資源簡介

3.4實際問題與一元一次方程
基礎(chǔ)知識·細解讀
知識點一列—元—次方程解決實際問題的—般步驟
【例】七年級3班65名學(xué)生為學(xué)校建花壇搬磚，其中男生每人搬8塊，女生每人搬6塊，若一共搬了460塊，則女生有多少人
以上面的實際問題為例，說明列一元一次方程解決實際問題的一般步驟：
注意：一道應(yīng)用題中往往含有多個未知量，應(yīng)恰當(dāng)選擇其中一個設(shè)為未知數(shù)，其他的未知量可用含有未知數(shù)的式子來表示，從而列出方程.一般問什么設(shè)什么，但有時也間接設(shè)未知數(shù).
列方程解應(yīng)用題的一般步驟
特別提醒
列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是審題，找出問題中的相等關(guān)系，并根據(jù)相等關(guān)系列出方程.
知識點二列—元一次方程解決實際問題的常見題型
列方程解決實際問題常見的題型如下：
題型 涉及的公式 等量關(guān)系 注意事項
和、差、倍、分問題 — — 弄清“倍數(shù)”及“多少”關(guān)系
等積變形問題 各種圖形的面積、體積公式 變形前后的面積豉體積不變 分清半徑、直徑及各邊長
行程問題 相遇 問題 路程=速度×?xí)r間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間 兩者路程之和為相距的距離 注意始發(fā)時間和地點
追及 問題 兩者路程之差為相距的距離 —
比例分配問題 — 全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和 靈活設(shè)未知數(shù)
工程問題 工作量=工作效率×工作時間 工作效率=工作量÷工作時間 工作時間=工作量÷工作效率 兩個或多個對象所 完成的工作量的和 等于總工作量 一般把總工作量設(shè)為1
銷售 問題 利潤=實際售價-進價(或成本) 利潤率=×100％ 找出利潤或利潤率之間的關(guān)系 打幾折就是按百分之幾十出售
數(shù)字 問題 設(shè)a，b分別為一個兩位數(shù)的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字，則這個兩位數(shù)可表示為10b+a 數(shù)的大小與表示數(shù)的各字母之間的關(guān)系 一般間接設(shè)未知數(shù)
比賽積 分問題 總積分=勝場總積分+平場總積分+負場總積分 比賽場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù) 搞清比賽中勝、平、負一場的積分
應(yīng)用能力·巧提升，
題型一利用一元一次方程解決分配問題
角度1 生產(chǎn)配套問題
【例1】某車間共90名工人，每名工人平均每天加工甲種部件15個或乙種部件8個，且每3個甲種部件和2個乙種部件剛好配套.應(yīng)安排加工甲種部件和乙種部件的工人各多少名，才能在每天加工結(jié)束后使所有部件剛好配套
審題關(guān)鍵：弄清是如何配套的，找出各個量之間的數(shù)量關(guān)系.
破題思路：設(shè)出加工每種部件的工人人數(shù)，表示出加工的每種部件的數(shù)量，根據(jù)“甲種部件數(shù)：乙種部件數(shù)=3：2”即2×甲種部件數(shù)=3×乙種部件數(shù)列出方程.
解：設(shè)應(yīng)安排x名工人加工甲種部件，(90-x)名工人加工乙種部件.
依題意，得2×15x=3×8(90-x).
解得x=40.
此時，90-x=90-40=50.
答：應(yīng)安排40名工人加工甲種部件，50名工人加工乙種部件，才能在每天加工結(jié)束后使所有部件剛好配套.
解后反思
解答配套問題的關(guān)鍵
在配套問題中，一套物品的各個零部件之間會有一定的倍數(shù)關(guān)系，這個倍數(shù)關(guān)系就是列方程的關(guān)鍵.其中最常見的配套問題的等量關(guān)系是如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么，由等式的性質(zhì)可得，甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的a倍.
變式訓(xùn)練
1.某車間有工人100名，每人每天平均可加工螺栓180個或螺母240個，要使每天加工的螺栓和螺母配套(1個螺栓配2個螺母)。應(yīng)如何分配加工螺栓和螺母的工人
角度2 調(diào)配問題
【例2】某廠甲車間有工人32人，乙車間有工人62人.現(xiàn)從廠外招聘98名工人分配到兩個車間，如何分配才能使乙車間人數(shù)是甲車間人數(shù)的3倍
審題關(guān)鍵：抓住問題最后的要求“乙車間人數(shù)=3×甲車間人數(shù)”.
破題思路：可列表進行分析，使信息更清晰：
設(shè)往甲車間分配x人.
車間 原有人數(shù) 增加人數(shù) 現(xiàn)在人數(shù)
甲 32 x 32+x
乙 62 98-x 62+(98-x)
解：設(shè)往甲車間分配工人，則往乙車間分配(98-x)人.
根據(jù)題意，得62+(98-x)=3(32+x).
解得x=16.所以98-x=82.
答：分配給甲車間16人，乙車間82人，才能使乙車間人數(shù)是甲車間人數(shù)的3倍.
解后反思
用列表法分析調(diào)配前后人數(shù)變化情況，可以較方便地找出數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)相等關(guān)系列出方程.
