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2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試題
2022.9
本卷滿分150分，考試時間120分鐘．所有答案答在答題紙上才有效.
第Ⅰ卷 選擇題（共60分）
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有1個正確答案．）
1．設(shè)集合，，則（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)集合，易見，且，故.
2．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法錯誤的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，同理
3．地發(fā)生地震時，相距km的兩地都能感受到，已知地位于A地的正東方向上，地位于B地的東偏南方向上，且地距離兩地分別為km和km，則的值是（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
4．有三個盒子，每個盒子里有若干大小形狀都相同的卡片．第一個盒子中有三張分別標號為的卡片；第二個盒子中有五張分別標號為的卡片；第三個盒子中有七張分別標號為的卡片．現(xiàn)從每個盒子中隨機抽取一張卡片，設(shè)從第個盒子中取出的卡片的號碼為，則為奇數(shù)的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析：簡單的分類討論即可得到答案.
5．設(shè)，，，則（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因函數(shù)在單調(diào)遞增，
故，即.
6．已知，，則是的（ ▲ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設(shè)，則
為奇函數(shù)
易知上單調(diào)遞增，因此上單調(diào)遞增
即
從而.
(
第
7
題圖
)7．已知矩形中，,．,分別在邊,上,且,．如圖所示，沿將四邊形翻折成，在翻折過程中，二面角的大小為，則的最大值是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖, 過 作 EF, 垂足為 , 直線 BK 交直線 CD 于 , 過 作 , 由翻折知 , 于是 平面 , 得 , 故 平面 ABCD.
過 作 , 連接 , 則由三垂線定理知 ,于是 就是二面角 的平面角, 故 .設(shè), 計算得
,
因此
.
令 , 則
當 時等號成立.所以 的最大值為 .
8．已知點是邊長為的正五邊形內(nèi)(含邊界)一點，則的最大值是（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)點A,B,C,D,E的坐標依次為
設(shè)點.則
由此易得
的最大值是.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．某高中有學生500人，其中男生300人，女生200人．希望獲得全體學生的身高信息(單位:cm)，按照按比例分配的分層隨機抽樣的原則抽取了容量為50的樣本．經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30．下列說法中正確的是（ ▲ ）
A．男生的樣本量為 30 B．每個女生被抽入到樣本的概率均為
C．總樣本的均值為 166 D．總樣本的方差為46.2
【答案】 ACD
【解析】
10．已知定義在上的函數(shù)滿足：，，，且當時，，則下列說法正確的是（ ▲ ）
A．是奇函數(shù) B．是周期函數(shù)
C．的值域為 D．在區(qū)間內(nèi)無零點
【答案】ABD
【解析】，，即，故是奇函數(shù)；
，，即，故是以為周期的周期函數(shù)；
當時，，再由的對稱性、周期性，可知不是的最大值；
當時，，則.再由的圖象關(guān)于直線對稱，知在內(nèi)恒正.又，故在區(qū)間內(nèi)無零點.
11．設(shè),,是平面上任意三點，定義向量的運算：，其中由向量以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)直角得到(若為零向量，規(guī)定也是零向量)．對平面向量，下列說法正確的是（ ▲ ）
A．
B．對任意,
C．若為不共線向量，滿足，則,
D．
【答案】BD
【解析】設(shè)向量在平面直角坐標系中的坐標分別為設(shè)以各自的起始點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)直角后分別得到向量，則，.我們有
可得.所以A錯誤.
再來看B選項.
所以 B 正確.
選項C錯在和的值發(fā)生了交換.事實上，將等式 兩邊同時和向量作數(shù)量積可得，因為，所以.又因為向量不共線，
所以，故同理可得
選項D中的式子具有形式上輪換對稱的美感，其正確性可以證明如下：
(1) 當向量不共線時，由對選項C的分析可得
即
等式兩邊同時乘以，再移項可得
(2) 當向量共線時，由輪換對稱性，不妨設(shè)存在實數(shù)，使得，則
12．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ▲ ）
A．若，則在上單調(diào)遞減 B．若，無最大值，也無最小值
C．若，則 D．若，則
【答案】ABC
【解析】若，則且，
，，
則，故在上單調(diào)遞減；
若，則當且趨于時，趨于；當且趨于時，
趨于，故無最大值，也無最小值；
若，則當時，，故，即
；
若，舉反例：，則，故.事實上，當時，
.
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案寫在橫線上．）
13．光線通過某種玻璃，強度損失．要使光線強度減弱為原來的，至少要通過 ▲ 塊
這樣的玻璃．（參考數(shù)據(jù)：，．）
【答案】16
【解析】設(shè)至少要通過塊這樣的玻璃，則，即，
故要使光線強度減弱為原來的，至少要通過塊這樣的玻璃.
