資源簡介

第一章 有理數(shù)
1.1 正數(shù)和負數(shù)
基礎(chǔ)知識·細解讀
0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).
知識點一正數(shù)和負數(shù)的概念
注意：正數(shù)和負數(shù)在書寫時的區(qū)別：正數(shù)前的“+”號可以省略，負數(shù)前的“-”號一定不能省略!
【例1】(山東臨沂中考)四個數(shù)-3，0，1，2，其中負數(shù)是( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
解析：-3是在正數(shù)3的前面加了“-”號的數(shù)，故-3是負數(shù).
答案：A
總結(jié)
緊扣兩個點，正負數(shù)分類更便捷
(1)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).
(2)除0外，先判斷是不是正數(shù)，不是正數(shù)即為負數(shù).
拓展
(1)“+”“-”的雙重意義：
①作為運算符號是加、減號；
②作為數(shù)的性質(zhì)符號是正、負號.
(2)帶“+”號的數(shù)不一定是正數(shù)，帶“-”號的數(shù)也不一定是負數(shù)，如+(-3)就不是正數(shù)，-(-5)也不是負數(shù).(以后會學(xué)到)
知識點二用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量
1.具有相反意義的量
(1)在現(xiàn)實生活中，表示相反意義的詞語有很多，如下表：
收入 盈利 上升 零上 增加 向東 …
支出 虧損 下降 零下 減少 向西 …
(2)具有相反意義的量的表示：如上升5 m與下降3 m.
注意：(1)具有相反意義的量必須是成對出現(xiàn)的，單獨一個量不能成為具有相反意義的量.
(2)具有相反意義的量必須具備兩個條件：一是兩個量所表示的屬性相同，即表示的是同一類對象，也就是說這兩個量的單位相同；二是兩個量所表示的意義恰好相反.
2.用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量的方法
為了區(qū)別具有相反意義的量，把其中一種意義的量規(guī)定為正，用正數(shù)表示，那么與之具有相反意義的量用負數(shù)表示.
特別提醒
具有相反意義的量必須是同類量，如盈利8 000元與出口200箱就不是具有相反意義的量.
注意：(1)具有相反意義的量的正負性是相對的，且是可以互換的，如若向東3 m記為+3 m，則向西5 m記為-5 m；若向東3 m記為-3 m，則向西5 m記為+5 m.
(2)用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正是可以任意選擇的，但習(xí)慣上把“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負.
【例2】 (1)孔子出生于公元前551年，如果用-551年表示，那么司馬遷出生于公元前145年可表示為 年，歐陽修出生于公元1007年可表示為 年；
(2)如果+20％表示人數(shù)增加20％，那么-6％表示人數(shù) .
解析：(1)題目規(guī)定公元前年份用負數(shù)表示，則公元后年份用正數(shù)表示.
(2)用“+”表示“增加”，則用“-”表示“減少”，故-6％表示減少6％.
答案：(1)-145 +1007 (2)減少6％
特別提醒
(1)具有相反意義的量和具有相反意義的關(guān)鍵詞語有關(guān)，與后面的數(shù)字無關(guān).
(2)除百分比外，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，要寫上單位，這一點極易被忽略.
總結(jié)
用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量的“三步法”
第1步：找，即找出問題中具有相反意義的量；
第2步：定，即確定把其中的一個量規(guī)定為“+”；
第3步：寫，即用正數(shù)或負數(shù)表示其他具體數(shù)量或說明數(shù)表示的意義.
知識點三對“0”的認識
1.表示沒有
例如，0個蘋果.
2.某種量的基準
例如，0℃不是表示沒有溫度，而是表示在標準大氣壓下，水開始結(jié)冰的溫度.
3.分界點
0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界點.
【例3】下列關(guān)于“0”的說法正確的個數(shù)是 ( )
①0是正數(shù)和負數(shù)的分界點；
②0只表示“什么也沒有”；
③0可以表示特定的意義，如0℃等；
④0是正數(shù)；
⑤0是自然數(shù)；
⑥0是非負數(shù).
