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立體幾何空間向量公式知識點(diǎn)歸納總結(jié)
1、空間向量的概念：
（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．
（2）向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．
（4）模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．
（5）與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．
（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量．
2、空間向量的加法和減法：
（1）平行四邊形法則．
（2）三角形法則．
3、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．
4、分配律：；結(jié)合律：．
5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．
6、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
7、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．
8、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．
9、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．
10、對于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．
11、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．
12、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
13、若，為非零向量，為單位向量，則有
；
；
，，；
；
．
14、量數(shù)乘積的運(yùn)算律：
； ； ．
15、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．
16、三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
17、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝裕墓财瘘c(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對于空間任意一個(gè)向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．
18、設(shè)，，則
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、為非零向量，則．
（6）若，則．
（7）．
（8）．
（9），，則．
19、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有．
20、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．
21、直線垂直平面，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．
22、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，
則，．
23、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，
則，．
24、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則，．
25、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．
26、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．
27、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角為，則．
28、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為．
29、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為．
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