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課件48張PPT。第六篇 不等式、推理與證明
（必修5、選修2-2）基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件50張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件59張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件52張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件47張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件48張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練課件66張PPT。基礎(chǔ)自主梳理考向互動(dòng)探究點(diǎn)擊進(jìn)入檢測(cè)試題點(diǎn)擊進(jìn)入限時(shí)訓(xùn)練第六篇　檢測(cè)試題
(時(shí)間:120分鐘　滿分:150分)
【選題明細(xì)表】
知識(shí)點(diǎn)、方法
題號(hào)
不等關(guān)系與不等式
1、2
一元二次不等式及其解法
4、10、17、18
簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題
7、8、9、14、19
基本不等式
6、10、13、21
合情推理與演繹推理
3、12、15、16
直接證明與間接證明
5、20
數(shù)學(xué)歸納法
11、22
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(2012廈門模擬)設(shè)命題p:若a>b,則<,q:若<0,則ab<0.給出以下3個(gè)復(fù)合命題,①p∧q;②p∨q;③﹁p∧﹁q.其中真命題的個(gè)數(shù)為(　B　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:p為假命題,q為真命題,所以只有②正確,故選B.
2.設(shè)0(A)ab(C)2b<2a<2 (D)a2解析:可取a=,b=驗(yàn)證.故選C.
3.(2011湛江模擬)已知A,B 為△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,則A>B是sin A>sin B的(　C　)
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
解析:A>Ba>b2Rsin A>2Rsin Bsin A>sin B.故選C.
4.已知函數(shù)f(x)=若f(2-m2)>f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　D　)
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖,由圖可知該函數(shù)在R上是減函數(shù),所以f(2-m2)>f(m)等價(jià)于2-m20,所以m>1或m<-2,故選D.
5.如圖所示,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列等式不成立的是(　C　)
(A)||2=·
(B)||2=·
(C)||2=·
(D)||2=
解析:對(duì)于A,·=||||cos A=||2;
對(duì)于B,·=||||cos B=||2;
對(duì)于C,·=||||cos(π-∠ACD)=-||||cos∠ACD=-||2≠|(zhì)|2;
對(duì)于D,由A、B知,(·)(·)=||2·||2=||2||2,
故選C.
6.在算式“+=”的兩個(gè)□、△中,分別填入兩個(gè)正整數(shù),使它們的倒數(shù)之和最小.則這兩個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)(□,△)應(yīng)為(　D　)
(A) (4,14) (B) (6,6)
(C) (3,18) (D) (5,10)
解析:題中的算式可以變形為“4×□+1×△=30”.設(shè)x=□,y=△,則4x+y=30.30(+)=(4x+y)(+)=5+(+)≥5+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=5,y=10時(shí)取等號(hào),所求的數(shù)對(duì)為(5,10).故選D.
7.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸,斜率為-1的直線l與M相交于不同的兩點(diǎn)P、Q,若線段PQ的長(zhǎng)度為整數(shù),則這樣的直線l的條數(shù)是(　D　)
(A)5 (B)8 (C)9 (D)10
解析: M是由點(diǎn)A(2,5)、B(2,-3)、C(-6,-3)構(gòu)成的三角形內(nèi)部及其邊界區(qū)域,B到直線x-y+3=0的距離為4,且直線l與AC垂直,故|PQ|的最大值為4,故|PQ|能取得的整數(shù)值為1,2,3,4,5,由對(duì)稱性可知這樣的直線l有10條.故選D.
8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件,則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y(　D　)
(A)有最小值0,有最大值6
(B)有最小值-2,有最大值3
(C)有最小值3,有最大值6
(D)有最小值-2,有最大值6
解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x-y過直線x=3與直線y=0的交點(diǎn)A(3,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值6;當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x-y過直線x=0與直線x-y+2=0的交點(diǎn)C(0,2)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值-2.故選D.
9.已知x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a為常數(shù))僅在點(diǎn)(,)處取得最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　A　)
(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(-2,2) (D)(-1,0)
解析:由x,y滿足約束條件畫出此不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由目標(biāo)函數(shù)z=ax+y,得y=-ax+z,因?yàn)閦僅在點(diǎn)(,)處取得最大值,所以得-1<-a<1,得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,1).故選A.
10.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0對(duì)一切x∈(0,2]恒成立,則a的取值范圍為(　C　)
(A)(-∞,]
(B)[,+∞)
(C)(-∞,]∪[,+∞)
(D)[,]
解析: ∵x∈(0,2],∴a2-a≥=.要使a2-a≥在x∈(0,2]時(shí)恒成立,則a2-a≥()max,由基本不等式得x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,即()max=.故a2-a≥,解得a≤或a≥.故選C.
