資源簡介

4.3 角
4.3.1 角
基礎知識·綱解讀
知識點一角
1.角的定義
角的定義 文字描述 圖示
靜態(tài)定義 從一點O出發(fā)的兩條射線OA，OB所組成的圖形，其中點O是角的頂點，射線OA，OB是角的邊
動態(tài)定義 射線OA繞著點O旋轉到OB的位置后形成的圖形.射線OA，OB分別是這個角的始邊和終邊
注意：(1)角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，“有公共端點”和“兩條射線”這兩個條件缺一不可.
(2)角同線段一樣，可以度量，可以比較大小，也可以參與運算.
2.平角與周角
(1)平角：如果角的終邊是由角的始邊旋轉半周得到的(這時角的始邊和終邊互為反向延長線)，如圖4.3.1-1所示，這樣的角叫做平角，
1平角=180°.
(2)周角：如果角的終邊是由角的始邊旋轉一周得到的(這時角的始邊和終邊重合)，如圖4.3.1-2所示，這樣的角叫做周角，1周角＝360°.
注意：(1)平角和周角都是“角”，而不是“線”.因此不能說“一條直線就是平角”，也不能說“一條射線就是周角”.
(2)平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角的頂點處加上“”或“”標志.
(3)沒有特殊說明，我們只討論大于等于0°且小于等于180°的角.
特別提醒
(1)角的動態(tài)定義中，旋轉的方向可以是順時針，也可以是逆時針.
(2)構成角的兩個要素是頂點和兩邊，且兩邊都是射線，而不是線段.
【例1】下列說法正確的是 ( )
A.兩條射線組成的圖形叫做角
B.角是由一條線段繞著它的一個端點旋轉而成的圖形
C.有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角
D.角是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形
解析：A選項中未強調“有公共端點”，錯誤；B，C選項中說的是線段，錯誤；D選項符合角的動態(tài)定義.故選D.
答案：D
知識點二角的表示
角的表示方法 記法及注意 圖示
用三個大寫英文字母表示 記作∠AOB或∠BOA.O是角的頂點，寫在中間；A和B分別是角的兩邊上的點，寫在兩邊，可以交換位置
用一個大寫英文字母表示 記作∠O.在以點O為頂點的角只有一個時，才能用這種方法
用數字或小寫希臘字母表示 記作∠1或∠a.要在靠近頂點處加上弧線，標注上阿拉伯數字或小寫希臘字母α，β，γ等
注意：用阿拉伯數字或小寫希臘字母表示角時，一定要在圖中標出該角的位置，畫出小弧線(表示從哪邊到哪邊)并標上數字或小寫希臘字母，方可使用.
特別提醒
角的表示方法有多種，具體用哪種方法要根據角的情況具體分析.但要記住一個原則：角的表示要明確，不能使人產生誤解.
【例2】如圖4.3.1-3，寫出符合下列條件的角：
(1)能用一個大寫字母表示的角；
(2)以點B為頂點的角.
分析：(1)以點A，C為頂點的角分別只有一個，因此可用表示頂點的大寫字母A，C來表示，即∠A，∠C.
(2)以點B為頂點的角有三個，因此以點B為頂點的角必須用三個大寫字母表示.
解：(1)∠A，∠C.
(2)∠ABC，∠ABD，∠CBD.
總結
角的表示不固定，牢記兩點很容易
(1)當以某一點為頂點的角有兩個或兩個以上時，其中任意一個角都不能只用一個大寫英文字母表示.
(2)用三個大寫英文字母表示角時，一定要把表示頂點的字母寫在中間.
知識點三角的度量及換算
1.度量工具：量角器、經緯儀、測角器等.
2.度量單位
度：把一個周角360等分，每一等份是1度的角，l度記作l°.
分：把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分記作1′.
秒：把1′的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒記作1″.
用量角器可以量出任何給定度數的角.
注意：(1)以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.
(2)角的度、分、秒是60進制的，這與計量時間的時、分、秒是一樣的.
3.換算方法
(1)從高位到低位：1°＝60′，1′＝60″，1°＝3 600″.
(2)從低位到高位：1″＝()′，1′＝()°，1″=()°.
【例3】(1)把36°36′化成度的形式，
(2)把27.457 5°化成度、分、秒的形式.
解：(1)因為36′＝0.6°，所以36°36′＝36.6°.
(2)因為0.457 5°＝0.457 5×60′＝27.45′，
0.45′＝0.45×60″＝27″，
所以27.457 5°＝27°27′27″.
總結
角的換算方法
(1)將度化為度、分、秒的形式的方法：從左往右依次進行，整數度保持不變，先把不滿1度的小數部分乘60化為分，再把化成分的小數部分乘60化為秒，最后以度、分、秒的形式寫出來.
(2)將度、分、秒的形式化為度的形式的方法：a°b′c″＝(a++)°.
特別提醒
度、分、秒的相互轉化
知識點四角的畫法
角的三種常用的畫法
(1)用量角器畫出任意給定度數的角.
(2)用直尺和圓規(guī)畫一個角等于已知角.
(3)用三角尺畫30°，45°，60°，90°等特殊的角.
用三角尺可以畫出15°的整數倍的角.
【例4】用一副三角尺，你能畫出哪些大于0°而小于180°的角
解：用一副三角尺可直接畫出30°，45°，60°和90°的角.
因為15°＝45°-30°(或60°-45°)，
所以可用一副三角尺畫出15°的角.
具體操作步驟：如圖4.3.1-4，先用含45°角的三角尺畫出45°的∠AOB，再在∠AOB的內部用含30°角的三角尺畫出30°的∠AOC，則∠BOC＝15°.
同理，因為75°＝45°+30°，105°＝45°+60°，120°＝90°+30°，135°＝90°+45°，150°＝90°+60°，165°＝180°-45°+30°，
所以用一副三角尺還可以畫出75°，105°，120°，135°，150°，165°的角.
綜上，用一副三角尺可以畫出符合要求的角為15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°.
拓展
角的三種畫法的選擇
(1)若畫一個給定度數的角，則用量角器比較適合.
(2)若畫一個角等于已知角，則用直尺和圓規(guī)比較適合.
(3)若畫15°的整數倍的角，則可直接用一副三角尺進行拼合與拆分.
應用能力·巧提升
題型一確定圖形中角的個數
【例1】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，如圖4.3.1-5所示，如果過角的頂點：
(1)在角的內部作一條射線，那么圖中一共有幾個角
(2)在角的內部作兩條射線，那么圖中一共有幾個角
(3)在角的內部作三條射線，那么圖中一共有幾個角
(4)在角的內部作”條射線，那么圖中一共有幾個角
審題關鍵：按一定的順序數，做到不重不漏，由題圖可知，角的頂點固定，故可以考慮按照確定始邊，尋找終邊的方法來數.