學(xué)校在組織大掃除，已知在教學(xué)樓打掃的有23人，在宿舍樓打掃的有17人.現(xiàn)調(diào)20人去支援，使在教學(xué)樓打掃的人數(shù)是在宿舍樓打掃的人數(shù)的2倍，應(yīng)調(diào)往教學(xué)樓和宿舍樓的人數(shù)各為多少
題型二利用一元一次方程解決比賽積分問題
【例3】在一次有12個球隊參加的足球循環(huán)賽(每兩隊之間必須比賽一場)中，規(guī)定勝一場記3分，平一場記1分，負一場記0分.某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場數(shù)多兩場，結(jié)果積18分，該隊平了幾場
審題關(guān)鍵：12個隊的循環(huán)賽，每隊需要比賽12-1=11(場).
破題思路：根據(jù)“某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負場數(shù)多兩場”，可設(shè)負了工場，這樣勝的場數(shù)和平的場數(shù)都可以用x表示出來，最后根據(jù)“積18分”列方程.
解：設(shè)該隊負x場，則勝(x+2)場，平的場數(shù)為11-x-(x+2)=-2x+9.
根據(jù)題意，得3(x+2)+1×(-2x+9)+0×x=18.
解得x=3.
此時-2x+9=-2×3+9-3.
答：該隊平了3場.
變式訓(xùn)練
3.足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.一個足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場，得了17分，請問：
(1)前8場比賽中，這個足球隊共勝了多少場
(2)這個足球隊打滿14場比賽，最高能得多少分
(3)通過對比賽情況的分析，這個足球隊打滿14場比賽得分不低于29分就可以達到預(yù)期的目標(biāo)，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這個足球隊至少要勝幾場才能達到預(yù)期目標(biāo)
規(guī)律總結(jié)
比賽積分問題中的等量關(guān)系
(1)比賽總場數(shù)一勝場總數(shù)+平場總數(shù)+負場總數(shù).
(2)比賽總積分一勝場總積分+平場總積分+負場總積分.
題型三利用一元一次方程解決工程問題
【例4】某項工作甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天，前7天由甲、乙合作，但乙中途離開了一段時間，后2天由乙、丙合作完成，這項工作總共用了9天完成.乙中途離開了幾天
審題關(guān)鍵：工程問題一般根據(jù)工作量之間的關(guān)系列方程.當(dāng)全部完成時，相等關(guān)系一般為所有工作量的和等于1.
破題思路：本題的相等關(guān)系為甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量-1.設(shè)乙中途離開x天，則甲工作7天，丙工作2天，乙工作(7-x+2)天.
解：設(shè)乙中途離開了x天.
根據(jù)題意，得=1.解得x=3.
答：乙中途離開了3天.
解后反思
工程問題中的兩點注意
(1)工程類應(yīng)用題的工作量并不是具體數(shù)量時，往往把工作總量看作“1”.
(2)工作總量看作“1”時，工作效率=，工作時間=.
變式訓(xùn)練
4.某工程由甲、乙兩隊單獨施工分別需要3 h和5 h，若兩隊合作完成這項工程的80％，則需 h.
5.一項工作，甲單獨做8天完成，乙單獨做12天完成，丙單獨做24天完成.現(xiàn)甲、乙合作3天后，甲因另有任務(wù)離開，由乙、丙合作，則乙、丙還需要幾天才能完成這項工作
題型四利用一元一次方程解決銷售問題
【例5】某商品月末的進貨價比月初的進貨價降了8％，而銷售價不變，這樣，月末的利潤率比月初高10％.月初的利潤率是多少
審題關(guān)鍵：本題有兩個未知量：進貨價和利潤率，可采用設(shè)而不求的方法.
破題思路：設(shè)月初進貨價為a，則0.92a是月末進貨價，設(shè)月初的利潤率是x％，那么根據(jù)該商品的銷售價保持不變列出方程，解方程即可.
解：設(shè)月初的利潤率為x％，月初進貨價為a，則0.92a是月末進貨價.
由題意，得
a(1+x％)=0.92a[1+(x+10)％].
約去a，得1+x％=0.92[1+(x+10)％].
解得x=15.
答：月初的利潤率為15％.
變式訓(xùn)練
6.麗麗的媽媽到商場給她買一件漂亮毛衣，售貨員說：“這款毛衣前兩天打八折，今天又在八折的基礎(chǔ)上降價10％，只賣144元.”麗麗很快算出了這件毛衣的原標(biāo)價，你知道原標(biāo)價是多少元嗎
解后反思
銷售問題中的兩個基本公式
(1)利潤=售價-進價.等式左邊的“利潤”若為正，就是盈利；若為負，就是虧損.
(2)利潤率=×100％，還可以變形為利潤率×進價=售價-進價.
題型五 利用一元一次方程解決行程問題
角度1 相遇問題
【例6】甲、乙兩站間的路程為480 km，一列慢車從甲站開出，每小時行駛48 km，一列快車從乙站開出，每小時行駛72 km.
(1)兩車同時開出，相向而行，多少小時后相遇
(2)快車先開25 min，兩車相向而行，慢車行駛了多少小時后兩車相遇
審題關(guān)鍵：相遇問題的關(guān)鍵是確定各段的路程和.
破題思路：
解：(1)設(shè)兩車行駛了xh后相遇.
根據(jù)題意，得48x+72x=480，解得x=4.
答：兩車開出4 h后相遇.
(2)設(shè)慢車行駛了y h后兩車相遇.
根據(jù)題意，得48y+72y+72×=480，解得y=3.
答：慢車行駛了3h后兩車相遇.
變式訓(xùn)練
7.甲、乙兩人騎自行車同時從相距71.5 km的兩地相向而行，甲的速度是17.5 km／h，乙的速度是15 km／h.相遇前，經(jīng)過幾小時后兩人相距32.5 km
角度2 追及問題
【例7】甲、乙兩人環(huán)湖散步，環(huán)湖一周是400 m，甲每分鐘走80 m，乙的速度是甲的速度的1.甲、乙兩人同時同地同向而行，經(jīng)過多長時間兩人首次相遇
審題關(guān)鍵：追及問題的關(guān)鍵是確定各段的路程差.
