6 項(xiàng).第1個參數(shù)
的指數(shù)是a ，第 2個參數(shù)的指數(shù)是b ，第 3個參數(shù)的指數(shù)是
c .
故： a b c a c b b c a b a c c a b c b aT[a,b,c] x y z x y z x y z x y z x y z x y z .
由于 T[a,b,c] T[b,c,a] T[c,a,b] T[c,b,a] T[b,a,c] ... 表達(dá)式 比較
多，
所以我們規(guī)定：T[a,b,c]（ a b c）.
Ch15.舒爾不等式
15.1 若 R，且 0，則：
T[ 2 ,0,0] T[ , , ] 2T[ , ,0] (41)
(41)式稱為舒爾不等式.
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15.2 解析 (41)式
T[ 2 2 2 2 ,0,0] 2(x y z )；

T[ , , ] 2(x y z x y z x y z )；
T[ , ,0] x y x y y z y z x z x z
將上式代入 (41)式得：
2 2 2 x y z x y z x y z x y z
x y x y y z y z x z x z
即： 2 2 2 x y z x y z x y z x y z
x y x y y z y z x z x z 0
即： 2 2 x (x y z x y x z ) y ( y x z x y y z )
2 z (z x y y z x z ) 0
即 ：
x (x y )(x z ) y ( y z )( y x ) z (z x )(z y ) 0 (42)
(42)式與 (41)式等價，稱為舒爾不等式.
15.3 若實(shí)數(shù) x, y, z 0 ，設(shè) t R，則：
t t t
x (x y)(x z) y ( y z)( y x) z (z x)(z y) 0 (43)
iff x y z或 x y, z 0 及輪換，等號成立.
按照 (41)式寫法，即： t， 1，則：
T[t 2,0,0] T[t,1,1] 2T[t 1,1,0] (44)
(43)式是我們最常見的舒爾不等式形式.
15.4 推論：設(shè)實(shí)數(shù) x, y, z 0 ，實(shí)數(shù)a,b,c 0且a b c或a b c，則：
a(x y)(x z) b( y z)( y x) c(z x)(z y) 0 (45)
式中， t(43) x a ， t ty b， z c，就得到 (45) 式.
15.5 推論：設(shè)實(shí)數(shù) x, y, z 0 ，則：
3 3 3
3xyz 3 3 3x y z 2[(xy)2 ( yz)2 (zx)2 ] (46)
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15.6 推論：若 k (0,3]，則對于一切a,b,c R ，有：
2
2 2 2(3 k) k(abc)k a b c 2(ab bc ca) (47 )
Ch16. 定義序列
16.1 設(shè)存在兩個序列 n n( i )i 1 ( 1, 2 , ..., n)和 ( i )i 1 ( 1, 2 , ..., n)，當(dāng)滿
足下列條件：
⑴ 1 2 ... n 1 2 ... n ①
⑵ 1 2 ... n且 1 2 ... n ②
⑶ 1 2 ... s 1 2 ... s ③
對一切 s [1,n]，③式都成立.
則： n n( i )i 1就是 ( i )i 1的優(yōu)化值，記作： ( i ) ( i ).
注：這里的序列只有定性的比較，沒有定量的比較.
Ch17.繆爾海德不等式
17.1 若 x1, x2 , ..., xn 為非負(fù)實(shí)數(shù)序列，設(shè) ( i ) 和 ( i ) 為正實(shí)數(shù)序列，且
( i ) ( i )，則：
T[ i ] T[ i ] (48)
iff ( i ) ( i )或 x1 x2 ... xn 時，等號成立.
(48)式就繆爾海德不等式.
17.2 解析 (48)式
若 實(shí)數(shù) a1 a2 a3 0 ， 實(shí) 數(shù) b1 b2 b3 0 ， 且滿 足 a1 b1 ，
a1 a2 b1 b2 ，a1 a2 a3 b1 b2 b3；設(shè) x, y, z 0 ，則：滿足序列
(b1,b2 ,b3 ) (a1,a2 ,a3 )條件，
則 ：
b b b b b b b b b b b b b b b b b b
T[b1,b2 ,b3] x
1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 2 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
T[a1,a2 ,a3] x
1 y 2 z 3 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 x 2 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 x 3 y 2 z 1
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即 (48)式為： T[b1,b2 ,b3] T[a1,a2 ,a3]
用通俗的方法表達(dá)即： a a a b b b x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 (49)
sym sym
(49)式就繆爾海德不等式的常用形式.
17.3 例題：設(shè) (x, y, z)為非負(fù)變量序列，考慮 (2,2,1)和 (3,1,1) .
由 16.1 中的序列優(yōu)化得： (2,2,1) (3,1,1)
由繆爾海德不等式 (48)式得：T[2,2,1] T[3,1,1] ①
2 2 2 2 2 2
T[2,2,1] 2(x y z x yz xy z ) ②
3 3 3
T[3,1,1] 2(x yz xy z xyz ) ③
將②③代入①得： 2 2 2 2 2 2 3 3x y z x yz xy z x yz xy z 3xyz
即： 2 2 2xy yz zx x y z ④
由柯西不等式： 2 2 2 2 2 2 2(x y z )( y z x ) (xy yz zx)
即： 2 2 2 2 2(x y z ) (xy yz zx)
即： 2 2 2x y z xy yz zx ⑤
⑤式④式等價，這就證明了④式是成立的，而繆爾海德不等式直接得到
①式是成立的.
⑤式可以用T[2,0,0] T[1,1,0]來表示，這正是繆爾海德不等式的(48)式.
Ch18.卡拉瑪塔不等式
18.1 設(shè)在實(shí)數(shù)區(qū)間 I R的函數(shù) f 為向下凸函數(shù)，且當(dāng)ai ,bi I（ i 1,2, ...,n）
兩個序列 n 和 n(ai )i 1 (bi )i 1滿足 (ai ) (bi )，則：
f (a1) f (a2 ) ... f (an) f (b1) f (b2 ) ... f (bn) (50)
(50)式稱為卡拉瑪塔不等式.
18.2 若函數(shù) f 為嚴(yán)格向下凸函數(shù)，即不等取等號， (ai ) (bi ) ，且(ai ) (bi )，
則：
f (a1) f (a2 ) ... f (an) f (b1) f (b2 ) ... f (bn) (51)
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若函數(shù) f 為嚴(yán)格向上凸函數(shù)，則卡拉瑪塔不等式反向.
Ch19.單調(diào)函數(shù)不等式
19.1 若實(shí)數(shù)函數(shù) f : (a,b) R在區(qū)間 (a,b)對一切 x, y (a,b)為單調(diào)增函數(shù)，
則當(dāng) x y時，有 f (x) f ( y)；若 f 在區(qū)間 (a,b)對一切 x, y (a,b)為嚴(yán)
格單調(diào)增函數(shù)，當(dāng) x y 時，有 f (x) f ( y).
19.2 若實(shí)數(shù)函數(shù) f : (a,b) R在區(qū)間 (a,b)對一切 x, y (a,b)為單調(diào)減函數(shù)，
則當(dāng) x y時，有 f (x) f ( y)；若 f 在區(qū)間 (a,b)對一切 x, y (a,b)為嚴(yán)
格單調(diào)減函數(shù)，當(dāng) x y 時，有 f (x) f ( y).
19.3 若實(shí)數(shù)函數(shù) f : (a,b) R在區(qū)間 (a,b)為可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)對一切 x (a,b)，
f '(x) 0 ，則 f 在區(qū)間 (a,b) 為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)對一切 x (a,b) ，
f '(x) 0，則 f 在區(qū)間 (a,b)為單調(diào)遞減函數(shù).
19.4 設(shè)兩個函數(shù) f :[a,b] R和 g :[a,b] R滿足下列條件：
⑴ 函數(shù) f 和 g 在[a,b]區(qū)間是連續(xù)的，且 f (a) g(a)；
