資源簡介

4.2直線、射線、線段
基礎知識·細解讀
知識點一直線
1.直線的基本事實
經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡單說成：兩點確定一條直線.
注意：“兩點確定一條直線”中的“確定”有兩層含義：一表示這樣的直線存在；二表示這樣的直線唯一，即不會有兩條、三條……
特別提醒
直線是直的，沒有端點，向兩方無限延伸，不能度量，不可以比較長短，沒有粗細.
2.直線的表示方法
表示方法 圖形舉例 特征
(1)用直線上任意表示兩點的大寫字母表示； (2)用—個小寫字母表示 直線AB或直線BA或直線l (1)無端點； (2)向兩方無限延伸； (3)無長短
注意：(1)用字母表示直線時，必須在字母前加上“直線”二字.
(2)用兩個大寫字母表示直線時，字母無順序.
(3)用一個小寫字母表示直線時，該字母不是表示直線上點的字母.
3.點與直線的位置關系
(1)如圖4.2-1，點A在直線l上，也可以說成直線l經過點A.
(2)如圖4.2-2，點A在直線l外，也可以說成直線l不經過點A或點A不在直線l上.
4.交點
當兩條不同的直線有一個公共點時，我們稱這兩條直線相交，這個公共點叫做它們的交點.如圖4.2-3，直線AB與CD相交于點O.
特別提醒
直線常用“一根拉得很緊的細線”“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述.
【例1】如圖4.2-4所示，直線l上有兩點A，B，直線l外有兩點C，D.
(1)作經過A，C兩點的直線m，并判斷點B與直線m的位置關系；
(2)分別過點A，B，C作直線n，p，q，使這三條直線都經過點D；
(3)直線l與q相交嗎 若相交，標出交點O的位置.
解：(1)直線優如圖4.2-5所示，點B在直線m外.
(2)直線n，p，q如圖4.2-5所示.
(3)直線l與q相交，交點O的位置如圖4.2-5所示.
總結
作圖應注意語言轉化
由點與直線、直線與直線的位置關系，可根據要求畫出符合題意的圖形，作圖時需要具備將文字語言轉化為圖形語言的能力.
知識點二射線
定義 表示方法 圖形舉例 特征
直線上一點和它一旁的部分叫做射線，這一點叫做射線的端點 (1)用表示射線端點和射線上另一點的兩個大寫字母表示(表示端點的字母必須寫在前面)； (2)用一個小寫字母表示 射線OA或射線l (1)一個端點； (2)向一方無限延伸； (3)無長短
注意：(1)用字母表示射線時，必須在字母前加上“射線”二字.
(2)用兩個大寫字母表示射線時，字母有順序，表示端點的字母寫在前面.
(3)用一個小寫字母袁示射線時，該字母不是表示射線上點的字母.
特別提醒
射線是直線的一部分，也是直的，有一個端點，可向一方無限延伸，不可以度量，不能比較大小.
【例2】圖4.2-6中一共有幾條射線 能用字母表示的請表示出來.
分析：可用字母表示的有射線AB、射線BA；不可用字母表示的射線有以點A為端點及它左邊的部分和以點B為端點及它右邊的部分.
解：圖中有4條射線，可用字母表示的有射線AB、射線BA.
總結
牢抓兩點，辨別射線的異同
端點不同，所表示的射線不同；端點相同，延伸方向不同，所表示的射線也不同.只有端點和延伸方向都相同時，才是同一條射線.
拓展
若一條直線上有n個點，則有2n條射線.
知識點三線段的基本概念
1.線段
定義 表示方法 圖形舉例 特征
直線上兩點及兩點間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點 (1)用表示線段的兩個端點的大寫字母表示； (2)用一個小寫字母表示 線段AB或線段BA或線段a (1)兩個端點； (2)無延伸方向； (3)有長短
注意：(1)用字母表示線段時，必須在字母前加上“線段”二字.
(2)用兩個大寫字母表示線段時，字母無順序.
2.線段、射線、直線的區別與聯系
名稱 區別 聯系
圖形及表示方法 延伸情況 端點個數 度量情況
線段 線段AB或線段BA或線段l 不能延伸 2 能度量 線段是直線的一部分；線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線；射線向反方向延伸就成為直線
射線 射線OA或射線l 只向一方無限延伸 1 不能度量
直線 直線AB或直線BA或直線l 向兩方無限延伸 0 不能度量
注意：(1)線段、射線和直線都是“直的線”，其中線段是有頭有尾的“直的線”，它的兩個端點就是“頭”和“尾”；射線是有頭無尾的“直的線”，它的“頭”就是端點；直線是一條無頭無尾的“直的線”.
