資源簡介

第二章 整式的加減
2.1 整 式
知識點一用字母表示數(shù)
用字母表示數(shù)，能用式子把數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來.
用字母表示數(shù)的書寫規(guī)范 舉例
(1)在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號，通常將乘號寫作“·”或省略不寫，并且數(shù)字寫在字母的前面 100×t可以寫成100·t或100t，m×n通常寫成m·n或mn
(2)數(shù)與數(shù)相乘時，為了避免歧義，只能用“×”，不能省略或?qū)懗伞啊ぁ?3×5不能寫成35或3·5
(3)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘，帶分?jǐn)?shù)要寫成假分?jǐn)?shù) 1×m要寫成m
(4)當(dāng)式子為含字母的除法算式時，結(jié)果一般寫成分?jǐn)?shù)的形式 mn÷7c應(yīng)寫成
(5)數(shù)字因數(shù)為“1”或“-1”時，通常省略“1” 1×mn寫成mn，-1×bc寫成-bc
特別提醒
(1)用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣可以參與運算.
(2)同一問題中，不同的量要用不同的字母表示；不同的問題中，不同的量可以使用相同的字母表示，但字母的含義不同.
(3)用字母表示幾個數(shù)的和、差，并且后面有單位時，要把和、差用括號括起來.
帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，要化成假分?jǐn)?shù).
【例1】用含有字母的式子表示：
(1)比a的2倍少3的數(shù)是 ；
(2)某班有女生a名，男生是女生人數(shù)的1倍，那么該班有男生 名；
(3)李曉茹步行的速度是v km／h，那么她步行3 km的路程，需要 h；
(4)a塊邊長為a m的正方形地板磚，能鋪設(shè)地面的面積是 m2；
(5)麗麗去鮮花店買花，買了m枝玫瑰，每枝a元，n枝康乃馨，每枝b元，則應(yīng)付 元.
答案：(1)2a-3 (2)a (3) (4)a3 (5)(ma+nb)
總結(jié)
用字母表示數(shù)量關(guān)系“三要”
(1)要辨析詞語意義：應(yīng)認(rèn)真審題，審題時要對語言敘述中的關(guān)鍵詞語所代表的意義進行仔細(xì)辨析；
(2)要分清數(shù)量關(guān)系：需分清語言敘述中各數(shù)量之間的和、差、倍、分關(guān)系，不要見多就加、見少就減、見倍就乘；
(3)要書寫規(guī)范：必須按照用字母表示數(shù)的書寫要求正確、規(guī)范地書寫.
知識點二單項式及其有關(guān)概念
【例2】判斷下列各式是不是單項式 如果是，請指出它們的系數(shù)和次數(shù).
(1)-m+1； (2)-；(3)710xyz2；(4).
解：(1)不是單項式.
(2)是單項式，系數(shù)是-，次數(shù)是3·
(3)是單項式，系數(shù)是710，次數(shù)是4.
(4)不是單項式.
總結(jié)
確定單項式的系數(shù)和次數(shù)的“一方法。二注意”
(1)確定單項式系數(shù)的方法是把式子的字母及其指數(shù)去掉，剩余的為其系數(shù).
(2)確定單項式的次數(shù)時要注意兩點：①沒有寫指數(shù)的字母，其指數(shù)為1，不要將其遺漏；②不能將系數(shù)的指數(shù)計算在內(nèi).
特別提醒
(1)圓周率π是常數(shù)，在計算含有π的單項式的次數(shù)時，注意不要加上π的指數(shù).
(2)單項式的系數(shù)包括它前面的符號，且只與數(shù)字因數(shù)有關(guān)，而次數(shù)只與字母有關(guān)，如-x3yz4的系數(shù)是-，次數(shù)是3+1+4＝8.
(3)單項式中某個字母沒有寫指數(shù)，則它的指數(shù)為1，而不是0，如3y的次數(shù)是1.
單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式.
幾個單項式的和叫做多項式.
