資源簡介

1.一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系
判別式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數
y=ax2+bx
+c(a>0)的
圖象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有兩相異實根
x1,x2(x1有兩相等實根
x1=x2=-
沒有實數根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|xx>x2}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1三種基本邏輯結構
名稱
內容
順序結構
條件結構
循環結構
定義
由若干個依次執行的步驟組成,這是任何一個算法都離不開的基本結構
算法的流程根據條件是否成立有不同的流向,條件結構就是處理這種過程的結構
從某處開始,按照一定的條件反復執行某些步驟的情況,反復執行的步驟稱為循環體
程序框圖
2.不等式的基本性質
性質
性質內容
注意
對稱性
a>bb傳遞性
a>b,b>ca>c
可加性
a>ba+c>b+c
可乘性
ac>bc
c的符號
ac同向可加性
a+c>b+d
同向同正
可乘性
ac>bd
可乘方性
a>b>0an>bn
(nN,n≥1)
a,b同為正數
可開方性
a>b>0
(nN,n≥2)
兩條直線位置關系的判定
斜截式
一般式
直線
方程
y=k1x+b1
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2
且b1≠b2
或
重合
k1=k2
且b1=b2
或
事件的關系與運算
定義
符號表示
包含
關系
對于事件A與事件B,如果事件A發生,則事件B一定發生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
BA
(或AB)
相等
關系
若BA且AB,那么稱事件A與事件B相等
A=B
并事件
(和事件)
若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生,稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
AB
(或A+B)
交事件(積事件)
若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
AB
(或AB)
互斥
事件
若AB為不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥
AB=
對立
事件
若AB為不可能事件,AB為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件
AB=且
AB=Ω
2.函數的最值
前提
一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足
條件
(1)對于任意的xI,都有
f(x)≤M;
(2)存在x0I,使得f(x0)=M.
(3)對于任意的xI,都有
f(x)≥M;
(4)存在x0I,使得f(x0)=M.
結論
M為最大值
M為最小值
單調函數的定義
增函數
減函數
定
義
一般地,設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1,x2
當x1當x1圖象
描述
自左向右看圖象是上
升的
自左向右看圖象是下
降的
雙曲線的標準方程及簡單幾何性質
標準方程
=1(a>0,b>0)
=1(a>0,b>0)
圖形
性
質
范圍
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
對稱性
對稱軸:x軸、y軸
對稱中心:坐標原點
對稱軸:x軸、y軸
對稱中心:坐標原點
頂點
頂點坐標:
A1(-a,0),A2(a,0)
頂點坐標:
A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線
離心率
e=f,e (1,+∞),其中c=
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長
a、b、c間的關系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
.合情推理
歸納推理
類比推理
定義
由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征推出另一類對象也具有這些特征的推理
特點
由部分到整體、由個別到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般
步驟
(1)通過觀察個別情況發現某些相同性質;
(2)從已知的相同性質中推出一個明確的一般性命題(猜想)
(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;
(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明確的命題(猜想)
共性
歸納推理和類比推理都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯想,再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統稱為合情推理
向量的線性運算
向量
運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
交換律:
a+b=b+a;
結合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
減法
求a與b的相反向量-b的和的運算叫做a與b的差
a-b
=a+(-b)
數乘
求實數λ與向量a的積的運算
|λa|=|λ||a|.