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：0除了可以表示“無”的意義，還有其他意義，故②錯誤，③正確；
0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故④錯誤；①⑤⑥顯然正確.
答案：B
拓展
“非正數(shù)”就是“不是正數(shù)”，包括負數(shù)和0；“非負數(shù)”就是“不是負數(shù)”，包括正數(shù)和0.
應(yīng)用能力·巧提升
題型一正數(shù)和負數(shù)在實際生活中的應(yīng)用
角度1 用正數(shù)和負數(shù)表示具體數(shù)量
【例1】在一次數(shù)學(xué)測驗中，七(1)班全體同學(xué)的平均分為85分，其中5名同學(xué)的成績分別為80分、98分、90分、84分、73分.以平均分為基準，用正數(shù)表示超出部分，用負數(shù)表示不足部分.
(1)上面5名同學(xué)對應(yīng)的成績分別應(yīng)記為多少
(2)另有2名同學(xué)的成績分別記為+3分和0分，這2名同學(xué)的實際成績是多少
審題關(guān)鍵：用正數(shù)和負數(shù)表示每名同學(xué)的成績與平均成績的關(guān)系時，要明確正數(shù)與負數(shù)所表示的意義.
破題思路：比平均成績高的記為正數(shù)，高1分記作+1分，依此類推；比平均成績低的記為負數(shù)，低1分記作-1分，依此類推；若和平均成績相同，則記作0分.
解：(1)80分比平均成績低5分，記作-5分；
98分比平均成績高13分，記作+13分；
90分比平均成績高5分，記作+5分；
84分比平均成績低1分，記作-1分；
73分比平均成績低12分，記作-12分.
(2)+3分表示比平均成績高3分，即該同學(xué)的成績?yōu)?8分；
0分表示與平均成績相同，即該同學(xué)的成績?yōu)?5分.
過程釋疑：
①確定一個成績比平均成績高或低多少，即可用正數(shù)或負數(shù)表示這個成績.
解后反思
火眼金睛明辨“0”的實際意義
(1)對于0，要注意它在實際問題中所表示的意義，如本例第(2)問中，0分表示這個同學(xué)的成績與平均成績相同，而不是表示這個同學(xué)未得分.
(2)弄清問題中的基準量“0”的意義，明確用正數(shù)和負數(shù)表示的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題.
變式訓(xùn)練
1.張玉同學(xué)的身高是1.50 m，李素素同學(xué)的身高是1.62 m，汪美同學(xué)的身高是1.65 m.如果以張玉同學(xué)的身高為基準，用正數(shù)表示超出部分，用負數(shù)表示不足部分，那么李素素同學(xué)的身高是 m，汪美同學(xué)的身高是 m.如果以李素素同學(xué)的身高為基準，用正數(shù)表示超出部分，用負數(shù)表示不足部分，那么張玉同學(xué)的身高是 m，汪美同學(xué)的身高是 m.
2.小明練習(xí)書法，以每天寫50個字為標準，超出部分記為正，不足部分記為負.他某一周中每天的寫字情況為+8，-5，+12，0，-4，-3，+15，請你寫出他這一周每天實際寫了多少個字，并求出這一周他一共寫了多少個字.
角度2 用正數(shù)和負數(shù)表示誤差范圍
【例2】(浙江金華中考)圖1.1-1是加工零件的尺寸要求，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品(單位：mm)，其中不合格的是 ( )
A.Φ45.02 B.Φ44.9
C.Φ44.98 D.Φ45.01
審題關(guān)鍵：題圖中有零件尺寸要求Φ，先據(jù)此確定零件合格尺寸的范圍，再判斷各數(shù)是否在此范圍內(nèi).