(2)當用兩個大寫字母表示直線和線段時，兩個字母可以交換位置.而表示射線時，因為第一個字母表示的是射線的端點，所以必須放在另一個字母的前面.
巧記口訣
直線、射線與線段
直線射線與線段，
形狀相似有關聯.
直線長短不確定，
可向兩方無限延.
射線僅有一端點，
反向延長成直線.
線段定長兩端點，
雙向延伸變直線.
兩點定線是共性，
組成圖形最常見.
【例3】圖4.2-7中的線段一共有 ( )
A.3條 B.4條 C.5條 D.6條
解析：圖中的線段有線段AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6條.
思路一：如果按從左向右的順序表示線段，以點A開頭的線段有AB，AC，AD三條，以點B開頭的線段有BC，BD兩條，以點C開頭的線段有CD一條，那么共有3+2+1=6(條)線段.
思路二：每個點和其他三個點都能確定一條線段，則四個點共可以確定3×4=12(務)線段.每務線段如線段AB在點A和點B各被統計了一次，因此每條線段都被統計了兩次，所以實際線段的條數為6.
答案：D
總結
我們可以將例題中思路二的結論推廣到n(n為正整數，n≥2)個點的情況：一條直線上有n(n為正整數，n≥2)個點，則線段條數為1+2+3+…+(n-1)或.還可以將此結論繼續推廣：以n(n為正整數，n≥2)個不在同一條直線上的點為端點的線段條數是1+2+3+…+(n*1)或.
拓展
線段的延長線具有方向性
利用直尺可以把線段向任意一方延伸，線段向一方延伸的部分叫做線段的延長線.如圖4.2-8，從點B開始把線段AB延長，常說成“延長線段AB”或“反向延長線段BA”；對于圖4.2-9，從點A把線段AB進行延長，常說成“延長線段BA”或“反向延長線段AB”.這里所說的線段AB和線段BA的延長線都是指圖中的虛線部分，不包含線段AB.線段的延長線一般畫成虛線.
知識點四線段的畫法及比較
1.尺規作圖：限定用無刻度的直尺和圓規作圖.
2.畫一條線段等于已知線段
畫法一(尺規作圖)：如圖4.2-10所示，先用直尺畫射線AC，再用圓規在射線AC上截取AB＝a.
畫法二(測量長度)：先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段.
為防止誤差，一般不目測比較線段長短，而是通過度量.
特別提醒
在將兩條線段用“<”“>”或“一”連接起來的時候，字母前的“線段”兩字就省略不寫了.只有線段才能比較大小，而直線、射線不能比較大小.
3.線段的比較
(1)線段比較大小的實質是線段的長度的比較.
注意：“線段”和“線段的長度”不是同一個概念，線段是“圖形”，而線段的長度是一個“數量”.
(2)線段大小的比較方法
①度量法(數的比較)：
用刻度尺量出線段的長度，根據長度大小來比較，長度大的線段較長，
長度相等時兩線段相等.
②疊合法(形的比較)：
比較兩條線段AB與CD的長短，可以把線段AB移到線段CD上，使點A與點C重合，點B與點D在重合點的同一側.
注意：比較線段的大小時，“度量法”是從“數”入手，而“疊合法”是從“形”入手.
拓展
截取法比較線段大小
將圓規的兩個尖與線段AB的兩端點重合，然后用圓規的一個尖與點C重合，把另一個尖同向放在C，D所在的直線上.
用圓規截取法比較線段的大小，實質上就是疊合法的一個操作應用.
【例4】如圖4.2-11，有一張三角形紙片，你能準確地比較線段AB與線段BC的長短嗎
解：方法1(度量法)：用刻度尺測得AB=2.0 cm，BC=1.7 cm，所以AB>BC.
方法2(疊合法)：把邊BC翻折到AB上，可知點C在線段AB上，所以AB>BC.
總結
線段比較大小兩方法
(1)度量法：先分別度量出兩條線段的長度，再比較度量值的大小.
(2)疊合法：設法使兩條線段放在同一條直線上，且其中的一個端點重合，另一端點均在重合端點的同側，從而比較線段的長短.
知識點五尺規作線段的和與差
線段的和、差及作法
條件
圖形
作法 用圓規在射線AE上截取線段AB=a，再在射線BE上截取線段BC=b 用圓規在射線AE上截取線段AB=a，再在線段AB上截取線段BD=b
結論 線段AC是線段a與b的和 線段AD是線段a與b的差
AC=a+b AD=a-b
特別提醒
幾何中線段的和差與代數中的數的和差有聯系也有區別，在數量上是線段長度的和差，在圖形上作線段的和差得到的圖形是一條線段.