解：設(shè)經(jīng)過x min甲、乙兩人首次相遇.
根據(jù)題意，得80×1x-80x=400.
解得x=20.
答：經(jīng)過20 min兩人首次相遇.
方法技巧
相遇或追及，各個擊破
(1)相向而行的問題即相遇問題，解決此類問題時，盡可能地利用圖形分析.相等關(guān)系：總路程=甲行駛的路程+乙行駛的路程.
(2)同向而行的問題即追及問題，解決此類問題時，盡可能地利用圖形分析.相等關(guān)系：快者行駛的路程一慢者行駛的路程=路程差.
8.某行軍縱隊以9 km／h的速度行隧，隊尾的通訊員以15 km／h的速度趕到隊首送一封信，送到后又立即返回隊尾，共用20 min，求這支隊伍的長度.
9.甲、乙兩站相距480 km，一列慢車從甲站開出，每小時行駛90 km，一列快車從乙站開出，每小時行駛140 km.
(1)若慢車先開出1 h后，快車再開出，兩車相向而行，則快車開出多少小時后兩車相遇
(2)若兩車同時開出，且同向而行，快車在慢車的后面，則多少小時后快車追上慢車
(3)若慢車先開出1 h，快車再開，兩車同向而行，快車在慢車的后面，則快車開出多少小時后追上慢車
題型六 利用一元一次方程解決航行問題
【例8】一艘輪船在A，B兩個碼頭之間航行，順?biāo)叫行? h，逆水航行需12 h.已知該船在靜水中的航行速度為20 km／h，求A，B兩個碼頭之間的距離.
審題關(guān)鍵：不管順?biāo)叫羞€是逆水航行，兩個碼頭之間的距離是不變的.
破題思路：
解：設(shè)水流速度為x km／h.
根據(jù)題意，得8(20+x)=12(20-x).
解得x=4.
所以(20+4)×8=192(km).
答：A，B兩個碼頭之間的距離為192 km.
解后反思
解決航行問題的兩大公式
(1)順?biāo)俣?靜水中速度+水流速度.
(2)逆水速度=靜水中速度-水流速度.
靈活運用以上兩個公式列方程可以較輕松解決航行問題.
變式訓(xùn)練
10.一架飛機飛行在兩城市之間，順風(fēng)需要2 h 45 min，逆風(fēng)需要3 h，已知風(fēng)速是20 km／h，求兩城市之間的距離.
題型七 利用一元一次方程解決方案決策問題
【例9】某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1 000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4 500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤增加到7 500元.當(dāng)?shù)匾患夜臼斋@這種蔬菜140 t，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16 t；如果進行精加工，每天可加工6 t，但兩種加工方式不能同時進行.受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部加工或銷售完畢.為此公司研究了三種不同的方案：
方案一：將蔬菜全部粗加工；
方案二：盡可能進行精加工，沒來得及進行加工的在市場上直接銷售；
方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余進行粗加工，恰好15天完成.你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多 為什么
審題關(guān)鍵：題中給出了三種方案，先分別計算出三種方案的獲利再比較.
破題思路：對于方案一和方案二可直接計算出獲利多少；對于方案三可設(shè)精加工x天，利用相等關(guān)系“精加工量+粗加工量=總量”列出方程，解方程可求出該方案獲利多少，最后比較即可.
解：選擇方案三獲利最多.
理由：方案一可獲利潤為
140×4 500=630 000(元).
方案二可獲利潤為
15×6×7 500+(140-15×6)×1 000=725 000(元).
方案三：設(shè)精加工x天，則粗加工(15-x)天.
依題意，得6x+16(15-x)=140.
解得x=10.所以15-10=5.
故方案三可獲利潤為
10×6×7 500+5×16×4 500=810 000(元).
因為630 000<725 000<810 000，
所以選擇方案三獲利最多.
解后反思
無論是直接給出幾種可行方案，還是通過分析給出可選擇方案，都可以把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解方程找出相對應(yīng)的未知數(shù)的值，根據(jù)未知數(shù)的值及已知量之間的數(shù)量關(guān)系進行分析，最終得出可行性方案.
變式訓(xùn)練
11.某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶8 t，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1 200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2 000元.該工廠的生產(chǎn)能力是如制成酸奶每天可加工3 t；如制成奶片每天可加工1 t.受人員制約，兩種加工方式不可同時進行；受氣溫制約，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢.為此，該工廠設(shè)計了兩種可行方案：
方案一：盡可能多地制成奶片，其余鮮奶直接銷售；
方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成.
你認(rèn)為選擇哪種方案獲利多 為什么
易誤易混·精辨析
易錯點混淆數(shù)量關(guān)系
【例】甲、乙兩人環(huán)湖散步，湖的周長為400 m，乙的刮度是80 m／min，甲的速度是乙的速度的1倍，且甲在乙的前面100 m處.如果兩人同時出發(fā)，且都按順時針方向走，那么多少分鐘后兩人第一次相遇
解：設(shè)x min后兩人第一次相遇.
根據(jù)題意，得80x+300=80×x，
解得x=15.
答：15 min后兩人第一次相遇.
防錯警示
易將方程錯列為80x+100=80×x.此題中，盡管甲在乙前，但是由速度的大小關(guān)系，知是甲追乙，而不是乙追甲.甲追乙時，甲在乙后，且相距400-100=300(m).解答此類問題時，一定要弄清題意，分清誰追誰，相距多遠，這樣才能正確列出方程.
