資源簡介

3.2解一元一次方程(一)——合并同類項與移項
基礎知識·細解讀
知識點一利用合并同類項解方程
1.合并同類項的意義
將一元一次方程同側的含有未知數的項與常數項分別合并，使方程轉化為mx=n(m≠0)的簡單形式，從而更接近x-a(常數)的形式，便于求解.
2.合并同類項的依據
合并同類項的法則.
3.利用合并同類項解一元一次方程的步驟
注意：(1)“系數化為1”使方程由mx=n(m≠0)變形為x=a(常數)，依據是等式的性質2.
(2)像x，-y這樣系數為1或-1的項，在合并同類項時不要漏掉.
特別提醒
利用合并同類項解一元一次方程時，要明確這類方程的特點：等號一邊是只含未知數的項，另一邊只舍常數項.
【例1】解方程：-9x+2x-4x=50-2-4.
解：合并同類項，得-11x=44.
系數化為1，得x=-4.
總結
(1)把方程中的同類項合并時，要牢記合并同類項的法則：同類項的系數相加，字母連同它的指數不變.
(2)在系數化為1時，特別注意系數是負數時，符號不要出錯.
知識點二利用移項解方程
移項
(1)目的：將含有未知數的項移到方程的一邊，將不含未知數的常數項移到方程的另一邊，使方程更接近于mx=n(m≠0)的形式.
(2)依據：等式的性質1.
(3)兩個變化：位置變化和符號變化.
注意：(1)方程中的項包括它前面的符號.
(2)在解方程時，習慣上把含有未知數的項移到等號的左邊，不合有未知數的項移到等號的右邊.
(3)移項時一定要變號.
特別提醒
移項解一元一次方程的步驟
特別提醒
移項與加法交換律的區別：移項指的是把某一項從等號的一邊移到另一邊，且要變號；加法交換是在等號的同一邊變動某項的位置，且不用改變符號.
【例2】解方程：(1)3x-7+4x=6x-2；
(2)6-8x=3x+3-5x.
解：(1)移項，得3x+4x-6x=-2+7.
合并同類項，得x=5.
(2)移項，得-8x-3x+5x=3-6.
合并同類項，得-6x=-3.
系數化為1，得x=.
知識點三列方程解應用題
1.總量和分量關系問題：相等關系“總量=各部分量的和”.
一般是先設其中一個部分的量為x，再用x表示出其他部分的量，最后根據相等關系列方程.
2.盈不足問題：相等關系“表示同一個量的兩個不同的式子相等”.在實際問題中，同一個量可以用不同的式子表示(最多一個未知數)，由這兩個式子相等即可列出方程.
注意：(1)設未知數列方程時，要注意統一單位.
(2)對于實際問題中的方程的解，一定要檢驗是否符合實際意義，對于與現實生活不符的結果(如得到人數為負數、小數等)，要進行必要的取舍.
特別提醒
(1)一般情況下，問題中給出的條件l在列方程時不能重復利用，否則恰得到一個恒等式，雖然正確但憮法求出應用題的解.
(2)列出方程后，可以進一步利用移項、合并同類項等步驟解方程.
【例3】育才中學七(1)班全體同學參加義務植樹活動，如果每人種7棵樹苗，那么剩余18棵樹苗；如果每人種8棵樹苗，那么還差35棵樹苗.這個班共有多少人 共有多少棵樹苗
解：設這個班共有x人.
根據題意，得7x+18=8x-35.
解方程，得x=53.
7x+18=389.
答：這個班共有53人，共有389棵樹苗.
應用能力·巧提升
題型一列一元一次方程求值
【例1】用方程解答下列問題：
(1)25與x的差是-8，求x；
(2)m的五分之三與8的和是2，求m.
審題關鍵：“是”前后語句表示的式子或數是相等的，根據這個相等關系可以列方程.
破題思路：列出方程，再用“移項”“合并同類項”等步驟解方程.
解：(1)由題意，得25-x=-8.
移項，得8+25=x，
即x=25+8.
合并同類項，得x=33.