【例5】如圖4.2-12所示，已知線段a，b，c(a>c)，用圓規和直尺畫一條線段，使它等于a+2b-2c.
解：作法：(1)作射線AE；
(2)在射線AE上順次截取線段AC，CF，FD，使AC=a，CF=FD=b；
(3)在線段AD上截取線段DG=GB=c，則線段AB即為所求.如圖4.2-13所示.
總結
線段和差作圖，“內”“外”要分清
進行線段的和差作圖時，要掌握畫一條線段等于已知線段的方法.同時注意“加”在外畫(即在線段的延長線上畫)，“減”在內畫(即在線段上畫)；作圖時作圖痕跡要保留，并且結論必須寫明哪條線段是所求作的線段.
知識點六線段的中點及等分點
1.線段的中點
如圖4.2-14，點M在線段AB上，AM=BM，點M是線段AB的中點.
應用：因為點M是線段AB的中點，所以AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.
特別提醒
(1)線段的中點只有一個，而線段的三等分點有兩個.
(2)如果題目中沒有現成的圖形，一定要先畫圖.數形結合是數學學習中的一種重要方法，應特別注意對線段中點的靈活運用.
2.線段的等分點
如圖4.2-15所示，B，C是線段AD上的兩點，且AB=BC=CD=AD或AD=3AB=3BC=3CD，我們稱點B，C是線段AD的三等分點.類似地，還有線段的四等分點，如圖4.2-16所示，AB=BC=CD=DE=AE等.
拓展
線段的中點可以從兩個角度來理解.一是根據定義，某一點要成為一條線段的中點應滿足兩個條件：①這個點必須在這條線段上；②這個點要把這條線段分成相等的兩條線段.二是根據幾何表達式，若AB=2AC=2BC或AC=BC=AB，則點C是線段AB的中點.
【例6】下列說法正確的是 ( )
A.若AP=AB，則點P為線段AB的中點
B.若AP=PB，則點P為線段AB的中點
C.若AB=2PB，則點P為線段AB的中點
D.若AP=PB=AB，則點P為線段AB的中點
解析：A選項未說明點P是否在線段AB上，它可以有如圖4.2-17①所示的情況，滿足AP=AB，但點P不是線段AB的中點；B選項也未說明點P是否在線段AB上，故可有如圖4.2-17②所示的情況，滿足PA=PB，但點P不是線段AB的中點；C選項也未說明點P是否在線段AB上，故可有如圖4.2-17③所示的情況，滿足AB=2PB，但點P不是線段AB的中點.由定義可知選項D正確.
答案：D
總結
若點A是線段BC的中點，則AB=AC一定成立；但反過來，若AB=AC，則點A不一定是線段BC的中點，如圖4.2-18所示.
特別提醒
要注意“點C是線段AB的中點”與“點C是線段AB上一點”的區別：前一句中，點C在線段AB上的位置是固定的，即中點；后一句中，點C在線段AB上的位置不固定，所分兩條線段AC和BC的長度可能相等，可能不相等.
知識點七線段的性質
1.線段的基本事實：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短.
2.兩點的距離：連接兩點間的線段的長度.
注意：線段是一個圖形，兩點的距離是指線段的長度，是一個數值，而不是線段本身，因此不能說“A，B兩點間的距離是線段AB”，而應說“A，B兩點間的距離是線段AB的長度”.
兩點之間，線段最短.
【例7】如圖4.2-19(示意圖)，把彎曲的河道改直，可以縮短航程，這樣做的道理是 ，若河道邊有一座城市C，河道A處到城市C的距離為8 km，河道B處到城市C的距離為3 km，則A，B間的距離AB 11 km(填“>”“<”或“=”).
解析：把原河道中的A處和B處看作兩個點，由于“兩點之間，線段最短”，把河道改直后可得線段AB，所以能縮短航程，同時可知A，B兩點之間的距離小于A，C兩點之間的距離與B，C兩點之間的距離的和，即AB<11 km.
答案：兩點之間，線段最短 <
總結
掌握“兩點之間，線段最短”的性質是解決此類問題的關鍵.在很多實際問題中都涉及線段的這一基本性質.
特別提醒
(1)連接兩點的線有無數條，其中線段的長度最短；
(2)連線是指以兩個點為端點的任意線，包括線段、折線和曲線；
(3)數學上連接AB是指畫線段AB.
