資源簡介

1.3有理數的加減法
1.3.1 有理數的加法
基礎知識·細解讀
知識點一有理數的加法
1.有理數的加法法則
類型 方法或結果
同號兩數相加 取相同的符號，并把絕對值相加
異號兩 數相加 絕對值 不相等 取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
互為相反數 結果為0
一個數與0相加 結果為原數
特別提醒
有理數的加法可分為以下四種情況：①同號加；②異號加；③“相反”加；④與0加.每種情況要注意和的符號及絕對值的確定.
2.有理數的加法運算步驟
注意：兩負數相加時，不要漏掉負號.
巧記口訣
有理數加法口訣
同號相加一邊倒；
異號相加“大”減“小”，
符號跟著“大”的跑，
絕對值相等“零”正好；
數零相加變不了.
其中“大”“小”指兩個數絕對值的大小.
【例1】計算：
(1)(-16)+(+9)；
(2)(+4.6)+(-5.7)；
(3)(-)+(+)；
(4)(-7)+0.
解：(1)(-16)+(+9)=-(16-9)=-7.
(2)(+4.6)+(-5.7)=-(5.7-4.6)=1.1.
(3)(-)+(+)=0.
(4)(-7)+0=-7.
拓展
互為相反數的另一種表示方法：
a，b互為相反數a+b=0.
總結
有理數的加法要抓住兩“關鍵”
運用有理數的加法法則進行加法運算時，有兩大關鍵：一是確定和的符號；二是利用絕對值的和或差進行計算.
知識點二有理數的加法運算律
有理數加法運算律主要包括加法交換律和結合律.
運算律 文字語言 符號語言
加法交換律 有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變 a+b=b+a
加法結合律 有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變 (a+b)+c=a+(b+c)
【例2】計算：(1)(-6)+8+(-4)+12；
(2)(-3.5)+(-)+(-)+(+)+0.75+(-).
解：(1)(-6)+8+(-4)+12
=[(-6)+(-4)]+(8+12)
=-10+20
=10.
（2）（-3.5）+(-)+(-)+(+)+0.75+(-)
=[(-3.5)+(+)]+[(-)+0.75]+[(-)+(-)]
=0+0+(-)
=-.
特別提醒
交換加數的位置時，一定注意應連南符號一起交換，即帶著“符號”搬家.
巧記口訣
多數相加要記住，
先看有無相反數，
正加正，負加負；
再看能否湊整數；
易通分的放一處，
兩數結合添括號.
總結
有理數的加法運算律中的“五法”
在運用有理數加法運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到簡化的目的，通常有下列規律：
(1)互為相反數的兩數，可先加——相反數結合法；
(2)符號相同的數，可先加——同號結合法；
(3)分母相同的分數，可先加——同形結合法；
(4)幾個數相加能得到整數的，可先加——湊整法；
(5)帶分數相加時，可先拆成整數和分數，再利用加法運算律相加——拆項結合法.
應用能力·巧提升
題型一有理數的加法與數軸的綜合應用
【例1】若有理數a，b，c在數軸上的位置如圖1.3.1-1所示，則下列結論中，錯誤的是 ( )
A.a+b<0 B.b+c<0
C.a+b+c<0 D.|a+b|=a+b
審題關鍵：先結合數軸提供的信息判斷出有理數的符號及絕對值的大小關系，再運用有理數的加法運算法則分析判斷.
解析：根據有理數a，b，c在數軸上的位置可知，
a>0，b<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，
所以a+b<0是正確的，b+c<0也是正確的，
a+b+c<0也是正確的.①
因為|a+b|>0，而a+b<0，所以選項D是錯誤的.
答案：D
過程釋疑：
①由a+b<0，c<0，可轉化為兩個負數相加，和為負.
解后反思
在數軸上，利用數形結合思想，一般可讀出三個方面的信息：
(1)對應點所表示的數是正數還是負數；
(2)對應點到原點的距離，即絕對值的大小；
(3)對應點表示的數的大小關系，即數軸上的數從左往右越來越大.