破題思路：對于規(guī)律型的圖示，要從特殊到一般，歸納出能表示角的個數的關系式.
解：(1)在角的內部作一條射線，那么圖中一共有1+2=3(個)角，即個角.
(2)在角的內部作兩條射線，那么圖中一共有1+2+3=6(個)角，即個角.
(3)在角的內部作三條射線，那么圖中一共有1+2+3+4=10(個)角，即個角.
(4)在角的內部作n條射線，那么圖中一共有1+2+3+…+n+(n+1)=(個)角.
方法技巧
確定角的個數的方法
(1)類比法：把射線類比為點，則角就類比為線段，即運用尋找線段數的方法來求角的個數.
(2)順序尋找法：以某邊為始邊，按順序尋找角的另一邊，直至找完為止.
變式訓練
1.如圖4.3.1-6所示，以O為頂點，且小于180°的角有幾個 分別寫出這些角.
2.第1題中，以O為頂點，且為鈍角的角有幾個 分別寫出這些角.
題型二有關鐘表中角度的計算
【例2】若現在是9時20分，則鐘面上的時針與分針的夾角是 ( )
A.150° B.160° C.162° D.165°
審題關鍵：當9時20分時，時針指在數字9和數字10之間，分針指向數字4，根據每兩個數字之間相隔30°和時針1 min走0.5°可得夾角的度數.
解析：時針經過20 min所走的度數為20×0.5°＝10°，
數字4與數字9之間的夾角為5×30°＝150°，
所以鐘面上的時針與分針的夾角是150°+10°＝160°.
答案：B
方法技巧
鐘表中角的計算方法
為了研究問題方便起見，我們不妨設m時"分，兩針的夾角為a.我們知道時針每小時旋轉30°，則每分鐘旋轉()°＝()°，而分針每分鐘旋轉6°，所以兩針的夾角就是兩針旋轉的角度之差的絕對值，即a＝|（30m°）+（）°-（6n）°|，當求出的a大于180°時，兩針的夾角為360°減去上式.
變式訓練
3.鐘表上12時15分時，時針與分針的夾角為 ( )
A.90° B.82.5° C.67.5° D.60°
易誤易混·精辨析
易錯點一角的表示有誤
【例1】如圖4.3.1-7，以點A為頂點的角有幾個 把它們表示出來.
解：以點A為頂點的角有三個，分別是∠BAD，∠DAC，∠BAC.
防錯警示
當一個頂點處有多個角時，不能用表示頂點的一個大寫字母表示角.
易錯點二角度換算時出錯
(1)把26.2°轉化為度、分、秒的形式；
(2)把33°24′36″轉化成度的形式.
解：(1)26.2°＝26°+0.2°＝26°+0.2×60′＝26′+12′＝26°12′.
(2)33°24′36″=33°+24′+36″=33°+24×()°+36×()°＝33°+0.4°+0.01°＝33.41°.
防錯警示
角度是60進制，在進行角度換算時，應熟記以下關系：1°＝60′，1′＝60″，1°＝3600″和1″＝()°，1″＝()′，1′＝()°.本題易因記錯換算關系而出錯.
真題解密·探源頭
中考真題
(四川雅安中考)l.45°＝ ′.
解析：因為1°＝60′，所以1.45°＝1.45×60′＝87′.
答案：87
教材原型
教材第134頁練習第2(1)題
35°等于多少分 等于多少秒
解：35°-35×60′=2100′；
35°-35×3600″＝126 000″.
命題人解密：教材練習題考查了角的度數的換算問題.中考題就是根據這一知識點設置了題目.
閱卷人解密：解決這類問題的關鍵在于弄清度、分、秒之間的關系.考生在解答此題時往往因為忘記度、分、秒之間的進制而失分.
高效訓練·速提能
【基礎達標】
1.下列說法正確的有 ( )
①由兩條射線組成的圖形叫做角；
②平角的兩邊成一條直線；
③平角是一條直線.
A.d個 B.1個 C.2個 D.3個
2.下列四個圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的圖形是 ( )
3.將60°的角放到一個能放大10倍的放大鏡下，則該角的度數 ( )
A.擴大10倍 B.縮小到原來的
C.不變，仍是60° D.無法確定
4.下列說法正確的是 ( )
A.一個周角就是一條射線
B.平角是一條直線
C.角的兩邊越長，角就越大
D.∠AOB也可以表示為∠BOA
5.若時間是2時30分，則此時鐘面上分針、時針所成的度數是 ( )
A.120° B.105° C.75° D.90°
6.一條射線繞其端點O按逆時針方向旋轉得到∠AOB，當角的終邊OB旋轉到與角的始邊OA成一條直線時，稱∠AOB為 ；若角的終邊繼續(xù)旋轉，當角的終邊OB與角的始邊OA重合時，稱∠AOB為 .
7.上體育課時，體育老師喊“向右轉”的口令時，你轉過了 (填度數).
8.圖4.3.1-8中以OC為邊的角有 個，它們分別是 .
【能力提升】
9.(1)把26.29°轉化成用度、分、秒表示的形式；
(2)把35°48′36″轉化成用度表示的形式.
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
10.王老師去市場買菜，發(fā)現如果把10 kg的菜放到秤上，指標盤上的指針轉了180°，第二天王老師給同學們出了兩個問題：
(1)如果把0.5 kg的菜放在秤上，指針轉過多少度
(2)如果指針轉過了54°，這些菜有多少千克
11.在1時與2時之間，時鐘的時針與分針在什么時間成90°
4.3.2 角的比較與運算
基礎知識·細解讀
知識點一角的比較
名稱 方法 舉例
度量法 先用量角器量出角的度數，再比較它們的大小 用量角器量得∠a＝30°，∠β＝45°，那么∠a<∠β
疊合法 把兩個角的頂點和其中一邊分別重合，另一邊放在重合邊的同側，通過另一邊的位置關系比較大小 EF落在∠ABC的內部，那么∠ABC大于∠DEF，記作∠ABC>∠DEF
EF落在∠ABC的外部，那么∠ABC小于∠DEF，記作∠ABC<∠DEF
EF和BC重合，那么∠ABC等于∠DEF，記作∠ABC=∠DEF
特別提醒
(1)角的大小與角的兩邊畫出部分的長度無關，只與角的兩邊張開的幅度大小有關.
(2)角的大小的關系和角的度數的關系是一致的，這是從“數”的角度來進行比較的.
(3)角的大小一旦確定，它的大小就不因圖形的位置、圖形的放大或縮小而改變.