解析：由題圖可知，45表示標準直徑為45 mm，+0.03表示最多比標準直徑多0.03 mm，即最大直徑為45.03 mm，0.04表示最多可以比標準直徑少0.04 mm，即最小直徑可為44.96 mm，所以生產(chǎn)出來的零件尺寸在44.96～45.03 mm范圍內(nèi)都是合格的.在各選項給出的尺寸中，因為44.9<44.96，所以這個尺寸的產(chǎn)品是不合格的.
答案：B
3.某飲料公司生產(chǎn)一種碳酸飲料，飲料瓶上標有“600±20(mL)”字樣，那么“±20 ml。”是什么含義 質(zhì)監(jiān)局抽查了5瓶該產(chǎn)品，容量分別為603 mL，611 mL，580 mL，622 mL，570 mL，問：抽查的飲料容量是否合格
方法技巧
定好誤差范圍再判斷
(1)用“+”或“-”表示物體的長度、質(zhì)量等的范圍時，首先要明確以何為標準，然后根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的意義確定符合要求的范圍，運用小學(xué)學(xué)過的數(shù)的大小比較方法即可確定給出的數(shù)是否符合要求.
(2)“+”號在運算時可以看成加號，“-”號在運算時可以看成減號.
題型二有關(guān)正數(shù)和負數(shù)的規(guī)律探究題
【例3】(遼寧丹東中考)觀察下列數(shù)據(jù)：-2，，-，，-，…，它們
是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第11個數(shù)據(jù)是 .
審題關(guān)鍵：根據(jù)數(shù)的先后順序分析數(shù)的符號變化規(guī)律及去掉符號以后數(shù)字的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律寫出要求的數(shù).由于除-2外的數(shù)都是分數(shù)，故可考慮將-2化成分數(shù)形式.
解析：觀察各數(shù)的排列規(guī)律可知，第奇數(shù)個數(shù)的符號為“- ”，第偶數(shù)個數(shù)的符號為“+”.
由于-2=-，而2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1，26=5×5+1……從而可知分母部分與數(shù)的次序相同，而分子部分比這個數(shù)的分母與分母的積大1.
故第11個數(shù)為-=-.
答案：-
變式訓(xùn)練
4.觀察下列依次排列的一列數(shù)，它們的排列有一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出后面的數(shù).
(1)-1，2，-3，4，-5，6， ， ， ，…；
（2）1，-，，-，，-，，-， ， ， ，….
解后反思
“雙管齊下”，看透數(shù)的變化規(guī)律
數(shù)的變化規(guī)律要從符號和數(shù)字兩個方面進行觀察，若是分數(shù)還要分別從分子、分母兩部分進行觀察，由特殊到一般是解決這類問題的主要方法.
易誤易混·精辨析
易錯點一 對正數(shù)、負數(shù)和0的概念把握不準
【例1】下列說法正確的有 ( )
①不帶“-”號的數(shù)都是正數(shù)；①
②任意一個正數(shù)，前面加上“-”號，就是一個負數(shù)；
③0既是非負數(shù)，也是非正數(shù)；
④常數(shù)a既是正數(shù)，也是負數(shù).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析：②符合負數(shù)的概念，正數(shù)前面加上“-”號就是負數(shù)，故正確；非負數(shù)是0和正數(shù)，非正數(shù)是0和負數(shù)，故0既是非負數(shù)，也是非正數(shù)，故③正確.
答案：B
防錯警示
①林帶“-”號的數(shù)不一定都是正數(shù)，如0就不是正數(shù).
②常數(shù)a可以是正數(shù)、負數(shù)或0，但一個數(shù)不可能同時是正數(shù)和負數(shù).