(2)由題意，得
m+8=2.
移項，得m=2-8.
合并同類項，得m=-6.
系數化為1，得m=-10.
解后反思
在移項時，一般地，將含有未知數的項移到等號的左邊，但有時候移到右邊會更簡單，如第(1)題.
變式訓練
1.(海南中考改編)若式子x+2的值為1，則x等于 ( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
2.用方程解答下列問題：
(1)x的5倍減去4與25的積，差是15，求x；
(2)已知3y-1與y互為相反數，求y.
題型二一元一次方程解的應用
【例2】已知x=-5是方程x2+mx-10=0的解，求當x=3時，x2+mx-10的值.
審題關鍵：題中字母既有x又有m，關鍵是確定哪個是未知數，如將x=-5代入方程后就變成關于m的方程.
破題思路：先求出m的值，再代入多項式計算求解.
解：把x=-5代入方程x2+mx-10=0，得
(-5)2+(-5)m-10=0.
即-5m+15=0.
解得m=3.
故當x=3時，
x2+mx-10=32+3×3-10=8.
變式訓練
3.若方程2x+1=3的解與關于x的方程x+3a=7的解相同，求關于x的方程-ax+4=3的解.
解后反思
解此類題的關鍵是把已知解代入方程中，使未知數轉化為已知數，從而得到關于字母系數的方程.解關于字母系數的方程，求出字母系數.
題型三列方程解決實際問題
角度1 總量和分量關系問題
【例3】在植樹節，學校開展植樹活動，七年級三個班共植樹100棵，其中一班植樹的棵數比二班植樹的棵數多4棵，三班植樹的棵數比二班植樹棵數的2倍少4棵，求三個班各植樹多少棵.
審題關鍵：題中告知的是一班、三班植樹的棵數分別與二班植樹的棵數的關系，所以可以考慮設二班植樹x棵.
破題思路：設二班植樹x棵，再根據題目所給信息，表示出一班和三班分別植樹的棵數，最后根據相等關系“三個班共植樹100棵”列方程.
解：設二班植樹x棵，則一班植樹(x+4)棵，三班植樹(2x-4)棵.
根據題意，得x+x+4+2x-4=100.
合并同類項，得4x=100.
系數化為1，得x=25.
所以x+4=29，2x-4=46.
答：一班植樹29棵，二班植樹25棵，三班植樹46棵.
規律總結
解決“總量一各部分量的和”問題的四個步驟
第1步：弄清楚總量包括幾部分量，并設出未知數.
第2步：根據“總量一各部分量的和”列出方程.
第3步：解方程求出所設未知數.
第4步：求出其余各部分量，并作答.
變式訓練
4.甲、乙兩站的路程為365 km，一列慢車從甲站開往乙站，每小時行駛65 km，慢車行駛了1 h后，另有一輛快車從乙站開往甲站，每小時行駛85 km，快車行駛幾小時后與慢車相遇
5.我國民間流傳著許多趣味算術題，它們多以順口溜的形式表述，如這樣一個數學問題：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個多一個，一人兩個少兩梨，請問君子知道否，幾個老頭，幾個梨 請用所學知識解答這個數學問題.
角度2 盈不足問題——表示同一個量的兩個式子相等
【例4】已知一列火車勻速駛過一條隧道，從車頭進人隧道到車尾離開隧道共用45 s，而整列火車全在隧道內的時間為33 s，且火車的長度為180 m，求隧道的長度和火車的速度.
審題關鍵：隧道的長度未知，但不論用怎樣的式子表示，隧道的長度是不變的.故可以考慮用不同的式子表示隧道的長度，根據“表示同一個量的兩個式子相等”來列方程.
破題思路：從車頭進入隧道到車尾離開隧道行駛的路程為“隧道的長度+火車的長度”，整列火車全在隧道內行駛的路程是“隧道的長度一火車的長度”，設火車的速度為z m／s，即可用不同的式子表示隧道的長度.
解：設火車的速度為x m／s.
根據題意，得
45x-180=33x+180.