變式訓練
1.已知有理數a，b，c在數軸上的對應點如圖1.3.1-2所示，則
(1)|a+b|= ；
(2)|a+c|= .
2.根據圖1.3.1-3中表示有理數a，b，c的點在數軸上的位置，試確定下列各式的符號.
(1)(-a)+b；
(2)a+b；
(3)(-b)+(-c).
題型二有理數加法與絕對值的綜合應用
【例2】已知|a|=5，|b|=3，a審題關鍵：有絕對值的可考慮先解絕對值，即求a，b的值.
破題思路：先解絕對值，再根據a解：由|a|=5，|b|=3，
得a=±5，b=±3.
因為a當a=-5，b=3時，
a+b=(-5)+3=-2；
當a=-5，b=-3時，
a+b=(-5)+(-3)=-8.
變式訓練
3.已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理數a，b，c在數軸上的位置如圖1.3.1-4所示，計算
a+b+c的值.
解后反思
本題考查了有理數的加法和絕對值的性質，在計算過程中，不要漏解.
變式訓練
4.某輛出租車一天下午以公園為出發地在東西方向上行駛，規定向東走為正，向西走為
負，行車里程(單位：km)依先后次序記錄如下：+9，-5，-3，+6，-7，+10，-6，-4，+4，+3，+7.
(1)將最后一名乘客送到目的地時，出租車離公園多遠 在公園的什么方向
(2)若出租車每千米耗油量為0.1 L，則這輛出租車這天下午耗油多少升
題型三有理數的加法在實際中的應用
【例3】某超市一星期內每天的盈利或虧損情況如下：+853.5元，+237.2元，-325元，+138.5元，-280元，-520元，+103元.這一星期內該超市是盈利還是虧損 盈利或虧損多少元
審題關鍵：通常正數表示盈利，負數表示虧損.
破題思路：將七天的盈利、虧損相加，和為正數表示盈利，和為負數則表示虧損.
解：(+853.5)+(+237.2)+(-325)+(+138.5)+(-280)+(-520)+(+103)
=[(+853.5)+(+237.2)+(+138.5)+(+103)]+[(-325)+(-280)+(-520)]
=(+1 332.2)+(-1 125)
=+207.2(元).
答：這一星期內該超市是盈利，盈利207.2元.
解后反思
實際問題巧轉化
解答本題的關鍵是利用轉化思想把實際問題轉化為數學問題，先將盈利、虧損問題轉化為求各數的和，再通過和的正負判斷是盈利還是虧損.
題型四有理數加法運算律的探究題
【例4】計算：(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-99)+100.
審題關鍵：仔細觀察算式，找出每兩個數之間計算結果的規律.
破題思路：(-1)+2=1，(-3)+4=1，…，(-99)+100=1，發現這個算式是由100÷2=50個1相加得到的.
解：(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-99)+100
=
=50.
規律總結
探究運算規律巧解題
探究規律時，一般先要從幾個不同的方面入手分析其特點，再匯總起來得出結論，即分組組合法.例如，本題就是將每兩個數組合在一起，簡化了運算的過程.
變式訓練
5.計算：
1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+2013+(-2014)+(-2015)+2016+2017+(-2018)+(-2019)+2020.
易誤易混·精辨析
易錯點一計算時忘記先確定和的符號
【例1】計算：(+3.2)+(-4.6).
解：(+3.2)+(-4.6)
=-(4.6-3.2)
=-1.4.
防錯警示
絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較
小的絕對值，而不是把絕對值相加.因此，進行有理數的加法運算，一定要按照“一觀察、二定號、三求和(或差)”的步驟細心計算.
易錯點二對帶分數拆項時出現錯誤
【例2】計算：-5+(-9)+(-3)+17.
解：原式=[（-5）+(-)]+[（-9）+(-)]+[（-3）+(-)]+(17+)
=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(-)+(-)+(-)+]
=0+(-)
=-.
