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從新高考 I 卷 22 題看 2022 年數學考題難不難
數學學科考試結束后，教育部教育考試院命題專家對數學試題進行了評析，其中特別談
到新高考 I 卷 22 題“重視基于數學素養的關鍵能力的考查，在數學知識層面、數學能力層
面和創新思維層面都有所體現，具有較好的選拔功能”，而與之不同的是“難”聲一片。學
生說難，下了考場淚水模糊了雙眼；教師說難，關進辦公室吸起了悶煙；家長說難，愣在廚
房煮糊了稀飯?？陀^地說，家長說難，有多少家長能對高考數學就輕駕熟？教師說難，短時
間內是否對試題已經透徹研究了一遍？學生說難，是否把平時積累的知識與經驗都抖落在了
卷面？只有平心靜氣對試題進行認真剖析，才可能準確地評判試題難易并進一步引導今后的
復習！
【題目】已知函數 f (x) ex x和 g(x) ax ln x 有相同的最小值．
（1）求 a ；
（2）證明：存在直線 y b ，其與兩條曲線 y f (x) 和 y g(x) 共有三個不同的交點，
并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
對于第一問，先找一找送分的感覺！
1.“定義域”這個主持人宣布開始，“求導”就急不可待登場.
f x ex ax 的定義域為R , g x ax ln x的定義域為 0,
.
2.函數求導的最高境界就是“閉上眼睛求導”，算由心生，需要基本公式、法則、規律
1 3x ax
以及過往經驗的強力支撐，但有時候會出現“千錯萬別”. 、 x 、e 、cosx、xe x ln x、 …，
x
哪個求導都比這個題難，不舉例子了，多了都是淚.
1
a
1
x
a
f ' x ex a g ' x a
， x x .
3.“拿起筆來就寫”，求導過程強調三點：快速、無錯、美觀，但要注意求導后的式子
寫到什么程度，求導后的結果怎樣尋找“落腳點”，需要進一步梳理，以便考試時能作出瞬
間反應形成解題敏感。
1）落腳于因式分解
1 1 ax 1 x 1
f x ax2 a 1 x ln x ， f ' x ax a 1 .
2 x x
2）落腳于配方判斷
2
2 x x 2 1
' x

f x ex ， f x e . 2 3
x 1 x 1
3）落腳于顯然易得
' a 1 2ax
2 a 1
f x a 1 ln x ax2 1， f x 2ax .
x x
4）落腳于和角變換

f x e 3x cos x， f ' x e 3x sin x
3
5）落腳于指對互化
f x ex 1 kx 2k ， f ' x ex 1 k ；
f x x ln x a x 1 ， f ' x ln x 1 a .
以上我們常做的函數求導，哪一個都要比這個題難。
4.“迷迷糊糊分類” 涉及參數分類討論，沒有明確的標準就沒有層次感和條理性。本
題涉及到 0 的自然分類，也是“顯然易得”的關鍵。
'
當 a 0 時， f x 0， f x 在 R上單調遞增，無最小值.
'
當 a 0時，由 f x 0得 x ln a，
x , ln a 時， f ' x 0， f x 在 , ln a 上單調遞減；
x ln a, f '時， x 0， f x 在 ln a, 上單調遞增.
'
當 a 0 時， g x 0， g x 在 0, 上單調遞減，無最小值.
1 ' 1
x 0, 時， g