易錯點二對具有相反意義的量的理解出現(xiàn)偏差
【例2】在下列各組量中具有相反意義的量的是 ( )
A.足球比賽勝5場與負5場
B.向東走3千米與向南走3千米
C.增產(chǎn)10 t糧食與減產(chǎn)-10 t糧食
D.下降與上升
解析：勝5場與負5場滿足具有相反意義的量的特征，A選項正確；向東與向南意義并不相反，所以B選項錯誤；增產(chǎn)與減產(chǎn)表示相反意義，但增產(chǎn)記為正，則減產(chǎn)-10 t就是增產(chǎn)10 t的意思，故C選項錯誤；下降與上升只是具有相反的意義，并沒有涉及量，故D選項錯誤.
答案：A
防錯警示
解決此題的關(guān)鍵是要理解“正”和“反”的相對性，在理解“增產(chǎn)10 t糧食與減產(chǎn)-10 t糧食”這一選項時，難點就是理解“-”就是減產(chǎn)的意思.
真題解密·探源頭
中考真題
(廣西河池中考)如果收入10元記作+10元，那么支出10元記作 ( )
A.+20元 B.+10元 C.-10元 D.-20元
解析：收入和支出是具有相反意義的量.如果收入10元記作+10元，那么支出10元記作-10元.故選C.
答案：C
教材原型
教材第4頁練習(xí)第3題
如果水位升高3 m時水位變化記作+3 m，那么水位下降3 m時水位變化記作 m，水位不升不降時水位變化記作 m.
解析：如果水位升高3 m時水位變化記作+3 m，那么水位下降3 m時水位變化記作-3 m，水位不升不降時水位變化記作0 m.
答案：-3 0
命題人解密：教材練習(xí)題很典型地考查了用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量，中考題就是針對這一知識點進行設(shè)置，通過改變題目的背景進行命題.
閱卷人解密：這類問題在中考中為基礎(chǔ)題，很少失分.在求解時要注意兩點：(1)表示具有相反意義的量的屬性相同，意義相反；(2)確定其中一個量用正數(shù)表示，則另一個量就用負數(shù)表示.
中考真題
(四川攀枝花中考)下列各效中，不是負數(shù)的是 ( )
A.+2 B.3 C.- D.-0.10
解牛：-2，-，-0.10這三個數(shù)都是負數(shù)，選項B種的3是正數(shù)，不是負數(shù).
答案：B
教材原型
教材第5頁習(xí)題1.1第l題
下面各數(shù)哪些是正數(shù)，哪些是負數(shù)
5，-，0，0.56，-3，-25.8，，-0.000 1，+2，-600.
解：正數(shù)：5，0.56，，+2；
負數(shù)：-，-3，-25.8，-0.000 1，-600.
命題人解密：教材習(xí)題考查了正數(shù)和負數(shù)的概念，中考題也是考查這一知識點，不同的是中考題直接判斷負數(shù)，沒有考查到“0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)”.
閱卷人解密：這類問題雖然簡單，但在對“0”歸類時易出現(xiàn)錯誤，要注意0是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù).
高效訓(xùn)練·速提能
【基礎(chǔ)達標】
1.(甘肅天水中考)四個數(shù)-3，0，1，π中的負數(shù)是 ( )
A.-3 B.0 C.1 D.π
2.(四川成都中考)《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù).若氣溫為零上10℃記作+10℃，則-3℃表示氣溫為 ( )
A.零上3℃ B.零下3℃
C.零上7℃ D.零下7℃
3.(福建中考)2020年6月9日，我國全海深自主遙控潛水器“海斗一號”在馬里亞納海溝刷新了我國潛水器下潛深度的紀錄，最大下潛深度達10 907 m.假設(shè)以馬里亞納海溝所在海域的海平面為基準，記為0 m，高于馬里亞納海溝所在海域的海平面100 m的某地的高度記為+100 m，根據(jù)題意，“海斗一號”下潛至最大深度10 907 m處，該處的高度可記為 m.
4.某水文站以24 m為標準水位，規(guī)定高于標準水位記為正，低于標準水位記為負.記錄表上有3次記錄分別為+2.5 m，0 m，-1.6 m，這三次記錄表示的實際水位分別是 .