防錯警示
幾個帶分數相加時，把整數部分和分數部分拆開后分別相加是一種簡便算法，但要注意
對帶分數拆項時，易出現符號錯誤，如錯將-5，-9和-3分別拆成了-5+，-9+和-3+.其實帶分數的符號所“管轄”的不僅是前面的整數，也包括后面的分數，所以-5=-5+（-），-9=-9+(-)，-3=-3+(-)，
真題解密·探源頭
中考真題
(浙江麗水中考)下列四個數中，與-2的和為0的數是 ( )
A.-2 B.2 C.0 D.-
解析：因為-2的相反數是2，所以與-2的和為0的數是2，故選B.
答案：B
教材原型
教材第24頁習題1.3第11(4)題
填空：
12+ ＝0.
解析：根據互為相反數的兩個數的和等于0可知，與12的和為0的數是-12.
答案：-12
命題人解密：教材習題很典型地考查了互為相反數的兩個數的和為0，中考題就是針對這一考點進行設置.
閱卷人解密：這類問題在中考中為基礎題，很少失分.在求解時要注意：互為相反數的兩個數和為0.
高效訓練·速提能
1.7+(-3)+(-4)+18+(-11)＝(7+18)+[(-3)+(-4)+(-11)]是應用了 ( )
A.加法交換律
B.加法結合律
C.分配律
D.加法交換律與結合律
2.下列各組運算結果符號為負的有 ( )
(+)+(-)，(-)+(+)，(-3)+0，(-1.25)+(-)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
3.若a與1互為相反數，則|a+l|等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.有理數a，b在數軸上的位置如圖1.3.1-5所示，則a+b的值 ( )
A.大于0 B.小于0
C.小于a D.大于b
5.計算：
(1)0.75+(-2)+(+0.125)+(-12)+(-4);
(2)-3+2+(-5).
6.一只螞蟻從原點出發來回爬行，爬行的各段路程依次為+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10.
回答下列問題：
(1)螞蟻最后是否回到出發點；
(2)在爬行過程中，如果每爬一個單位長度獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻
【能力提升】
7.若兩個數的和為負數，則這兩個數一定 ( )
A.同正 B.同負
C.一正一負 D.至少有一個負數
8.計算：-1+3-5+7-9+11-…-97+99= .
9.若｜a｜=｜-8｜，則a= ；若｜m｜=6，且m<0，則｜m-4｜= .
【素養創新題】
10.小明寫作業時不慎將墨水滴在了數軸上，根據圖1.3.1-6中的數值，判定墨跡蓋住部分的整數的和是 .
1.3.2有理數的減法
基礎知識·細解讀
知識點一有理數的減法
1.有理數的減法法則
減去一個數，等于加這個數的相反數.
用字母表示：a-b=a+(-b).
注意：在進行有理數減法運算時，減數與被減數不能互換，即減法沒有交換律.
減去一個數等于加這個數的相反數.
2.有理數的減法運算步驟
第1步：把減號變為加號(改變運算符號)；
第2步：把減數變為它的相反數(改變性質符號)；
第3步：按照有理數的加法法則進行計算.如
【例1】計算：
(1)(-3)-(+7)；
(2)-(-)；
(3)(-2)-；
(4)0-(-5).
解：(1)(-3)-(+7)=(-3)+(-7)=-10.
(2)-(-)
=+=.
(3)(-2)-
=(-2)+(-)=-3.
(4)0-(-5)=0+5=5.
總結
轉化思想本領大
小學學過的減法運算是在非負數范圍內進行的，且被減數要大于或等于減數；利用有理數的減法法則，可以把任意兩個有理數的減法轉化為加法，也就是說有理數的減法運算總是能進行的.
特別提醒
注意轉化有“兩變”“一不變”：兩變：一是將運算符號“-”變成“+”，二是把減數符號改變，即減數變成它的相反數；一不變：被減數和減數的位置不變.
拓展
在有理數的減法中，當減數為正數時，差一定小于被減數；當減數為負數時，差一定大于被減數.