拓展
若一個多項式含有m項，次數(shù)為n，則這個多項式就叫做n次m項式，如x2+3x=20是二次三項式.
知識點三多項式及其有關(guān)概念
【例3】對于多項式3x2-x4y-1.3+2xy2，分別回答下列問題：
(1)它是幾項式 (2)寫出它的各項；(3)寫出它的最高次項；
(4)寫出最高次項的次數(shù)；(5)寫出多項式的次數(shù)；(6)寫出常數(shù)項.
解：(1)多項式3x2-x4y-1.3+2xy2由4項組成，是四項式.
(2)它的各項分別是3x2，-x4y，-1.3，2xy2.
(3)它的最高次項是-x4y.
(4)最高次項的次數(shù)是5.
(5)多項式的次數(shù)是5.
(6)常數(shù)項是-1.3.
特別提醒
(1)在識別多項式的各項時，應(yīng)連同它前面的符號，尤其注意項的符號為負(fù)號的情況.
(2)單項式的次數(shù)是所有字母指數(shù)的和，而多項式的次數(shù)是多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)，二者不要混淆.
知識點四整式
單項式與多項式統(tǒng)稱整式.
【例4】指出下列各式中哪些是單項式 哪些是多項式 哪些是整式
x2+y2，-x，，10，6xy+1，，m2n，2x2-x-5，，a7.
解：，的分母中含有字母，既不是單項式，也不是多項式，更不是整式.
單項式有-x，10，m2n，a7；
多項式有x2+y2，，6xy+1，2x2-x-5；
整式有x2+y2，-x，，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7.
特別提醒
(1)單項式必定是整式，多項式也必定是整式，但整式有可能是單項式，也有可能是多項式.
(2)分母中含有字母的式子，既不是單項式，也不是多項式，所以不是整式.
應(yīng)用能力·巧提升
題型一整式的實際應(yīng)用
【例1】(吉林中考)小紅要購買珠子穿成一條手鏈，黑色珠子每個a元，白色珠子每個b元，要穿成如圖2.1-1所示的手鏈，小紅購買珠子應(yīng)該花費 ( )
A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元
C.4(a+b)元 D.3(a+b)元
審題關(guān)鍵：總花費為黑色珠子個數(shù)x黑色珠子單價+白色珠子個數(shù)×白色珠子單價.
解析：因為要穿成如圖2.1-1所示的手鏈，需要3個黑色珠子，4個白色珠子，所以小紅購買珠子應(yīng)該花費(3a+4b)元.故選A.
答案：A
解后反思
用整式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是先理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)氖阶颖硎境鰜?
變式訓(xùn)練
1.某商品原價每件x元，后來店主將每件漲價10元，再降價25％，則現(xiàn)在的單價(單位：元)是 ( )
A.25％x+10
B.(1-25％)x+10
C.25％(x+10)
D.(1-25％)(x+10)
2.有長為1的鐵欄桿，利用它和一面墻圍成一個長方形的花圃(如圖2.1-2)，花圃垂直于墻的邊長為x.用含x的式子表示花圃的面積，并求出當(dāng)x=0.3時的花圃面積.
題型二整式的相關(guān)概念的應(yīng)用
【例2】已知多項式-24x2ym-3x4y-10是七次三項式，單項式2xyn的次數(shù)與這個多項式的次數(shù)相同，求2m-3n的值.
審題關(guān)鍵：分析多項式中每一項的次數(shù)，根據(jù)多項式與單項式的次數(shù)的概念解答.
破題思路：根據(jù)題意先確定多項式和單項式的次數(shù)，再根據(jù)次數(shù)相同求得m，n的值，最后代入求值.
解：根據(jù)題意，得
2+m=7，1+n=7，
所以m=5，n=6，
所以2m-3n=2×5-3×6=-8.
解后反思
求解多項式中的字母的值時，要根據(jù)多項式的次數(shù)或系數(shù)列出含有字母的等式，先求出字母的值再解決其他問題.