14．已知虛數(shù)滿足為實數(shù)，，則實數(shù)的值是 ▲ ．
【答案】4
【解析】為實數(shù)，則
因為為虛數(shù)，所以 ，因此
(
第
1
5
題圖
)15．如圖，在中，的內(nèi)角平分線交于點，過作于點，則的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】取的中點，則
過作交 延長線于，則，
由角平分線定理可得，
所以
16．設(shè)．若當時，恒有，則的取值范圍是 ▲ ．
【答案】
【解析】設(shè)函數(shù)，則當時，恒有.
當時，在上遞增，則
，且，
從而，則，于是，矛盾；
同理，當，矛盾；
當，；當，；
由此得，的取值范圍是.
當且僅當，時，，當且僅當時，.
四、解答題（本題共6大題，第17題10分，其余各題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算．）
(
第
1
7
題圖
)17．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個“芻甍”，四邊形為矩形，與都是正三角形，,．
(1) 求證：平面；
(2) 求直線與平面所成角的正弦值．
17.解析(1) 面面, 面, 又面 面 ,
, 又 面 面, 所以 面
(2) 如圖, 延長棱 E F 至 M N, 使得 ,
由題可知 ABNM 與 CDMN 皆為矩形, 于是我們得到了直三棱柱 , 過 作 于 , 則 面,
在面內(nèi)的射影為 與平面所成角為, 又
中, BC 邊上的高為 ,故.
18．袋中裝有除顏色外完全相同的的個球，其中有個黑球和個白球．現(xiàn)由甲、乙兩人從袋中輪流取球，取后不放回，規(guī)定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下來再由乙取，若有人取到白球，則馬上終止取球，每次取球時，袋中的每個球被取出的概率相等．記事件 “第次取到的球是白球”, ．試將下列事件用,表示，并求出相應(yīng)事件的概率．
(1) 取球次即終止；
(2) 最后一次取球的是乙．
解：(1) 取球 3 次終止情況為第一次取黑球,第二次取黑球,第三次取白球該事件為 ,
所求概率為
(2) 最后一次取球的是乙, 則意味著取到白球的次數(shù)為偶數(shù),則包括 兩種情況, 即事件 “最后一次取球的是乙”為事件 , 事件對應(yīng)的概率 事件對應(yīng)的概率,因此,最后一次取球的是乙的概率
19．已知函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有四個不同的實數(shù)解,求的值．
解：
為奇函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱
方程，即方程在上有四個不同的實數(shù)解
則或，即或
當，即時
則
當，即
20．已知三角形中，角所對的邊分別為，且．
(1)當，時，求的值；
(2)判斷的形狀．
解：由，得
則
（1）
由，得
（2）
化簡，得
為銳角三角形
21．近些年來，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學科．數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計算機科學相結(jié)合的產(chǎn)物．數(shù)字幾何中的一個重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度．規(guī)定：多面體在頂點處的曲率等于與多面體在該點的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點處的曲率均為零．由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正方體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點的曲率為 ，故其總曲率為．
(1) 求四棱錐的總曲率；
(2) 表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體．關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：．利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率是常數(shù)．
解析：(1)四棱錐有個頂點,個三角形面,個凸四邊形面,故其總曲率為
（答案正確即可給分）.
(2)設(shè)多面體有 個面,給組成多面體的多邊形編號,分別為 號.設(shè)第 號
多邊形有 條邊.則多面體共有
條棱(在給所有多邊形的邊數(shù)求和時,每條棱被計了兩次數(shù)).
由題意,多面體共有
個頂點.
號多邊形的內(nèi)角之和為,故所有多邊形的內(nèi)角之和為
故多面體的總曲率為
所以滿足題目要求的多面體的總曲率為.
22．設(shè)函數(shù)．
（1）證明：存在唯一的函數(shù)，使得；
（2）求所有的非負實數(shù)使得；
（3），
（i）證明：關(guān)于的方程與都有唯一實根；
（ii）記分別為方程，的實根，證明：．
解析：（1）證明：注意到在上單調(diào)遞增，且值域為，
故對任意，存在唯一的，使得，
因此定義，則函數(shù)是滿足的唯一的函數(shù)，
并且在上單調(diào)遞增，值域為；
（2）先證明：方程與等價.
若滿足，則，即，
因此.
反之，若滿足，則.（否則，假設(shè)，若，則由在上遞增，得.又，故，從而，矛盾.同理，若，則，矛盾.）
所以.
最后，方程.
所以是使得的所有非負實數(shù)；
（3）證明：，
（i）因為，在上單調(diào)遞增，且，，
所以方程與都有唯一實根，且在區(qū)間內(nèi)；
（ii）由，得，即，從而
.
因，故，
所以.
(
2022年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學競賽試題 第
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