⑵ 函數(shù) f 和 g 在[a,b]區(qū)間可導(dǎo)；
⑶ 導(dǎo)數(shù) f '(x) g '(x)對一切 x (a,b)成立，
則對一切 x (a,b)有： f (x) g(x) (52)
(52)式就是單調(diào)函數(shù)不等式.
Ch20. 3個對稱變量 pqr法
20.1 設(shè) x, y, z R ，對于具有變量對稱形式的不等式，采用下列變量代換：
p x y z ； q xy yz zx； r xyz，則 p,q,r R .
代換后的不等式 f ( p,q,r)，很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，這樣證明
不等式的方法稱為 pqr 法.
20.2 常用的代換如下：
⑴ 2x 2p 2q
cyc
⑵ 3x 2p( p 3q) 3r
cyc
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⑶ 2 2 2x y q 2 pr
cyc
⑷ (x y)( y z)(z x) pq r
⑸ (x y)( y 2z) p q
cyc
⑹ xy(x y) pq 3r
cyc
⑺ (1 x)(1 y)(1 z) 1 p q r
⑻ (1 x)(1 y) 3 2 p q
cyc
⑼ 2x ( y z) xy(x y) pq 3r
cyc cyc
20.3 常用的 pqr 法的不等式
若 x, y, z 0 ，則：
⑴ 3p qr 4 pq
⑵ pq 9r
⑶ 2p 3q
⑷ 3p 27r
⑸ 3 2q 27r
⑹ 2q 3 pr
⑺ 32 p 9r 7 pq
⑻ 32 p 29r 7 pqr
⑼ 2 2p q 3 pr 4q
Ch21. 3個對稱變量 uvw法
21.1 在a,b,c R的不等式中，采用下列變量代換：
3u a b c ； 2 33v ab bc ca； w abc .
上述變換強(qiáng)烈含有“平均”的意味：
u對應(yīng)“算術(shù)平均值”； v 對應(yīng)“積均值”；w 對應(yīng)“幾何平均值”.
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21.2 當(dāng)a,b,c 0時，則：u v w (53)
(53)式稱為傻瓜不等式.
即：“算術(shù)平均值”≥“積均值”≥“幾何平均值”.
21.3 若 2 3a,b,c 0，則u,v ,w 0 (54)
(54)式稱為正值定理.
21.4 若 2 3 2 2u,v ,w R，任給 a,b,c R，則當(dāng)且僅當(dāng)u v ，
且 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3w [3uv 2u 2 (u v ) ,3uv 2u 2 (u v ) ]時，
則： 3u a b c ， 2 33v ab bc ca，w abc 等式成立.
這稱為 uvw定理.
Ch22. ABC法
22.1 ABC 法即 Abstract Concreteness Method
設(shè) p x y z ； q xy yz zx； r xyz .
則函數(shù) f (x, y, z)變換為 f (r,q, p).
這與 Ch20. 3個對稱變量 pqr 法類似.
22.2 若函數(shù) f (r,q, p)是單調(diào)的，則當(dāng) (x y)( y z)(z x) 0時， f (r,q, p)達(dá)
到極值.
22.3 若函數(shù) f (r,q, p)是凸函數(shù)，則當(dāng) (x y)( y z)(z x) 0時， f (r,q, p)達(dá)
到極值.
22.4 若函數(shù) f (r,q, p) 是 r 的線性函數(shù)，則當(dāng) (x y)( y z)(z x) 0 時，
f (r,q, p)達(dá)到極值.
22.5 若函數(shù) f (r,q, p)是 r 的二次三項(xiàng)式，則當(dāng) (x y)( y z)(z x) 0 時，
f (r,q, p)達(dá)到極值.
Ch23. SOS法
23.1 SOS法即 Sum Of Squares
23.2 本法的全部思想是將給出的不等式改寫成以下形式：
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S 2 2Sa (b c) Sb(a c)
2
Sc(a b) (55)
其中， Sa , Sb , Sc 分別都是a,b,c 的函數(shù).
⑴ 若 Sa , Sb , Sc 0，則 S 0；
⑵ 若 a b c或 a b c，且 Sb , Sb Sa , Sb Sc 0 ，則 S 0；
⑶ 若 a b c或 a b c，且 Sa , Sc , Sa 2Sb , Sc 2Sb 0，則 S 0；
⑷ 若 a b c，且 2 2Sb , Sc ,a Sb b Sa 0，則 S 0；
⑸ 若 Sa Sb 0或 Sb Sc 0 或 Sc Sa 0 ，且 SaSb SbSc ScSa 0 ，
則 S 0.
23.3 常用的形式
1
⑴ 2 2a ab (a b)
2
cyc cyc cyc
1
⑵ 3 2a 3abc a (a b)
2
cyc cyc cyc
1
⑶ 2 2 3a b ab (a b)
3
cyc cyc cyc
1
⑷ 3 2a a b 2(2a b)(a b)
3
cyc cyc cyc
⑸ 3 3
1 3
a b ab a (b a)
3
cyc cyc cyc cyc
⑹ 4 2 2 2 2a a b 2 (a b) (a b)
cyc cyc cyc
Ch24. SMV 法
24.1 SMV 法即 Strong Mixing Variables Method
本法對多于 2個變量的對稱不等式非常有用.
24.2 設(shè) (x1, x2 , ..., xn )為任意實(shí)數(shù)序列，
⑴ 選擇 i, j {1,2, ...,n}使 xi min{x1, x2 , ..., xn}， x j max{x1 , x2 , ..., xn}；
xi x j
⑵ 用其平均數(shù) 代替 xi 和 x j，經(jīng)過多次代換后各項(xiàng) xi（ i 1,2, ...,n）
2
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x
都趨于相同的極限 x 1
x2 ... xn .
n
24.3 設(shè)實(shí)數(shù)空間的函數(shù)F 是一個對稱的連續(xù)函數(shù)，滿足
F(a1,a2 , ...,an) F(b1,b2 , ...,bn) (56)
其中，(b1,b2 , ...,bn)序列是由 (a1,a2 , ...,an )序列經(jīng)過預(yù)定義變換而得到的.
2
a b a
2
b
預(yù)定義變換可根據(jù)當(dāng)前的題目靈活采用，如 ， ab ， 等等.
2 2
24.4 例題說明
a b c 3
例題：設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c 0，證明： .
b c c a a b 2
解析：采用 SMV 法.
a b c
設(shè)： f (a,b,c) ①
b c c a a b
t t c 2t c
則： f (t, t,c) ②
t c c t t t t c 2t
a b
其中， t .
2
由 ② 得 ：
2t c 1 1 2t c t 1 1 3
f (t, t,c) ( ) ( ) 2
t c 2t 2 2 t c 2t 2 2 2
3
由 (56)式得： f (a,b,c) f (t, t,c) 證畢.
2
Ch25.拉格朗日乘數(shù)法
25.1 設(shè) 函 數(shù) f (x1, x2 , ..., xn) 在 實(shí) 數(shù) 空 間 的 I R 連 續(xù) 可 導(dǎo) ， 且
gi (x1, x2 , ..., xn) 0 ，其中（ i 1,2, ....k ），即有 k 個約束條件，則
f (x1, x2 , ..., xn) 的 極 值出 現(xiàn)在 I 區(qū) 間 的邊 界或 偏 導(dǎo)數(shù) （函 數(shù)為
k
L f i gi ）全部為零的點(diǎn)上.
i 1
這就是拉格朗日乘數(shù)法.
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Ch26.三角不等式
26.1 設(shè) , , (0, )，且 ，則 , , 就是同一個三角形的內(nèi)角.
26.2 若 , , 為同一個三角形的內(nèi)角，則有下列不等式：
3 3
⑴ sin sin sin ；
2
3
⑵ cos cos cos ；
2
3 3
⑶ sin sin sin ；
8
1
⑷ cos cos cos ；
8
2 2 2 9⑸ sin sin sin ；
4
⑹ 2 2 2
3
cos cos cos ；
4
⑺ tan tan tan 3 3（銳角三角形）；
⑻ cot cot cot 3 ；
3
⑼ sin sin sin ；
2 2 2 2
3 3
⑽ cos cos cos ；
2 2 2 2
1
⑾ sin sin sin ；
2 2 2 8
3 3
⑿ cos cos cos ；
2 2 2 8
2 2 2 3⒀ sin sin sin ；
2 2 2 4
9
⒁ 2 2 2cos cos cos ；
2 2 2 4