【例1】對于圖4.3.2-1中的∠ABC與∠DEF，分別用度量法和疊合法比較它們的大小.
解：度量法：用量角器量得∠ABC＝50°，∠DEF＝70°，
即∠DEF>∠ABC.
疊合法：如圖4.3.2-2.
把∠ABC放在∠DEF上，使點B和點E重合，邊EF和BC重合，ED和BA在EF的同側，從圖形可以看出AB邊落在∠DEF的內部，表明∠ABC的度數小于∠DEF的度數，即∠DEF>∠ABC.
總結
疊合法比較兩個角的大小
(1)兩重合：兩個角頂點和其中一條邊分別重合；
(2)一同側：另一邊落在重合邊的同側.
特別提醒
對于角的和(或差)的意義可以從“形”與“數”兩方面認識.“形”的方面是畫一個角等于已知角的和(或差)；“數”的方面是一個角的度數等于兩個已知角的度數的和(或差).
知識點二角的和差
名稱 文字描述 數學語言 圖示
角的和 ∠AOC是∠AOB與∠BOC的和 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
角的差 ∠AOB是∠AOC與∠COB的差 ∠AOB=∠AOC-∠COB
【例2】如圖4.3.2-3，回答下列問題：
(1)∠AOC是哪兩個角的和
(2)∠AOB是哪兩個角的差
(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC與∠DOB相等嗎 為什么
解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.
(2)∠AOB-∠AOD-∠BOD=∠AOC-∠BOC.
(3)相等.因為∠AOB=∠COD，
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠DOB.
總結
解決角的和差計算問題的關鍵是明確兩角之間的關系，要點是看一個角’是在另一個角的內部還是外部，兩個角是否有公共邊.
特別提醒
(1)角的平分線是一條射線，而不是線段或直線.
(2)角還有三等分線、四等分線等.
知識點三角的平分線
文字語言 幾何語言 圖示
從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線 OC是∠AOB的平分線，則∠AOC-∠COB=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
【例3】如圖4.3.2-4，∠AOB=90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分線，求∠BOD的度數.
解：因為∠AOB＝90°，∠BOC=60°，
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC＝90°-60°=30°.
因為OD是∠AOC的平分線，
所以∠DOC＝∠AOC=×30°＝15°.
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝15°+60°＝75°.
總結
結合角平分線求角的大小
(1)利用角平分線進行計算時，要靈活運用角平分線的幾種不同的表達方式.
(2)在計算角的大小時，常常要用到等量代換，即用已知角代替與它相等的未知角.
特別提醒
角平分線必須同時滿足三個條件：
(1)是從角的頂點引出的射線；
(2)在角的內部；
(3)將已知角平分.
特別提醒
當OD在∠AOB的內部且滿足以下情況之一時，可以判斷OD是∠AOB的平分線：
(1)∠AOD=∠BOD；
(2)∠AOD=∠AOB；
(3)∠BOD=∠AOB；
(4)∠AOB=2∠AOD；
(5)∠AOB=2∠BOD.
知識點四角度的四則運算
運算 法則 舉例
加法運算 先同級相加，再對分、秒化簡 27°26′+53°48′＝80°74′＝81°14′
減法運算 從低位算起，若同級不夠減，則向上一位借1作為60 90°-79°18′6″＝89°59′60″-79°18′6″＝10°41′54″
乘法運算 當一個角度與一個正整數相乘時，先用正整數分別與度、分、秒相乘，再把所得的積相加后化簡 18°13′×5＝90°65′＝91°5′
除法運算 當一個角度除以一個正整數時，從高位算起，余數乘60化為下一級再運算 49°8′52″÷4＝12°+68′52″÷4＝12°17′13″
特別提醒
角度的四則運算三注意
(1)注意運算順序是從高到低，還是從低到高；
(2)進位時要注意60進制；
(3)注意運算結果是否需要四舍五入.
應用能力·巧提升
題型一與角平分線有關的計算
【例1】如圖4.3.2-5，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線，∠AOD=40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度數.
審題關鍵：先結合圖形找出所求角與已知角的關系，再根據角的平分線的性質求角的度數.
破題思路：因為∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以只需利用角平分線的性質，即可求出結果.
解：因為OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
所以∠AOC=2∠AOD，∠BOC=2∠BOE.
又因為∠AOD=40°，∠BOE＝25°，
所以∠AOC=80°，∠BOC=50°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝130°.
解后反思
角度的計算首先要觀察圖形，確定幾個角之間的和差關系，有角平分線時，注意角平分線性質的運用.
變式訓練
1.如圖4.3.2-6，已知∠AOE＝90°，OD，OB分別是∠EOC和∠AOC的平分線，求∠DOB的度數.
題型二幾何圖形中角的和差的計算
【例2】如圖4.3.2-7所示，∠DOE：∠BOE=1：2，∠DOC：∠COA=1：2.如果∠AOB=120°，那么∠COE是多少度
審題關鍵：根據圖形找出各角之間的關系是解題的關鍵.
破題思路：思路1：因為∠DOE：∠BOE＝1：2，∠DOC：∠COA=1：2，所以∠BOD=∠BOE+∠DOE=3∠DOE，∠AOD=∠DOC+∠COA=3∠DOC.再利用∠AOB=∠BOD+∠AOD=120°，∠COE=∠DOE+∠DOC，即可求出∠COE的度數.
思路2：設∠DOE=x°，∠DOC=y°，即求x°+y°，易推得3(x°+y°)＝120°，故x°+y°＝40°.
解：方法1：因為∠DOE：∠BOE=1：2，∠DOC：∠COA＝1：2，
所以∠BOE=2∠DOE，∠COA=2∠DOC，
所以∠BOD=3∠DOE，∠AOD=3∠DOC.
又因為∠AOB=∠BOD+∠AOD=3∠DOE+3∠DOC=3(∠DOE+∠DOC)=3∠COE，
所以∠COE=∠AOB=40°.
變式訓練
2.如圖4.3.2-8，∠AOD＝80°，∠DOC：∠BOC：∠AOB=1：1：2，則∠AOC= (填度數).
3.如圖4.3.2-9，已知∠AOD：∠BOD=3：4，OC平分∠AOB，∠COD=10°，求∠AOB的度數.
方法2：設∠DOE＝x°，∠DOC=y°.
因為∠DOE：∠BOE＝1：2，∠DOC：∠COA=1：2，
所以∠BOE=2x°，∠COA=2y°.
因為∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA=∠AOB，
所以x°+2x°+y°+2y°=120°，
所以3(x°+y°)＝120°，所以x°+y°＝40°.
因為∠COE＝∠DOE+∠DOC，所以∠COE=x°+y°＝40°.