5.一潛水艇所在高度是-800 m，如果它下潛l00m，那么此時它所在的高度是 .
6.下列各數(shù)中，哪些是正數(shù) 哪些是負數(shù)
+2 017，0.35，-，-3.06，0，-4，3.14.
【能力提升】
7.(湖南株洲中考)一實驗室檢測A，B，C，D四個元件的質(zhì)量(單位：g)，超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，結(jié)果如圖所示，其中最接近標準質(zhì)量的元件是 ( )
8.某糧店出售的三種品牌的面粉袋上分別標有“凈含量為(25±0.1)k”“凈含量為(25±0.2)kg'“‘凈含量為(25±0.3)kg'’的字樣，從中任意取出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差 ( )
A.0.8 kg B.0.6 kg
C.0.5 kg D.0.4 kg
9.觀察下列依次排列的數(shù)的規(guī)律，完成填空：
(1)1，-3，5，-7，9，-11， ， ， .
（2）-，，-，，-， ， ， .
【素養(yǎng)創(chuàng)新題】
10.某種股票上周末的收盤價格是10.00元，李先生買了2 000股，本周一到周五的這種股票的收盤情況如下表(單位：元)：(“+”表示股票比前一天上漲，“-”表示股票比前一天下跌)
上周末收盤價 周一 周二 周三 周四 周五
10.00 +0.28 -0.36 +0.38 -0.35 +0.25
(1)周三這種股票的收盤價是多少元
(2)本周末的收盤價與上周末收盤價相比是怎樣變化的
(3)李先生在本周五將股票全部賣出，若不考慮其他因素，請分析李先生在本次股票買賣過程中的盈虧情況.
本書習(xí)題參考答案
1.1正數(shù)和負數(shù)
應(yīng)用能力·巧提升
1.+0.12 +0.15 -0.12 +0.03
2.解：以寫50個字為標準，超出部分記為正，不足部分記為負，
所以這一周每天的寫字情況應(yīng)為50+8，50-5，50+12，50+0，50-4，50-3，50+15，即他這一周每天實際寫字情況為58個、45個、62個、50個、46個、47個、65個.
58+45+62+50+46+47+65＝373(個)，
所以這一周他一共寫了373個字.
3.解：“+20 mL”表示比600mL多20 mL，“-20 mL”表示比600 mL少20 mL，也就是說容量在(600-20)mL至(600+20)mL，即580 mL至620 mL這個范圍內(nèi)，飲料都是合格的.
抽查的5瓶飲料中，570 mL的少于580 mL，622 mL的多于620 mL，這2瓶飲料不合格，其余3瓶都是合格的.
4.(1)-7 8 -9 (2) -
解析：(1)中的符號規(guī)律是“-”“+”依次出現(xiàn)，數(shù)字規(guī)律是連續(xù)的自然數(shù)；(2)中的符號規(guī)律是“+”“-”依次出現(xiàn)，數(shù)字規(guī)律是：分子是l，分母是連續(xù)的奇數(shù).
高效訓(xùn)練·速提能
1.A 2.B 3.-10 907
4.26.5 m，24 m，22.4 m
解析：根據(jù)題意，得+2.5 m，0 m，-1.6 m三次記錄表示的實際水位分別是26.5 m，24 m，22.4 m.
5.-900 m解析：潛水艇所在高度是-800 m，是以水平面為基準，水平面以下用負數(shù)來表示，-800 m表示潛水艇在水平面以下800 m處，再下潛100 m，潛水艇在水平面以下900 m處，所以記為-900 m.
6.解：正數(shù)：+2 017，0.35，3.14；
負數(shù)：-，-3.06，-4.
7.D解析：A元件比標準質(zhì)量多1.2 g，B元件比標準質(zhì)量少2.3 g，C元件比標準質(zhì)量多0.9 g，D元件比標準質(zhì)量少0.8 g.經(jīng)比較，D元件最接近標準質(zhì)量.
