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基本不等式中 “1的妙用 ”
一、考法解法
命題特點(diǎn)分析
此類題目主要特點(diǎn)是：1、兩個(gè)變量是正實(shí)數(shù)（使用基本不等式的前提），2、有一個(gè)代數(shù)式
的值已知，求另一個(gè)代數(shù)式 的最小值，其中兩個(gè)代數(shù)式一個(gè)是整式 ax+ by，一個(gè)是分式
m + n，當(dāng)然會(huì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形。
x y
解題方法薈萃
μy λx
主要是湊出可以使用基本不等式的形式： + 的形式，多數(shù)情況下是讓兩個(gè)代數(shù)式相
x y
乘。
二、典型題剖析
1 2
例1（. 1）已知 x,y ∈R ，x+ 2y= 1，求 + 的最小值；
x y
（ 2）已知 x,y ∈R ，x+ 2y= 1 23，求 + 的最小值；
x y
（ 3）已知 x,y ∈ 3R ， + 2 = 2，求 6x+ 2y的最小值；
x y
（ 4）已知 x,y ∈R ，x+ 2y= xy，求 x+ 2y的最小值；
【解析】這四個(gè)題目中，（1）是 “1的替換 ” 的最基礎(chǔ)題目，已知整式的值為 1，求分式的最小
值（，2）是將已知值變成了 3，需要調(diào)節(jié)系數(shù)（，3）是已知分式的值求整式的最值（，4）對分式
進(jìn)行等價(jià)變換。
1 + 2 = ( + ) ( 1

【答案】（1） x 2y + 2 ) = 2x 2y1+ + + 4≥ 5+ 2 4 = 9
x y x y y x
2x當(dāng)且僅當(dāng) = 2y 即 x= = 1y 時(shí)取等號(hào)
y x 3
（2） 1 + 2 = 1

( + ) ( 1x 2y + 2 ) = 1（1+ 2x + 2y + 4）≥ 1（5+ 2 4）= 3
x y 3 x y 3 y x 3
2x = 2y = = 1當(dāng)且僅當(dāng) 即 x y 時(shí)取等號(hào)
y x 3
1 3 2
（3）6x+ 2y= ( + ) (6x+ 2y) = 9+ 3y + 6x

+ 2≥ 18+ 6 2
2 x y x y

6x當(dāng)且僅當(dāng) = 3y
3 2 + 2
即 2x= y= 時(shí)取等號(hào)
y x 2
（4）因?yàn)?x+ 2y= xy，所以 1 + 2 = 1，然后 x+ 12y= (x+ 2y) ( + 2 ) = x + 4y + 4≥ 8
y x y x y x
x當(dāng)且僅當(dāng) = 4y 即 x= 2y= 4時(shí)取等號(hào)
y x
公眾號(hào)：高中數(shù)學(xué)最新試題
2 1 2例 （. 1）已知 x,y ∈R ，x+ y= 1，求 + +
的最小值；
x 1 y+ 3
2 2
（ 2）已知 x,y ∈R ，x+ y= x y1，求 + + + 的最小值；x 1 y 1
（ 3）已知 x,y ∈R 1，x+ y= 1，求 + 2 + + 的最小值；2x y y 3
（ 4）已知 x,y ∈R ，2x+ 3y= 1，求 1 + 2 + + 的最小值；x y y 3
【解析】這四個(gè)題目是便是比較大的四個(gè)題目（：1）是分式的分母分別加上一個(gè)常數(shù)，為了能
夠使用基本不等式，我們需要對整式也進(jìn)行相應(yīng)的變形；（2）在上一題的基礎(chǔ)上，是分式的
分子分母不再是一個(gè)常數(shù)而是二次項(xiàng)，需要分離出一個(gè)代數(shù)式，變成熟悉的形式（；3）在（1）
的情況下分母進(jìn)一步變化，不是加一個(gè)常數(shù)，而是混搭的形式；（4）在上一題的基礎(chǔ)之上不
再是直接觀察出結(jié)果，而是需要配湊一個(gè)系數(shù)。
【答案】
（1）整式變形成 x+ 1+ y+ 1= 3，
1 + 2 = 1 (x+ 1+ y+ 3) ( 1 + 2 ) = 1+ + + + (1+ 2+
y + 3 2( x + 1 )
x 1 y 3 5 x 1 y 3 3 x+
+ + ) ≥ 1+1 y 3
2 2
3
y + 3當(dāng)且僅當(dāng) = 2( x + 1 ) 取等號(hào)
x+ 1 y+ 3
x2 y2 2 + = (x + 1 ) - 2 (x + 1)
2
+ 1 + (y + 1 ) - 2 (y + 1) + 1 1（2） + + + + = x+ 1- 2+