變式訓(xùn)練
3.已知多項式-x2ym+1·+xy2-3x3-6是六次四項式，單項式3x2ny5-m與該多項式的次數(shù)相同，求m，n的值.
題型三利用整體思想求整式的值
【例3】若a2-2a-1=0，則2a2-4a= .
審題關(guān)鍵：逆用乘法分配律，可得2a2-4a=2(a2-2a)，由條件易求得a2-2a的值，由此將其作為整體，代入求值.
解析：因為a2-2a-1=0，
所以a2-2a=1.
所以2a2-4a=2(a2-2a)=2×1=2.
答案：2
方法技巧
整體思想妙求整式值
在整式的求值問題中，當(dāng)式子中出現(xiàn)不易求出值的字母時，一般是將含該字母的部分看成一個整體，采用整體代入的方法求解.
變式訓(xùn)練
4.已知多項式x2+2x+5的值為7，試求多項式3x2+6x+3的值.
題型四與整式有關(guān)的規(guī)律探究題
【例4】用黑白兩種正六邊形地面瓷磚按如圖2.1-3所示規(guī)律拼成若干圖案，第1個圖案中有白色瓷磚 塊；第2個圖案中有白色瓷磚 塊；第3個圖案中有白色瓷磚 塊……第n個圖案中有白色瓷磚 塊.
審題關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)圖案變化規(guī)律“每增加一塊黑色瓷磚，白色瓷磚增加4塊”是解題的關(guān)鍵.
解析：方法1(觀察數(shù)字變化)：第1個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)是6；
第2個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)是10=6+4：
第3個圖案中白色瓷磚的塊數(shù)是14=6+4×2：
……
以此類推，第n個圖案中白色瓷磚的塊
數(shù)是6+4(n-1).
方法2(觀察圖形變化)：前3個圖案中白色瓷磚的數(shù)量分別為6塊，10塊，14塊，對比發(fā)現(xiàn)，后面的每個圖案中都比前一個圖案在右側(cè)多4塊白色瓷磚，
所以第n個圖案中有[6+4(n-1)]塊白色瓷磚.
答案：6 10 14 [6+4(n-1)]
規(guī)律總結(jié)
“雙管齊下”，解密圖形變化規(guī)律
解決圖形變化規(guī)律問題可以從“形”和“數(shù)”兩個角度入手，通過逐一看圖，觀察、分析、歸納圖形或數(shù)字的變化規(guī)律，從而得出答案.這體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
變式訓(xùn)練
5.當(dāng)n等于1，2，3，…時，由白色正方形和黑色正方形組成的圖形分別如圖2.1-4所示，則第n個圖形中自色正方形和黑色正方形的個數(shù)總和為 .
6.觀察下列各單項式：-2a，4a2，-6a3，8a4，-10a5，12a6……
通過觀察：
(1)寫出第n個單項式；
(2)寫出第2 020個單項式.
易誤易混·精辨析
易錯點一書寫不規(guī)范
【例1】用整式表示：
(1)3與a的積減去b的；
(2)a除以5的商的平方.
解：(1)a-b.
(2)()2.
防錯警示
(1)當(dāng)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù).
(2)用整式表示商時，要寫成分?jǐn)?shù)形式；而分?jǐn)?shù)作為乘方的底數(shù)，要加括號.
易錯點二確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時出錯
【例2】單項式-22πxy2的系數(shù)是 ，次數(shù)是 .
解析：單項式-22πxy2的數(shù)字因數(shù)是-22π，故系數(shù)為-22π；xy2中所有字母的指數(shù)之和為3，故單項式的次數(shù)為3.
答案：-22π 3
防錯警示
(1)π是常數(shù)，不能看作字母.
(2)單項式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)之和，與系數(shù)中的指數(shù)無關(guān).
(3)單項式的系數(shù)包括前面的符號.
易錯點三確定多項式的次數(shù)時出錯
【例3】多項式-a2+10b+的次數(shù)是 ，它是 次 項式.