知識點二省略算式中的括號和加號
1.依據：有理數減法法則.
2.方法：
3.省略寫法：在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式.
(-12)+(-8)+(-6)+(+5)=-12-8-6+5.
4.和式讀法：對于算式“-12-8-6+5”，有兩種讀法：
(1)把各個數前面的符號看作這個數的性質符號，按這個式子表示的意義來讀，可讀作“負12、負8、負6、正5的和”；
(2)把各個數前面的符號看作運算符號，按照算式的意義來讀，可讀作“負12減8減6加5”.
注意：加號可以省略，但必須保留性質符號.省略加號的和式中的每一個數連同它的性質符號可以看成一項，都是和式中的一個加數.
特別提醒
第一個加數的符號只能讀作“正”或“負”，而不能讀作“加”或“減”.
【例2】把(-6)-(-3)+(-2)-(+6)寫成省略括號的和的形式是 ，讀作： 或 .
解析：首先應把這個式子中的減法轉化為加法，然后寫成省略括號的和的形式.(-6)-(-3)+(-2)-(+6)=(-6)+(+3)+(-2)+(-6)=-6+3-2-6.這個式子讀作“負6、正3、負2、負6的和”或讀作“負6加3減2減6”.
答案：-6+3-2-6 負6、正3、負2、負6的和 負6加3減2減6
知識點三有理數加減混合運算
1.有理數加減混合運算方法
根據有理數的減法法則，把減法轉化成加法，加減混合運算也就轉化成了連加.有理數加減混合運算實質就是有理數的加法運算.
特別提醒
進行有理數加減混合運算時，應有斜理地按步驟進行，不要隨意地酬步，否則容易出錯.
2.有理數加減混合運算步驟
應用能力·巧提升
題型一 有理數的加減法法則
角度1 法則的判斷與理解
【例1】下列說法中，正確的是 ( )
A.如果兩個數的和為負數，那么這兩個數都是負數
B.若減數大于被減數，則減法運算無法進行
C.零減去一個數，仍得這個數
D.一個數減去這個數的相反數，等于這個數的兩倍
審題關鍵：根據有理數加、減法的法則逐項分析、判斷.
解析：雖然兩個負數的和還是負數，但當一個正數與一個負數相加，且負數的絕對值大于正數的絕對值時，和也為負數；當0與一個負數相加時，和也是負數，故A項錯誤.有理數的減法可轉化為加法來進行，當減數大于被減數時也可以進行計算，故B項錯誤.零減去一個數，等于零加上這個數的相反數，結果為這個數的相反數，故C項錯誤.一個數減去這個數的相反數，根據減法法則可知等于這個數再加上這個數，結果為這個數的兩倍，故D項正確.
答案：D
解后反思
終于“夠減”啦!
引進負數后，對于任何兩個有理數都可以求出其差，不存在“不夠減”的問題，并有如下結論：
大數減小數，差為正數；小數減大數，差為負數；
某數減去零，差為該數；零減去某數，差為該數的相反數；
相等的兩數相減，差為零.
變式訓練
1.下列說法，其中正確的有 ( )
①只有兩個正數的和才可能是正數；
②減去一個負數等于加上這個負數的相反數；
③兩數的和不可能比這兩個加數都小；
④正數減負數，差為正數；
⑤兩數相減，差不一定小于被減數.
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
角度2 有理數的減法與數軸的綜合應用
【例2】(山東威海中考改編)有理數a，b在數軸上的位置如圖1.3.2-1所示，則|a|-|b|可化簡為 ( )
A.a-b B.b-a
C.a+b D.-a-b
審題關鍵：觀察數軸，確定a，b的正負是解題的關鍵.
解析：由有理數a，b在數軸上的位置可知，a>0，b<0，則|a|-|b|=a-(-b)=a+b.
故選C.
答案：C
解后反思
數形結合是我們解題常用的一種方法，解決本題還要熟悉大數減小數差為正，小數減大數差為負的規律.