解后反思
對比兩種解法可以發(fā)現，在涉及比例或倍分關系的線段或角的運算中，利用方程解題可使思路清晰，步驟簡捷.在利用方程解題時，必須先找出能夠溝通題目中所有數量關系的關鍵量，再用未知數表示題目中所涉及的量，列出方程，求出未知量.
題型三與角平分線有關的探究性問題
【例3】如圖4.3.2-10，已知∠AOB=80°，ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線.
(1)當么∠AOC=30°時，求∠MON的大小；
(2)當銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時，∠MON的大小是否發(fā)生改變 請說明理由.
審題關鍵：緊扣角平分線概念的實質，研究角度之間的關系.
破題思路：(1)先根據∠AOB=80°，∠AOC=30°求出∠BOC的度數，再根據ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線求出∠COM及∠CON的大小，根據∠MON=∠COM-∠CON即可得出結論；
(2)根據∠MON-∠MOC-∠NOC，結合OM，ON分別是∠BOC和∠AOC的平分線可得，∠MON=∠AOB.又因為∠AOB=80°，是定值，所以∠MON的大小不改變.
解：(1)因為∠AOB=80°，∠AOC=30°，
所以∠BOC＝∠AOB+∠AOC=80°+30°-110°.
因為OM是∠BOC的平分線，ON是∠AOC的平分線，
所以∠COM-∠BOC=×110°＝55°，∠CON＝∠AOC-×30°＝15°，
所以∠MON=∠COM-∠CON=55°-15°=40°.
(2)不改變.理由如下：
因為ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線，
所以∠COM＝∠BOC，∠CON=∠AOC.
又因為∠AOB=80°，
所以∠MON＝∠COM-∠CON＝(∠BOC-∠AOC)＝∠AOB-40°.
變式訓練
4.如圖4.3.2-11，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線.
(1)如果∠AOC=28°，∠MON＝35°，求出∠AOB的度數；
(2)如果∠MON＝72°，求出∠AOB的度數；
(3)如果∠MON的大小改變，∠AOB的大小是否隨之改變 它們之間有怎樣的大小關系 請直接寫出來.
易誤易混·精辨析
易錯點一忽略角的不同位置造成漏解
【例1】已知∠AOB＝40°，以O為頂點，OB為邊作∠BOC＝10°，求∠AOC的度數.
解I如圖4.3.2-12①，當∠BOC在∠AOB的內部時，∠AOC＝∠AOB-∠BOC=40°-10°＝30°.如圖4.3.2-12②，當∠BOC在∠AOB的外部時，∠AOC-∠AOB+∠BOC=40°+10°＝50°.
防錯警示
由于題目中并沒有說明所作的∠BOC的具體位置，故要對∠BOC是在∠AOB的內部還是外部進行討論.凡是涉及此類問題而沒有給出圖形的，一般需要分類討論.
易錯點二對角平分線理解不清而出錯
【例2】已知∠AOB＝140°，射線OC是∠AOB內部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，下列敘述正確的是 ( )
A.∠DOE的度數不能確定
B.∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠CDD=∠DOE=70°
C.∠BOE＝2∠COD
D.∠AOD=∠EOC
解析：因為射線OC是∠AOB內部任意一條射線，OD，OE分別是∠AOC，∠BOC的平分線，所以∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB=×140°＝70°.
答案：B
防錯警示
當一個圖形中存在多條角平分線時，易因為分不清誰是誰的平分線而錯選，理解并靈活應用角平分線的概念是解決這類問題的關鍵.
高教訓練·速提能
【基礎達標】
1.如圖4.3.2-13，∠AOB＝∠COD，則 ( )
A.∠1>∠2
B.∠1＝∠2
C.∠1<∠2
D.∠1與∠2的大小無法比較
2.已知∠BAC＝80°，AD是∠BAC的平分線，AE平分∠DAC，則∠BAE的度數是 ( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
3.如圖4.3.2-14，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠1=20°，∠AOE＝88°，則∠2的度數為 ( )
A.24° B.28° C.68° D.以上都不正確
4.如圖4.3.2-15所示，其中最大的角是 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小關系是 .
5.如圖4.3.2-16，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°，∠BOC=20°，則∠COD的度數為 .
6.如圖4.3.2-17，BD平分∠ABC，BE分∠ABC為2：5兩部分，∠DBE=21°，則∠ABC＝ .
7.計算：
(1)(180°-91°32′24″)×3：
(2)34°25′×3+35°42′.
8.如圖4.3.2-18，從點O引四條射線OA，OB，OC，OD，若∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA的度數之比為l：2：3：4.求∠BOC的度數.
9.已知∠AOB=31.5°，∠BOC＝24.3°，求∠AOC的度數.
【能力提升】
10.如圖4.3.2-19，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊(點F在BC上，且不與點B，C重合)，使點C落在長方形內部點E處.若FH平分∠BFE，則么∠GFH的大小為( )
A.90°<∠GFH<180°
B.0°<∠GFH<90°
C.∠GFH＝90°
D.∠GFH隨折痕GF位置的變化而變化
11.如圖4.3.2-20，已知OM，ON分別平分∠AOC和∠COB，如果∠AOB=110°，求∠MON的度數.
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
12.如圖4.3.2-21，∠AOB＝90°，∠BOC=40°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
(1)求∠MON的度數.
(2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β(0°<β<90°)，其他條件不變，求∠MON的度數(用含α，β的式子表示).
(3)探究：從(1)(2)中你發(fā)現了什么規(guī)律
4.3.3余角和補角
基礎知識·細解讀
知識點一余角和補角
名稱 概念 圖示 性質
余角 如果兩個角的和等于90°(直角)，那么這兩個角互為余角(簡稱互余)，其中一個角是另一個角的余角 同角（等角）的余角相等
補角 如果兩個角的和等于180°(平角)，那么這兩個角互為補角(簡稱互補)，其中一個角是另一個角的補角 同角（等角）的補角相等
注意：(1)互余(或互補)都是指兩個角的數量關系，與位置無關.
(2)余角、補角是成對出現的，單獨的一個角、三個或三個以上的角之間不能說互余或互補.如當∠1+∠2+∠3＝90°時，不能說∠1，∠2，∠3互余.
特別提醒
(1)一個角的余角可以不止一個，但是它們的度數都是相等的.補角也是如此.
(2)只有銳角才有余角，一個角的余角一定是一個銳角；銳角、直角、鈍角都有補角，銳角的補角是一個鈍角，直角的補角是直角，鈍角的補角是一個銳角.
【例1】如圖4.3.3-2，∠BOC-∠BOD＝90°，OA，OF分別是∠BOC，∠BOD的平分線.寫出∠AOC的余角和補角.