真題解密·探源頭
中考真題
(海南中考·8分)世界讀書日，某書店舉辦“書香”圖書展，已知《漢語成語大詞典》和《中華上下五千年》兩本書的標(biāo)價總和為150元，《漢語成語大詞典》按標(biāo)價的50％出售，《中華上下五千年》按標(biāo)價的60％出售，小明花80元買了這兩本書，求這兩本書的標(biāo)價各多少元.
解：設(shè)《漢語成語大詞典》的標(biāo)價為x元，則《中華上下五千年》的標(biāo)價為(150-x)元.………………………………1分
依題意，得50％x+60％(150-x)＝80，………………………………5分
解得x＝100，
150-x＝150-100＝50.……………………………………………………7分
答：《漢語成語大詞典》的標(biāo)價為100元，《中華上下五千年》的標(biāo)價為50元.………………………………………………8分
教材原型
教材第106頁練習(xí)第1題
某商店有兩種書包，每個小書包比大書包的進價少10元，而它們的售后利潤額相同.其中，每個小書包的盈利率為30％，每個大書包的盈利率為20％，試求兩種書包的進價.
解：設(shè)大書包的進價為x元，則小書包的進價為(x-10)元.
根據(jù)題意，得x×20％＝(x-10)×30％.
解得x＝30，所以x-10＝20.
答：大書包的進價為30元，小書包的進價為20元.
命題人解密：教材練習(xí)題考查了利用一元一次方程解決商品利潤問題.中考題是根據(jù)這一常用的相等關(guān)系，通過改變題目背景針對這一考點進行設(shè)置.
閱卷人解密：解決這類問題的關(guān)鍵在于弄清售價、進價、利潤率之間的關(guān)系.在解答此類題時，往往因為弄不懂這三者之間的數(shù)量關(guān)系而無從下手，導(dǎo)致失分.
高效訓(xùn)練·速提能
【基礎(chǔ)達標(biāo)】
1.(福建南平中考)閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應(yīng)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20％.設(shè)把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為 ( )
A.60-x=20％(120+x)
B.60+x=20％×120
C.180-x=20％(60+x)
D_60-x=20％×120
2.一件商品按成本價提高40％后標(biāo)價，再打八折(標(biāo)價的80％)銷售，售價為240元，設(shè)這件商品的成本價為x元.根據(jù)題意，下面所列的方程正確的是 ( )
A.x·40％×80％=240
B.(1+40％)x×80％=240
C.240×40％×80％=x
D.x·40％=240×80％
3.某車間每天需生產(chǎn)50個零件，才能在規(guī)定的時間內(nèi)完成一批零件的生產(chǎn)任務(wù)，實際上該車間每天比計劃多生產(chǎn)了6個零件，結(jié)果比規(guī)定的時間提前3天完成并超額生產(chǎn)120個零件.若設(shè)該車間原計劃完成的零件生產(chǎn)任務(wù)為x個，則可列方程( )
A.=3 B.=3
C.=3 D-=3
4.甲、乙兩人都從某地出發(fā)去學(xué)校，甲每小時步行5 km，先出發(fā)1.5 h，乙騎自行車，乙出發(fā)50 min后，兩人同時到達學(xué)校，則乙騎自行車的速度為 ( )
A.12 km／h B.13 km／h
C.14 km／h D.15 km／h
5.(內(nèi)蒙古通遼中考)一商店以每件150元的價格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25％，另一件虧損25％，則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是( )
A.虧損20元 B.盈利30元
C.虧損50元 D.不盈不虧
6.(黑龍江雞西中考)“元旦”期間，某商店單價為130元的書包按八折出售可獲利30％，則該書包的進價是 元.
7.足球比賽的記分規(guī)則：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.一個球隊進行了14場比賽，其中僨5場，共得19分，那么這個球隊勝了 場.
8.兩個連續(xù)奇數(shù)的和為28，則這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為 .
9.某車間有60名工人，生產(chǎn)某種由1個螺桿及2個螺母為一套的配套產(chǎn)品，平均每人每天生產(chǎn)螺桿1400個或螺母2 000個，如何安排生產(chǎn)才能使每天生產(chǎn)的螺桿和螺母正好配套
【能力提升】
10. (內(nèi)蒙古呼和浩特中考)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關(guān)口，則此人第一和第六這兩天共走了 ( )
A.102里 B.126里
C.192里 D.198里
11.(浙江紹興中考)書店舉行購書優(yōu)惠活動：
①一次性購書不超過100元，不享受打折優(yōu)惠；
②一次性購書超過100元但不超過200元，一律按原價打九折；
③一次性購書超過200元一律按原價打七折.
小麗在這次活動中，兩次購書總共付款229.4元，第二次購書原價是第一次購書原價的3倍，那么，小麗這兩次購書原價的總和是 元.
12.(江蘇連云港中考)某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩中后兩句的意思是如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房.
(1)求該店有客房多少間 房客多少人
(2)假設(shè)店主李三公將客房進行改造后，房間數(shù)大大增加.每間客房收費20錢，且每間客房最多人住4人，一次性定客房18間以上(含18間)，房價按八折優(yōu)惠.若詩中“眾客”再次一起人住，他們?nèi)绾味ǚ扛纤?
13.某地上網(wǎng)有如下兩種收費方式，用戶可以任選其一.A計時制：1元／時，B包月制：80元／月.此外，每一種上網(wǎng)方式都加收通訊費0.1元／時.