2.有理數a，b在數軸上的位置如圖1.3.2-2所示，下列結論正確的是 ( )
A.a-b<0
B.-a-b<0
C.a-(-b)>0
D.-a-(-b)<0
3.如圖1.3.2-3，數軸上A，B兩點分別表示有理數a，b，則下列結論正確的是 ( )
A.a>-1 B.a-b>0
C.a+b>0 D.|a|-|b|>0
題型二有理數的加減混合運算
【例3】計算：
(1)12+7-3-12-6+3-7-9+5：
(2)5.4-(-10.3)+(-9.5)-(+7.4)-(-2.7)+3.5；
(3)3.76-39-5+68-4.76-2+1；
(4)-2+(-2)+(-5).
審題關鍵：按有理數加減混合運算的方法計算，先根據每個算式中各加數的特點，判斷能否運用交換律和結合律簡化運算.
破題思路：(1)發現12與-12，7與-7，-3與3分別互為相反數，把它們分別結合在一起比較簡便；
(2)先把算式寫成省略加號和括號的和的形式，再把和為整數的兩個數結合在一起進行計算；
(3)仔細觀察各個加數，可以發現兩個小數的和是-1，兩個整數的和是29，三個分數的和通分后也不難算，所以把整數、分數、小數分別分為一組；
(4)式子中是幾個帶分數的加減運算，可先把各數的整數部分與分數部分分離，重新組合再加減.
解：(1)原式=12-12+7-7-3+3-6-9+5
=0+0+0-15+5
=-10.
(2)原式=5.4+(+10.3)+(-9.5)+(-7.4)+(+2.7)+3.5
=5.4+10.3-9.5-7.4+2.7+3.5
=5.4-7.4+10.3+2.7-9.5+3.5
=-2+13-6
=5.
(3)原式=(3.76-4.76)+(-5-2+1)+(-39+68)①
=-1+(-6)+29=22.
(4)原式=-2--2--5-②
＝(-2-2-5)+(---)
＝-9+(-)
＝-9.
過程釋疑：
①為便于計算，可交換加數的位置后把需要結合在一起的加數放在括號前是“+”號的括號內.
②把三個帶分數-2，-2，-5分別拆分成-2-，-2-，-5-，這樣使運算簡化.
變式訓練
4.計算：
(1)(-15)+(+19)-(+16)-(-7)+(-23)+(+24)；
(2)-15.63-3.15+15.20+3.15+0.43-2；
(3)-0.125-0.75-++1；
(4)-1+2+1-2.
帶分數拆項時易出現符號錯誤.
方法技巧
加減混合，有律可循
有理數的加減混合運算常需用到加法的交換律、結合律，把加數結合時有一定技巧，常用的規律有：
(1)幾個整數相加，可分別把正數、負數相加；
(2)把互為相反數的兩個數結合在一起；
(3)把能湊成整數的數結合在一起；
(4)把整數、分數、小數先分組再相加；
(5)把整數部分和分數部分分別相加.
題型三 有理數加減混合運算在實際中的應用
【例4】某集團公司對所屬甲、乙兩分廠上半年經營情況記錄(其中“+”表示盈利，“-”表示虧損，單位：億元)如下表：
分廠 月份
一 二 三 四 五 六
甲廠 -0.1 -0.4 +0.3 0 +1.2 +l.1
乙廠 +1.1 -0.7 -1.5 +0.8 -1.0 +0.7
(1)二月份乙廠比甲廠多虧損多少億元
(2)分別計算上半年甲、乙兩個分廠盈利或虧損多少億元.
(3)上半年甲廠比乙廠多盈利(或虧損)多少億元
審題關鍵：根據表格讀出上半年每個月份甲廠和乙廠的盈虧情況，根據具體問題列出相應算式計算.
破題思路：(1)由表格可得出二月份乙廠虧損0.7億元，甲廠虧損0.4億元，由此可得出結果.
(2)將甲、乙兩個分廠每個月的盈利或虧損相加即可得出結果.