解：因為OA，OF分別是∠BOC，∠BOD的平分線，所以∠AOC=∠AOB=∠BOC=45°，∠FOB＝∠FOD＝∠BOD=45°.所以∠AOD＝135°，∠COF＝135°.
根據余角和補角的定義，得∠AOC的余角是∠AOB，∠FOB，∠FOD，補角是∠AOD，∠COF.
拓展
當互補的兩個角有公共頂點，且有一邊互為反向延長線時，稱這兩個角互為鄰補角(簡稱鄰補角).如圖4.3.3-1，∠1與∠2互為鄰補角.
知識點二表示方向的角
表示方向的角就是以正北、正南方向為基準，來表示方向的，常用于航行、測繪等工作.
注意：幾個特殊的表示方向的角，如圖4.3.3-3所示.
東北方向表示北偏東45°，東南方向表示南偏東45°，
西南方向表示南偏西45°，西北方向表示北偏西45°.
【例2】已知學校、電影院、公園在平面圖上對應的點分別是A，B，C，電影院在學校的正東方向，公園在學校的南偏西25°方向，那么平面圖上的∠CAB等于 ( )
A.115° B.155° C.25° D.65°
解析：因為南北與東西方向是互相垂直的，且公園在學校的南偏西25°方向，所以容易求出∠CAB的大小.依據題意畫出草圖如圖4.3.3-4，則平面圖上的∠CAB=90°+25°＝115°.
答案：A
總結
解答與表示方向的角有關的問題需要從圖形的角度入手，找準中心，正確畫出表示方向的角是解答此類題的關鍵.
特別提醒
表示表示方向的角時習慣將南或北寫在前面，東或西寫在后面，如“南偏西30°”一般不說“西偏南60°”.
應用能力·巧提升
題型一 余角、補角的綜合運算
【例1】已知∠A與∠B互余，∠A與∠C互補，∠B與∠C的和等于周角的，求∠A+∠B+∠C的度數.
審題關鍵：用其中一個角表示出其他角，根據角之間的關系列方程求解即可.
破題思路：根據“∠B與∠C的和等于周角的”，知若把∠B和∠C用一個未知數分別表示出來，便可列出一個方程，解這個方程，就使問題得到解決.
解：設∠A的度數為α，那么∠B＝90°-α，∠C＝180°-α.
根據題意，得
(90°-α)+(180°-α)＝×360°.
解得α＝75°.
所以∠B的度數是90°-75°＝15°，
∠C的度數是180°-75°＝105°.
所以∠A+∠B+∠C＝75°+15°+105°＝195°.
變式訓練
1.已知一個銳角的余角的補角比這個銳角的補角的一半多12°，求這個銳角.
2.(一題多解)如果一個角等于它的補角的，那么這個角和它的余角各是多少度
規(guī)律總結
余角、補角的相關計算往往利用方程思想，即設一個角的度數為α，則它的余角和補角的度數分別為90°-α，180°-α，再根據題目所給的條件列方程求解.
題型二 表示方向的角的實際應用
【例2】如圖4.3.3-5，點A，O分別表示學校和市文化廣場，超市位于市文化廣場北偏西50°的方向上，且位于學校北偏東60°的方向上，畫出表示超市的點C.
審題關鍵：超市在兩條線的交點上，關鍵是找出這兩條線.
破題思路：根據表示方向的角的概念，畫出以市文化廣場為端點北偏西50°的射線和以學校為端點北偏東60°的射線，兩條射線的交點即為所求點C.
解：如圖4.3.3-6所示.
規(guī)律總結
一般地，如果點A相對于點B，C的方向角已知，那么點A的位置就可以確定.點A相對于點B，C方向所在射線的交點便是點A的位置.
變式訓練
3.如圖4.3.3-7，一只螞蟻從點O出發(fā)，沿北偏東60°方向爬行4cm后到達A地，后折向西北方向爬行3 cm到達B地.
(1)求∠OAB的度數；
(2)I測量∠OBA的度數及B地離出發(fā)點O的距離，并求出點B與點O的相對位置.
易誤易混·精辨析
易錯點一混淆互余和互補的概念而致錯
【例1】有下列說法：①鈍角與銳角互補；②∠A的余角是90°-∠A；③∠B(0°<∠B<180°)的補角是180°-∠B；④若∠1+∠2+∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余.
其中正確說法的序號為 .
解析：120°(鈍角)和30°(銳角)不互補，故①錯誤；當∠A≥90°時，它沒有余角，故②錯誤；根據補角的概念，③正確；互余是兩個角之間的關系，故④錯誤.
答案：③
防錯警示
(1)互余和互補專指兩個角之間的關系，單個、三個及三個以上的角之間不存在互余或互補的關系；(2)互余的兩角之和為90°，互補的兩角之和為180°，二者不要混淆.
易錯點二 找余角或補角時漏解
【例2】如圖4.3.3-8，直線AB，CD相交于點O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足為O.寫出圖中所有與∠AOD互補的角.
解：因為直線AB，CD相交于點O，
所以∠AOC和∠BOD均與∠AOD互補.
因為OF平分∠AOE，所以∠AOF=∠EOF.
因為OF⊥CD，所以∠COF=∠DOF=90°，
所以∠DOE=∠AOC，
所以∠DOE也是∠AOD的補角，
所以與∠AOD互補的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
防錯警示
互余和互補是兩角之間的數量關系，而非位置關系，解答此類問題時，只需要考慮兩角的度數和，不要忽略不相鄰的角.
真題解密·探源頭
中考真題
(山東日照中考)一個角是70°39′，則它的余角的度數是 .
解析：因為互為余角的兩個角的和為90°，
所以這個角的余角的度數是90°-70°39′＝19°21′.
答案：19°21′
教材原型
教材第139頁練習第2題
一個角是70°39′，求它的余角和補角.
解：90°-70°39′＝19°21′，
180°-70°39′＝109°21′.
答：它的余角是19°21′，補角是109°21′.
命題人解密：教材練習題考查了互余和互補的概念，中考題就是根據這一知識點設置了題目，但只考查了互余的概念.
閱卷人解密：解決此類問題的關鍵在于弄清互余的概念，即兩個角的和為90。，要注意與互補概念的區(qū)分.