x 0， g x 在 0, 上單調遞減；
a a
1 ' 1
x , 時， g x 0 ， g x

在 , 上單調遞增.
a a
5.“最小值信手拈來” 根據兩函數單調性，容易確定其最小值.
f x f ln a a a ln a , g x 1 ln a .
min min
6.參數等式達成
根據題目條件可得a a ln a 1 ln a .
做到這里，第一問的解答看上去已近尾聲，不就是一個解方程嗎，能直接看出來a 1，
其實不然，這個答案需要進一步論證.
7.方程函數化
a 1
由a a ln a 1 ln a ，整理得 ln a 0 .
a 1
2
x 1 ' 1 2 x 1
設 h x ln x ，h x 0， 2 2
x 1 x x 1 x x 1
h x 在 0, 上單調遞增且h 1 0，因此a 1 .
針對第二問，由第一問得到的a 1可知：
f x ex x在 ,0 上單調遞減，在 0, 上單調遞增；
g x x ln x在 0,1 上單調遞減，在 1, 上單調遞增.
兩個函數“扭打”在一起，借助圖象直觀感知，只有一種可能性 y b 過兩函數圖象交
點，才能滿足其與兩條曲線 y f (x) 和 y g(x)共有三個不同的交點。
下面說明兩函數圖象交點的唯一性。
設 k x f x g x ex ln x 2x，
1 1
則 k ' x ex 2 x 2 0
x x
所以 k x 在 0, 上單調遞增，
k 1 e 2 0， x 0 時 k x 0 ，即存在唯一的 x0 ，使得 k x0 0 .
x
所以 b，滿足e 0 x b， x0 ln x0 b，且直線 y b與 y f0 x 和 y g x
共有三個不同的交點,不妨設為 x1 x0 x2 ，如圖所示.
接下來要證明 x1 x2 2x0 .
x1 ln xf x1 e x1 g x0 x0 ln x0 e 0 ln x0 , x1 ln x0 ;
ln x x
g x2 x2 ln x2 e 2 ln x2 f x0 e 0 x0 , ln x2 x0 ,
x
x2 e
0 .
所以 xx1 x ln x e
0
2 0 2x ， 0
即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.
這里的 x0 ，忙得可謂“不可開交”：
x
（1）e 0 x0 b；
（2） x0 ln x0 b；
x
（3）e 0 ln x0 2x0 0；
（4） x1 ln x0；
x
（5） x2 e
0 .
正是因為以上這些運算做基礎， x1 x2 2x0 才“水到渠成”！
縱觀整個解答過程，對于考生來講，可謂“五味雜陳”，有“眼熟面花”的，有“觸手
可及”的，有“擦肩而過”的，平時的模擬考試和專題演練，比這個問題難的多得是，限于
考試時間和其它題目引起的解題壓力，到了最后已經筋疲力盡了。
對于教師來講，不要被外界的保姆化教輔、秒殺、大招所干擾，還是要靜下心來研透課
本。
（1）人教 A 版必修第一冊 143 頁例 1（求方程 ln x 2x 6 0的實數解的個數）利用
函數零點存在定理判斷方程根的個數，由至少到唯一確定了方程解的個數，與本題中的“存
在唯一的 x0 ，使得 k x0 0”如出一轍；
x
（2）函數 f x e x你一定記得在哪里見過，看看課本人教 A 版選擇性必修第二
冊 87 頁，就是判斷它的單調性的，當時判斷后，你是不是隨手畫圖感知了呢？平時我們可
ln x
能圍著 f x xex、 f x x ln x 、 f x 打轉的時候多，而忘記了課本最為基本
x
的內容；
1
（3）人教 A 版選擇性必修第二冊 94 頁“當 x 0 時，1 ln x”會給我們解題提供
x
1 x 1 x 1
可行性參考，求導過程基本一致；此外 ln x 1 這個不等式放縮也為我們
x x x 1
解題打開一扇窗；
（4）人教 A 版選擇性必修第二冊 95 頁例 7（（3）求出方程 f x a（a R ）的解
的個數）中特別強調了“為函數 y f x 的圖象與直線 y a的交點個數”，課本這樣說，
你就這樣做；
（5）蘇教版選擇性必修第一冊 200 頁練習 4（求函數 y x ln x ，x 0,2 的極值）、
202 頁練習（求函數 y x ln x ， x 0,1 的值域），北師大版選擇性必修第二冊 97 頁復
習題二 6 題（（3）求函數 y x ln x 的單調區間和極值點）多次出現這個函數，你說重要
不重要。
不難發現，本題通過最普通的內容、最基本的方法、最基礎的思想通過融合、變通考查
了新高考素養的關鍵能力，如運算求解、直觀想象、邏輯思維、適度創新等能力都在本題中
有著較好的發揮空間；函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、轉化與化歸思想
貫穿于整個解題過程；通過運用科學思維方法，有效組織整合相關知識，調動運用相關能力，
高質量認識、分析、解決了問題.
回到試題難易的問題，現在看來，試題還難不難？
難易就在一瞬間，基礎打牢是關鍵！
教輔堆題盲目做，大招秒殺迷人眼；
試題過手無深思，只看對錯兩茫然；
課外資料不離手，課本酣睡把腳絆；
只有課本研究透，才把不變應萬變！

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