(3)用上半年甲廠盈利或虧損的數據減去乙廠盈利或虧損的數據可作出判斷.
解：(1)(-0.7)-(-0.4)=-0.3(億元).
答：二月份乙廠比甲廠多虧損0.3億元.
(2)甲廠：(-0.1)+(-0.4)+(+0.3)+0+(+1.2)+(+1.1)
=[(-0.1)+(-0.4)]+[(+0.3)+(+1.2)]+(+1.1)
=(-0.5)+(+1.5)+(+1.1)
=+2.1(億元)；
乙廠：(+1.1)+(-0.7)+(-1.5)+(+0.8)+(-1.0)+(+0.7)
=[(-0.7)+(+0.7)]+[(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.5)+(-1.0)]
=(+1.9)+(-2.5)
=-0.6(億元).
答：上半年甲廠盈利2.1億元，乙廠虧損0.6億元.
(3)(+2.1)-(-0.6)=2.1+0.6=2.7(億元).
答：上半年甲廠比乙廠多盈利2.7億元.
變式訓練
5.圖1.3.2-4是某市未來一周中每天的最高氣溫和最低氣溫的天氣預報，回答下列問題：
(1)該市未來一周的最高氣溫和最低氣溫分別是多少
(2)未來一周中，該市周幾的溫差最大 最大是多少
方法技巧
加減混合解決實際問題，讀題列式最關鍵
有理數的加減運算及其混合運算在實際生活中有著廣泛的應用，解決這類問題時要注意讀懂題意，正確列出算式，這是解題的關鍵所在.在求解時要能恰當運用運算律來簡化運算，還要注意結果所表達的實際意義.
題型四有理數加減運算的規律探索題
【例5】計算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2017+2018-2019-2020.
審題關鍵：利用加法結合律解決此類問題，根據問題特點靈活分組.
破題思路：把若干個數相加湊成相等的數(本題可以湊成-4，4或0等)，從中找出解題規律.
解：方法1(所分組結果均為-4)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2017+2018-2019-2020
=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+(2017+2018-2019-2020)
=
=
=-2020.
方法2(所分組結果均為4)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-1l-12+…+2017+2018-2019-2020
=1+2+(-3-4+5+6)+(-7-8+9+10)+…+(-2015-2016+2017+2018)-2019-2020
=3+4×504-2019-2020
=3+2016-2019-2020
=-2020.
方法3(所分組結果均為0)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-1l-12+…+2017+2018-2019-2020
=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(2018-2019-2020+2021)-2021
=1+0×505-2021
=1-2021
=-2020.
過程釋疑：
①2018-2019-2020＝2018-2019-2020+2021-2021-(2018-2019-2020+2021)-2021.這是為了湊分組，所以加上2021又減去2021.
變式訓練
6.觀察下列各式：
＝1-，
＝-，
＝-，
……
(1)請根據以上式子填空：
①＝ ；
②＝ (n是正整數).
(2)由以上幾個式子及所找到的規律計算：
+++…+.
解后反思
靈活運用運算律。加減混合變容易
對于有多個有理數參與的加減混合運算，不要急著逐個計算，先通過觀察找出規律，按規律結合或分組，每組結果要盡可能相等，這樣運算更簡便.
易誤易混·精辨析
易錯點 進行有理數加減運算時符號易錯
【例1】計算：
(1)-3.2+0.6；(2)--.
解：(1)-3.2+0.6=-(3.2-0.6)①＝-2.6.
（2）--＝-(+)②＝-.
防錯警示
①判斷出結果的符號為“-”后，再進行絕對值的減法，此處3.2-0.6必須加括號，避免出現-(3.2+0.6)的錯誤；
②既可以先用減法法則轉化為加法運算，也可直接看作-與-的和，即兩個負數相加，要避免出現-(-)的錯誤.
【例2】計算：(-1.5)-(-2)+2.75-(+6).