高效訓練·速提能
【基礎達標】
1.如圖4.3.3-9所示，∠AOB＝∠COD＝90°，則∠AOC-∠BOD，這是根據 ( )
A.同角的余角相等
B.直角都相等
C.同角的補角相等
D.互為余角的兩個角相等
2.下列說法正確的是 ( )
A.90°的角是余角
B.如果一個角有補角，那么它一定有余角
C.若∠1+∠2+∠3＝180°，則∠1，∠2，∠3互補
D.等角的余角一定相等
3.若兩個角的大小之比是7：3，它們的差是36°，則這兩個角的關系是 ( )
A.相等 B.互余 C.互補 D.無法確定
4.如果∠A既有余角，又有補角，那么∠A是( )
A.銳角 B.直角 C.鈍角 D.平角
5.已知：島P位于島Q的正西方，由島P，Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上.符合條件的示意圖是 ( )
6.(湖北十堰中考)如圖4.3.3-10，將一副三角尺重疊放在一起，使直角頂點重合于點O.若∠AOC=130°，則∠BOD＝ ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.(四川自貢中考)如果一個角的度數比它補角的2倍多30°，那么這個角的度數是 ( )
A.50° B.70° C.130° D.160°
8.如圖4.3.3-11，已知∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則∠1與∠A是否相等 請說明理由.
【能力提升】
9.如圖4.3.3-12，已知∠EOC是平角，OD平分么取比，在平面上畫射線OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC＝50°，則∠AOB的度數是 .
10.已知∠1和∠2互補，∠3和∠2互余，試說明：∠3＝(∠1-∠2).
11.如圖4.3.3-13所示，已知∠AOB是一個平角，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°.
(1)圖中哪些角是相等的(至少寫出兩對)
(2)圖中哪些角是互余的(至少寫出三對)
(3)圖中哪些角是互補的(至少寫出三對)
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
12.如圖4.3.3-14所示，∠AOB，∠COD都是直角.
(1)試猜想∠AOD和∠BOC在數量上是否存在相等、互余或互補關系，并說明你的猜想的正確性；
(2)當∠COD繞點O旋轉到如圖4.3.3-15所示的位置時，你的猜想還成立嗎 為什么
本書習題參考答案
4.3角
4.3.1 角
應用能力·巧提升
1.解：9個.從邊OE開始，按順時針方向數：
∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA.
2.解：4個.從邊OE開始，按順時針方向數：∠EOC，∠EOB，∠DOB，∠DOA.
3.B解析：鐘表上共有12個大格，每大格為30°.鐘表上12時15分時，分針指向鐘面上的數字3，時針從數字12開始走了個大格，時針與分針相隔個大格，故夾角為×30°＝82.5°.
高效訓練·速提能
1.B
2.B解析：A選項不能用∠O表示，C選項也不能用∠O表示，D選項∠1和∠O(或∠AOB)表示的不是同一個角.
3.C解析：角的大小僅與角的兩邊張開的幅度有關.放大之后角的兩邊張開的幅度大小沒有變，所以角度大小不變.
4.D解析：周角和射線，以及平角和直線是完全不同的概念.角的大小和角兩邊的長度無關.用三個大寫的英文字母表示角時，應該把表示頂點的字母寫在中間，其余兩個字母無順序性.
5.B解析：因為時針在鐘面上每分鐘轉過0.5°，分針每分鐘轉過6°，所以時間是2時30分時，時針與分針的夾角是20×6°-30×0.5°＝105°.
6.平角 周角 7.90°
8.3 ∠DOC，∠BOC，∠AOC
9.解：(1)26.29°
＝26°+0.29°
＝26°+0.29×60′
＝26°+17.4′
=26°+17′+0.4×60″
=26°17′+24″
＝26°17′24″.
(2)35°48′36″
＝35°+48′×()°+36″×()°
＝35°+0.8°+0.01°
＝35.81°.
1|0.解：(1)＝18°，0.5×18°＝9°，
所以0.5 k的菜放到秤上，指針轉過9°.
(2)54°÷18°＝3，
所以菜的質量為3 kg.
11.解：根據時針每分鐘轉過0.5°，而分針每分鐘轉過6°可知，1時時，時針與分針成30°.設時針在1時x分時，時針與分針成90°.
當時針在分針的后面時，
6x-30-0.5x＝90，
解得x=21.
所以時鐘的時針與分針在1時21分時成90°.
當分針在時針的后面時，
360-6x+30+0.5x＝90，
解得x=54.
所以時鐘的時針與分針在1時54分時成90°.
綜上可得，時鐘的時針與分針在1時21分或1時54分時成90°.
4.3.2角的比較與運算
應用能力·巧提升
1.解：因為OD平分∠EOC，OB平分∠AOC，所以∠DOC=∠EOC，∠BOC=∠AOC，
所以∠DOB=∠DOC+∠BOC=∠EOC+∠AOC=(∠EOC+∠AOC)=×∠AOE=×90°＝45°.
2.60° 解析：設∠DOC＝x°，則∠BOC＝x°，∠AOB＝2x°，所以∠AOD＝x°+x°+2x°＝80°，解得x=20.
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x°＝60°.
3.解：設∠AOD＝3x°，則∠BOD＝4x°，
∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝7x°.
因為OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠AOB＝x°，
所以∠COD-∠AOC-∠AOD-x°-3x°＝x°，
所以x°＝10°，所以x＝20，
所以∠AOB＝7x°＝140°.
4.解：(1)因為OM是∠AOC的平分線，∠AOC＝28°，
所以∠COM＝∠AOC＝×28°＝14°.
因為∠MON＝35°，
所以∠CON＝∠MON-∠COM＝35°-14°＝21°.
因為ON是∠BOC的平分線，
所以∠BOC＝2∠CON＝2×21°＝42°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝28°+42°＝70°.
(2)因為OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
所以∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠COM+2∠CON=2∠MON.
又因為∠MON=72°，
所以∠AOB＝2×72°＝144°.
(3)∠AOB的大小隨∠MON的大小的改變而改變，∠AOB＝2∠MON.
高效訓練·速提能
1.B 解析：由∠AOB＝∠COD，得∠AOB-∠BOD＝∠COD-∠BOD，即∠1＝∠2.
2.D 解析：因為AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×80°＝40°.
又因為AE平分∠DAC，
所以∠DAE＝∠DAC=×40°＝20°.
所以∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝40°+20°＝60°.
3.A 解析：因為OB平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠1.
因為∠1=20°，所以∠AOC＝40°.
因為∠AOE＝88°，
所以∠COE=48°.
因為OD平分∠COE，
所以∠2＝∠EOC＝24°.
故選A.
4.∠DOA ∠DOA>∠DOB>∠DOC
5.38° 解析：因為OB平分∠AOC，∠BOC=20°，
所以∠AOC＝2∠BOC=40°.
因為∠AOD＝78°，所以∠COD＝∠AOD-∠AOC＝38°.
6.98° 解析：設∠ABE＝2x°，則∠EBC＝5x°，∠ABC=7x°.因為BD平分∠ABC，所以∠ABD＝3.5x°，所以∠DBE＝∠ABD-∠ABE＝1.5x°＝21°，所以x=14.當x=14時，∠ABC=7x°＝98°.