移項，得45x-33x=180+180.
合并同類項，得12x=360.
系數化為1，得
X=30.
33×30+180=1 170(m).
答：隧道的長度為l 170 m，火車的速度為30 m／s.
規律總結
解“表示同一個量的兩個不同的式子相等”應用題的四個步驟
第1步：找出應用題中貫徹始終的一個不變的量.
第2步：用兩個不同的式子表示出這個量.
第3步：由表示同一個量的兩個不同式子相等列出方程.
第4步：解方程，求出答案并作答.
6.(安徽中考)《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：
今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數，物價各幾何
譯文為：
現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人 這個物品的價格是多少
請解答上述問題.
易誤易混·精辨析
易錯點一移項時忘變號而出錯
【例1】解方程：5x-2=-7x+8.
解：移項，得5x+7x=8+2.①
合并同類項，得12x＝10.
系數化為1，得
X＝.
防錯警示
①移項時要將某項從等式的一邊移到另一邊，同時要改變該項的符號，這兩個條件缺一不可.否則會出現“移項，得5x-7x＝8-2”的錯誤.
易錯點二系數化為l時誤把系數作分子
【例2】解方程：16+12x=19+10x.
解：移項，得12x-10x=19-16.
合并同類項，得2x=3.
系數化為1，得x=.
防錯警示
在系數化為1時，易把未知數的系數看作分子，得到x=，出錯的原因是沒有弄清“系數化為1”的依據.“系數化為1”是根據等式的性質2，方程的兩邊都除以未知數的系數2，因此未知數的系數2應為分母.
真題解密·探源頭
中考真題
(江蘇常州中考改編)若式子x-5與2x-1的值相等，則x的值是 .
解析：根據題意，得x-5＝2x-1.
移項，得x-2x＝-1+5.
合并同類項，得-x＝4.
系數化為1，得x＝-4.
答案：-4
教材原型
教材第91頁習題3.2第4(1)題
用方程解答下列問題：
x的5倍與2的和等于x的3倍與4的差，求x.
解：根據題意，得5x+2＝3x-4.
移項，得5x-3x＝-4-2.
合并同類項，得2x＝-6.
系數化為1，得x＝-3.
命題人解密：教材習題很典型地考查了列一元一次方程及其解法.中考題也是針對這一考點進行設置，通過改變題目的背景進行命題.
閱卷人解密：這類問題為基礎題.在解方程時尤其要注意移項要變號.
高效訓練·速提能
【基礎達標】
1.下列說法中正確的是 ( )
A.3x=5+2可以由3x+2=5移項得到
B.1-x=2x-1移項后得1-1=2x+x
C.由5x=15，得x=，這種變形也叫移項
D.1-7x=2-6x移項后得1-2=7x-6x
2.如果一個數的等于4與這個數的的差，那么這個數是 ( )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
3.(湖北荊州中考改編)某電商平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為 ( )
A.120元 B.100元
C.80元 D.60元
4.如果關于工的方程3x+6=0與5x+m=20的解相同，那么m的值是 ( )
A.30 B.10
C.32 D.-30
5.根據圖3.2-1提供的信息可知，每個杯子的價格是 元.
6.解下列方程：
(1)5x=4x+2；
(2)3x-1=2x+3；
(3)x-1=x；
(4)4x+4-5x+1=6x+18.
7.某種農藥需用甲、乙、丙、丁四種原料配制而成，其配制比例為1：3：2：4.若要生產這種農藥300 k，則四種原料各需要多少千克
【能力提升】
8.某年5月份的月歷表如圖3.2-2所示，任意框出表中豎列上三個相鄰的數，這三個數的和不可能是 ( )
A.27 B.51 C.69 D.75
9.已知|a-2|+|b-5|=0，解關于x的方程：ax+b=-7.