解：（-1.5）-(-2)+2.75-(+6)
=(-1.5)+(+2.25)+2.75+(-6.5)①
＝-1.5+2.25+2.75-6.5
＝-1.5-6.5+2.25+2.75②
＝-8+5
＝-3.
防錯警示
①把分數化為小數，可使計算簡便，但要注意分數和小數的互化方法，此外，把減法變為加法時，不要出現符號錯誤；
②利用交換律交換加數的位置時，要連同前面的符號一起移動，不要出現只移動數而沒有移動符號的錯誤.
真題解密·探源頭
中考真題
(天津中考)計算(-2)-5的結果等于 ( )
A.-7 B.-3 C.3 D.7
解析：(-2)-5-(-2)+(-5)=-(2+5)＝-7.
答案：A
教材原型
教材第23頁練習第1(5)題
計算：(-2.5)-5.9.
解：(-2.5)-5.9＝(-2.5)+(-5.9)＝-(2.5+5.9)＝-8.4.
命題人解密：教材練習題很典型地考查了有理數的減法運算.這種形式的運算是中考的熱點，中考題就是針對這一考點進行設置，不同的是把兩個加數都換成了整數，降低了解題難度.
閱卷人解密：這類問題在中考中為基礎題，很少失分.在求解時要結合相關法則進行運算，注意和的符號.解這類基礎題時切不可粗心大意，若出現錯誤往往都是粗心造成的.
高效訓練·速提能
【基礎達標】
1.(江蘇南通中考)計算｜-1｜-3，結果正確的是 ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
2.把(+12)-(-18)+(-7)-(+15)寫成省略括號和加號的形式是 ( )
A.12-18-7+15 B.-12+18+7-15
C.12+18+7-15 D.12+18-7-15
3.(寧夏中考)某地一天的最高氣溫是8℃，最低氣溫是-2℃，則該地這天的溫差是 ( )
A.10℃ B.-10℃
C.6℃ D.-6℃
4.計等：-3.5+-（-2）= .
5.計算:（1）-(-)；
（2）(-2)-；
(3)0-(-5).
6.計算：
（1）(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)；
（2）-4.4-(-4)-(+2)+(-2)+12.4.
7.利理數a，b，c在數軸上的位置如圖1.3.2-5所示，化簡｜c｜-｜a｜+｜-b｜+｜-a｜.
【能力提升】
8.符號“f”表示一種運算，它對一些數的運算結果如下：
(1)f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3……
（2）f()=2，f()=3，f()=4，f()=5……
利用以上規律計算：f(2019)-f()= .
9.當a=，b=-，c=-時，分別求下列式子的值：
(1)a+b-c；
(2)a-b+c；
(3)a-b-c.
10.按如圖1.3.2-6所示的程序分別輸入-4，-5進行計算，請分別寫出輸出的結果.
11.一口水井，水面比井口低3 m，一只蝸牛從水面沿著井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5 m后又往下滑了0.1 m；第二次往上爬了0.42 m后又往下滑了0.15 m；第三次往上爬了0.7 m后又往下滑了0.15 m；第四次往上爬了0.75 m后又往下滑了0.1 m；第五次往上爬了0.55 m，沒有下滑；第六次又往上爬了0.48 m，那么最終蝸牛有沒有爬出井口
【素養創新題】
12.有一支溫度計出了一點小毛病，把它放在零下15℃的空氣中，指示為-12℃，在35℃的水中指示為38℃，那么它量得某天某一時刻的溫度是18℃，則真正的溫度是多少
本書習題參考答案
1.3有理數的加減法
1.3.1有理數的加法
應用能力·巧提升
1.(1)-(a+b) (2)-(a+c)
解析：觀察數軸可知，a0，且|a|>|b|>|c|，所以a+b<0，a+c<0.所以|a+b|=-(a+b)，|a+c|=-(a+c).
2.解：-a，-b，-c，a，b，c在數軸上的位置如答圖1.3.1-1所示.
(1)因為-a(2)因為a>0，b<0，且|a|>|b|，
所以a+b>0.