解析：多項式中次數(shù)最高的項是“-a2”，次數(shù)為2，多項式共有3項，因此它是二次三項式.
答案：2 二 三
防錯警示
解決此類問題的關(guān)鍵是掌握多項式次數(shù)的概念，否則很容易出錯.例如本題，由多項式中第一項的次數(shù)是2，第二項的次數(shù)是1，第三項的次數(shù)是0，得多項式的次數(shù)是2+1+0=3，這是錯誤的.多項式的次數(shù)不是將各項的次數(shù)相加，而是次數(shù)最高項的次數(shù).
真題解密·探源頭
中考真題
(內(nèi)蒙古呼和浩特中考)某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬元，4月份比3月份減少了10％，5月份比4月份增加了15％，則5月份的產(chǎn)值是 ( )
A.1(a-10％)(a+15％)萬元
B.a(1-90％)(1+85％)萬元
C.a(1-10％)(1+15％)萬元
D.a(1-10％+15％)萬元
解析：由題意可得，4月份的產(chǎn)值為a(1-10％)，5月份的產(chǎn)值為a(1-10％)(1+15％)，故選C.
答案：C
教材原型
教材第57頁練習(xí)第2(3)題
產(chǎn)量由m kg增長10％，就達到 kg.
解析：增長后的產(chǎn)量為m(1+10％)kg.
答案：m(1+10％)
命題人解密：教材練習(xí)題和中考題都考查了實際背景下的整式的應(yīng)用.教材練習(xí)題較為簡單，一步就可得出結(jié)果，中考題則是在教材練習(xí)題的基礎(chǔ)上多加了一步，由兩步計算得到結(jié)果.
閱卷人解密：這類問題在中考中為基礎(chǔ)題，很少失分.在求解時注意不要混淆降低率公式和增長率公式.
高效訓(xùn)練·速提能
【基礎(chǔ)達標(biāo)】
1.(貴州銅仁中考)單項式的系數(shù)是 ( )
A. B.π C.2 D.
2.(重慶中考)若a=2，b=-1，則a+2b+3的值為( )
A.-1 B.3 C.6 D.5
3.下列說法中，錯誤的是 ( )
A.單項式a的系數(shù)和次數(shù)都是1
B.數(shù)字1也是單項式
C.-是系數(shù)為-的二次單項式
D.-a是多項式
4.在式子①-2x2+，②-，③-2，④-，⑤，⑥+y中，單項式有 ，多項式有 ，整式有 .(只填序號)
5.(吉林長春中考)長春市凈月潭國家森林公同門票的價格為成人票每張30元，兒童票每張15元.若購買m張成人票和n張兒童票，則共需花費 元.
6.(四川綿陽中考)若多項式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是關(guān)于x，y的三次多項式，則mn= .
7.(江蘇連云港中考)按照如圖2.1-5所示的計算程序，若x=2，則輸出的結(jié)果是 .
8.根據(jù)題意列式子，并判斷是否為整式.如果是整式，指明是單項式還是多項式.
(1)a，b兩數(shù)的積除以a，b兩數(shù)的和；
(2)a，b兩數(shù)積的一半的平方；
(3)國慶節(jié)前夕，七(1)班和七(2)班的同學(xué)參加了廣場擺花壇活動，(1)班搬了a盆花，(2)班比(1)班的2倍多b盆，兩個班一共搬了多少盆花
9.已知單項式-x2y3與多項式xym+2x-3的次數(shù)相同，求m的值，并指出多項式的每一項.
【能力提升】
10.圖2.1-6是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案是由4個基礎(chǔ)圖形組成；第2個圖案是由7個基礎(chǔ)圖形組成……第n(n是正整數(shù))個圖案中的基礎(chǔ)圖形的個數(shù)為 (用含n的式子表示).
11.請對多項式a+2的實際意義作出解釋.
12.已知多項式3x2-x的值為5，試求多項式-x2++7的值.
13.已知(a-1)x2ya+1是關(guān)于x，y的五次單項式：
(1)試求下列整式的值：
①a2+2a+1； ②(a+1)2.