x 1 y 1 x 1 y 1 x+ 1
+ y+ 1- + 12
y+ 1
= 1 + +
1 - 1
x 1 y+ 1
1 1
然后求當(dāng) x+ y= 1時(shí)，代數(shù)式 + +
的最小值
x 1 y+ 1
（3）整式變形成 2x+ y+ y+ 3= 15，求代數(shù)式 + 2 + + 最小值2x y y 3
λ（4）假設(shè)分式變形為 + 2 μ 的形式，保證 x的系數(shù)與 y的系數(shù)之比等于整式
λ(x+ y) μ(y+ 3)
λ 2
中的系數(shù)之比，即 + =
，λ= 2μ，∴ μ= 21,λ= 2，分式變形為 + 2
λ μ 3 2x+ 2y y+ 3
整式變形為 2x+ 2y+ 2y+ 3= 4，然后求 + 2 + 的最小值。2x 2y y+ 3
例3（. 1）已知 x,y ∈R ，x+ y= 1，求 1 + 2x 的最小值；
x y
1 2
（ 2）已知 x ∈ 0,1 ，，求 + 的最小值；x 1- x
【解析】這兩個(gè)題目的變式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一個(gè)分子的系數(shù)不是一
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2x
個(gè)常數(shù)，而是 的形式，因?yàn)楸容^接近我們使用基本不等式的形式，所以對另一個(gè)分子替
y
換（；2）中好像是缺了整式，但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)分母之和為定值。
【解析】
1 + 2x = x + y + 2x = + y（1） 1 + 2x

≥ 1+ 2x y2 2當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號(hào)
x y x y x y y x
1 2
（2）因?yàn)?x+ (1- x) = 1，然后求 + - 的最小值x 1 x
三、達(dá)標(biāo)與拓展
基礎(chǔ)過關(guān)（第 1— 5題）
1. 若正數(shù) x，y滿足 x+ 3y= 5xy，則 3x+ 4y的最小值是（ ）
A. 24 B. 28 C. 5 D. 6
5 5
【解析】∵正數(shù) x，y滿足 x+ 3y= 5xy，
∴ 3 + 1 = 1，
5x 5y

∴ 3x+ = 3 + 1 + = 94y 3x 4y + 4 + 1 2 y + 3x ≥ 13 + 1 2 y 3x2 = 5，5x 5y 5 5 5x 5y 5 3x 5y
12y 3x
當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號(hào)
5x 5y
即 3x+ 4y的最小值是 5
【答案】C.
2. 2x+ y已知 x,y均為正實(shí)數(shù)，且 x+ 3y= 2，則 的最小值為 ．
xy

+ 3y + 2x + 3y 2x7 7 2
2x+
【解析】試題分析： y = (x+ 3y) ( 1 + 2 ) 1 = x y ≥ x y = 7 +
xy x y 2 2 2 2
6，
2
x+ 3y= 2 x= 6 + 1 當(dāng)且僅當(dāng) 3y = 2x
2x + y 7即 時(shí)，等號(hào)成立，即
的最小值是 + 6．
x y = 2 2 xy 2 y 3 2 + 3

3. 設(shè) a> 0，b> 0，若 3是 3a與 3b 1的等比中項(xiàng)，則 + 1 的最小值為（ ）
a b
A. 8 B. 4 C. 1 D. 1
4

【解析】因?yàn)?3是 3a與 3b的等比中項(xiàng)，所以 a+ b= 1
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1 + 1 = ( 1 + 1 ) (a+ b) = + a2 + b ≥ 2+ 2= 4
a b a b b a
【答案】B．
4. 已知 a> 0,b> 0,a+ b= 1,則 1 + 1 + + 的最小值是__________.2a b a 3b
2 1
【解析】令 a+ b= x（2a+ b) + y（a+ 3b)，解得 x= ，y=
5 5
1
+ +
1 2
+ = 2a+ b +
1 ( 1 1a+ 3b)
2a b a 3b 5 5
+ + 2a b a+ 3b

