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畫了輔助圓，這題真不難！
------兼談 2022 年全國(guó)乙卷理 11 題的“尷尬選擇”
題目：雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1, F2 ，以C 的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)F1作D的切線與
3
C 交于M 、 N 兩點(diǎn)，且cos F1NF2 ，則C 的離心率為（ ）
5
5 3 13 17
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
不妨設(shè)該雙曲線的方程為 1 .如圖，以 F1F2 為直徑畫圓交 F1N 于 P ,則
a2 b2
F2P F1N .下面的結(jié)果是不是有“順流而下”的感覺？
（1） F P 2 FQ 2 c a c a 2b ,如果說(shuō)初中平面幾何中哪些知識(shí)點(diǎn)比較有地1 1
位，圓的切割線會(huì)占有一席之地，當(dāng)然，同心圓的性質(zhì)也不可小覷；
2 2 2 2
（2） F2P F1F2 F1P 2c 2b 2a ，勾股定理，哪里都有你來(lái)蹭熱點(diǎn)；
F2P 2a 3a F2P 2a 5a
（3） NP ， F2N ， F1NF2 看似孤
tan F 41NF2 2 sin F1NF 4 2
3 5
零零地存在，一旦走進(jìn)直角三角形，便如魚得水了；
2
3a 3a 5a b 3 b 13
（4）F N F P NP 2b ，2b 2a， ，e 1 ，1 1
2 2 2 a 2 a 2
回到定義，回歸原生態(tài)！
做到這里，如釋重負(fù)，直接選 C，大功告成！
受畫圖習(xí)慣的影響，我們往往第一時(shí)間畫出上圖來(lái)做，但平時(shí)解題還會(huì)遇到“直線與雙曲線
兩交點(diǎn)的同支、異支”的糾結(jié)，因?yàn)槭菃我贿x擇題，我們又做出了可選的答案，這份糾結(jié)可
能一閃而過(guò)，但比我們更糾結(jié)的是命題人，他們不會(huì)一閃而過(guò)，一個(gè)失誤陷入了尷尬的境地
------這個(gè)題目有兩個(gè)答案可選！
如圖，交點(diǎn)同支.
（1） F1P 2 F1Q 2 c a c a 2b；
2 2 2 2
（2） F2P F1F2 F1P 2c 2b 2a ；
F2P 2a 3a F2P 2a 5a
（3） NP ， F2N ；
tan F NF 41 2 2 sin F1NF 4 2
3 5
3a 5a 3a
（4） F1N NP F ， 2b 2a ， 1P 2b
2 2 2
2
b 5
a 2b， e 1 .
a 2
其它做法可參考：
(I) M 、 N 異支
不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在 x軸，設(shè)過(guò)F1作圓D的切線切點(diǎn)為G ，OG NF1，因?yàn)?br/>3
cos F1NF2 0，
5
所以 OG a， OF1 c， GF1 b ，設(shè) F1NF2 ， F2F1N ，
3 3 4 a b
由cos F1NF2 ，即cos ，則sin ，sin ，cos ，
5 5 5 c c
在 F2F1N 中，sin F1F2N sin sin
4 b 3 a 3a 4b
sin cos cos sin ，
5 c 5 c 5c
2c NF2 NF1 5c
由正弦定理得 ，
sin sin sin F1F2N 2
5c 5c 3a 4b 3a 4b 5c 5c a 5a
所以 NF1 sin F1F2N ， NF2 sin
2 2 5c 2 2 2 c 2
3a 4b 5a 4b 2a
又 NF1 NF2 2a ，
2 2 2
b 3
所以2b 3a ，即 ，
a 2
c b2 13
所以雙曲線的離心率e 1 .
a a2 2
（II）M 、 N 同支略.
正可謂：畫．了．輔．助．圓．，．這．題．真．不．難．；．單．選．變．多．選．，．才．是．真．的．難．！

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