(2)由(1)中兩小題的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論 任意取幾個a值驗證你的結(jié)論.
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
14.小明房間窗戶的裝飾物如圖2.1-7①所示，它們由兩個半徑相同的四分之一圓組成.
(1)請用含a，b的式子表示裝飾物的面積；
(2)請用含a，b的式子表示窗戶能射進陽光部分的面積；
(3)請你在圖2.1-7②中幫小明重新設(shè)計該窗戶的裝飾物，并且用含a，b的式子表示此時窗戶能射進陽光部分的面積.(要求裝飾物由若干個圓或半圓或四分之一圓組成)
本書習(xí)題參考答案
2.1 整式
應(yīng)用能力·巧提升
1.D
2.解：因為花圃垂直于墻的邊長為x，
所以花圃與墻相對的一邊長為1-2x，
所以花圃的面積為x(1-2x).
當(dāng)x=0.3時，
面積為0.3×(1-2×0.3)=0.12.
3.解：根據(jù)題目中的已知條件，得2+m+1=6，所以m=3.又因為單項式3x2ny5-m的次數(shù)也是6，所以2n+5-m=6，即2n+5-3=6，解得n=2.
4.解：因為x2+2x+5=7，所以x2+2x=2.所以3x2+6x+3=3(x2+2x)+3=3×2+3=9.
5.n2+4n 解析：第1個圖形：白色正方形1個，黑色正方形4×1＝4(個)，共有1+4＝5(個)；第2個圖形：白色正方形22＝4(個)，黑色正方形4×2＝8(個)，共有4+8＝12(個)；第3個圖形：白色正方形32＝9(個)，黑色正方形4×3＝12(個)，共有9+12=21(個)；
……
第n個圖形：白色正方形n2個，黑色正方形4n個，共有(n2+4n)個.
6.解：(1)系數(shù)分別為-2，4，-6，8，-10，12，…，均為偶數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，可得系數(shù)規(guī)律：(-1)n×2n.
字母因數(shù)為a，a2，a3，a4，a5，a6，…，可得規(guī)律：an，所以第n個單項式為(-1)n×2nan.
(2)把n=2020代入(-1)n×2nan，可得(-1)2020×2×2020a2020=4040a2020.
高效訓(xùn)練·速提能
1.D
2.B 解析：把a＝2，b＝-1代入a+2b+3中，得a+2b+3=2+2×(-1)+3=3.
3.D 解析：多項式是整式，整式的分母中不合字母，D項中分母中含有字母a，故不是整式，也不是多項式.
4.②③ ①⑤ ①②③⑤
5.(30m+15n)
6.0或8 解析：因為多項式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是關(guān)于x，y的三次多項式，所以n-2=0，1+|m-n|=3，所以n=2，|m-n|=2，所以m-n=2或n-m=2，所以m=4或m=0，所以mn=0或8.
7.-26 解析：把x=2代入程序中，得10-22=10-4=6>0，把x=6代入程序中，得10-62=10-36=-26<0，所以最后輸出的結(jié)果是-26.
8.解：(1)，不是整式.
(2)()2，是整式，且是單項式.
(3)3a+b，是整式，且是多項式.
9.解：因為單項式-x2y3的次數(shù)是5，所以多項式xym+2x-3的次數(shù)也是5，所以m+1=5，即m=4.
故多項式為xy4+2x=3，共有三項，分別是xy4，2x，-3.
10.3n+l 解析：認(rèn)真觀察圖形，確定圖形變化規(guī)律：第1個圖案是由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案是由7個基礎(chǔ)圖形組成，以后每個圖案都比前一個圖案多3個基礎(chǔ)圖形，所以第n(n是正整數(shù))個圖案中的基礎(chǔ)圖形的個數(shù)為3n+1.
11.解：答案不唯一.例如：(1)某班原有學(xué)生a人，本學(xué)期又轉(zhuǎn)來新生2人，本學(xué)期這個班共有學(xué)生(a+2)人.