⒂ tan tan tan 3；
2 2 2

⒃ cot cot cot 3 3 .
2 2 2
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Ch27.習(xí)題
1 1 1
27.1 設(shè) ，求證： x x xx , x , ..., x (0,1] n(1 x ) 2 (1 x ) 31 2 n 1 2 ...(1 x
1
n) 2 .
1
27.2 設(shè) x1, x2 , ..., xn 0 ， 且 x1 x2 ... xn ， 求 證 ：
2
1
(1 x1)(1 x2 )...(1 xn) .
2
27.3 設(shè) a1,a2 , ...,an R ， 且 a1a2 ...an 1 ， 求 證 ：
a1 a2 ... an a1 a2 ... an.
27.4 設(shè) a,b,c 0，且 abc 1，求證： 3 3 3a b c ab bc ca .
27.5 設(shè) a,b,c,d 0 ， 求 證 ：
a b c d 2
.
b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3
2
a 2 2bc b ca c ab
27.6 設(shè) a,b,c 0，求證： a b c .
b c c a a b
a b
27.7 設(shè) a,b 0，n N ，求證： (1 n n n 1) (1 ) 2 .
b a
27.8 設(shè) 2 2 2x1, x2 , ..., xn R ，且 x1 x2 ... xn 1，若n N ，n 2，求
5 5 5
x x x
f (x1, x
1 2 n
2 , ..., xn) ... n n n
( xi ) x1 ( xi ) x2 ( xi ) xn
i 1 i 1 i 1
的最小值.
1 1 1 3
27.9 設(shè) a,b,c R ，且a b c abc，求證： .
2 2 2
1 a 1 b 1 c 2
27.10 設(shè) a,b,c R，求證： 2 2 2 2 2 2
3 2
a (1 b) b (1 c) c (1 a) .
2
27.11 設(shè) a,b,c R ，且 ab bc ca 3,求證： 2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 8 .
27.12 設(shè) a,b,c 0，且a b c 1，求證： 3 36(a b 3 2 2 2c ) 1 5(a b c ) .
27.13 設(shè) a,b,c 0，且 4 4 4 3 3 3a b c 2，求證：a b c abc a b c .
27.14 設(shè) a,b,c 0，求證： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) .
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1
27.15 設(shè) a,b,c 0，求證： 3a 3 3 3b c abc (a b c) .
7
4
27.16 設(shè) a,b,c 0，且 2 2 2a b c 1，求證：a b c 3abc .
9
27.17 設(shè) a1,a2 , ...,an 0 ， 求 證 ：
2 2 2
a a a
(1 a1)(1 a2 )...(1 a ) (1
1
n )(1
2 )...(1 n ).
a2 a3 a1
27.18 設(shè) a,b,c,d 0 ， 且 abcd 1 ， 求 證 ：
1 1 1 1
1 .
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d )
27.19 設(shè)a,b,c,d 0，且 a b c d 4，求證：
2 2 2 2abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab) 8 .
27.20 設(shè) 2 2 2 2 2 2 2 2 2a,b,c 0，且 a b c 3，求證：a b b c c d a b c .
27.21 設(shè) a,b,c R ， 求 證 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a .
1 1 1 1
27.22 設(shè)a,b,c,d 0，且 a b c d abcd 5，求證： 4 .
a b c d
27.23 設(shè)不等式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
對一切實(shí)數(shù)a,b,c 都成立，求 M 的最小值.
27.24 設(shè)a,b,c 0，且 a b c 3，求證： 2 2 2(a b b c c a)(ab bc ca) 9 .
Ch27.習(xí)題解析
1 1 1
27.1 設(shè) x x xx1, x2 , ..., xn (0,1]，求證： (1
n
x1)
2 (1 x2 )
3 ...(1 xn)
1 2 .
1
解析：設(shè)： xn 1 x1，則：因?yàn)?xi (0,1]，所以 [1, ) （ i 1,2, ...,n）
x
i

由伯努利不等式 (2)：當(dāng) x 1且 [1, )時， (1 x ) i 1 xi ① i i i i
第 23 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
iff x 0或 1時，①式等號成立.
i i
由均值不等式 (3)：1 x 2 x ②
i i i i
iff x 1時，②式等號成立.
i i
由①②式得： (1 x ) i 2 x ③
i i i
iff x 1時， ③式等號成立.
i i
1
1 x
設(shè)： ，則由③式得： x(1 x ) i 1 2 i ④
i
x i x
i 1 i 1
1 1 1
x x x x x則： (1 x ) 2 2 1 ； x(1 x ) 3 2 2 ；…； (1 x ) 1 2 n .
1
x 2
n
x x
2 3 1
上面各式相乘得：
1 1 1
x x x n x1 x2 x n(1 x 21) (1 x2 )
3 ...(1 x ) 1n 2 ...
n 2
x . 2 x3 x1
證畢.
1
27.2 設(shè) x1, x2 , ..., xn 0 ， 且 x1 x2 ... xn ， 求 證 ：
2
1
(1 x1)(1 x2 )...(1 xn) .
2
n 1 1
解析：因?yàn)?x 0， x ，所以 x [0, ] i i i
i 1 2 2
1
設(shè) y x ，則 y [ ,0] 1
i i i 2
由伯努利不等式 (1)： (1 y )(1 y )...(1 y ) 1 ( y y ... y ) ①
1 2 n 1 2 n
1
將 y x 代入①式，并代入 x1 x2 ... xn 得： i i
2
1 1
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1 (x x ... x ) 1 .
1 2 n 1 2 n
2 2
證畢.
27.3 設(shè) a1,a2 , ...,an 0 ， 且 a1a2 ...an 1 ， 求 證 ：
a1 a2 ... an a1 a2 ... an.
解析：因?yàn)閍1,a2 , ...,an 0，且a1a2 ...an 1，
第 24 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
所以由均值不等式 (3)： a1 a2 ... a
n
n n a1 a2 ... an n
a1 a即： 2
... an
1 ①
n
iff a1 a2 ... an 1時，①式等號成立.
由柯西不等式 (8)：
2 2 2 2 2 2 2[( a ) ( a ) ... ( a ) ](1 1 ... 1 ) ( a a ... a )
1 2 n 1 2 n
即： 2(a a ... a ) n ( a a ... a )
1 2 n 1 2 n
( a a ... a )
即： 1 2 n(a a ... a ) ( a a ... a ) ②
1 2 n 1 2 n
n
iff a1 a2 ... an 1時，②式等號成立.
將①式代入②式得：a a ... a a a ... a ③
1 2 n 1 2 n
iff a1 a2 ... an 1時， ③式等號成立. 證畢.
27.4 設(shè) a,b,c 0，且 abc 1，求證： 3a 3 3b c ab bc ca .
解析：因?yàn)閍,b,c 0，且abc 1，
所 以 由 均 值 不 等 式 (3) ：
2 2 2 2 2 22 2 2 a b b c c a
a b c ab bc ca ①
2 2 2
iff a b c 1時，①式等號成立.
a b c
由均值不等式 (3)：a b c 3 3 abc 3，即： 1 ②
3
iff a b c 1時，②式等號成立.
WLOG ，設(shè) a b c，則因?yàn)閍,b,c 0，所以 2 2 2a b c
由切比雪夫不等式 ： 2 2 2 2 2 2(14) (a b c)(a b c ) 3(a a b b c c )
即： 3 3 3
a b c 2 2 2
a b c (a b c ) ③
3
iff a b c 1時，③式等號成立.
將①②代入③式得： 3 3a b 3c ab bc ca ④
iff a b c 1時， ④式等號成立. 證畢.
27.5 設(shè) a,b,c,d 0 ， 求 證 ：
第 25 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
a b c d 2
.
b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c 3
解析：記 A b 2c 3d ，B c 2d 3a，C d 2a 3b，D a 2b 3c
則： aA bB cC dD 4(ab ac ad bc bd cd ) ①
a b c d 2
待證式為： ②
A B C D 3
a b c d
由柯西不等式 2(8)： ( )(aA bB cC dD) (a b c d )
A B C D
a b c d (a b 2c d )
即： ③
A B C D aA bB cC dD
(a b c 2d ) 2
由②③式，只需證明 ④
aA bB cC dD 3
設(shè)多項(xiàng)式： P(x) (x a)(x b)(x c)(x d)
4c x 3c x 2c x c x c
0 1 2 3 4
則： c a b c d ⑤
1
c ab ac ad bc bd cd
2
代入①式得：aA bB cC dD 4c ⑥
2
c
根據(jù)定義 (38)： p kk k
C
n
c c c c
得： p 1 1 ，即： c 4 p ； p 2 2 ，即：c 6 p
1 1 2 2
C 4 1 1 C 6 2 2
4 4
2 2 2 2
(a b c d ) c 16 p 2 p
則： 1 1 1 ⑦
aA bB cC dD 4c 4 6 p 3 p
2 2 2
1 2p
由麥克勞林不等式 (40)： p p 2 ，即： 1 1
1 2
p
2
(a 2b c d ) 2
代入⑦式得： ，④式得證.
aA bB cC dD 3
iff a b c d 時，等號成立. 證畢.
2 2 2a bc b ca c ab
27.6 設(shè) a,b,c 0，求證： a b c .
b c c a a b
2 2 2
a bc b ca c ab
解析：不等式左邊=
b c b c c a c a a b a b
第 26 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
a(c a) b(a b) c(b c)
不等式右邊=a b c
c a a b b c
2 2 2
ac a ab b cb c