應用能力·巧提升
題型一按要求作圖
【例1】如圖4.2-20所示，平面上有四個點A，B，C，D，根據下列語句畫圖.
(1)畫射線AB，直線CD交于點E；
(2)畫線段AC，BD交于點F；
(3)連接EF.
審題關鍵：本題為作圖題，要先明確要作的是直線、射線還是線段，再根據相關特征完成作圖.
破題思路：(1)分別作以A為端點，經過點B的射線和經過C，D兩點的直線，兩線交點即為點E的位置；
(2)分別作以A，C為端點的線段和以B，D為端點的線段，兩線段的公共點即為點F；
(3)作以E，F為端點的線段.
解：(1)(2)(3)如圖4.2-21所示.
解后反思
理解概念有助于作圖
過兩點畫直線時，這兩點不能成為端點，要“出頭”；過兩點畫射線時，要注意誰是端點，向哪個方向延伸；過兩點畫線段時，要確定哪兩個點是端點，不能“出頭”.另外，應注意延長線與反向延長線的區別，因為這些概念“方向性”很強，所以要注意對概念的理解，才能準確畫出圖形.
變式訓練
1.按下列語句畫出圖形：
(1)直線EF經過點D，點C不在直線EF上；
(2)線段AB，CD相交于點B；
(3)點P是直線a外一點，過點P有一條線段b與直線a不相交.
2.如圖4.2-22所示，平面上有三條線段AB，BC，CD，按照下列要求作圖.
(1)作射線BD；
(2)分別延長線段AB，CD相交于點E；
(3)作直線AD，與線段BC交于點F.
題型二點、線的規律探究
【例2】已知平面內的四個點A，B，C，D，過其中的兩個點畫直線，可以畫出多少條
審題關鍵：本題考查直線條數的確定，應分析出過兩點的直線的所有可能性.
破題思路：因為原題中未說明這四個點的位置關系，因此應分四個點在同一條直線上、三個點在同一條直線上、任意三個點都不在同一條直線上三種情況來討論.
解：(1)當A，B，C，D四個點在同一條直線上時，只可以畫出一條直線，如圖4.2-23①所示.
(2)當A，B，C，D四個點中有三個點在同一條直線上時，可以畫出4條直線，如圖4.2-23②所示.①
(3)當A，B，C，D四個點中任意三個點都不在同一條直線上時，可以畫出6條直線，如圖4.2 23③所示.②
過程釋疑：
①不管哪三個點在同一條直線上，另外一個點在這條直線外，所得到的情形相同.
②由圖4.2-23③可以看出，對于任意三個點都不共線的四個點A，B，C，D，過其中任何一個點都有三條直線經過，共4×3＝12(條)，但是因為直線AB與BA，AC與CA，AD與DA……分別是同一條直線，
變式訓練
3.在同一平面內，互不重合的三條直線的交點的個數( )
A.可能是0，1，2
B.可能是0，2，3
C.可能是0，1，2，3
D.可能是1，3
4.根據圖4.2-24回答下列問題：
(1)以O為端點的射線共有幾條 請寫出來；
(2)圖中的線段共有幾條 請寫出來；
(3)射線AB和射線CB的公共部分是什么
說明每條直線都重復計算一次，所以實際能畫出的直線共有12÷2＝6(條).
方法技巧
直線條數的確定有規律可循
如果平面上有n個點，其中任意三個點都不在同一務直線上，那么過兩點畫一條直線，共可以畫出去n(n-1)條直線(n≥3，且n為正整數).
題型三線段的中點與線段的和與差的綜合應用
【例3】已知線段AB=8 cm，點C在線段AB上，且BC=3 cm，M為線段AC的中點，求線段MC的長度.
審題關鍵：解答此類問題時，畫出圖形進行分析更為直觀、具體.
破題思路：因為線段AB與線段BC的長度已知，所以可以求出線段AC的長度.由點M為線段AC的中點，可求得結果.
解：如圖4.2-25所示.
因為AB=8 cm，BC=3 cm，
所以AC=AB-BC=8-3=5(cm).
又因為M為線段AC的中點，
所以MC=AC=×5=2.5(cm).
解后反思
在本題中，因為M是線段AC的中點，所以要想求MC的長度，只需求出線段AC的長度即可.由于AC=AB-BC=8-3=5(cm)，從而問題得解.
變式訓練
5.如圖4.2-26，已知D，E分別是線段AB，BC的中點.