(1)某用戶每月上網(wǎng)40 h，選擇哪種上網(wǎng)方式比較合算
(2)某用戶每月有100元用于上網(wǎng)，選擇哪種上網(wǎng)方式比較合算
(3)請你為用戶設(shè)計一個方案，使用戶能合理地選擇上網(wǎng)方式.
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
14.要用20張白卡紙做包裝盒，每張白卡紙可以做盒身2個或盒底3個.如果1個盒身和2個盒底可以做成一個包裝盒，那么能否把這些白卡紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底，使做成的盒身和盒底正好配套 在不允許剪開白卡紙使一部分做盒身另一部分做盒底的情況下，請你設(shè)計一種分法，并求出最多能做多少個包裝盒.
本書習(xí)題參考答案
3.4實際問題與一元一次方程
應(yīng)用能力·巧提升
1.解：設(shè)分配x人加工螺栓，則加工螺母的為(100-x)人.
根據(jù)題意，得2×180x＝(100-x)×240，
解得x=40.所以100-x＝60.
答：應(yīng)分配40人加工螺栓，60人加工螺母.
2.解：設(shè)應(yīng)調(diào)往教學(xué)樓的人數(shù)為x，則調(diào)往宿舍樓的人數(shù)為20-x.
根據(jù)題意，得×(23+x)＝17+(20-x).
解得x＝17.
所以20-x＝3.
答：應(yīng)調(diào)往教學(xué)樓的人數(shù)為17，調(diào)往宿舍樓的人數(shù)為3.
3.解：(1)設(shè)前8場比賽中，這個足球隊共勝了x場，則平了(8-1-x)場.
根據(jù)題意，得3x+(8-1-x)＝17.
解得x＝5.
答：前8場比賽中，這個足球隊共勝了5場.
(2)打滿14場比賽最高得分為
17+(14-8)×3＝35(分).
答：最高能得35分.
(3)由題意，知在后面的6場比賽中，只要得分不低于12分即可.
所以在后面的6場比賽中，
當(dāng)勝的場數(shù)不少于4時，一定能達到預(yù)期目標(biāo)；
當(dāng)勝3場、平3場時，正好達到預(yù)期目標(biāo).
所以在后面的6場比賽中，這個足球隊至少
要勝3場、平3場才能達到預(yù)期目標(biāo).
4.1.5解析：設(shè)需x h，則＝80％，解得x＝1.5.
5.解：設(shè)乙、丙還需要x天才能完成這項工作.
根據(jù)題意，得
()×3+()x=1.
解得x=3.
答：乙、丙還需要3天才能完成這項工作.
6.解：設(shè)原標(biāo)價是x元.
根據(jù)題意，得0.8x(1-10％)=144，
解得x=200.
答：原標(biāo)價是200元.
7.解：設(shè)相遇前，經(jīng)過x h后兩人相距32.5 km.
根據(jù)題意，得17.5x+15x=71.5-32.5，
解得x=1.2.
答：相遇前，經(jīng)過1.2 h后兩人相距32.5 km.
8.解：設(shè)通訊員從隊尾把信送到隊首用x h，則立即返回隊尾用(-x) h，根據(jù)題意，得(15-9)x=(15+9)(-x).
解得x=.
所以(15-9)x=1.6.
答：這支隊伍的長度為1.6 km.
9.解：(1)設(shè)快車開出x h后兩車相遇.
由題意，得140x+90(x+1)=480，
即230x=390.
解得x=1.
答：快車開出1h后兩車相遇.
(2)設(shè)x h后快車追上慢車.
由題意，得140x=90x+480，
即50x=480，
解得x=9.6.
答：9.6 h后快車追上慢車.
(3)設(shè)快車開出x h后追上慢車.
由題意，得140x=90(x+1)+480，
即50x=570.
解得x=11.4.
答：快車開出11.4 h后追上慢車.
10.解：設(shè)飛機在無風(fēng)的條件下的速度為x km／h.根據(jù)兩城市之間的路程不變，列方程為(x+20)×2＝(x-20)×3.
解得x＝460.
所以(460-20)×3＝1320(km).
答：兩城市之間的距離為1320 km.
11.解：方案二獲利多.理由如下：
方案一：最多生產(chǎn)4 t奶片，其余的鮮奶直接銷售，則其利潤為4×2 000+(8-4)×500＝10000(元).
方案二：設(shè)生產(chǎn)奶片x天，則生產(chǎn)酸奶(4-x)天.
根據(jù)題意，得x+3(4-x)＝8.
解得x＝2.
則其利潤為2×2000+2×3×1200＝4000+7200＝11 200(元).
因為10 000<11 200，所以選擇方案二獲利多.
高效訓(xùn)練·速提能
1.A
2.B
3.C
4.C解析：設(shè)乙騎自行車的速度為x km／h.根據(jù)甲步行走的路程＝乙騎自行車走的路程，列方程為(1.5+)×5＝x.
解得x＝14.
5.A解析：設(shè)盈利的商品的進價為x元，根據(jù)題意，得150-x＝25％x，解得x＝120；設(shè)虧損的商品的進價為y元，根據(jù)題意，得150-y=-25％y，解得y=200.所以150+150-120-200=-20(元)，即虧損20元.故選A.
6.80 解析：設(shè)該書包的進價為x元.
根據(jù)售價×80％-進價=進價×利潤率列出方程，得130×80％-x=30％x，解得x=80，則該書包的進價是80元.