c a c a a b a b b c b c
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
則不等式其實(shí)就是： ①
b c c a a b b c c a a b
由于是對稱不等式，WLOG ，假設(shè)a b c，則 2a 2 2b c ②
1 1 1
且 b c a c a b，即： ③
b c c a a b
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
則有排序不等式 (18)：
b c c a a b b c c a a b
2 2 2 2 2 2
a b c c a b
其中， 為正序和； 為亂序和.
b c c a a b b c c a a b
iff a b c 時，等號成立. 證畢.
a b
27.7 設(shè) a,b 0， n n n 1n N 證： (1 ) (1 ) 2 .
b a
a b
解析：當(dāng)n 0時， 0 0(1 ) (1 ) 2 ， 0 12 2，不等式成立；
b a
a 1 b 1 a b當(dāng) n 1時， (1 ) (1 ) 2 4 ， 1 12 4 ，不等式成立；
b a b a
當(dāng) n 2時，構(gòu)建函數(shù) nf (x) x .
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) n 1f '(x) nx ；
二次導(dǎo)數(shù) n 2f ''(x) n(n 1)x 0 ，故在 x 0時函數(shù)為向下凸函數(shù).
f (x ) f (x ) x x
由琴生不等式 (20)： 1 2 f ( 1 2 ) ①
2 2
a
將 n
b
f (x1) (1 ) ， f (x2 )
n
(1 ) ，
b a
b a
(1 ) (1 )
x1 x2 n 1 b af ( ) [ a b ] [1 ( n n)] 2
2 2 2 a b
a
n
b
n(1 ) (1 )
帶入①式得： b a
a b
n2 ，即： n n n 1(1 ) (1 ) 2
2 b a
第 27 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
a b
綜上，當(dāng) 和 時， n n n 1n 0、n 1 n 2 (1 ) (1 ) 2 都成立,
b a
a b
即 n n n n 1N 時， (1 ) (1 ) 2 成立. 證畢.
b a
27.8 設(shè) x1, x2 , ..., xn R ，且
2 2 2
x1 x2 ... xn 1，若n N ，n 2，求
5 5 5
x x x
f (x1, x2 , ..., xn)
1 2 ... n
n n n
( xi ) x1 ( xi ) x2 ( xi ) xn
i 1 i 1 i 1
的最小值.
n
解析：記 S x ，（ i 1,2, ...,n）. i
i 1
5 5 5
x x x
則 f (x1 , x2 , ..., xn )
1 2 ... n ①
S x1 S x2 S xn
WLOG 假設(shè) x x ... x ，則 4 4 4x x ... x ②
1 2 n 1 2 n
n n x
由于 S x ，所以 S
k
x ( x ) x 與 x 無關(guān)，則 與 x 同單
i k i k k
i 1 i 1 S x
k
k
調(diào)性.
x x x
即： 1 2 ... n ③
S x S x S x
1 2 n
由切比雪夫不等式 (14)：若 (a ,a , ...,a )與 (b ,b , ...,b )同單調(diào)性，則有：
1 2 n 1 2 n
(a a ... a )(b b ... b ) n(a b a b ... a b ) ④
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
x
設(shè)： 4a x ， b n ，（ i 1,2, ...,n），則滿足{a }與{b }同單調(diào)性.
i i i S x i i
n
代入④式得：
4 x x x x
(x 4 4 4... x )( 1 ... n ) n(x 1 ... x n )
1 n 1 n
S x S x S x S x
1 n 1 n
5 5 4 4x x x ... x x x
即： f 1 ... n ( 1 n ) ( 1 ... n ) ⑤
S x S x n S x S x
1 n 1 n
4 4 2 2
x ... x x ... x 1
由均值不等式 (3)：Q A ，即： 1 n 1 n
n n n n n
第 28 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
故： 4 4
1
x ... x ⑥
1 n
n
x
構(gòu)建函數(shù)： g(x) ⑦
S x
S 2S
則導(dǎo)函數(shù)： g '(x) ， g ''(x) 0
2 3
(S x) (S x)
故 g(x)為向下凸函數(shù).
由 琴 生 不 等 式 (21) ：
g( x x ... x ) g(x ) g(x ) ... g(x )
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
1
取加權(quán) （ i 1,2, ...,n）時，上式變?yōu)椋?br/>i
n
x x ... x g(x ) g(x ) ... g(x )
g( 1 2 n ) 1 2 n ⑧
n n
x x ... x
即： g(x ) g(x ) ... g(x ) n g( 1 2 n )
1 2 n
n
x x ... x
1 2 n S
x x
1 n n n n即： ... n n ⑨
S x S x x x ... x S1 2 n n 11 n S S
n n
將⑥和⑨式代入⑤式得：
5 5
x x
1 n 1 1 n 1f ...
S x S x n n n 1 n(n 1)
1 n
1
故： f (x1, x2 , ..., xn)的最小值是 .
n(n 1)
1 1 1 3
27.9 設(shè) a,b,c R ，且a b c abc，求證： .
1 2 2 2a 1 b 1 c 2
2 2
x y
解析：在圓錐曲線里，橢圓方程為： 1時，常常采用的參數(shù)方程是：
2 2
a b
x acos ， y bsin ，因?yàn)閷⑺鼛敕匠虝r滿足 2cos 2sin 1，這
個三角函數(shù)的基本關(guān)系. 對于三角形的內(nèi)角 A, B,C ，同樣有關(guān)系
A B C 和 tan A tanB tanC tan Atan BtanC . 而本題初始條
件 a b c abc.
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不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua

設(shè) a tan A. b tan B，c tanC ，因?yàn)閍,b,c R ，所以 A, B,C (0, )
2
①
則當(dāng) A, B,C為三角形的內(nèi)角時， A B C ，
tan A tanB tanC tan Atan BtanC滿足條件.
帶入不等式左邊得：
1 1 1

2 2 2
1 a 1 b 1 c
1 1 1

2 2 21 tan A 1 tan B 1 tan C
cos A cos B cosC ②

構(gòu)建函數(shù) f (x) cos x，則在 x (0, )區(qū)間函數(shù) f (x) 為向下凸函數(shù)，
2
故由琴生不等式 (21)得：函數(shù)值的均值不小于均值的函數(shù)值.
f ( x x ... x ) f (x ) f (x ) ... f (x ) ③
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
1
當(dāng)加權(quán) ... 時，③式變?yōu)椋?br/>1 2 n
n
f (x ) f (x ) ... f (x ) x x ... x
1 2 n f ( 1 2 n )
n n
f (A) f (B) f (C) A B C
即： f ( ) ④
3 3
cos A cos B cosC A B C 1
即： cos( ) cos
3 3 3 2
3
即： cos A cos B cosC ⑤
2
1 1 1 3
將⑤式帶入②式得： . 證畢.
1 2 2 2a 1 b 1 c 2
3 2
27.10 設(shè) a,b,c R，求證： 2 2 2 2 2 2a (1 b) b (1 c) c (1 a) .
2
解析：因?yàn)閍,b,c R，由柯西不等式 (12)式
2 2 2 2 2 2 2 2a b ... a b (a ... a ) (b ... b )
1 1 n n 1 n 1 n
則： 2a 2 2 2 2 2(1 b) b (1 c) c (1 a)
第 30 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
2
a 2 2 2 2 2 2(1 b) (1 b) a b (1 c) (1 c) 2b