(1)若AB=3 cm，BC=5 cm，則DE= cm；
(2)若AC=8 cm，EC=3 cm，則AD= cm.
題型四點與線段的實際應用
【例4】A，B兩火車站之間有三個站點，假設每兩站間的票價不同.
(1)在A，B兩站之間需要多少種不同的票價
(2)應制作多少種不同的車票
審題關鍵：要理解票價、車票與站點之間的關系，可畫出線段圖，將車票問題轉化為線段問題來解決.
破題思路：(1)首先確定五個站點之間有幾條不同的線段，因為不同的線段代表兩站之間的票價不同，所以只需數出有幾條不同的線段，即可確定有幾種不同的票價.
(2)每兩站之間有兩種不同的車票，故車票數是線段條數的2倍.
解：(1)如圖4.2-27，設點C，D，E表示中途三站，在線段AB上有多少條線段，就有多少種不同的票價.圖中有線段AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10條，①
所以A，B兩站之間共需要10種不同的票價.
(2)由于往返時起始站和終止站恰好相反，故應制作10×2＝20(種)不同的車票.
過程釋疑：
①數線段的條數時，為了既不重復，又不遺漏，可以按如圖4.2-28所示畫弧線的方法確定條數.
方法技巧
畫線段圖。巧解問題
借助線段圖解題，可以化抽象的語言為具體、形象、直觀的圖形.小學時我們經常利用線段圖解應用題，現在利用線段的端點的數目，同樣可以解決許多現實生活中的問題.
變式訓練
6.4支排球隊進行單循環比賽(參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽)，則共比賽 場.
7.由河源到廣州的某次列車，運行途中?？康能囌疽来问呛釉?、惠州、東莞東、廣州，那么要為該次列車制作的火車票有 ( )
A.3種 B.4種 C.6種 D.12種
題型五線段的性質在生活中的應用
【例5】如圖4.2-29，設A，B，C，D為4個居民小區，現在需要在四邊形ABCD內建一個購物中心，請你確定一個點，使這4個居民小區到購物中心的距離之和最小.
審題關鍵：根據“兩點之間，線段最短”來確定該點的位置.
破題思路：該點一定為線段AC上的任意一點，同理，也必須為線段BD上的任意一點，故在線段AC，BD的交點上.
解：如圖4.2-30所示，連接AC，BD，兩線段交于點P，則應該建在線段AC，BD的交點P處.
解后反思
線段的性質在日常生活中有很多應用，我們要善于抓住問題的實質，最大限度地把所學到的數學知識應用到實際生活中去.
變式訓練
8.小明打算從汽車站A去火車站F，他不知道怎么走最近，于是去問乘務員，乘務員給他畫了四條路線圖，如圖4.2-31.你認為小明應該走哪條路線(用字母表示) 為什么
易誤易混·精辨析
易錯點一數線段、射線、直線的條數時漏解
【例1】已知A，B，C三點，過其中每兩點畫直線，一劉可以畫出的直線條數為 .
解析：當A，B，C三點在同一條直線上時，可以畫1條直線，如圖4.2-32.
當A，B，C三點不在同一條直線上時，可以畫3條直線，如圖4.2-33.
所以一共可以畫1條或3條直線.
答案：1或3
防錯警示
此題易忽略A，B，C三點可能在同一條直線上的情況，因此在判斷線段、射線、直線的條數時要注意條件限制，以防漏解.
易錯點二考慮問題不全面而漏解
【例2】已知線段AB=12 cm，直線AB上有一點C，且BC=6 cm，M是線段AC的中點，求線段AM的長度.
解：當點C在線段AB上時，如圖4.2-34所示.
因為M是AC的中點，
所以AM=AC.
又因為AC=AB-BC，AB=12 cm，BC=6 cm，
所以AM=AC=(AB-BC)=×(12-6)=3(cm).
當點C在線段AB的延長線上時，如圖4.2-35所示.
因為M是AC的中點，
所以AM=AC.
因為AC=AB+BC，AB=12 cm，BC=6 cm，
所以AM=AC=(AB+BC)=×(12+6)=9(cm).
故線段AM的長度為3 cm或9cm.
防錯警示
因為題中只是說明A，B，C三點在同一條直線上，無法判斷點C是在線段AB上，還是在線段AB的延長線上，所以應分兩種情況討論.本題易因忘記分情況討論而出現漏掉一個解的錯誤.
