資源簡介

函數知識點總結
知識點一、平面直角坐標系
1、平面直角坐標系
在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。
其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。
為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。
2、點的坐標的概念
點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。
知識點二、不同位置的點的坐標的特征
1、各象限內點的坐標的特征
點P(x,y)在第一象限
點P(x,y)在第二象限
點P(x,y)在第三象限
點P(x,y)在第四象限
2、坐標軸上的點的特征
點P(x,y)在x軸上，x為任意實數
點P(x,y)在y軸上，y為任意實數
點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）
3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征
點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等
點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數
4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征
位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。
位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。5、關于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征
點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數
點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數
點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數
6、點到坐標軸及原點的距離
點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：
（1）點P(x,y)到x軸的距離等于
（2）點P(x,y)到y軸的距離等于
（3）點P(x,y)到原點的距離等于
知識點三、函數及其相關概念
1、變量與常量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。
2、函數解析式
用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。
使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。
3、函數的三種表示法及其優缺點
（1）解析法
兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。
（3）圖像法
用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。
4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟
（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值
（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點
（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
知識點四、正比例函數和一次函數
1、正比例函數和一次函數的概念
一般地，如果（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。
特別地，當一次函數中的b為0時，（k為常數，k0）。這時，y叫做x的正比例函數。
2、一次函數的圖像 所有一次函數的圖像都是一條直線
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：
一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。
k的符號 b的符號 函數圖像 圖像特征
k>0 b>0 y 0 x 圖像經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。
b<0 y 0 x 圖像經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。
k<0k<0 b>0 y 0 x 圖像經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小
b<0 y 0 x 圖像經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。
注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。
4、正比例函數的性質
一般地，正比例函數有下列性質：
（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大，圖像從左之右上升；
（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小，圖像從左之右下降。
5、一次函數的性質
一般地，一次函數有下列性質：
（1）當k>0時，y隨x的增大而增大
（2）當k<0時，y隨x的增大而減小
（3）當b>0時，直線與y軸交點在y軸正半軸上
（4）當b<0時，直線與y軸交點在y軸負半軸上
6、正比例函數和一次函數解析式的確定
確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法
知識點五、反比例函數
1、反比例函數的概念
一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成或xy=k的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。
2、反比例函數的圖像
反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。
3、 反比例函數的性質
反比例函數
k的符號 k>0 k<0
圖像 y O x y O x
性質 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x 的增大而減小。 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x 的增大而增大。
4、反比例函數解析式的確定
確定解析式的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。
5、反比例函數中反比例系數的幾何意義
若過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。 。
知識點六、二次函數的概念和圖像
1、二次函數的概念
一般地，如果，特別注意a不為零，那么y叫做x 的二次函數。
叫做二次函數的一般式。
2、二次函數的圖像
二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特征（也叫拋物線的三要素）：
①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。
3、二次函數圖像的畫法
五點法：
（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸
（2）求拋物線與坐標軸的交點：
當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。
當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數的圖像。
知識點七、二次函數的基本形式
1. 二次函數基本形式：的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
2. 的性質：
二次函數的圖像可由的圖像上下平移得到（平移規律：上加 下減）。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 軸 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 軸 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
3. 的性質：
二次函數的圖像可由的圖像左右平移得到（平移規律：左加 右減）。
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
4. 的性質：
的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質
向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．
向下 X=h 時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．
知識點八、二次函數解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩點式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成兩點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用兩點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
知識點九、二次函數解析式的確定
根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式；
4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．
知識點十、二次函數的最值
如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。
如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。
知識點十一、二次函數的性質
1、二次函數的性質
函數 二次函數
圖像 a>0 a<0
y 0 x y 0 x
性質 （1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值， （1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，
2、二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離
推導過程：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故
② 當時，圖象與軸只有一個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
記憶規律：一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。
因此一元二次方程中的，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。
當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；
當<0時，圖像與x軸沒有交點。
知識點十二 中考二次函數壓軸題常考公式（必記必會，理解記憶）
1、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）
y
如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）
則AB間的距離，即線段AB的長度為 A
0
B
2、二次函數圖象的平移
① 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；
② 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
③平移規律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．函數平移圖像大致位置規律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節省做題的時間）
3、直線斜率：
4、設兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若
知識點十三、二次函數的圖象與各項系數之間的關系
拋物線中， a b c,的作用
（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
>0時，拋物線開口向上；<0時，拋物線開口向下；的絕對值越大，開口越小
（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線
，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側.（口訣左同 右異）
（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：
①，拋物線經過原點;
②,與軸交于正半軸；
③,與軸交于負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .
經典例題與解析
（二次函數與三角形）
1、已知：二次函數y=x2+bx+c，其圖象對稱軸為直線x=1，且經過點（2，﹣）．
（1）求此二次函數的解析式．
（2）設該圖象與x軸交于B、C兩點（B點在C點的左側），請在此二次函數x軸下方的圖象上確定一點E，使△EBC的面積最大，并求出最大面積．
2、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C (0，4)，頂點為（1，）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標．
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．
3、如圖，一次函數y＝－4x－4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象經過A、C兩點，且與x軸交于點B．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的頂點為D，求四邊形ABDC的面積；
（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點M、N．問在x軸上是否存在點P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（二次函數與四邊形）
4、已知拋物線．
(1)試說明：無論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
(2)如圖，當該拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x－1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
5、如圖，拋物線y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線另有一點A在第一象限內，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；
（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式；
（3）如圖2，設垂直于x軸的直線l：x＝n與（2）中所求的拋物線交于點M，與CD交于點N，若直線l 沿x軸方向左右平移，且交點M始終位于拋物線上A、C兩點之間時，試探究：當n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．
6、如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（），B（），D（3，0）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線經過點D、M、N．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值．
7、已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求A、B的坐標；
（2）過點D作DH丄y軸于點H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式；
（3）在第（2）小題的條件下，直線CD與x軸交于點E，過線段OB的中點N作NF丄x軸，并交直線CD于點F，則直線NF上是否存在點M，使得點M到直線CD的距離等于點M到原點O的距離？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
8、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．1）求該拋物線的解析式．
2）若過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
3）點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點P的坐標．
9、如圖，y關于x的二次函數y=﹣（x+m）（x﹣3m）圖象的頂點為M，圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于D點．以AB為直徑作圓，圓心為C．定點E的坐標為（﹣3，0），連接ED．（m＞0）
（1）寫出A、B、D三點的坐標；
（2）當m為何值時M點在直線ED上？判定此時直線與圓的位置關系；
（3）當m變化時，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標系中畫出S關于m的函數圖象的示意圖。
10、已知拋物線的對稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點．與y軸交于點C．其中AI(1，0)，C(0，)．
（1）（3分）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上運動（點P異于點A）．
①（4分）如圖l．當△PBC面積與△ABC面積相等時．求點P的坐標；
②（5分）如圖2．當∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式。
答案與分析：
1、解：（1）由已知條件得，（2分）
解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函數的解析式為y=x2﹣x﹣；（1分）
（2）∵x2﹣x﹣=0，∴x1=﹣1，x2=3，
∴B（﹣1，0），C（3，0），∴BC=4，（1分）
∵E點在x軸下方，且△EBC面積最大，∴E點是拋物線的頂點，其坐標為（1，﹣3），（1分）
∴△EBC的面積=×4×3=6．（1分）
2、（1）∵拋物線的頂點為（1，） ∴設拋物線的函數關系式為y＝a ( x－1) 2＋
∵拋物線與y軸交于點C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4 解得a＝－
∴所求拋物線的函數關系式為y＝－( x－1) 2＋
（2）解：P1 (1，)，P2 (1，－)， P3 (1，8)，P4 (1，)，
（3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4
∴拋物線y＝－( x－1) 2＋與x軸的交點為A (－2，0) C (4，0)
過點F作FM⊥OB于點M，
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 又 ∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB
設E點坐標為 (x，0)，則EB＝4－x，MF＝ (4－x) ∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC－ EB·MF＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋3
∵a＝－＜0，∴S有最大值 當x＝1時，S最大值＝3 此時點E的坐標為 (1，0)
3、（1）∵一次函數y＝－4x－4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，
∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y＝x2＋bx＋c得
∴eq \b\lc\{(\a\al\co(－b＋c＝0,c＝－4)) 解得 ∴y＝x2－x－4
（2）∵y＝x2－x－4＝( x－1) 2－ ∴頂點為D（1，－）
設直線DC交x軸于點E 由D（1，－）C (0，－4)
易求直線CD的解析式為y＝－x－4
易求E（－3，0），B（3，0） S△EDB＝×6×＝16
S△ECA＝×2×4＝4 S四邊形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12
（3）拋物線的對稱軸為x＝－1
做BC的垂直平分線交拋物線于E，交對稱軸于點D3 易求AB的解析式為y＝－x＋
∵D3E是BC的垂直平分線 ∴D3E∥AB
設D3E的解析式為y＝－x＋b
∵D3E交x軸于（－1，0）代入解析式得b＝－, ∴y＝－x－
把x＝－1代入得y＝0 ∴D3 (－1，0), 過B做BH∥x軸，則BH＝1
在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H＝ ∴D1（－1，＋）同理可求其它點的坐標。
可求交點坐標D1（－1，＋）, D2（－1，2）, D3 (－1，0), D4 (－1, －)D5（－1，－2）
4、(1)====，∵不管m為何實數，總有≥0，∴=＞0，∴無論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點．
(2)∵ 拋物線的對稱軸為直線x=3，∴，
拋物線的解析式為=，頂點C坐標為（3，－2），
解方程組，解得或，所以A的坐標為（1，0）、B的坐標為（7，6），∵時y=x－1=3－1=2，∴D的坐標為（3，2），設拋物線的對稱軸與軸的交點為E，則E的坐標為（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
1 假設拋物線上存在一點P使得四邊形ACPD是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等，于是P與點B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故拋物線上不存在一點P使得四邊形ACPD是正方形．
2 (Ⅰ)設直線CD向右平移個單位（＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3，直線CD與直線y=x－1交于點M（3，2），又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，－2），∴D通過向下平移4個單位得到C．
∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．
（ⅰ）當四邊形CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N，∴N坐標為（3，），
又N在拋物線上，∴，
解得（不合題意，舍去），，
（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N，∴N坐標為（3，），
又N在拋物線上，∴，
解得（不合題意，舍去），，
(Ⅱ) 設直線CD向左平移個單位（＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x=3，直線CD與直線y=x－1交于點M（3，2），又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，－2），∴D通過向下平移4個單位得到C．
∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．
（ⅰ）當四邊形CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N，∴N坐標為（3，），
又N在拋物線上，∴，
解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），
（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N，∴N坐標為（3，），
又N在拋物線上，∴，
解得，（不合題意，舍去），
綜上所述，直線CD向右平移2或（）個單位或向左平移（）個單位，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
5、解：（1）OB＝3，OC＝8
（2）連接OD，交OC于點E
∵四邊形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4
∴BE＝4－3＝1
又∵∠BAC＝90°，
∴△ACE∽△BAE ∴＝
∴AE2＝BE·CE＝1×4
∴AE＝2
∴點A的坐標為 (4，2)
把點A的坐標 (4，2)代入拋物線y＝mx2－11mx＋24m，
得m＝－ ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x－12
（3）∵直線x＝n與拋物線交于點M
∴點M的坐標為 (n，－n2＋n－12)
由（2）知，點D的坐標為（4，－2），
則C、D兩點的坐標求直線CD的解析式為y＝x－4
∴點N的坐標為 (n，n－4) ∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8
∴S四邊形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9
∴當n＝5時，S四邊形AMCN＝9
6、解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC與x軸的交點，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），則，解得，∴；