7.解：(1)(180°-91°32′24″)×3
=88°27′36″×3
=264°81′108″
=265°22′48″.
(2)34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′.
8.解：設∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA的度數分別為x°，2x°，3x°，4x°.
由題意，得
x°+2x°+3x°+4x°＝360°，
解得x=36.
所以∠BOC-2x°＝72°.
9.解：分兩種情況：(1)如答圖4.3.2-1①，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝31.5°+24.3°＝55.8°.
(2)如答圖4.3.2-1②，∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝31.5°-24.3°＝7.2°.
10.C 解析：由折疊可知，∠CFG＝∠EFG，且由題意，知FH平分∠BFE，所以∠GFH=∠EFG+∠EFH=∠EFC+∠EFB=(∠EFC+∠EFB)=×180°＝90°.故選C.
11.解：因為OM，ON分別平分∠AOC和∠COB，所以∠COB=2∠CON，∠AOC=2∠COM，所以∠AOB=∠COB+∠AOC=2∠CON+2∠COM=2(∠CON+∠COM)=2∠MON.
又因為∠AOB=110°，
所以∠MON=∠AOB＝55°.
12.解：(1)因為OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠MOB＝∠AOB＝45°，么∠BON＝∠BOC＝20°，
所以∠MON=∠MOB+∠BON=65°.
(2)由(1)可知，∠MON=∠MOB+∠BON=(∠AOB+∠BOC)=(α+β).
(3)在已知條件不變時，∠MON總是等于∠AOB與∠BOC和的一半.
4.3.3余角和補角
應用能力·巧提升
1.解：設這個銳角為x°，依題意，得180-(90-x)=(180-x)+12，解得x=8，所以這個銳角為8°.
2.解：方法l：設這個角的度數是“，則它的補角是180°-α，余角是90°-α.
依題意，得α＝(180°-α)，解得α＝30°.
故這個角是30°，它的余角是60°.
方法2：設這個角的補角的度數是α，則這個角的度數是α.
依題意，得α+α=180°，解得α=150°.
α＝×150°＝30°.
故這個角是30°，它的余角是60°.
3.解：(1)從點O到點A是往北偏東60°方向，故從點A往點O看是南偏西60°方向，即西偏南30°方向.
所以∠OAB＝30°+45°＝75°.
(2)測得∠OBA約為63°，OB約為4.3 cm，則∠AOB≈180°-75°-63°＝42°.
而60°-42°＝18°，
所以B地在點O的北偏東18°方向，距離點O約為4.3 cm的位置.
高效訓練·速提能
1.A
2.D 解析：余角是相對于兩個角來說的，單個角構不成余角，故A選項錯誤；大于或等于90°的角有補角，但沒有余角，故B選項錯誤；補角是相對于兩個角來說的，三個角不能說互為補角，故C選項錯誤；等角的余角一定相等，故D選項正確.故選D.
3.B 解析：設這兩個角分別是7x°，3x°.
根據題意，得7x-3x＝36，
解得x=9，所以7x°+3x°＝63°+27°＝90°，
所以這兩個角的關系是互余，故選B.
4.A 解析：由∠A有余角，得0°<∠A<90°；①由∠A有補角，得0°<∠A<180°. ②由①②，得0°<∠A<90°，即∠A是銳角.
5.D解析：先畫出P，Q兩點，再分別以P，Q為參照點畫南偏東30°方向的射線和南偏西45°方向的射線，交點記為R.可知D選項正確.
6.C 解析：因為∠AOC=130°，所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB=40°，所以∠BOD＝∠COD-∠BOC＝50°.故選C.
7.C 解析：設這個角是x°.
根據題意，得x=2(180-x)+30，解得x=130.即這個角的度數為130°.故選C.
8.解：∠1＝∠A.理由如下：
因為∠B＝90°，所以∠A+∠ACB＝90°.
因為∠ACB+∠ACE+∠1＝180°，
∠ACE＝90°，
所以∠ACB+∠1＝180°-∠ACE=90°.
所以∠1-∠A(同角的余角相等).
9.115°或15° 解析：(1)如答圖4.3.3-1①，
當點A在OC的左側時.
因為OD平分∠BOC，∠BOC＝50°，
所以∠COD=∠BOC=×50°＝25°.
因為∠AOC和∠COD互余，
所以∠AOC=90°-25°＝65°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC=65°+50°＝115°.
(2)如答圖4.3.3-1②，當點A在OC的右側時，同理可得∠AOC=65°，
則∠AOB＝∠AOC-∠BOC＝65°50°=15°.
10.解：由題意，得∠2+∠3＝90°，∠1+∠2＝180°，
所以2(∠2+∠3)-∠1+∠2，
故可得，∠3＝(∠1-∠2).
11.解：(1)∠AOD與∠COE，∠COD與∠BOE，∠BOC與∠AOC，∠DOE與∠BOC，∠DOE與∠AOC(任選兩對即可).
(2)∠COE與∠BOE，∠COE與∠COD，∠AOD與∠BOE，∠AOD與∠COD(任選三對即可).
(3)∠BOE與∠AOE，∠BOC與∠AOC，∠BOD與∠AOD，∠COE與∠BOD，∠COD與∠AOE，∠EOD與∠BOC，∠EOD與∠AOC(任選三對即可).
12.解：(1)∠AOD與∠BOC互補.
因為∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD，
所以∠AOD+∠BOC=90°+∠BOD+90°-∠BOD＝180°，
所以∠AOD與∠BOC互補.
(2)∠AOD與∠BOC互補仍然成立.
如答圖4.3.3-2所示，作射線OA的反向延長線OE。
因為∠AOB+∠BOE＝180°，
所以∠BOE＝90°.
又因為∠COD=90°，所以∠BOE=∠COD.
所以∠BOC＝∠DOE.
因為∠AOD+∠DOE＝180°，
所以∠AOD+∠BOC＝180°，
即∠AOD與∠BOC互補.
教材參考答案
4.3 角
思考(第132頁)
平角，周角.
練習(第134頁)
1.解：180°；120°；75°.
2.解：(1)35°＝35×60′＝2 100′；
35°＝35×3 600″＝126 000″.
(2)38°15′和38.15°不相等，
38°15′＝38.25°>38.15°.
3.略.
思考(第134頁)
共有三個角：∠AOB，∠BOC，∠AOC.
它們的關系為∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=∠AOC-∠BOC，
∠BOC=∠AOC-∠AOB.
探究（第135頁）
30°，45°，60°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°.
練習(第136頁)
1.解：估計∠1<∠2；∠1＝∠2.檢驗略.