當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反;當λ=0時,λa=0
λ(μa)=
(λμ)a;
(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)
=λa+λb
圖象與性質
a>0
a<0
圖象
定義域
R
R
值域
y∈
y∈
對稱軸
x=-
頂點
坐標
奇偶性
b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數
單調性
x∈時
是減函數;
x∈時
是增函數
x∈
時是增函數;
x∈
時是減函數
最值
當x=-時,
ymin=
當x=-時,
ymax=
2.基本初等函數的導數公式
原函數
導函數
f(x)=c(c為常數)
f'(x)=0
f(x)=xα(αQ*)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
奇函數、偶函數及其圖象特征
奇函數
偶函數
定
義
一般地,如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,
都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)是奇函數,若在x=0處有定義,則有f(0)=0
都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)是偶函數
圖象
特征
關于原點對稱
關于y軸對稱
對數的性質與運算
性質
①loga1=0,②logaa=1,
③=N(a>0且a≠1)
換底公式
logab= (a、c均大于0且不等于1,b>0)
運算性質
條件
a>0,且a≠1,M>0,N>0
結論
　　①loga(M·N)=logaM+logaN
②loga=logaM-logaN
③logaMn=nlogaM(nR)
常用冪函數的圖象與性質
函數
特征
圖象或性質
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
圖象
定義域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)
(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)
(0,+∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調性
增
x [0,+∞)
時,增
增
增
x (0,
+∞)時,減
x (-∞,0]
時,減
x (-∞,
0)時,減
特殊點
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
(1,1)
(0,0)
(-1,1)
(1,1)
(0,0)
(-1,-1)
(1,1)
(0,0)
(1,1)
(-1,-1)
常用簡單曲線的極坐標方程
曲線
圖形
極坐標方程
圓心在極點,半徑為r的圓
ρ=r
圓心為(r,0),半徑為r的圓
ρ=2rcos θ
圓心為,半徑為r的圓
ρ=2rsin θ
(0≤θ<π)
過極點,傾斜角為α的直線
θ=α(ρR)
或θ=π+α(ρR)
過點(a,0),與極軸垂直的直線
ρcos θ=a
過點,與極軸平行的直線
ρsin θ=a
平面向量數量積的性質及其坐標表示
幾何表示
坐標表示
模
|a|=
|a|=
數量積
a·b=|a||b|cos θ
a·b=x1x2+y1y2
夾角
cos θ=
cos θ=
ab的
充要條件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|與
|a||b|的
關系
|a·b|≤|a||b|
(當且僅當a∥b
時等號成立)
|x1x2+y1y2|
≤·
平面的基本性質及相關公(定)理
　　表示
公理、　 　
定理　　　
文字語言
圖形語言
符號語言
公理1
如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內
lα
公理2
過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面
A、B、C三點
不共線有且
只有一個平
面α,使A
α,B
α,Cα
公理3
如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
αβ=l,
且Pl
公理4
平行于同一條直線的兩條直線互相平行
m∥n
兩角相等
或互補
的定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補
∠A=∠A'或
∠A+∠A'=π
拋物線的標準方程及其簡單幾何性質
標準
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
圖形
頂點
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
對稱軸
x軸
x軸
y軸
y軸
焦點
離心率
e=1
e=1
e=1
e=1
準線



解析式
y=ax(a>0,且a≠1)
參數分類
0a>1
圖象
圖象特征
在x軸上方,過定點(0,1)
當x逐漸增大時,圖象逐漸下降呈“捺”狀
當x逐漸增大時,圖象逐漸上升呈“撇”狀
定義域
R
值域
(0,+∞)
單調性
遞減
遞增
函數
值變
化規律
當x=0時,y=1
當x<0時,y>1;
當x>0時,0當x<0時,0當x>0時,y>1

排列與排列數
組合與組合數
定義
排列:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
排列數:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數
組合:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
組合數:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數
公式
排列數公式
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
組合數公式==
=
性質
=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!;
0!=1
=1;
=;
+=
備注
n、m∈N*且m≤n
旋轉體的表面積
名稱
圖形
表面積
側面積
圓柱
S=2πr2+2πrl
=2πr(r+l)
S側=2πrl
圓錐
S=πr2+πrl
=πr(r+l)
S側=πrl
圓臺
S=π(r'2+r2
+r'l+rl)
S側=π(r+r')l
球
S=4πR2
樣本的數字特征
數字
特征
定義
眾數
在一組數據中,出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.在頻率分布直方圖中,眾數是最高的矩形的中點的橫坐標
中位數
將一組數據按大小依次排列,把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.
在頻率分布直方圖中,中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等
平均數
如果有n個數x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做這n個數的平均數.在頻率分布直方圖中,平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和
標準差
和方差
(1)標準差:是樣本數據到平均數的一種平均距離,一般用s表示.