2
2 2 2 2
c (1 a) (1 a) c

2
1
2 2[a (1 b) b (1 c) c (1 a)] [(1 b) a (1 c) b (1 a) c)]
2
1 2 2 3 2 3 3
2 2 .
即： 2 2 2 2 2 2
3 2
a (1 b) b (1 c) c (1 a) . 證畢.
2
27.11 設(shè) a,b,c R ，且 ab bc ca 3,求證： 2 2 2(1 a )(1 b )(1 c ) 8 .
解析：對赫爾德不等式 (32)：
m n n m j

( a j ) ( a ) ij ij (32)
i 1 j 1 j 1 i 1
1
當(dāng) n 4， m 4 ， 時， (32) 式為：
1 2 3 4
4
1 1 1 1
(a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
1
[(a a a a )(a a a a )(a a a a )(a a a a )]4
11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44
即 ：
(a a a a )(a a a a )(a a a a )(a a a a )
11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44
1 1 1 1
4[(a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 (a a a a )4 ]
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44
①
設(shè)： a 1， 2a a ，a 2b ， 2 2a a b ；
11 21 31 41
a 1， 2 2a c a ， a 2 ， 2c a a ；
12 22 32 42
a 1， 2a c ， 2 2 2a b c ， a b ；
13 23 33 43
a 1， a 1， a 1， a 1.
14 24 34 44
代入①式得：
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2(1 a 2 2 2 2 2 2b a b ) (1 c a c 2 2 2 2 2a ) (1 c b c b ) (1 1 1 1)
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4[(1 1 1 1)4 (a c a c 1)4 (b c b c 1)4 (a b a b 1)4 ]
4(1 ac bc ab) ②
②式就是赫爾德不等式.
2 2 2 2 2 2(1 a ) (1 b ) (1 c )
2 2 2 2 2 2(1 a )(1 b ) (1 c )(1 a ) (1 b )(1 c )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 b c 2 2b c )
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 b c b c ) (1 2 2 21 1 1 )
4
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 a b a b ) (1 c a c a ) (1 c b c b ) (1 1 1 1 )
4
將②式代入上式得：
2 2 2 2 2 2
1 4
(1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 ac bc ab)
4
1
開方出來即： (1 2 2 2a )(1 b )(1 c ) (1 2ac bc ab) ③
2
將 ab bc ca 3代入③式得： 2 2
1
(1 a )(1 b )(1 2 2c ) (1 3) 8 .
2
iff a b c 1時等號成立. 證畢.
27.12 設(shè) a,b,c 0，且a b c 1，求證： 3 3 3 2 2 26(a b c ) 1 5(a b c ) .
解析：采用 pqr 法.
設(shè)： p a b c， q ab bc ca ， r abc，則： p 1
在 20.2 常用的代換如下：
⑴ 2 2 3 2x p 2q ； ⑵ x p( p 3q) 3r
cyc cyc
則： 2 2 2 2a b c p 2q ；
3 3 3
a b c 2p( p 3q) 3r 1 3q 3r
于是，待證式變?yōu)椋?26(1 3q 3r) 1 5( p 2q)
第 32 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
即： 32 8q 18r 0，即：1 4q 9r 0 ，即： p 4 pq 9r 0 ①
在 20.3 常用的 pqr 法的不等式
⑴ 3p qr 4 pq，即： 3p 4 pq 9r 0
故：①式成立，即待證式成立. 證畢.
27.13 設(shè) a,b,c 0，且 a b c 2，求證： 4 4 4 3 3 3a b c abc a b c .
解析：由舒爾不等式 (43)：
t
x (x y)(x z) t ty ( y z)( y x) z (z x)(z y) 0 ①
即： t 2 t 2 t 2x (x xy xz yz) y ( y yz xy zx) z (z zx yz xy) 0
即 ：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1x (x yz) y ( y zx) z (z xy) x ( y z) y (z x) z (x y)
即 ：
t 2 t t 2 t t 2 t t 1 t 1 t 1x x yz y xy z z xyz x ( y z) y (z x) z (x y)
即 ：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1x y z (x y z )xyz x ( y z) y (z x) z (x y)
兩邊都加 t 2 t 2 t 2x y z 得：
t 2 t 2 t 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 12(x y z ) (x y z )xyz (x y z )(x y z)
②
②式就是舒爾不等式.
設(shè) t 2 ， 代 入 ② 式 得 ：
4 4 4 3 3 32(x y z ) (x y z)xyz (x y z )(x y z)
將 a b c 2代入上式得： 4 4 4 3 3 32(x y z ) 2xyz 2(x y z )
即： 4 4 4 3 3 3a b c abc a b c ③
③式就是我們要證明的不等式. 證畢.
27.14 設(shè) a,b,c 0，求證： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) .
解 析 ： 待 證 式 化 為 ：
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8(a b c ) 2(a b c ) 3(a b ab b c bc c a ca )
即： 3 3 3 2 2 2 2 2 22(a b c ) a b ab b c bc c a ca ①
第 33 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
解析 1：繆爾海德不等式 (48)：T[ i ] T[ i ] (48)
iff ( i ) ( i )或 x1 x2 ... xn 時，等號成立.
由于 3 3 3T[3,0,0] 2(a b c )，T[2,1,0] 2 2 2 2 2 2a b ab b c bc c a ca
滿足繆爾海德不等式的條件，即：
(b1,b2 ,b3) (2,1,0) ， (a1,a2 ,a3) (3,0,0) ， 故 滿 足 序 列
(b1,b2 ,b3 ) (a1,a2 ,a3 ) .
則：T[2,1,0] T[3,0,0]，即：①式成立. 證畢.
解析 2：采用 pqr 法.
設(shè)： p a b c， q ab bc ca， r abc .
在 20.2 常用的代換如下：
⑵ 3 2x p( p 3q) 3r ， ⑼ 2x ( y z) xy(x y) pq 3r
cyc cyc cyc
即①式等價于： 3 22 x x ( y z)
cyc cyc
即： 2 32[ p( p 3q) 3r] pq 3r，即： 2 p 6 pq 6r pq 3r
即： 32 p 9r 7 pq ②
②式是與①式等價的.
在 20.3 常用的 pqr 法的不等式：⑺ 32 p 9r 7 pq是成立的，故②式成
立. 證畢.
解析 3：采用琴生不等式.
構(gòu)建函數(shù) 3f (x) x ③
則 f (x)為向下凸函數(shù).
f (x ) f (x ) x x
采用琴生不等式 (21)式： 1 2 f ( 1 2 )
2 2
f (a) f (b) a b f (b) f (c) b c
則 ： f ( ) ； f ( ) ；
2 2 2 2
f (c) f (a) c a
f ( )
2 2
a b b c c a
上 面 三 式 相 加 得 ： f (a) f (b) f (c) f ( ) f ( ) f ( )
2 2 2
第 34 頁 共 49 頁
不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
④
3 3 3 a b b c c a將③帶入④得： 3 3 3a b c ( ) ( ) ( )
2 2 2
即： 3 3 3 3 3 38(a b c ) (a b) (b c) (c a) . 證畢.
1
27.15 設(shè) a,b,c 0，求證： 3a 3b 3c 3abc (a b c) .
7
解析：待證式： 3 37(a b 3 3c ) 7abc (a b c) ①
即： 3 3 3 27 a 7abc (a b c) a 3 a b 6abc
cyc cyc sym
即： 3 2
1
6 a abc 3 a b，即： 3 22 a abc a b ②
3
cyc sym cyc sym
由排序不等式 3 2(17 )得： 2 a a b
cyc sym
3 1所以： 2 a abc
3 2
2 a a b
3
cyc cyc sym
②式得證. 證畢.
4
27.16 設(shè) a,b,c 0，且 2 2 2a b c 1，求證：a b c 3abc .
9
解析：待證式： 2 2 29(a b c ) 27abc 4 ①
將①式齊次化： 2 2 2 39(a b c )(a b c) 27abc 4(a b c) ②
化簡②式：
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3(a b c )(a b c) a ab ac a b b bc ca b c c
3 3 3 2 2 2 2 2 2a b c ab ac a b bc ca b c
3 2a a b ③
cyc sym
3 3 2(a b c) a 3 a b 6abc ④
cyc sym
將③④式代入②式：