7.5解析：設(shè)這個球隊勝了x場，那么平了(9-x)場.根據(jù)題意列方程，得3x+(9-x)=19.解得x=5.
8.15，13 解析：設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n+1，2n-1.依題意，得2n+1+2n-1=28.解得n=7.當(dāng)n=7時，2n+1=2×7+1=15，2n-1=2×7-1=13.
9.解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺桿，則(60-x)名工人生產(chǎn)螺母.
根據(jù)題意，可列方程
1 400x×2=2 000(60-x)，解得x=25.
所以60-x=60-25=35.
答：應(yīng)安排25名工人生產(chǎn)螺桿，35名工人生產(chǎn)螺母.
10.D解析：設(shè)此人第六天走的路程為x里，則第五天走的路程為2x里，依次往前推，可得第一天走的路程為32x里.
依題意，得x+2x+4x+8x+16x+32x=378，解得x=6.
32x=192，6+192=198(里)，故此人第一和第六這兩天共走了198里，故選D.
11.248或296解析：設(shè)第一次購書原價為x元，則第二次購書原價為3x元.
(1)若第一、第二次購書原價均不超過100元，則兩次購書款之和小于200元，不符合題意；
(2)當(dāng)?shù)谝淮钨彆怀^100元，第二次購書超過100元但不超過200元時，x+0.9×3x＝229.4.
解得x＝62，3x＝186，則兩次購書原價的總和是248元；
(3)當(dāng)?shù)谝淮钨彆怀^100元，第二次購書超過200元時，x+0.7×3x=229.4.
解得x=74，3x=222，則兩次購書原價的總和是296元；
(4)當(dāng)?shù)谝淮钨彆^100元但不超過200元，第二次購書超過200元時，0.9×x+0.7×3x=229.4。
解得x=76，76<100,不符合題意；
(5)若第一、第二次購書原價均超過200元，則購書總付款大于280元，不符合題意.
12.解：(1)設(shè)客房有x間.
根據(jù)題意可得，7x+7＝9x-9.
解得x＝8，房客有7×8+7＝63(人).
答：該店有客房8間，房客63人.
(2)如果每4人一個房間，由63÷4＝15，得需要16間客房，總費用為16×20＝320(錢).
如果定18間客房，其中有4人一起住，有3人一起住，
則總費用為18×20×0.8＝288(錢).
因為288<320，
所以他們再次人住定18問客房更合算.
13.解：(1)若用戶每月上網(wǎng)40 h，則選擇A方式需支付40×(1+0.1)＝44(元)，
選擇B方式需支付80+40×0.1＝84(元).
因為44<84，所以選擇A方式比較合算.
(2)設(shè)用戶選擇A方式用100元可以上網(wǎng)x h，選擇B方式用100元可以上網(wǎng)y h.
由題意，得(1+0.1)x=100，
解得x=.
80+0.1y=100，解得y=200.
因為≈91<200，
所以選擇B方式較合算.
(3)設(shè)當(dāng)每月上網(wǎng)m h時，兩種方式的消費額相等.
由題意，得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故當(dāng)每月上網(wǎng)不足80 h時，選擇A方式比較合算；當(dāng)每月上網(wǎng)80 h時，兩種方式的消費額相等，選擇A，B方式均可；當(dāng)每月上網(wǎng)超過80 h時，選擇B方式比較合算.
14.解：設(shè)用x張白卡紙做盒身，則用(20-x)張白卡紙做盒底，可做盒身2x個，盒底3(20-x)個.
根據(jù)題意，得2×2x=3(20-x)，
解得x=8.
所以20-x=11.
因為解為分?jǐn)?shù)，所以在不允許剪開白卡紙的情況下，只能用8張白卡紙做盒身，共可做16個盒身，用11張白卡紙做盒底，共可做33個盒底，而16個盒身只需32個盒底，所以最多只能做16個包裝盒，且剩余一張白卡紙和一個盒底的材料，無法全部利用白卡紙.
教材參考答案
3.4實際問題與一元一次方程
問題(第100頁)
2 000x＝2×1 200(22-x).
練習(xí)(第101頁)
1.解：設(shè)應(yīng)用x m3鋼材做A部件，(6-x)m3鋼材做B部件，這種儀器恰好配套.
根據(jù)題意，得3×40x＝240(6-x).
去括號，得120x＝l 440-240x.
移項，得120x+240x＝l 440.
合并同類項，得360x＝1 440.
系數(shù)化為1，得x＝4.
所以40x＝160，6-x＝2.
答：應(yīng)用4 m3鋼材做A部件，2m3鋼材做B部件，恰好配成這種儀器160套.
2.解：設(shè)兩個工程隊同時施工，要x天鋪好這條管線.
根據(jù)題意，得=1.
去分母，得2x+x=24，
合并同類項，得3x=24，
系數(shù)化為1，得x=8.
答：要8天可以鋪好這條管線.
練習(xí)(第106頁)
1.解：設(shè)每個小書包的進價為x元，則每個大書包的進價為(x+10)元.
根據(jù)題意，得30％x=(x+10)×20％.
解方程，得0.3x=0.2x+2，
0.3x-0.2x=2，
0.1x=2，
x=20.
所以x+10=30.
答：小書包的進價為20元，大書包的進價為30元.
2.解：設(shè)復(fù)印張數(shù)為x(x>20)時，兩處的收費相同.
根據(jù)題意，得
0.1x=20×0.12+(x-20)×0.09.
解方程，得0.1x=20×0.12+0.09x-1.8，
0.1x-0.09x=2.4-1.8，
0.01x=0.6，
X=60.
答：復(fù)印張數(shù)為60時，兩處的收費相同.