（2）連接AC交y軸與G，∵M是BC的中點，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線，要使PA=PC，即點P在AC的垂直平分線上，故P在直線BG上，∴點P為直線BG與拋物線的交點，
設直線BG的解析式為，則，解得，∴，
∴，解得，，
∴點P（）或P（），
（3）∵，∴對稱軸，
令，解得，，∴E（，0），
故E、D關于直線對稱，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，則延長DC與相交于點Q，即點Q為直線DC與直線的交點，
由于M為BC的中點，∴C（1，2），設直線CD的解析式為y=kx+b，
則，解得，∴，
當時，，故當Q在（）的位置時，|QE-QC|最大，
過點C作CF⊥x軸，垂足為F，則CD=．
7、解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，
∵a≠0，∴x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， ∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）；
（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a， ∴C（0，-3a），
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a， 得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a， ∴-a=1，∴a=-1， ∴C（0，3），D（1，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點的坐標代入得， ，解得 ，
∴直線CD的解析式為y=x+3；
（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ），EN= ，
作MQ⊥CD于Q，設存在滿足條件的點M（ ，m），則FM= -m，
EF= = ，MQ=OM=
由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴ = ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，
m2+9m+ = + （m+ ）2= m+ =± ∴m1= ，m2=- ，
∴點M的坐標為M1（ ， ），M2（ ，- ）．
8、解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），
∴假設二次函數解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），
將D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a， ∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵過點A（﹣1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，∴二次函數對稱軸為x=2，
∴AC=3，∴BC=4，∴B點坐標為：（2，4），一次函數解析式為；y=kx+b，
∴，解得：，y=x+；
（3）∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AM=3， ∴BM=2，
∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，
∴△ABC∽△CBM，∴，
∴，∴PC=1.5，P點坐標為：（2，1.5）．
9、解：（1）A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）．
（2）設直線ED的解析式為y=kx+b，將E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k=，b=m． ∴直線ED的解析式為y=mx+m．
將y=﹣（x+m）（x﹣3m）化為頂點式：y=﹣（x+m）2+m．
∴頂點M的坐標為（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m
∵m＞0，∴m=1．所以，當m=1時，M點在直線DE上．連接CD，C為AB中點，C點坐標為C（m，0）．
∵OD=，OC=1，∴CD=2，D點在圓上
又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．∴∠FDC=90°∴直線ED與⊙C相切．
（3）當0＜m＜3時，S△AED=AE． OD=m（3﹣m） S=﹣m2+m．
當m＞3時，S△AED=AE． OD=m（m﹣3）． 即S=m2_m．
10、解：（1）由題意，得，解得∴拋物線的解析式為。
（2）①令，解得 ∴B（3, 0）
當點P在x軸上方時，如圖1，過點A作直線BC的平行線交拋物線于點P，
易求直線BC的解析式為，∴設直線AP的解析式為，
∵直線AP過點A（1,0），代入求得。∴直線AP的解析式為
解方程組，得 ∴點
當點P在x軸下方時，如圖1 設直線交y軸于點，
把直線BC向下平移2個單位，交拋物線于點， 得直線的解析式為，
解方程組， ∴
綜上所述，點P的坐標為：，
②∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° 設直線CP的解析式為
如圖2，延長CP交x軸于點Q，設∠OCA=α，則∠ACB=45°α
∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°α
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴，∴，∴OQ=9，∴
∵直線CP過點，∴ ∴
∴直線CP的解析式為。
B
x
y
O
(第2題圖)
C
A
D
B
x
y
O
(第3題圖)
C
A
C
O
A
y
x
D
B
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
B
x
y
O
(第3題圖)
C
A
D
E
B
x
y
O
(第3題圖)
C
A
P
M
N
C
O
A
y
x
D
B
E
C
O
A
y
x
D
B
M
N
l:x＝n
E

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