9 3a 2a b 27abc 4 3a 23 a b 6abc
cyc sym cyc sym
第 35 頁 共 49 頁
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即待證式為： 3 25 a 3abc 3 a b ⑤
cyc sym
由舒爾不等式 (43)：
a(a b)(a c) b(b c)(b a) c(c a)(c b) 0
即： 2 2 2 2 2 2a(a bc) b(b ca) c(c ab) a (b c) b (c a) c (a b)
即： 3 2a 3abc a b ⑥
cyc sym
由繆爾海德不等式 (47 )：
a a a b b b
x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 (49)
sym sym
?。?3 0 0 0 3 0 0 0 32(a b c a b c a b c )
2 1 0 2 0 1 1 2 0 0 2 1 0 1 2 1 0 2a b c a b c a b c a b c a b c a b c
即： 3 3 3 2 2 2 2 2 22(a b c ) a b a c ab b c bc ac
即： 32 a 2a b ⑦
cyc sym
由⑥+2×⑦兩式相加得： 3 25 a 3abc 3 a b ⑧
cyc sym
⑧式是由舒爾不等式和繆爾海德不等式相加得到的結(jié)果，而⑧式就是待證
式⑤，
這證明，⑤式即①式是成立的. 證畢.
27.17 設(shè) a1,a2 , ...,an 0 ， 求 證 ：
2 2 2
a a a
(1 a1)(1 a2 )...(1 a
1 2 n
n ) (1 )(1 )...(1 ).
a2 a3 a1
解析：因?yàn)?xa ,a , ...,a 0，所以設(shè)a e i1 2 n i （ i 1, 2, ...,n）
待 證 式 變 為 ：
x x x 2x x 2x x 2x x
(1 e 1 )(1 e 2 )...(1 e n ) (1 e 1 2 )(1 e 2 3 )...(1 e n 1 )
因?yàn)榇C式兩邊都是正數(shù)，所以取對數(shù)后為：
x x 2x x 2x x
ln(1 e 1 ) ... ln(1 e n ) ln(1 e 1 2 ) ... ln(1 e n 1 ) ①
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WLOG ， 假設(shè) 2x1 x2 2x2 x3 ... 2xn x1 ，且 x1 x2 ... xn
②
n n n n
設(shè) xn 1 x1，則： (2xk xk 1) 2 xk xk xk ③
k 1 k 1 k 1 k 1
而且 2xk xk 1 xk (xk xk 1) xk ( k 1, 2, ...,n，) ④
由②③④，根據(jù) Ch16. 定義序列，則： n n(xk )k 1就是 (2xk xk 1)k 1的優(yōu)
化值，
于是序列 (xk ) (2xk xk 1) ⑤
構(gòu)建函數(shù)： xf (x) ln(1 e ) ⑥
x x
e e
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f '(x) ，其二次導(dǎo)函數(shù)為：f ''(x) 0
x x 21 e (1 e )
⑦
由⑦式，函數(shù) xf (x) ln(1 e ) 是向下凸函數(shù)，對于兩個序列 (xk ) 和
(2xk xk 1)
由卡拉瑪塔不等式 (50)得：
f (x1) f (x2 ) ... f (xn) f (2x1 x2 ) f (2x2 x3) ... f (2xn x1)
⑧
將⑥帶入⑧得：
x x 2x x 2x x
ln(1 e 1 ) ... ln(1 e n ) ln(1 e 1 2 ) ... ln(1 e n 1 )
而這正是待證式①式. 證畢.
27.18 設(shè) a,b,c,d 0 ， 且 abcd 1 ， 求 證 ：
1 1 1 1
1 .
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d )
解析：先介紹一個不等式：
1 1 1
若 x, y R，則 ①
(1 2 2x) (1 y) 1 xy
證明如下：
2 2 2 21 1 1 [(1 x) (1 y) ](1 xy) (1 x) (1 y)

2 2 2 2
(1 x) (1 y) 1 xy (1 x) (1 y) (1 xy)
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②
②式得分子為：
2
[2 2(x y) (x 2 2 2y )](1 xy) (1 2x x )(1 2y y )
2 2 2 2[2 2(x y) (x y )] [2xy 2xy(x y) xy(x y )]
2 2 2 2[(1 2x x ) 2y(1 2x x ) y (1 2x x )]
2 2 2 2 3 3[2 2x 2 y x y 2xy 2x y 2xy x y xy ]
2 2 2 2 2 2[1 2x x 2 y 4xy 2x y y 2xy x y ]
1 2xy 3 3 2 2x y xy x y
2 2 3 3 2 2(1 2xy x y ) (x y xy 2x y )
2(1 xy) 2 2xy(x y 2xy)
2 2(1 xy) xy(x y) 0
1 1 1
帶入②式得： 0 ，則：①式成立.
2 2(1 x) (1 y) 1 xy
1 1 1 1 1 1
由①式得： ； ③
2 2(1 a) (1 b) 1 ab 2 2(1 c) (1 c) 1 cd
1 1 1 1 1 ab
而： 1 ④
1 ab 1 cd 1 ab 1 1 ab ab 1
1
ab
1 1 1 1 1 1
故由③④： 1
2 2 2 2
(1 a) (1 b) (1 c) (1 d ) 1 ab 1 cd
iff a b c d 1時等號成立. 證畢.
27.19 設(shè)a,b,c,d 0，且 a b c d 4，求證：
2 2 2 2
abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab) 8 .
解析：采用 SMV 法
⑴ 設(shè) ：
2 2 2 2
f (a,b,c,d) abc bcd cda dab (abc) (bcd) (cda) (dab)
a b c 4 d 4
設(shè)： t ，則：d 4 3t ， t [0, ]
3 3 3
3 2 2 2 6 4 2 4 2 4 2f (t, t, t,d) t t d t d t d t t d t d t d
第 38 頁 共 49 頁
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3t 23t (4 3t) 6 4 2t 3t (4 3t)
3 2 3 6 4t 12t 9t t 3t (16 224t 9t )
2 3 6 4 5 612t 8t t 48t 72t 27t
6 5 4 3 24(7t 18t 12t 2t 3t ) ①
⑵ 采用導(dǎo)數(shù)法求①的極值點(diǎn).
由①式的導(dǎo)數(shù)為零得： 5 4 3 242t 90t 48t 6t 6t 0
即： 4 3 2t(7t 15t 8t t 1) 0
即： 4 3 3 2t(7t 7t 8t 8t t 1) 0
即： 3 2t(t 1)(7t 8t 1) 0 ②
則極值點(diǎn)為： t1 0 ， t2 1， t3 1.236320209
其中， 3 27t 8t 1 0 ③
采用盛金公式求③式得.
盛金公式：a 7 ,b 8,c 0,d 1；
2 2
A b 3ac 64， B bc 9ad 63，C c 3bd 24
判別式： 2 2B 4AC 63 4 64 24 10113 0
B
Y1 Ab 3a 117.5841653 ；
2
B
Y2 Ab 3a 2229.415835 .
2
b 3 Y 3 Y
③式得實(shí)數(shù)解為： 1 2t3 1.236320209 .
3a
代入①式得到這些極值點(diǎn)的函數(shù)值：
f (t1) 0； f (t2 ) 8； f (t3 ) 7.38889
在邊界點(diǎn)的函數(shù)值為：
4 4 3 4 6
f (0) 0； f ( ) ( ) ( ) 7.989023063
3 3 3
故： f (t, t, t,d) 8 ④
⑶ 由于 f (t, t, t,d) f (a,b,c,d)
第 39 頁 共 49 頁
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a b c 3 a b c 2[( ) abc] d[3( ) (ab bc ca)]
3 3
a b c 6 2 a b c 4 2 2 2 2 2 2[( ) (abc) ] d[3( ) (a b b c c a )] 0
3 3
即： f (t, t, t,d) f (a,b,c,d) ⑤
a b c
其中：由 A G 得到： 3( ) abc 0；
n n 3
由 2(a b c) 3(ab bc ca) 得 到 ：
a b c 2
3( ) (ab bc ca) 0 ；
3
由 2 2
a b c 6 2
A G 得到： ( ) (abc) ；
n n 3
a b c
由琴生不等式得到： 4 2 2 2 2 2 23( ) (a b b c c a ) 0 ⑥
3
⑷ 構(gòu)建函數(shù) 4g(x) x
顯然 4g(x) x 為向下凸函數(shù)，故函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.
a b b c c a a b b c c a
g( ) g( ) g( )
a b c
即： g( ) g( 2 2 2 ) 2 2 2
3 3 3
a b c 4 1 a b b c c a即： 4 4 4( ) [( ) ( ) ( ) ] ⑦
3 3 2 2 2
a b b c c a
再由 A G 得到： ab ， bc ， ca
n n 2 2 2
a b c
代入⑦式得： 4
1
2 2( ) [a b 2 2 2 2b c c a ]
3 3
a b c
即： 4 2 2 2 2 2 23( ) (a b b c c a ) 0 ，⑥式得證.
3
⑸ 故由④⑤式： f (a,b,c,d) f (t, t, t,d) 8 .
iff a b c d 1時等號成立. 證畢.
27.20 設(shè) 2a,b,c 0，且 a 2b 2c 3，求證： 2 2 2 2a b b c 2 2c d a b c .
解析：采用 SMV 法.
WLOG ，假設(shè) a b c，則： 2 ， 2 2a 1 b c 2
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故： a 1， b c 2 2b c 2
設(shè)： 2 2 2 2 2 2f (a,b,c) (a b c) (a b b c c a ) ①
2 2
b c
設(shè)： t ，則： 2 2 4f (a, t, t) (a 2t) (2a t t ) ②
2
2
則： 2 2
3 a
a 2t 3，即： t
2
故： f (a,b,c) f (a, t, t)
2 2 2 2 2 2 4(b c 2t) a (b c 2t ) (b c t )
2
b 2 2 2 2 2c 2 2 2 b c b c (b c 2 ) a (b c 2 ) 2 2 2[b c ( ) ]
2 2 2
2
b 2c
2 2 2( ) b c 2 2b c 2(b c )
2
2
(b 2 2c )
2 2b c 2(b c )
4
2 2 2 2 2(b c) (b c) (b c) 2(b c )