11.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”,則n=k+1與n=k時(shí)相比左端需增乘的代數(shù)式為(　B　)
(A)2k+1 (B)2(2k+1)
(C) (D)
解析:當(dāng)n=k時(shí)等式的左端為:(k+1)·(k+2)·…·(k+k)
當(dāng)n=k+1時(shí),等式的左端為:
(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+k)·(2k+1)·(k+1+k+1)
=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)·
=(k+1)·(k+2)·…·(k+k)·2(2k+1)
因此從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為2(2k+1),故選B.
12.(2011臨汾模擬)把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表,設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行,從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù),如a42=8.若aij=2009,則i與j的和為(　C　)
1
2　4
3　5　7
6　8　 10 　12
9　11　13　15　17
14 16 18 20 22　24
　　　…
(A)105 (B)106 (C)107 (D)108
解析:由三角形數(shù)表可以看出,其奇數(shù)行為奇數(shù)數(shù)列,偶數(shù)行為偶數(shù)數(shù)列,2009=2×1005-1,所以2009為第1005個(gè)奇數(shù),又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961,前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024,故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi),所以i=63;因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962-1=1923,2009=1923+2(j-1),所以j=44,i+j=107.故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.設(shè)x>0,則函數(shù)y=x+-1的最小值為　　　　.?
解析:由題意知y=x+-1=(x+)+-≥2-=,當(dāng)且僅當(dāng)x+=,即x=時(shí)等號(hào)成立.即函數(shù)y=x+-1的最小值為.
答案:
14.某食品廠為了擴(kuò)大宣傳,需做2個(gè)文字版面,3個(gè)繪畫版面,現(xiàn)有甲、乙兩種規(guī)格的紙張,甲種規(guī)格的紙每張3 m2,可做文字版面1個(gè),繪畫版面2個(gè);乙種規(guī)格的紙每張2 m2,可做文字版面2個(gè),繪畫版面1個(gè).為了節(jié)約費(fèi)用,使總共用的紙張的面積最小,則該食品廠需要買甲種規(guī)格的紙　　　張,乙種規(guī)格的紙　　　張.?
解析:設(shè)用甲種規(guī)格紙x張,乙種規(guī)格紙y張,由題意得,所用紙的總面積為S=3x+2y,作出不等式組表示的可行域,當(dāng)直線S=3x+2y過x+2y=2與2x+y=3的交點(diǎn)M(,)時(shí)S取得最小值,又x∈N,y∈N,故需要買甲、乙兩種規(guī)格的紙各1張.
答案:1　1
15.(2011湛江模擬)設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,斜邊上的高為h,則有a+b①a2+b2>c2+h2;②a3+b3③a4+b4c5+h5.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　;進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是:　　　　　　.?
解析:可以證明②③正確,觀察②a3+b3答案:②③　an+bn16.(2011南昌模擬)觀察下列等式:
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10
…
由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于n∈N*,12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2=　　　　　.?
解析:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),12-22+32-42+…+n2
=12+(32-22)+…+[n2-(n-1)2]
=1+2+3+…+n=,
n為偶數(shù)時(shí),12-22+32-42+…+(n-1)2-n2
=-[1+2+3+…+(n-1)+n]=-,
∴12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.
答案:(-1)n+1·
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(本小題滿分10分)
(2011煙臺(tái)模擬)解關(guān)于x的不等式x2-x+a-a2<0.
解:由題意得(x-a)[x-(1-a)]<0
當(dāng)a<1-a,即a<時(shí),a當(dāng)a>1-a,即a>時(shí),1-a當(dāng)a=1-a,即a=時(shí),不等式的解集為.
即a<時(shí),不等式的解集為(a,1-a);a=時(shí)不等式的解集為;a>時(shí),不等式的解集為(1-a,a).
18.(本小題滿分10分)
已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
解:因?yàn)閒(x)+2x>0的解集為(1,3),
所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a<0.
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①
(1)由方程f(x)+6a=0得:ax2-(2+4a)x+9a=0,②
因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的實(shí)根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即5a2-4a-1=0,解得:a=1(舍去)或a=-.
將a=-代入①得f(x)的解析式為:
f(x)=-x2-x-.
(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a-,
由a<0,可得f(x)的最大值為-,
所以->0,且a<0,解得:a<-2-或-2+故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時(shí),a的取值范圍是(-∞,-2-)∪(-2+,0).
19.(本小題滿分12分)
某人在國(guó)慶節(jié)那天上午7時(shí),乘摩托艇以v千米/時(shí)(4≤v≤20)勻速從A港出發(fā)到距50千米的B港去,然后乘汽車以w千米/時(shí)(30≤w≤100)勻速自B港向距300千米的C市駛?cè)?應(yīng)在同一天下午4點(diǎn)至9點(diǎn)到達(dá)C市,設(shè)汽車、摩托艇所需要的時(shí)間分別是x,y小時(shí).