s=
(2)方差:
s2=
1.根式的概念
n次方根的概念及討論
符號表示
備注
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根
n>1且nN*
當n為奇數時,正數的n次方根是一個正數,負數的n次方根是一個負數
零的n次
方根是零
當n為偶數時,正數的n次方根有兩個,它們互為相反數
±(a>0)
負數沒有
偶次方根
橢圓的標準方程及其簡單幾何性質
條件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
標準方
程及
圖形
=1(a>b>0)
=1(a>b>0)
范圍
|x|≤a;|y|≤b
|x|≤b;|y|≤a
對稱性
曲線關于x軸、
y軸、原點對稱
曲線關于x軸、
y軸、原點對稱
頂點
長軸頂點(±a,0)
短軸頂點(0,±b)
長軸頂點(0,±a)
短軸頂點(±b,0)
焦點
(±c,0)
(0,±c)
焦距
|F1F2|=2c
離心率
e= (0,1)
正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內容
===2R(其中R是△ABC外接圓半徑)
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
變形
形式
(1)a=2Rsin A,
b=2Rsin B,
c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,
asin C=csin A
cos A=;
cos B=;
cos C=
解決的問題
(1)已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;
(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角
(1)已知三邊,求各角;
(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角;
(3)已知兩邊和其中一邊的對角,求其他角和邊
正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象和性質
函數
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖象
定義域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
單調性
在
(kZ)上單調遞增;
在
(kZ)上單調遞減
在[2kπ-π,2kπ]
(kZ)上單調遞增;
在[2kπ,2kπ+π]
(kZ)上單調遞減
在
(kZ)上
單調遞增
最值
x=時,
ymax=1;
x=2kπ- (kZ)時,
ymin=-1
x=時,
ymax=1;
x=2kπ+π(kZ)
時,ymin=-1
無最值
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
對稱性
對稱中心
對稱中心
(kZ)
對稱中心
(kZ)
對稱軸l:
對稱軸l:
x=kπ
(kZ)
周期
2π
2π
π
特殊向量
名稱
定義
備注
零向量
長度為零的向量;其方向是任意的
記作0
單位
向量
長度等于1個單位的向量
非零向量a的單位向量為±
平行
(共線)
向量
方向相同或相反的非零向量
0與任一向量平行或共線
相等
向量
長度相等且方向相同的向量
兩向量只有相等或不等,不能比較大小.兩向量的模可以比較大小
相反
向量
長度相等且方向相反的向量
0的相反向量為0
直線方程的五種形式
名稱
已知條件
方程
適用范圍
點斜式
斜率k與點(x0,y0)
y-y0=k(x-x0)
不含直線x=x0
斜截式
斜率k與截距b
y=kx+b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
兩點(x1,y1)、(x2,y2)
(其中x1x2、y1y2)
不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)
截距式
截距a與b
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
Ax+By+C=0
(A、B不同時為0)
平面直角坐標系內的直線都適用
程序框圖中圖形符號的意義
圖形符號
名稱
功能
終端框(起止框)
表示一個算法
的起始和結束
輸入、輸出框
表示一個算法輸入和輸出的信息
處理框(執行框)
賦值、計算
判斷框
判斷某一條件是否成立,成立時在出口處標明“是”或“Y”;不成立時標明“否”或“N”
流程線
連接程序框
連接點
連接程序框圖的兩部分
空間中點、線、面之間的位置關系
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關系
圖形
語言
符號
語言
a∥b
a∥α
α∥β
交點
個數
0
0
0
相交關系
圖形
語言
符號
語言
ab=A
aα=A
αβ=l
交點
個數
1
1
無數個
其他關系
圖形
語言
符號
語言
a、b是異面直線
aα
交點
個數
0
無數個
4.空間向量的有關定理及推論
內容
共線
向量
定理
定理
對于空間任意兩個向量a、b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb
推論
如圖所示,l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線,對空間任意一點O,點P在直線l上的充要條件是存在實數t,使
=+ta①
其中向量a叫做直線l的方向向量,在l上取=a,則①式可化為=+t或=(1-t) +t
共面
向量
定理
定理
如果兩個向量a、b不共線,那么向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb
推論
空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y),使=x或對空間任意一點O,有
空間
向量
基本
定理
如果三個向量a、b、c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序實數組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底,a、b、c都叫做基向量
3.空間向量的有關概念
名稱
定義
空間向量
在空間中,具有大小和方向的量叫做空間向量,向量的大小叫做向量的長度或模
單位向量
長度(或模)為1的向量
零向量
長度(或模)為0的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共線向量
(或平行
向量)
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,a平行于b記作a∥b
共面向量
平行于同一個平面的向量叫做共面向量
3.線性規劃的有關概念
名稱
意義
約束條件
由變量x、y組成的不等式(組)
線性約束條件
由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組
目標函數
欲求最大值或最小值的函數
線性目標函數
關于x、y的一次解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x,y)
可行域
所有可行解組成的集合
最優解
使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題

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