4 2 2b c 2(b c )
2 2 2(b c) (b c) (b c)

4 2 2b c 2(b c )
2 2(b c ) 1
(b 2c) [ ] ③
4 2 2b c 2(b c )
將 2 2b c 2， b c 2 代入③式得：
2 2 1
f (a,b,c) f (a, t, t) (b c) [ ]
4 2 2 2
2 1 1 (b c) [ ] 0
2 2 2
即： f (a,b,c) f (a, t, t) ④
下面只需證明 f (a, t, t) 0 即可.
3 2a
將 t 代入②式： 2 2 4f (a, t, t) (a 2t) (2a t t )
2
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2 22 3 a 2 3 a
f (a, t, t) a 2(3 a ) ( )(2a )
2 2
3
2 2 2a 2(3 a ) (3 a )(1 a )
4
4 23(a 2a 1)
2[(3 a) 2(3 a )]
4
2 2
2 2
3(a 1) [(3 a) 2(3 a )][(3 a) 2(3 a )]

4 2(3 a) 2(3 a )
2 2 2 23(a 1) (a 1) (3 a) 2(3 a )

4 (3 2a) 2(3 a )
2 2 2
3(a 1) (a 1) 3a 6a 3

4 23 a 2(3 a )
3 2 2 4

(a 1) (a 1) ⑤
4 2 3 a 2(3 a )
由于： a [0,1]，所以：
4 4 4

3 0 2 22(3 0 ) 3 a 2(3 a ) 3 21 2(3 1 )
4 4
即： 1
3 6 3 a 22(3 a )
代入⑤式得： f (a, t, t) 0 ，即： f (a,b,c) f (a, t, t) 0
由①式得： 2 2 2 2 2 2f (a,b,c) (a b c) (a b b c c a ) 0
即： 2 2a b 2 2 2 2b c c d a b c . 證畢.
27.21 設(shè) a,b,c R ， 求 證 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a .
解 析 ： 不 等 式 即 ：
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 33(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a 0
設(shè)： 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3f (a,b,c) 3(a ab b )(b bc c )(c ca a ) a b b c c a
①
則對于對稱類不等式，當(dāng)a b k 時，若 2(c k) 是上式的因子，則可用SOS
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法.
f (k,k,c)
即若 g(k,c)，則可采用 SOS 法.
2
(c k)
⑴ 2 2 2 2 6 3 3f (k,k,c) 3k (k kc c ) k 2k c
2 4 2 2 4 3 2 2 3 6 3 33k (k k c c 2k c 2k c 2kc ) k 2k c
2 4 2 2 4 3 2 2k (3k 3k c 3c 6k c 6k c 3 4 36kc k 2kc )
2 4 3 2 2 3 4k (2k 6k c 9k c 8kc 3c ) ②
⑵ 采用長除法分解因式 4 3 2 2 3 42k 6k c 9k c 8kc 3c
2 2
2k 2kc 3c
2 2 4 3 2 2 3 4(k 2kc c ) 2k 6k c 9k c 8kc 3c
4 3 2 2) 2k 4k c 2k c
3 2 2 32k c 7k c 8kc
3 2 2 32k c 4k c 2kc
2 2 3 43k c 6kc 3c
2 2 3 43k c 6kc 3c
0
故： 42k 36k c 2 2 3 4 2 2 29k c 8kc 3c (c k) (2k 2kc 3c ) ③
由③式表明，本題可以采用 SOS法
⑶ 采用 SOS法，就是將不等式改寫成：
2 2 2
g(a,b,c) Sa (b c) Sb(c a) Sc(a b) ④
其中 Sa , Sb , Sc 分別都是關(guān)于 a,b,c 的函數(shù).
將①式展開化簡后得：
4 2 2 4 3 3 4 2 2 2
f (a,b,c) 3 (a b a b ) 4 a b 3 a bc 3a b c ⑤
cyc cyc cyc
由于 a,b,c對稱， cyc輪換求和后擴(kuò)展項(xiàng)數(shù)是 3倍，故由⑤式簡化為：
1
4 2 2 2f (a,b,c) [2c 4a b abc(a b c)](a b) ⑥
2
cyc
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⑷ 根據(jù) SOS法
4 2 2Sc 2c 4a b abc(a b c)；
同理： 4 2 2Sa 2a 4b c abc(a b c)；
4
Sb 2b
2 2
4c a abc(a b c) .
由于 S 前兩項(xiàng)為偶次項(xiàng)，所以當(dāng) a,b,c 有任何負(fù)值時，最后一項(xiàng)
abc(a b c)顯然不小于a,b,c 為正值的值. 故我們設(shè)a,b,c 0 .
當(dāng) a b c 0時：
4 2 2 2 2
Sc 2c 4a b abc(a b c) 3a b abc(a b c) 0 ；
4 2 2 4 2 2Sc 2Sb 2c 4a b 4b 8c a 3abc(a b c)
2 2 2 2 2 2 43a b (a b 4c a ) (4b 2 24c a ) 3abc(a b c) 0
4 2 2 4 4 2 2Sa 2a 4b c abc(a b c) a (a b c ) abc(a b c)
4 4 2 2 4 2a 2 a b c abc(a b c) a 2a bc abc(a b c) 0
4 2 2 4 2 2Sa 2Sb 2a 4b c 4b 8c a 3abc(a b c)
4 2 2 4 2 2 4 2 2(a 4b c ) (4b 4c a ) (a 4c a ) 3abc(a b c) 0
即：當(dāng) a b c時， Sa 0 ， Sc 0， Sa 2Sb 0 ， Sc 2Sb 0；
根據(jù) 23.2 SOS法第⑶條： S 0 . 證畢.
1 1 1 1
27.22 設(shè)a,b,c,d 0，且 a b c d abcd 5，求證： 4 .
a b c d
解析：本題采用琴生不等式.
1
構(gòu)建函數(shù)： f (x) ，在 x 0 區(qū)間， f (x)為向下凸函數(shù).
x
根據(jù)琴生不等式 (21)：對于向下凸函數(shù)，均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值
f (a) f (b) f (c) f (d ) a b c d
即： f ( )
4 4
a b c d
即： f (a) f (b) f (c) f (d ) 4 f ( ) ①
4
1
將 f (x) 及 a b c d 5 abcd 代入①式得：
x
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1 1 1 1 4 16
4 ②
a b c d a b c d 5 abcd
由均值不等式：5 abcd a b c d 44 abcd ③
設(shè)： t 4 abcd 0，則③式為： 4 45 t 4t ，即： t 4t 5 0
即： 3 2(t 1)(t t t 5) 0 ④
因?yàn)?t 0，所以 3 2t t t 5 0
則由④式得： t 1，故： t (0,1] ⑤
1 1 1 1 16
將⑤式代入②式得： 4 . 證畢.
a b c d 5 1
另：采用拉格朗日乘數(shù)法.
1 1 1 1
設(shè)： f (a,b,c,d ) ， g(a,b,c,d) a b c d abcd 5
a b c d
則：拉氏函數(shù)： L f g
L f g 1 1 1
偏導(dǎo)數(shù)： (a abcd ) 0 ，即： a(a abcd )
a a a 2a a
1 1 1
同理： b(b abcd )； c(c abcd )； d(d abcd ) .