(2)一個圓的半徑為a cm，將半徑增加2 cm，則現(xiàn)在圓的半徑為(a+2)cm.
12.解：因為3x2-x=5，所以-x2++7=-(3x2-x)+7=-×5+7=.
13.解：因為(a-1)x2ya+1是關(guān)于x，y的五次單項式，所以2+a+1=5，解得a=2.
(1)①a2+2a+1=4+4+1=9.
②(a+1)2=32=9.
(2)猜想：a2十2a+1=(a+1)2.
當(dāng)a=1時，a2+2a+1=4，(a+1)2=4，等式成立；
當(dāng)a=3時，a2+2a+1=16，(a+1)2=16，等式成立.
14.解：(1)因為裝飾物的面積等于一個半圓的面積，所以面積為π()2＝πb2.
(2)因為能射進陽光的面積＝長方形面積-裝飾物面積，所以面積為ab-πb2.
(3)答案不唯一，只要畫圖符合要求即可.
如答圖2.1-1，窗戶能射進陽光部分的面積為ab-πb2.
教材參考答案
2.l整式
練習(xí)(第56頁)
1.解：在這個月內(nèi)銷售這種商品的收入是4.8m元.
2.解：由圓柱體的體積=底面積×高，得這個圓柱體的體積是πr2h.
3.解：兩片棉田的產(chǎn)量分別是ma kg，nb kg，則兩片棉田上棉花的總產(chǎn)量為(ma+nb)kg.
4.解：剩余部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積，則剩余部分的面積為(a2-b2)mm2.
練習(xí)(第57頁)
1.
單項式 2a2 -1.2h xy2 -t2 -
系數(shù) 2 -1.2 1 -1 -
次數(shù) 2 1 3 2 2
2.(1)48%x x-48％x (2) (3)(1+10％)m
問題(第58頁)
v+2.5的項分別是v，2.5，次數(shù)是1.
3x+5y+2z的項分別是3z，5y，2z，次數(shù)是1.
ab-πr2的項分別是ab，-πr2，次數(shù)是2.
練習(xí)(第58頁)
1.(1)2(a+b) ab 10 6
(2)(a+b)h 15
2.解：(1)5x，這個單項式的次數(shù)是1.
(2)x2+3x+6，這個多項式的次數(shù)是2，項分別是x2，3x，6.
(3)x+2，這個多項式的次數(shù)是1，項分別是x，2.
習(xí)題2.1(第59頁)
1.解：(1)6a2 cm2.
(2)(1-20％)a=0.8a(元).
(3)vt km.
(4)xb m2.
2.解：(1)(t+5)℃.
(2)(3x-3y)km.
(3)(50-5x)元.
(4)(πR2a-πr2a)cm3.
3.-15 4
2 4 3 2 4
4x2，-3 a4，-2a2b2，b4
4.解：高度的變化是年數(shù)的5倍，所以生長了n年的樹苗的高度為(100+5n)cm.
5.解：第2排有(a+1)個座位，第3排有(a+2)個座位，由上述規(guī)律可看出：第n排的座位比第1排的座位多(n-1)個，所以第n排有[a+(n-1)]個座位.如果第1排有20個座位，那么第19排的座位數(shù)為20+(19-1)=38.
6.解：V=(a·a-πr2)h.
當(dāng)a=6 cm，r=0.5 cm，h=0.2 cm時，
V≈(×6×6-3×0.52)×0.2=3.45(cm3).
7.解：(1)2n.
(2)2n-1(或2n+1).
8解：若有3個球隊，則共比賽場數(shù)為=3；
若有4個球隊，則共比賽場數(shù)為=6；
若有5個球隊，則共比賽場數(shù)為＝10；
若有n個球隊，則共比賽場數(shù)為.
9.解：密碼L dp d jluo，破譯它的“鑰匙”x-3.
密碼的意思是“I am a girl”.
(答案不唯一，合理即可)

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