10.(江西中考)圖3.2-3是一根可伸縮的魚竿，魚竿是用10節大小不同的空心套管連接而成.閑置時魚竿可收縮，完全收縮后，魚竿長度即為第1節套管的長度(如圖3.2-3①所示)；使用時，可將魚竿的每一節套管都完全拉伸(如圖3.2-3②所示).圖3.2-3③是這根魚竿所有套管都處于完全拉伸狀態下的平面示意圖.已知第1節套管長50 cm，第2節套管長46 cm，依此類推，每一節套管均比前一節套管少4 cm.完全拉伸時，為了使相鄰兩節套管連接并固定，每相鄰兩節套管間均有相同長度的重疊，設其長度為x cm.
(1)請直接寫出第5節套管的長度；
(2)當這根魚竿完全拉伸時，其長度為311 cm，求x的值.
11.某中學組織七年級的學生去觀看運動會，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位，如果租用同樣數量的60座客車，那么多出一輛，且其余客車恰好坐滿.已知一輛45座客車的租金為每天220元，一輛60座客車的租金為每天300元.
(1)七年級有多少人 原計劃租用45座客車多少輛
(2)若租用45座或60座客車，并使每個同學都有座位，則怎樣租車最合算
【素養創新題】
12.小華寫信給老家的爺爺，問候“八一”建軍節.折疊長方形信紙、裝入信封時發現：若將信紙如圖3.2-4①連續兩次對折后，沿著信封口邊線裝入時，寬綽有3.8 cm；若將信紙如圖3.2-4②三等分折疊后，同樣方法裝入時，寬綽1.4 cm.試求信紙的紙長與信封的口寬.
本書習題參考答案
3.2解一元一次方程（一）——合并同類項與移項
應用能力·巧提升
1.B
2.解：(1)根據題意，得5x-4×25＝15.
即5x-100＝15.
移項，得5x＝15+100.
合并同類項，得5x＝115.
系數化為1，得x＝23.
(2)根據題意，得3y-1+y＝0.
移項，得3y+y＝1.
合并同類項，得4y＝1.
系數化為1，得y＝.
3.解：解方程2x+1＝3，得x＝1.
把x＝1代入方程x+3a＝7，
得1+3a＝7，解得a＝2.
把a=2代入方程-ax+4=3，
得-x+4=3，解得x=1.
4.解：設快車行駛x h后與慢車相遇.
由題意，得65+65x+85x=365.
移項，得65x+85x=365-65.
合并同類項，得150x=300.
系數化為1，得x=2.
答：快車行駛2 h后與慢車相遇.
5.解：設老頭有x個.
由題意，得x+1=2x-2，解得x=3.
所以x+1=3+1=4.
答：共有3個老頭，4個梨.
6.解：設共有x人.
可列方程8x-3=7x+4.
解得x=7.
則8x-3=53.
答：共有7人，這個物品的價格是53元.
高效訓練·速提能
1.D
2.A 解析：設這個數為x.根據題意，得
x＝4-x，解得x＝4.
3.C 解析：設進價為x元，則200×0.5-x＝20，解得x＝80.
4.A 解析：解方程3x+6＝0，得x＝-2.把x＝-2代入5x+m＝20，得m＝30.
5.8 解析：設每個杯子的價格是x元，則每個暖瓶的價格是(43-x)元.
根據題圖中信息，得3x+2×(43-x)＝94，解得x＝8.
6.解：(1)移項，得5x-4x＝2.
合并同類項，得x＝2.
(2)移項，得3x-2x＝3+1.
合并同類項，得x＝4.
(3)移項，得x-x＝1.
合并同類項，得x＝1.
系數化為1，得x＝2.
(4)移項，得4x-5x-6x＝18-4-1.
合并同類項，得-7x＝13.
系數化為1，得x＝-.
7.解：設甲種原料需要x kg，則乙種原料需要3x kg，丙種原料需要2x h，丁種原料需要4x kg.
根據題意，得x+3x+2x+4x=300.
合并同類項，得10x=300.
系數化為1，得x=30.
所以3x＝90，2x＝60，4x＝120.
答：甲種原料需要30 kg，乙種原料需要90 kg，丙種原料需要60 kg，丁種原料需要120 kg.