易錯點三盲目應用線段的性質而出錯
【例3】某公司員工分別住在A，B，C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人，三個區在同一條直線上，位置如圖4.2-36所示.該公司的接送班車打算在此區間只設一個?？奎c，為使所有員工步行到?？奎c的路程之和最小，那么?？奎c的位置應設在 區.
解析：若?？吭贏區，則所有員工的步行路程之和為0+15×100+10×(100+200)=4 500(m)；
若?？吭贐區，則所有員工的步行路程之和為30×100+0+10×200=5 000(m)；
若?？吭贑區，則所有員工的步行路程之和為30>(100+200)+15×200+0=12 000(m).
綜上可知，若要使所有員工的步行路程之和最小，則停靠點應設在A區.
答案：A
防錯警示
本題易錯填B區.在解此類問題時，要分別計算出所有人到不同地點的路程的總長度，再進行比較.
真題解密·探源頭
中考真題
(新疆中考)如圖4.2-37所示，某同學的家在A處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店B，請你幫助他選擇一條最近的路線 ( )
A.A→C→D→B B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B D.A→C→M→B
解析：根據兩點之間，線段最短，可得C，B兩點之間的最短距離是線段CB的長度，所以想盡快趕到書店，那么最近的路線是A→C→F→B.
答案：B
教材原型
教材130頁習題4.2第8(1)題
如圖4.2-38，把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度有什么變化
解：把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度變短了.
命題人解密：教材習題很典型地考查了線段的性質.中考題就是針對這一考點進行設置的，通過改變題目的背景進行命題.
閱卷人解密：這類問題在中考中為基礎題，很少失分.在解決這類問題時要結合生活經驗和線段的性質來說明，體現數學知識的實用性.
高效訓練·速提能
【基礎達標】
1.下列說法中，錯誤的是 ( )
A.經過一點可以作無數條直線
B.經過兩點只能作一條直線
C.一條直線只能用一個字母表示
D.線段CD和線段DC是同一條線段
2.如果你想將一根細木條固定在墻上，那么至少需要釘子的個數為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. (廣西柳州中考)如圖4.2-39，在直線l上有A，B，C三點，則圖中線段共有 ( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
4.已知線段OA=5 cm，OB=3 cm，則下列說法正確的是 ( )
A.AB=2 cm B.AB=8 cm C.AB=4 cm D.不能確定AB的長度
5.(福建中考)已知A，B，C是數軸上的三個點，且點C在點B的右側，點A，B表示的數分別是1，3，如圖4.2-40所示.若BC=2AB，則點C表示的數是 .
6.下列說法：①延長直線AB；②延長線段M；③若AB=BC，則B是線段AC的中點；④連接兩點間的線段叫做兩點的距離；⑤射線OM和射線MO是同一條射線；⑥經過兩點只有一條直線.其中正確的有 .(填序號)
7.平面上有任意3個點A，B，C.問：
(1)一共可以畫出多少條直線
(2)以一點為端點，且經過另兩點中的一點或兩點的射線有多少條
(3)似其中兩點為端點可以畫多少條線段
8.作圖題：取不在同一條直線上的三點P，Q，R.
(1)漣接PQ，并延長至點E；
(2)連接RQ并反向延長至點F；
(3)過點R畫射線PR.
9.已知C，D兩點將線段AB分為三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中點為M，BD的中點為N，且MN=5，求AB的長.
【能力提升】
10.已知平面上有三點，經過其中的任意兩點畫直線，最多能把這個平面分成 ( )
A.4部分 B.5部分
C.6部分 D.7部分
11.(四川涼山州中考)點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點.若線段AB=12 cm，則線段BD的長為 ( )
A.10cm B.8 cm C.10 cm或8 cm D.2 cm或4 cm
12.如圖4.2-41，有一個三角形ABC，你能說出AB+BC與AC的大小關系嗎
13.如圖4.2-42，點C在線段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，M，N分別是AC，BC的中點.
(1)求線段MN的長；
(2)若C為線段AB上任意一點，滿足AC+CB=a cm，其他條件不變，你能猜想MN的長度嗎 請說明理由；
(3)若點C在線段AB的延長線上，且滿足AC=CB=b cm，M，N分別為AC，BC的中點，你能猜想MN的長度嗎 請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由.
【素養創新題】
14.通過閱讀所得的啟示來回答問題(閱讀中的結論可直接用).