(1)作圖表示滿足上述條件x,y的范圍;
(2)如果已知所需經(jīng)費(fèi)p=100+3(5-x)+2(8-y)(元),那么v,w分別是多少時(shí)走的最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)花費(fèi)多少元?
解: (1)由題意得v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100,
①
由于汽車、摩托艇所要的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間,
即9≤x+y≤14,②
滿足①、②的x,y的可行域是圖中陰影部分(包括邊界).
(2)因?yàn)閜=100+3(5-x)+2(8-y),
所以3x+2y=131-p,
設(shè)131-p=k,那么當(dāng)k最大時(shí),p最小.
在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為-的直線3x+2y=k中,使k值最大的直線必通過點(diǎn)(10,4),即當(dāng)x=10,y=4時(shí),p最小.此時(shí),v=12.5千米/時(shí),w=30千米/時(shí),p的最小值為93元.
20.(本小題滿分12分)
(2012泰安模擬)在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若+=,試問A、B、C是否成等差數(shù)列,若不成等差數(shù)列,請(qǐng)說明理由.若成等差數(shù)列,請(qǐng)給出證明.
解:A、B、C成等差數(shù)列.
證明如下:
∵+=,
∴+=3,
∴+=1,
∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
∴b2=a2+c2-ac.
在△ABC中,由余弦定理,
得cos B===,
∵0°∴A+C=2B=120°,
∴A、B、C成等差數(shù)列.
21.(本小題滿分12分)
(2012泰州模擬)如圖,公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,則DE的最小值應(yīng)為多少?如果DE是參觀線路,希望它最長(zhǎng),則DE的最大值應(yīng)為多少?
解:(1)在△ADE中,
y2=x2+AE2-2x·AE·cos 60°,
∴y2=x2+AE2-x·AE,①
又因S△ADE=S△ABC,
∴x·AE·sin 60°=×××22,
∴x·AE=2.②
②代入①得y2=x2+()2-2,由題意可求得1≤x≤2,
∴y=(1≤x≤2).
(2)如果DE是灌溉水管,y=≥=,
當(dāng)且僅當(dāng)x2=,即x=時(shí)“=”成立,此時(shí)DEmin=.
如果DE是參觀線路,記f(x)=x2+,可知函數(shù)在[1,]上遞減,在[,2]上遞增,故f(x)max=f(1)=f(2)=5.
∴ymax==.即DE為AB邊上中線或AC邊上中線時(shí),DE最長(zhǎng)為.
22.(本小題滿分14分)
在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且a2n-1,a2n,a2n+1成等差數(shù)列,a2n,a2n+1,a2n+2成等比數(shù)列,n=1,2,3,…
(1)求a3,a5和a4,a6的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(將an用n表示);
(3)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<,n∈N*.
(1)解:由已知,得a3=2a2-a1=2×2-1=3,
a4===,
a5=2a4-a3=2×-3=6,a6===8.
(2)解:∵a2n-1,a2n,a2n+1成等差數(shù)列,
∴a2n+1=2a2n-a2n-1,n=1,2,3,…
∵a2n,a2n+1,a2n+2成等比數(shù)列,
∴a2n+2=,n=1,2,3,…
又=,=,=,…;=,=,=,…
猜想=,=,n∈N*,
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),===,===()2,猜想成立;
②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),猜想成立,即=,=,
那么===-1
=-1=-1=-1=-1=,
==()2=()2
=()2
=()2=()2=,
∴n=k+1時(shí),猜想也成立.
由①、②可知,對(duì)任意的n∈N*,猜想成立.
∴a2n-1=a1××××…××
=1××××…××=,
a2n=a2××××…×
=2×()2×()2×()2×…×()2
=.
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an==;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an==.
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
(3)證明:法一:由(2),得=
顯然,S1==1<=;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Sn=8[++++++…++]
<8[(+)+(+)+(+)+…+(+)]
=8[(-)+(-)+(-)+…+(-)]=8(-)=;
當(dāng)n為奇數(shù)(n≥3)時(shí),Sn=Sn-1+<+
=+4[+-]
=-<.
綜上所述,Sn<,n∈N*.
法二:由(2),得=
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn<,n∈N*.
①當(dāng)n=1時(shí),S1==1<=,
當(dāng)n=2時(shí),S2=+=1+=<2=.
∴n=1,2時(shí),不等式成立.
②假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),不等式成立,即Sk<,
那么,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),Sk+1=Sk+<+
=+4[+-]
=-<;
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),Sk+1=Sk+<+
=+4[+-]
=-<.
∴n=k+1時(shí),不等式也成立.
由①、②可知,對(duì)任意的n∈N*,不等式Sn<成立.

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