8.B解析：根據(jù)面粉袋上標的這些凈含量，可以算出這三種面粉的質(zhì)量最小的為24.7 k，最大的為25.3 k，所以質(zhì)量最多相差25.3-24.7＝0.6(k).
9.(1)13 -15 17 (2) -
解析：(1)觀察這一列數(shù)，不考慮符號，數(shù)字都是奇數(shù)，第奇數(shù)個數(shù)都是正數(shù)，第偶數(shù)個數(shù)都是負數(shù).(2)這一列數(shù)的分母分別為2，3，4，…，分子相應(yīng)的為1，2，3，…，并且第奇數(shù)個數(shù)為負數(shù)，第偶數(shù)個數(shù)為正數(shù).
10.解：(1)10.00+0.28-0.36+0.38
＝10.00+0.66-0.36
＝10.00+0.30
＝10.30(元).
答：周三這種股票的收盤價是10.30元.
(2)10.30-0.35+0.25
＝10.55-0.35
＝10.20(元).
10.20-10.00＝0.20(元).
答：本周末的收盤價與上周末收盤價相比，上漲0.20元.
(3)0.20×2 000＝400(元).
答：稀利400元.
教材參考答案
1.1正數(shù)和負數(shù)
問題(第2頁)
3，1.8％，3.5表示的實際意義分別是零上3攝氏度，產(chǎn)量增長1.8％，收入3.5元.
問題(第3頁)
增長-6.4％表示減少6.4％.
既不增長也不減少的情況下，增長率是0，即這一年的商品進出口總額與上一年相同.
練習(xí)(第3頁)
l_解：2010年，2009年，2008年我國全年平均降水量比上年的增長量分別是+108.7mm，-81.5 mm，+53.5 mm.
2.解：這個物體又移動了-1 m的意思是這個物體又向左移動了1 m.這時物體回到了原來的位置.
思考(第4頁)
教材左圖中的正數(shù)和負數(shù)的含義是：A地高于海平面4 600 m，B地低于海平面100m.教材右圖中正數(shù)和負數(shù)分別表示存入2 300.00元和支出1 800.00元.舉例略.
練習(xí)(第4頁)
1.解：讀數(shù)略.正數(shù)有2.5，+，120；
負數(shù)有-1，-3.14，-1.732，-.
2.向西走60 m
3.-3 0
4.+126(或126) -150
習(xí)題1.1(第5頁)
1.解：正數(shù)有5，0.56，警，+2；
負數(shù)有-，-3，-25.8，-0.000 1，-600.
2.解：(1)0.08 m表示水面高于標準水位0.08 m；-0.2 m表示水面低于標準水位0.2 m.
(2)水面低于標準水位0.1 m用-0.1 m表示；水面高于標準水位0.23 m用+0.23 m(或0.23 m)表示.
3.解：說法不對.不是正數(shù)的數(shù)可以是0，不一定是負數(shù)；不是負數(shù)的數(shù)可以是0，不一定是正數(shù).
4.解：這個物體又移動+5 m，表示又向前移動5 m.這時物體離它兩次移動前的位置為0 m，即回到了它兩次移動前的位置.
5.解：七次測量的平均值是
＝80(m).
以平均值為標準，超出部分用正數(shù)表示，不足部分用負數(shù)表示，七次測得的數(shù)據(jù)可分別表示為-0.6 m，+0.6 m，+0.8 m，-0.9 m，0 m，-0.4 m，+0.5 m.
6.解：氫原子中的原子核所帶電荷可以用+1表示，氫原子中的電子所帶電荷可以用-1表示.
7.解：第二天0時的氣溫是零下1℃.
8.解：服務(wù)出口額增長的國家有中國、意大利；服務(wù)出口額減少的國家有美國、德國、英國、日本.意大利的增長率最高，日本的增長率最低.

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