閱讀：在直線上有”個不同的點，則此圖中共有多少條線段
分析：通過畫圖嘗試，得表格：
圖形 直線上點的個數 共有線段條數 兩者關系
2 1 1=0+1
3 3 3=0+1+2
4 6 6=0+1+2+3
5 10 10=0+1+2+3+4
… … … …
n =0+1+2+…+(n-1)
問題：(1)某學校九年級共有8個班進行辯論賽，規定進行單循環賽(每兩班之間賽一場)，那么該九年級的辯論賽共有多少場
(2)有一列火車，往返兩地，中途停靠13個車站，要準備多少種不同的車票
本書習題參考答案
4.2直線、射線、線段
應用能力·巧提升
1.解：(1)如答圖4.2-1所示.
(2)如答圖4.2-2所示.
(3)如答圖4.2-3所示.
2.解：(1)(2)(3)如答圖4.2-4所示.
3.C 解析：在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：相交和不相交.三條直線的位置關系如下：三條直線互相無交點；兩條直線不相交，第三條直線與它們都相交，有2個交點；三條直線兩兩相交，最多有三個交點，最少有1個交點.由題意作出圖形，如答圖4.2-5所示.
4.解：(1)共有4條，分別是射線OA，射線OB，射線OC，射線OD.
(2)共有8條，分別是線段OA，線段OB，線段OC，線段OD，線段AB，線段BC，線段AC，線段AD.
(3)線段AC.
5.(1)4 (2)1 解析：(1)DE=DB+BE=AB+BC=×3+×5=4(cm).
(2)AD=AB=(AC-2EC)=(8-2×3)=1(cm).
6.6解析：如答圖4.2-6，將4支排球隊看作直線上的4個點A，B，C，D，直線上有多少條線段就代表有多少場比賽.由圖可得，共有6條不同的線段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，故共比賽6場.
7.D解析：本題可以看成一條線段上取兩點后，有多少條線段就有多少種不同的票價.如答圖4.2-7所示，有線段AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6條，所以共有6種不同的票價.故要為該次列車制作6×2=12(種)火車票.
8.解：小明應該走如下路線：A→B→E→F.
理由：因為無論選擇哪條路線，A→B和E→F這兩段路線是必經之路，所以只需比較路線B→M→E，B→E，B→C→E，B→C→D→E的長短.根據兩點(B和E)之間，線段最短，知走B→E最近.因此，從汽車站A去火車站F走A→B→E→F這條路線最近.
高效訓練·速提能
1.C
2.B解析：兩點確定一條直線.
3.C解析：題圖中線段有AB，AC，BC，共3條.
4.D 解析：若點O，A，B在同一條直線上，則AB=2 cm或8 cm；若點O，A，B不在同一條直線上，則AB的長度有無數種情況.
5.7 解析：因為點A，B表示的數分別是1，3，所以AB=3-1=2.
設點O表示的數是0(圖略).
因為BC=2AB=4，點C在點B的右側，
所以OC=OA+AB+BC=1+2+4=7.
所以點C表示的數是7.
6.⑥ 解析：①直線沒有端點，故不能延長；②線段的表示方法有誤，應該用兩個大寫字母或一個小寫字母來表示；③若A，B，C三點不在同一條直線上，則不成立；④連接兩點間的線段的長度叫做兩點的距離；⑤射線OM和射線MO的端點不同，故不是同一射線.⑥正確.
7.解：(1)經過A，B兩點可以畫一條直線，則點C與直線AB的位置關系有：
①點C在直線AB上(如答圖4.2-8)，顯然直線CA，直線CB與直線AB是同一條直線，因此在這種情況下可以畫出1條直線.
②點C不在直線AB上(如答圖4.2-9)，根據過兩點有且只有一條直線，可以畫出3條直線，即直線AB，直線BC，直線CA.
綜上所述，給出平面上的任意3點，可以畫出1條或3條直線.
(2)當A，B，C三點在同一條直線上(如答圖4.2-8)時，以最左端一點A為端點，且經過點B，C的射線有2條：射線AB，射線AC，但這2條實際上是同一條射線.同理，以C為端點也只有1條射線符合題意，以中間一點B可以得到2條射線：射線BA，射線BC.所以可以得到4條射線.
當A，B，C三點不在同一條直線上(如答圖4.2-9)時，以點A為端點的射線有4條，其中只有2條經過點B或點C，所以以點A為端點的射線有2條符合題意.同理，以點B、點C為端點的射線也各有2條符合題意.所以共有6條射線.
綜上所述，可以畫出4條或6條滿足要求的射線.
(3)以其中兩點為端點可以畫3條線段.
8.解：(1)(2)(3)如答圖4.2-10所示.
9.解：根據題意畫出線段圖，如答圖4.2-11所示.