2.解：360°÷8＝45°，即把一個蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；
360°÷15°＝24，即如果要使每份中的角是15°，那么這個蛋糕應等分成24份.
3解：∠AOC＝=90°，
∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′＝58°32′.
練習(第138頁)
1.解：10°的角和80°的角互為余角，30°的角和60°的角互為余角；10°的角和170°的角互為補角，30°的角和150°的角互為補角，60°的角和120°的角互為補角，80°的角和100°的角互為補角.
2.解：90°-70°39′＝19°21′，
180°-70°39′＝109°21′.
答：它的余角是19°21′，補角是109°21′.
3.解：根據題意，得180°-∠α＝3∠α，解得∠α=45°.
4.解：一個角是鈍角，則它的一半是銳角，且是大于45°而小于90°的銳角.
習題4.3(第139頁)
1.解：時針旋轉出一個平角至少要用6個小時，旋轉出一個周角至少要用12個小時.
點撥：時針每小時轉動一個大格，即旋轉出一個30°的角，180°÷30°＝6，360°÷30°＝12.
2.略.
3.解：(1)48°39′+67°31′＝116°10′.
(2)21°17′×5＝106°25′.
4.＝ >
5.解：因為BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
所以∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠ECB.
又因為∠DBC=∠ECB=31°，
所以∠ABC＝2×31°＝62°，
∠ACB＝2×31°＝62°.
所以∠ABC＝∠ACB.
6.(1)∠AOC (2)∠AOD (3)∠BOC (4)∠BOD
7.解：測量方法：反向延長射線OA，并在延長線上取一點C，測量出∠BOC的度數后，求它的補角的度數，即為∠AOB的度數.
點撥：根據平角的定義，知∠AOC＝180°，所以∠AOB+∠BOC=180°，量得∠BOC的度數后就可以計算出∠AOB的度數.
8.解：如答圖4.3-1所示.
(1)射線OA表示北偏西30°；
(2)射線OB表示南偏東60°；
(3)射線OC表示北偏東15°；
(4)射線OD表示西南方向(南偏西45°).
9.解：(1)因為OB是∠AOC的平分線，且∠AOB=40°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°.
因為OD是∠COE的平分線，
且∠DOE＝30°，
所以∠DOC=∠DOE=30°.
所以∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝40°+30°＝70°.
(2)因為∠COD＝30°，OD是∠COE的平分線，
所以∠COE=2∠COD=60°.
因為∠AOE＝140°，
所以∠AOC＝∠AOE-∠COE=140°-60°＝80°.
又因為OB是∠AOC的平分線，
所以∠AOB＝∠AOC=×80°＝40°.
10.解：360°÷15＝24°，
所以15個齒的齒輪每相鄰兩齒中心線間的夾角是24°；
360°÷22≈16°22′.
所以22個齒的齒輪每相鄰兩齒中心線間的夾角約是16°22′.
11.解：題圖(1)中的∠α與∠β互余；
題圖(4)中的∠α與∠β互補；
題圖(2)和題圖(3)中的∠α與∠β相等.
12.解：如答圖4.3-2所示，點C即為船的位置.
13.解：(1)90°÷2=45°，即這兩個角都是45°.
(2)設一個銳角為x°，則它的余角為90°-x°，補角為180°-x°，則(180°-x°)-
(90°-x°)＝90°，所以一個銳角的補角比這個角的余角大90°.
14.解：圖略.畫出不同的四邊形且每個四邊形中都有30°，90°，105°的角，經過測量，這些四邊形的另一個角都是135°，可以發(fā)現：四邊形的四個內角的和為360°.
15.解：(1)經測量，∠1+∠2+∠3＝360°，畫出幾個類似的圖，量出的角的度數的和仍是360°，由此發(fā)現：三角形的外角和為360°.
(2)經測量，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，畫出幾個類似的圖，量出的角的度數的和仍為360°，可以發(fā)現：四邊形的外角和為360°.
綜合(1)(2)，可以猜想：任意多邊形的外角和都為360°.
復習題4(第147頁)
1.解：這幾個立體圖形的名稱分別為四棱柱(長方體)、六棱柱、三棱柱、圓柱、圓錐、四棱錐、五棱錐、球.
2.解：a—F；b—D；c—A；d—E；e—C；f—B
3.解：答圖4-l①為觀察第一個立體圖形所得到的平面圖形，答圖4-1②為觀察第二個立
體圖形所得到的平面圖形，答圖4-1③為觀察第三個立體圖形所得到的平面圖形.
4.(1)D (2)C
5.解：乙尺不是直的.理由：如果乙尺是直的，那么過A，B兩點就有兩條直線，這與“兩點確定一條直線”是矛盾的.
6.解：由題意，知
AB=AD-BD=76-70＝6(mm)，
BC＝BD-CD＝70-19＝51(mm).
答：AB和BC的長分別為6 mm和51 mm.
7.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
解析：(1)中根據補角的定義，180°減去銳角，差一定是鈍角.(2)中一個角的范圍不確定，這個角可以是銳角，還可以是直角，還可以是鈍角，如果這個角是100°，那么它的補角是80°，80°<100°.(3)中根據補角的性質解題.(4)中如鈍角120°和銳角30°不互補.
8.解：因為∠α和∠β互為補角，
所以∠β＝180°-∠α.
又因為∠β的一半比∠α小30°，
所以(180°-∠α)＝∠α-30°，
解得∠α＝80°，∠β＝100°.
9.A
10.解：第1個圖形可以折疊成四棱柱；第2個圖形不能折疊成棱柱，因為折疊后兩個底面重合在一起，另一端沒有底面；第3個圖形可以折疊成三棱柱；第4個圖形不能折疊成棱柱，因為折疊后只有側面，沒有底面.
11.解：畫圖略.量得AB的長約為10.5 cm.
設A，B兩地的實際距離為x m.
根據題意，得，解得x=105.
答：A，B兩地的實際距離約為105 m.
12.解：因為E是線段AB上一點，
所以∠AEB=180°.
又因為∠BEM=∠MEF，∠AEN=∠NEF，
所以∠NEM=∠NEF+∠MEF
=∠AEF+∠BEF
=(∠AEF+∠BEF)
=×180°＝90°.
13.提示：準確測量，并按方向的正確表示方法寫出測量結果.
14.解：經測量發(fā)現：EF＝GH，FG＝HE；
∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∠3+∠4＝180°，∠4+∠1＝180°，且∠1＝∠3，
∠2＝∠4.
可以猜想：順次連接各邊中點得到的四邊形的對邊相等、對角相等、鄰角互補.
15.解：連接AC，BD，兩條線段的交點即為所求的點O.理由：兩點之間，線段最短.舉例略.

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