8.D 解析：設三個數中最大的數為x，則其他兩個數分別為x-7，x-14，三個數的和為3x-21.當3x-21＝27時，x＝16，這時三個數為2，9，16；當3x-21＝51時，x＝24，這時三個數為10，17，24；當3x-21＝69時，x＝30，這時三個數為16，23，30；當3x-21＝75時，x＝32，由于5月份的月歷表中最大的數是31，沒有32，所以這種情況不可能，即這三個數的和不可能是75.故選D.
9.分析：因為|a-2|與|b-5|均為非負數，且它們之和為0，所以它們分別為0.
解：由題意，得a-2=0，b-5=0.
解得a=2，b=5.
所以原方程ax+b=-7為2x+5=-7.
解方程，得x=-6.
10.解：(1)第5節套管的長度為50-4×(5-1)=34(cm).
(2)第10節套管的長度為50-4×(10-1)=14(cm).
已知每相鄰兩節套管間重疊的長度為x cm
根據題意，得(50+46+42+…+14)-9x＝311，即320-9x＝311.
解得x＝1.
答：每相鄰兩節套管間重疊的長度為1 cm.
11.解：(1)設原計劃租用45座客車工輛，則七年級有(45x+15)人.
根據題意，得45x+15＝60x-60.
解方程，得x＝5.
所以45x+15＝45×5+15＝240.
答：七年級有240人，原計劃租用45座客車5輛.
(2)方案一：租用6輛45座客車，所需費用為220×6＝1320(元).
方案二：租用4輛45座客車，1輛60座客車，所需費用為220×4+300=880+300＝1180(元).
方案三：租用3輛45座客車，2輛60座客車，所需費用為220×3+300×2＝1260(元).
方案四：租用2輛45座客車，3輛60座客車，所需費用為220×2+300×3＝1340(元).
方案五：全部租用60座客車需租4輛，所需費用為300×4＝1200(元).
答：要使每個同學都有座位，則租用4輛45座客車，1輛60座客車最合算.
12.解：設信紙的紙長為x cm.
根據題意，得+3.8＝+1.4.
移項，得＝1.4-3.8.
合并同類項，得-＝-2.4.
系數化為1，得x＝28.8.
所以+3.8＝11.
答：信紙的紙長為28.8 cm，信封的口寬為11 cm.
教材參考答案
3.2解一元一次方程（一）——合并同類項與移項
思考(第87頁)
通過合并同類項，可以化簡方程，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式，從而求出方程的解.
練習(第88頁)
1.解：(1)合并同類項，得3x=9.
系數化為1，得x=3.
(2)合并同類項，得2x=7.
系數化為l，得x=.
(3)合并同類項，得-2.5x=10.
系數化為1，得x=-4.
(4)合并同類項，得2.5x=2.5.
系數化為1，得x=l.
2.解：設前年的產值是x萬元，則去年的產值是1.5x萬元，今年的產值是(2×1.5x)萬元.
根據題意，得x+1.5x+(2×1.5x)=550，
解得x=100.
答：前年的產值是100萬元.
思考(第89頁)
通過移項，可以將含有未知數的項與常數項分別移到方程的兩邊，先通過合并同類項，使方程化為ax=b(a≠0)的形式，再將系數化為1，即可求出方程的解.
練習(第90頁)
1.解：(1)移項，得6x-4x=-5+7.
合并同類項，得2x=2.
系數化為1，得x=1.
(2)移項，得x-x=6.
合并同類項，得-x=6.
系數化為l，得x=-24.
2.解：設她們采摘用了x h.
根據題意，得8x-0.25=7x+0.25.
移項，得8x-7x=0.25+0.25.
合并同類項，得x=0.5.
答：她們采摘用了0.5 h.
習題3.2(第91頁)
1.解：(1)合并同類項，得9x=18.
系數化為1，得x=2.
(2)合并同類項，得-x=-3.
系數化為1，得x=3.
(3)合并同類項，得6.5y=-6.5.
系數化為1，得y=-1.
(4)合并同類項，得b=3.
系數化為1，得b=.