設AC=2x，CD=3x，DB=4x，
則.MB=AB=(AC+CD+DB)=(2x+3x+4x)=x，NB=DB=2x.
因為MN=MB-NB，
所以x-2x=5，
解得x=2.
所以AB=2x+3x+4x=18.
10.D
11.C 解析：因為點C是線段AB的中點，AB=12 cm，所以AC=BC=AB=×12=6(cm).
由題意，知點D是線段AC的三等分點，
①當AD=AC時，如答圖4.2-12，BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10(cm)；
②當AD′＝AC時，如答圖4.2-12，
BD′＝BC+CD′＝BC+AC=6+2=8(cm).
所以線段BD的長為10 cm或8 cm，故選C.
12.分析：先將AB，BC兩條線段組合在一起，看成是從A到C的一條折線，再根據“兩點之間，線段最短”來確定AB+BC與AC的大小關系.
解：AB+BC>AC.
13.解：(1)因為M，N分別是AC，BC的中點，
所以MC=AC，CN=CB.
所以MN=AC+CB=×8+×6=7(cm).
(2)若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB=a cm，其他條件不變，則MN=a cm. 理由如下：
因為M，N分別是AC，BC的中點，
所以MC=AC，CN=CB.
又因為AC+CB=a cm，
所以MN=AC+CB=(AC+CB)=a cm.
(3)如答圖4.2-13.
結論：MN=b cm. 理由如下：
因為點M，N分別為AC，BC的中點，
所以MC=AC，NC=CB.
又因為AC-CB=b cm，
所以MN=MC-NC=AC-CB=(AC-CB)=b cm.
14.解：(1)n=8，
該九年級的辯論賽場數為=28.
(2)=105.
因為每兩站之間要準備往返兩種車票，
所以需要準備210種不同的車票.
教材參考答案
4.2 直線、射線、線段
練習(第126頁)
1.解：(1)正確(2)正確(3)不正確(4)正確
2.解：如答圖4.2-1所示.
3.解：(1)點P在直線AB(或直線l)外.
(2)直線a，b，c兩兩相交，直線b，c相交于點A，直線a，b相交于點B，直線a，c相交于點C.
練習(第128頁)
1.解：(1)AB>AC；(2)AB(3)AB=AC.(檢驗略)
2.解：如答圖4.2-2所示，先作射線AM，以點A為端點，順次截取AB＝BC＝a，再以點C為端點，在射線CB上截取CD=b，則線段AD即為所求.
3.解：因為D是線段AB的中點，所以AD=AB.
因為AB=4 cm，所以AD=×4=2(cm).
義因為C是線段AD的中點，
所以CD=AD=×2=1(cm).
習題4.2(第129頁)
1.解：可以看成直線的如筆直的公路、地平線等；可以看成射線的如手電筒發出的光、流星的發光軌跡等；可以看成線段的如鉛筆、木條等.
2.解：如答陶4.2-3所示.
3.解：答圖4.2-4①中虛線部分為線段AB的延長線；
答圖4.2-4②中虛線部分為線段AB的反向延長線.
4.解：如答圖4.2-5所示.
5.解：如答圖4.2-6所示，正方形ABDC為原正方形，延長線段AB到點E，使BE=AB，延長線段CD到點F，使DF=CD，延長線段AC到點G，使CG=AC，延長線段BD到點H，使DH=BD.連接EF，GH，延長EF交GH了的延長線于點M，所畫正方形AGME的面積即是原正方形面積的4倍.
6.解：折疊后使AB，AC邊重合，然后比較兩個端點B，C所處的位置，從而確定AB，AC的長短.經折疊可知AB7.略.
8.解：(1)把原來彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長度變短了；
(2)這樣做不僅可以容納更多游人，而且延長了游人觀賞湖面風光的時間，增加了游人的路程.
道理：兩點之間，線段最短.
9.解：如答圖4.2-7.
10.解：當點C在線段AB的延長線上時，
AC＝AB+BC＝3+1＝4(cm)：
當點C在線段AB上時，
AC＝AB-BC＝3-1＝2(cm).
綜上，AC的長為4 cm或2 cm.
11.解：由于“兩點之間，線段最短”，故螞蟻要從頂點A爬行到頂點B的路線最短，只需沿線段AB爬行即可. 同樣，如果要使爬行到頂點C的路線最短，那么可將這個正方體展開，在展開圖上連接AC，沿線段AC爬行即可.
12.解：三條直線相交，最多有3個交點，四條直線相交，最多有6個交點……
規律：n(n為正整數，n≥2)條直線相交，最多有個交點.

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