= 3 + a + 3 b + 2 2 a + b ≥ 3 + a + 3 b 2( 2 a + b)2
5 5 2a+ b 5（ a+ 3b） 5 5(2a+ b) 5(a+ 3b)

= 3 + 2
2
5
a+ 3
當(dāng) b = 2 2 a + b

+ 即 a+ 3b =
2(2a+ b)取等號(hào) .
5 2a+ b 5（ a 3b）
5. 已知實(shí)數(shù) x，y滿足 4x2+ y2+ 3xy= 1，則 2x+ y的最大值為 ．
【解析】∵實(shí)數(shù) x，y滿足 4x2+ y2+ 3xy= 1，
∴ 4x2+ y2+ 4xy= 1+ xy，
∴ + 2= + 1 ≤ + 1 2x+ y
2
2x y 1 2x y 1 2 2 2 ，

2 14
解關(guān)于 2x+ y的不等式可得 2x+ y≤ ，
7

2 14
故答案為： ．
7
智能拓展（第 6— 10題）
6. 1已知 a> 0，b> 0，a+ 2b= 1，則 + 1 + + 取到最小值為 ．3a 4b a 3b
【解析】試題分析：令 a + 2b = λ(3a + 4b) + μ(a + 3b) = (3λ + μ)a + (4λ + 3μ)b，∴
1 λ=
3λ+ μ= 1 +
5 ，
4λ 3μ= 2 2
μ= 5
∴ 1 + 1 = ( 1 + 1 + + + + ) [
1 (3a+ 4b) + 2 (a+ 3b)] = 3 + 1 [ 2( a + 3b )
3a 4b a 3b 3a 4b a 3b 5 5 5 5 3a+ 4b
+ 3a + 4 b+ ]a 3b

3 2 2( a + 3b ) 3a + 4 b 3 + 2 2
a+ 2b= 1
≥ + + + = ，當(dāng)且僅當(dāng) 5 5 3a 4b a 3b 5 2( a + 3b ) 3a + 4 b 時(shí)，等號(hào)成立， 3a+ 4b a+ 3b

即 1 + 1 3+ 2
2
+ + 的最小值是
．
3a 4b a 3b 5
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7. 1 1已知正數(shù) x,y滿足 xy≤ 1,則M= + + + 的最小值為 1 x 1 2y
【解析】M= ( 1 + 1 + + ) [(1+ x) + (1+ 2y)]≥ 41 x 1 2y
則M≥ 4 1+ + ，令 t= 2+ x+ 2y，即 y=-
x+ 1 1t- 1， xy= x(- x+ 1 t- 1) ≤ 1恒
2 x 2y 2 2 2 2

成立，由Δ≤ 0得 2- 2 2 ≤ t≤ 42+ 2 2，M≥ ≥ + +
4 = 2 2 - 2
2 x 2y 2 2 + 2
8. 若正數(shù) x,y,z滿足 3x+ 4y+ 5z= 6，則 1 + 4y + 2 z+ + 的最小值為 .2y z x z
1
【解析】 + 4y + 2 z = 1 + 6 - 3( x + z ) = 1 + 6 + + + + + + - 32y z x z 2y z x z 2y z x z
令 2y+ z= a,x+ = a bz b，則 2(2y+ z) + 3(x+ z) = 3x+ 4y+ 5z= 2a+ 3b= 6，即 + =
3 2
1，
1
原式= ( + b ) ( a + b ) - 1 b 2a 73= + + ≥
a 6 3 2 3 2a b 3
9. 已知 x> 0，y> 1 20，且 + = 1，若 2x+ y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ，
x y
當(dāng)m取到最大值時(shí) x= .
【解析】恒成立問題，求 2x+ y的最小值，即為 “1的替換 ”
答案為： ∞， 8 ，2；

10. 在邊長為 1的正三角形ABC中，AD= 3 4xAB，AE= yAC，(x> 0，y> 0)且 + = 1，則
x y
CD BE的最小值等于 .
11
【解析】這是結(jié)合向量來解的一個(gè)題目，CD BE的最小值為 + 2 6.
2
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