3.解：設(shè)文藝小組每次活動時間為x h.
根據(jù)題意，得.
解方程，得-4x+3x=10.5-12.5，
-x=-2，
X=2。
所以科技小組每次活動時間為
=1.5(h).
設(shè)九年級文藝小組活動次數(shù)為y，科技小組活動次數(shù)為z.
由題意，得2y+1.5z=7.
由y，z都是自然數(shù)，得y=z=2.
所以九年級文藝小組活動次數(shù)為2，科技小組活動次數(shù)也為2.
習(xí)題3.4(第106頁)
1.解：首先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(列一元一次方程)；然后通過解方程得到數(shù)學(xué)問題的解(x=a)；最后將得到的解代回原方程檢驗，得到實際問題的答案.
2.解：設(shè)用x m3木材制作桌面，用(12-x)m3木材制作桌腿.
根據(jù)題意，得4×20x=400(12-x).
解方程，得80x=4800-400x，
80x+400x=4 800，
480x=4 800，
x=10.
所以12-x=2.
答：用10 m3木材制作桌面，用2 m3木材制作桌腿，才能制作盡可能多的桌子.
點撥：用12 m3木材制作盡可能多的桌子，就是能使制作的桌面與桌腿盡可能配套.“4條桌腿與1個桌面為一套”，由此可見，本題的相等關(guān)系是“桌面?zhèn)€數(shù)的4倍一桌腿條教”.
3.解：設(shè)用x天制作甲種零件，用(30-x)天制作乙種零件，才能制作最多的成套產(chǎn)品.
根據(jù)題意，得500x=250(30-x).
解方程，得500x=7 500-250x，
500x+250x=7 500，
750x=7 500，
X=10.
所以30-x=20.
答：甲種零件應(yīng)制作10天，乙種零件應(yīng)制作20天.
4.解：設(shè)共需x h完成.
根據(jù)題意，得=1.
去分母，得l+1.5x=7.5.
移項，得1.5x=7.5-1.
解得x=.
答：共需h完成.
5.解：設(shè)先安排x人做2 h.
根據(jù)題意，得.
解方程，得，
x+4=6，
X=2.
答：應(yīng)先安排2人做2 h，再安排7人做8 h.
6.解：設(shè)這件衣服值x枚銀幣.
依題意，得.
解得x=9.2.
答：這件衣服值9.2枚銀幣.
點撥：本題中要把衣服折合為銀幣求它的價值，解題時應(yīng)按常規(guī)考慮，以月為單位計酬，即本題中的相等關(guān)系為每個月的報酬是固定的.
7.解：設(shè)每箱裝x個產(chǎn)品.
依題意，得+1.
解得x=12.
答：每箱裝12個產(chǎn)品.
點撥：此題中的相等關(guān)系是每臺A型機器比B型機器一天多生產(chǎn)1個產(chǎn)品，由此相等關(guān)系即可列出方程解決此題.
8.解：(1)由時間與溫度的數(shù)據(jù)規(guī)律，知設(shè)時間為x min，則溫度為(3x+10)℃.
當(dāng)x=21時，溫度為3×21+10=63+10=73(℃).
(2)由時間與溫度的數(shù)據(jù)規(guī)律，知若設(shè)溫度為y℃，則時間為min.
當(dāng)y=34時，時間為＝8(min).
9.解：設(shè)用x kg面粉制作大月餅，用(4 500-x)kg面粉制作小月餅，才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅.
根據(jù)題意，得.
解方程，得，
40x=225 000-50x.
40x+50x=225 000，
90x=225 000。
x=2 500。
所以4 500-x=4 500-2 500=2 000.
答：用2 500 kg面粉制作大月餅，用2 000 kg面粉制作小月餅，才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅.
10.解：設(shè)小強的行進速度為x km／h，則小剛的行進速度為(x+)km／h.
根據(jù)題意，得0.5(x+)=2x.
解方程，得0.5x+6=2x，
0.5x-2x=-6。
-1.5x=-6，
x=4.
所以x+=4+12=16.
小強從相遇再到A地所用時間為=8(h).
答：小強和小剛的行進速度分別是4 km／h，16 km／h；相遇后經(jīng)過8 h小強到達A地.
點撥：本題的相等關(guān)系：小剛0.5小時走的路程=小強2小時走的路程.
11.解：設(shè)銷售量要比按原價銷售時增加x.
根據(jù)題意，得(1+x)(1-20％)=1.
解方程，得0.8+0.8x=1，
0.8x=1-0.8。
x==25％.
答：銷售量要比按原價銷售時增加25％.
點撥：銷售總金額=銷售量×商品單價.本題將原銷售總金額看作“1”.
12.解：設(shè)此月人均定額是x件，那么甲組工人實際人均工作量為件，乙組工人實際人均工作量為件.
根據(jù)題意，得
(1)，解得x=45.
答：此月人均定額是45件.
(2)+2，解得x=35.
答：此月人均定額是35件.
(3)-2，解得x＝55.
答：此月人均定額是55件.
點撥：本題中的“人均定額”和“人均工作量”是兩個不同的概念，前者是計劃的量，后者是實際完成的量.本題根據(jù)(1)(2)(3)中所給的甲、乙兩組工人實際完成的此月人均工作量的關(guān)系列出方程即可.
13.解：(1)設(shè)丟番圖的壽命為x歲.
根據(jù)題意，得+4＝x.
解得x＝84.
答：丟番圖的壽命是84歲.
(2)丟番圖開始當(dāng)爸爸時的年齡為()×84+5＝38(歲).