2.解：移項是解方程的一個步驟，一般是把含有未知數的項都移到等號的左邊，把不含未知數的項(常數項)都移到等號的右邊，即把等式一邊的某項變號后移到另一邊.
移項的根據是等式的性質1.例如上式，等式兩邊同減3x，把3x從等式右邊移到了等式左邊；等式兩邊同加5，把-5從等式左邊移到了等式右邊.
3.解：(1)合并同類項，得4x=-16.
系數化為1，得x=-4.
(2)合并同類項，得6y=5.
系數化為1，得y=.
(3)移項，得3x-4x=1-5.
合并同類項，得-x=-4.
系數化為l，得x=4.
(4)移項，得-3y-5y=5-9.
合并同類項，得-8y=-4.
系數化為1，得y=.
4.解：(1)根據題意，得5x+2=3x-4.
移項，得5x-3x=-4-2.
合并同類項，得2x=-6.
系數化為1，得x=-3.
(2)根據題意，得-5y=y+5.
移項，得-5y-y=5.
合并同類項，得-6y=5.
系數化為1，得y=-.
5.解：設現在小新的年齡為x歲.
根據題意，得3x=28+x，
移項，得3x-x=28.
合并同類項，得2x=28.
系數化為1，得x=14.
答：現在小新的年齡為14歲.
6.解：設I型洗衣機計劃生產x臺，則Ⅱ型洗衣機計劃生產2x臺，Ⅲ型洗衣機計劃生產14x臺.
根據題意，得x+2x+14x=25 500.
合并同類項，得17x=25 500.
系數化為1，得x=1 500.
所以2x=2×1 500＝3 000，
14x＝14×1 500＝21 000.
答：I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣機分別計劃生產1 500臺、3 000臺、21 000臺.
點撥：此題屬于比例分配問題，解比例分配問題時，若三個數的比為l：m：n，則設三個數分別為lx，mx，nx(x≠0).比例分配問題的相等關系是總量等于各部分量之和.
7.解：設長方形的寬為x m，則長為1.5x m.
根據題意，得2x+2×1.53x=60.
解得x=12.
所以1.5x=1.5×12=18.
答：長和寬分別是18 m和12 m.
8.解：(1)若第一塊實驗田用水x t，則第二塊實驗田用水25％x t，第三塊實驗田用水15％x t.
(2)根據題意，得x+25％x+15％x=420.
合并同類項，得1.4x=420.
系數化為1，得x＝300.
所以25％x＝25％×300＝75，
15％x＝15％×300=45.
答：第一塊實驗田用水300 t，第二塊實驗田用水75 t，第三塊實驗田用水45 t.
9.解：設它前年10月生產再生紙x t.
根據題意，得2x+150=2 050.
移項，得2x＝2 050-150.
合并同類項，得2x=1 900.
系數化為1，得x＝950.
答：它前年10月生產再生紙950 t.
10.解：設在距木棍一端x cm處鋸開.
根據題意，得2x-5＝100-x.
移項，得2x+x＝100+5.
合并同類項，得3x＝105.
系數化為1，得x＝35.
答：應該在距木棍一端35 cm處鋸開.
11.解：設參與種樹的人數為x.
根據題意，得10x+6＝12x-6.
移項，得10x-12x＝-6-6.
合并同類項，得-2x＝-12.
系數化為1，得x＝6.
答：參與種樹的人數為6.
12.解：能.設相鄰三行里同一列的三個日期數分別為x-7，x，x+7.
由題意，得x-7+x+x+7＝30.
解得x＝10.
所以x-7＝3，x+7＝17.
答：相鄰三行里同一列的三個日期數之和能為30，這三個數分別是3，10，17.
13.解：設個位上的數為x，則十位上的數為3x+1.
根據題意，得3x+1+x＝9.
移項，得3x+x＝9-1.
合并同類項，得4x＝8.
系數化為1，得x＝2.
所以3x+1＝3×2+1＝7.
所以這個兩位數是7×10+2＝72.

展開更多......

收起↑