則： 2 2a(a abcd) b(b abcd)，即：a b (a b)abcd
即： (a b)(a b abcd) 0 ⑥
故： a b或 a b abcd 0 .
同理可得：a b c d .
而由 a b abcd 0， b c abcd 0，…，同樣得到：a b c d
故極值點(diǎn)：a b c d 1.
1 1 1 1
即 f (a,b,c,d ) 的極小值為 4 .
a b c d
27.23 設(shè)不等式：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
對一切實(shí)數(shù)a,b,c 都成立，求 M 的最小值.
解析：注意到 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) (a b)(b c)(a c)(a b c)
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不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
則不等式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab(a b ) bc(b c ) ca(c a ) M(a b c )
變?yōu)? 2 2 2 2(a b)(b c)(c a)(a b c) M(a b c ) ①
⑴ 設(shè)： x a b； y b c； z c a ；s a b c ，則：x y z 0 ②
及 ：
2 2 1 1
a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2c [(a b c) (a b) (b c) (c a) ] (s x y z )
3 3
1
代入①式： 2 2 2 2 2sxyz M(s x y z )
9
即： 9 sxyz 2 2 2 2 2M(s x y z ) ③
其中， x, y, z, s R
⑵ ③式兩邊 與 2 2 2xyz x y z 之間的關(guān)系由②式限制.
由于 x y z 0 ， 3 個變量 x, y, z 中有兩個的符號相同，不妨設(shè)為
x, y 0.
因?yàn)?x, y 0 時，a b c，①式只要M 0 即可.
2
(x y)
當(dāng) x, y 0時，z (x y)，設(shè) t x y z ，由均值不等式 xy
4
得：
3 3
(x y) t
sxyz sxy(x y) s s ④
4 4
當(dāng) x y時，④式得等號成立.
⑶ 由均值不等式得：
4 4
2 2 2 2 2 22 6 2 2 2 2 2s t t t 2s 3t
2s t 2s t t t
4 4
2
2 23 2s 3t 1 2 3 2 2 1即： 2 2 2 2 22 s t (s t ) (s x y z )
4 4 2 4
即： 3 2 2 2 2 24 2 s t (s x y z ) ⑤
上面用到了： 2 23t t 2 2 2 2 2 22t (x y) 2z 2x 2y 2z
1 1
⑷ 由⑤式得： 3 2 2 2 2 2s t (s x y z ) ⑥
4 16 2
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不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
將 ⑥ 式 代 入 ④ 式 得 ：
1 2
sxyz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(s x y z ) (s x y z )
16 2 32
9 2
于是： 2 2 2 2 29 sxyz (s x y z ) ⑦
32
9 2 9 2
比較③⑦兩式得： M . 故： M 的最小值為 .
32 32
27.24 設(shè) 2 2 2a,b,c 0，且 a b c 3，求證： (a b b c c a)(ab bc ca) 9 .
解析：采用uvw法.
⑴ 齊次化： 2 2 2 527(a b b c c a)(ab bc ca) (a b c) ①
⑵ 設(shè)： 3u a b c ， 23v ab bc 3ca，w abc
則①式變?yōu)椋?2 2 2 2 5 527(a b b c c a) 3v 3 u
即： 2(a b 2 2 2 5b c c a)v 3u
即： 5 2 2 2 2 2 26u 2(a b b c c a)v 2v (a b)
cyc
即： 5 2 2 2 2 2 2 2 26u v (a b) v (a c) v (a b) v (a c)
cyc cyc cyc cyc
即： 5 2 2 2 2 2 26u v (a b a c) v (a b a c) ②
cyc cyc
⑶ 下列常用式：
2 3 2 3
9uv 3w 3u 3v 3w (a b c)(ab bc ca) 3abc
2 2 2 2 2 2(a b abc ca ) (ab b c abc) (abc bc c a) 3abc
2 2 2 2 2 2 2 2a b ca ab b c bc c a (a b a c)
cyc
即： 2 2 2 3(a b a c) 9uv 3w ③
cyc
2
(a b)(b c)(c a) (ab ac b bc)(c a)
2 2 2 2 2 2abc ac b c bc a b a c ab abc
2 2 2 2 2 2(ac b c bc a b a c ab )
2 2(a b a c 2 2b c b a 2 2 2 2c a c b) (a b a c)
cyc
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不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
即： 2 2(a b a c) (a b)(b c)(c a) ④
cyc
將③④代入②得：
5 4 3 2 2
6u 9uv 3w v v (a b)(b c)(c a)
1
即： 5 42u 3uv 3 2 2w v v (a b)(b c)(c a) 0 ⑤
3
⑷ 采用 uvw法必須牢記的幾個不等式：
A> 2 2(a b)(b c)(c a) (a c a b)
cyc
B> 2 2 2a 9u 6v
cyc
C> 2 2 4 3a b 9u 6uw
cyc
D> 3 3 2 3a 27u 27uv 3w
cyc
E> 4a 2 2 2 4 3(9u 6v ) 2(9v 6uw )
cyc
F> 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3(a b) (b c) (c a) 27[ (w 3uv 2u ) 4(u v ) ]
G> 3 3 2w 3u 4uv 即舒爾不等式
⑸ 因?yàn)?a,b,c 0，所以根據(jù)傻瓜不等式 (53)：u v w ⑥
故由⑷F>可得： 3 2 3 2 2 2 3(w 3uv 2u ) 4(u v ) 0
即 ： 24(u 2 3 3 2 3 2v ) (w 3uv 2u ) ， 即 ：
2
2 (u 2 3 3 2 3v ) (w 3uv 2u )
即： 3 2 3 2 2 3w 3uv 2u 2 (u v ) ⑦
這與 24.1 中 uvw定理的 3w 取值要求一致.
⑺ 將⑦代入⑤
5 4 3 2 5 4 2 2 3 2 2 32u 3uv w v 2u 3uv v [3uv 2u 2 (u v ) ]
只要 5 4 2 2 3 2 2 32u 3uv v [3uv 2u 2 (u v ) ] 0 ⑧
則滿足⑤式要求.
⑧式即： 5 3 2 2 2 2 32u 2u v 2v (u v ) 0
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不等式高級水平必備----tobeenough---wanhuihua
即： 5u 3 2 2 2 2 3u v v (u v ) 0
⑻ 設(shè) u tv，則由傻瓜不等式得 t 1，代入⑧式得： 5 3 2 3t t (t 1) 0
即： 5 3 2 3t t (t 1) ，即： 3 2t (t 1) 2(t 21) t 1
即： 3 2t t 1 ，即： 6t 2t 1 0 ⑨
在 t 1是⑨式恒成立.
這樣，⑧式成立，倒退回去則①式成立. 證畢.
此題不好.
將此題展開來，則是求證：
5 4 4 2 3 2 2 3 2 3a 5 (a b ab ) 10 a b 3 a b c 17 a b 7 a bc
cyc cyc cyc cyc cyc cyc
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