答：丟番圖開始當(dāng)爸爸時的年齡為38歲.
(3)兒子死時丟番圖的年齡是84-4＝80(歲).
復(fù)習(xí)題3（第111頁)
1.解：(1)t-t=10. (2)(1-45％)n=110.
(3)1.1a-10=210. (4)=2.
2.解：(1)-8x=3-x，
去分母，得8-48x=18-33x.
移項，得-48x+33x=18-8.
合并同類項，得-15x=10.
系數(shù)化為1，得x=-.
(2)0.5x-0.7=6.5-1.3x，
移項，得0.5x+1.3x=6.5+0.7.
合并同類項，得1.8x=7.2.
系數(shù)化為1，得x=4.
(3)(3x-6)=x-3，
去括號，得x-1=x-3.
去分母，得5x-10=4x-30.
移項，得5x-4x＝-30+10.
合并同類項，得x＝-20.
（4），
去分母，得7(1-2x)＝3(3x+1)-63.
去括號，得7-14x＝9x+3-63.
移項，得-14x-9x＝3-63-7.
合并同類項，得-23x＝-67.
系數(shù)化為1，得x＝.
3.解：（1）x-＝7-，
去分母，得15x-5(x-1)＝105-3(x+3).
去括號，得15x-5x+5＝105-3x-9.
移項，得15x-5x+3x＝105-9-5.
合并同類項，得13x＝91.
系數(shù)化為1，得x＝7.
所以當(dāng)x＝7 時，x-的值與7-的值相等.
（2），
去分母，得4x+5(x-1)＝15(x-1)-16x.
去括號，得4x+5x-5＝15x-15-16x.
移項，得4x+5x-15x+16x＝-15+5.
合并同類項，得10x＝-10.
系數(shù)化為1，得x＝-1.
所以當(dāng)x＝-1時，的值與的值相等.
4.解：(1)把S＝30，a=6，h=4，代入S＝(a+b)h，得30=(6+b)×4.
去分母，得60=(6+b)×4.
去括號，得60=24+4b，
解得b==9.
(2)把S=60，b=4，h=12代入S＝(a+b)h，
得60=(a+4)×12.
去分母，得120=(a+4)×12.
去括號，得120=12a+48.
解得a==6.
(3)把S=50，a=6，b=a=×6=10
代入S＝(a+b)h，得50=(6+10)h，
即50=8h，解得h=.
5.解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬.
依題意，得150×12+150x=240x.
解得x=20.
答：快馬20天可以追上慢馬.
點撥：此題為追及問題，本題中的相等關(guān)系：慢馬一共行的路程一快馬行的路程，由此相等關(guān)系即可列出方程.
6.解：設(shè)經(jīng)過x min首次相遇.
依題意，得350x+250x=400. 解得x=·
因此可知小康和小健兩人每隔min就相遇一次，即又經(jīng)過min再次相遇.
答：經(jīng)過 min首次相遇，又經(jīng)過min再次相遇.
點撥：本題中情境是環(huán)繞運動場轉(zhuǎn)圈，要根據(jù)這個特點入手，其相等關(guān)系：兩人相遇時所經(jīng)過的路程之和是運動場周長的整數(shù)倍.
7.解：設(shè)有x個鴿籠，則原有(6x+3)只鴿子.
根據(jù)題意，得6x+3+5=8x.
解方程，得6x-8x=-3-5，
-2x=-8.
x=4.
所以6x+3=6×4+3=27.
答：原有27只鴿子和4個鴿籠.
8.解：設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡是x歲，則父親現(xiàn)在的年齡為(91-x)歲.
根據(jù)題意，得2x-(91-x)=(91-x)-x.
解方程，得6x-(91-x)=3(91-x)-3x，
6x-91+x=273-3x-3x，
6x+x+3x+3x=273+91，
13x=364，
x=28.
答：女兒現(xiàn)在的年齡為28歲.
點撥：本題的相等關(guān)系為父親的年齡與女兒年齡的差保持不變.
9.解：由題意，知答對一題加5分，答錯一題扣1分.
(1)設(shè)參賽者F答對了x道題，
則答錯了(20-x)道題.
根據(jù)題意，得5x-(20-x)=76.
解方程，得5x-20+x=76，
6x=76+20.
6x=96，
x=16.
答：參賽者F得76分，他答對了16道題.
(2)若參賽者G得80分，答對了y道題，則答錯了(20-y)道題.
由題意，得5y-(20-y)=80.
解方程，得5y-20+y=80，
5y+y=80+20，
6y=100，
Y=16.
因為y只能是小于或等于20的自然數(shù)，所以參賽者G不可能得80分.
10.解：設(shè)購入場券x張時，付一樣的錢.
根據(jù)題意，得3x=80+x.
解方程，得3x-x=80，
2x=80，
X=40.
所以，(1)當(dāng)購入場券40張時，購會員證與不購證付一樣的錢.
(2)當(dāng)購入場券大于40張時，購會員證比不購證更合算.
(3)當(dāng)購入場券小于40張時，不購會員證比購證更合算.
11.解：設(shè)這個村去年種植油菜的面積是x hm2，今年種植油菜的面積是(x-3)hm2.
根據(jù)題意，得(2 400+300)×50％×(x-3)-2-400×40％x+3750.
解方程，得1 350x-4 050=960x+3 750，
l 350x-960x=3 750+4 050.
390x=7 800。
X=20.
所以x-3=20-3=17.
答：這個村去年種植油菜的面積是20 hm2，今年種植油菜的面積是17 hm2.

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