(3)因為-b>0，-c<0，且|-b|<|-c|，所以(-b)+(-c)<0.
3.解：由數軸上a，b，c的位置可知，
b<0，0又因為|a|＝2，|b|＝2，|c|=3，
所以a=2，b=-2，c=3.
故a+b+c=2-2+3=3.
4.解：(1)(+9)+(-5)+(-3)+(+6)+(-7)+(+10)+(-6)+(-4)+(+4)+(+3)+(+7)
=(+6)+(-6)+(+4)+(-4)+(-3)+(+3)+(+7)+(-7)+(+9)+(+10)+(-5)
=+14(km).
所以將最后一名乘客送到目的地時，出租車離公園14 km，在公園的正東方向.
(2)|+9|+|-5|+|-3|+|+6|+|-7|+|+10|+|-6|+|-4|+|+4|+|+3|+|+7|
=9+5+3+6+7+10+6+4+4+3+7=64(km).
因為64×0.1=6.4(L)，
所以這輛出租車這天下午耗油6.4 L.
5.解：原式=[1+(-2)]+[(-3)+4]+[5+(-6)]+[(-7)+8]+…+[2017+(-2018)]+[(-2019)+2020]
=(-1)+1+(-1)+1+…+(-1)+1
＝0.
高效訓練·速提能
1.D 2.D
3.B 解析：因為a與1互為相反數，所以a+1＝0，所以|a+1|=0.故選B
4.A 解析：從數軸上得出a<0，b>0，|a|<|b|，所以a+b>0.
5.解：(1)原式=[0.75+(-2)]+[(+0.125+(-4)]+(-12)
=(-2)+(-4)+(-12)
=-18.
(2)原式=-3+(-)+2++(-5)+(-)=[(-3)+2+(-5)]+[(-)++(-)]=-6+0=-+6.
6.解：(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-9)+(+12)+(-10)=-3.
故螞蟻最后沒有回到出發點.
(2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114(粒).
7.D 解析：若兩個數的和為負數，則它們不可能同正，故A選項錯誤；如-5+2=-3，一
正一負的兩個數的和可以為負數，故B選項錯誤；如5+(-2)＝-7，同負的兩個數的
和可以為負數，故C選項錯誤；若兩個數的和為負數，則兩數中至少有一個負數，故D
選項正確.故選D.
8.50 解析：原式＝[(-1)+3]+[(-5)+7]+[(-9)+11]+…+[(-97)+99]
＝
＝50.
9.±8 2 解析：由已知，得|a|＝8，則a＝±8.由|m|＝6，得m＝±6.因為-m<0，即-m為負數，所以m為正數，所以m=6，所以|m-4|=2.
10.-4 解析：由題圖可知，原點左邊蓋住的整數有-2，-3，-4，-5，原點右邊蓋住的整數有1，2，3，4，所以它們的和是(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+1+2+3+4=-4.
1.3.2有理數的減法
1.B 解析：②④⑤是正確的.錯誤的說法可舉例說明：對于①，由(-3)+(+5)=2可知，該說法錯誤；對于③，因為(-1)+(-2)=-3，而-3<-2<-1，所以該說法也錯誤.
2.D 解析：由已知條件，知a，b，-a，-b在數軸上的位置如答圖l.3.2-1所示.
a，b，-a，-b與0的大小關系是b<-a<0因為a-b=a+(-b)>0，所以選項A是錯誤的；
因為-a-b=-a+(-b)>0，所以選項B是錯誤的；
因為a-(-b)=a+b<0，所以選項C是錯誤的；
因為-a-(-b)=-a+b<0，所以選項D是正確的.
3.D 解析：觀察數軸，知a<-1<0|b|，故選項A錯誤；根據有理數加減法法則，知a-b<0，a+b<0，故選項B，C錯誤；由|a|>|b|，得|a|-|b|>0，故選項D正確.
4.解：(1)原式=-15+19-16+7-23+24
=-15-16-23+19+7+24
=-54+50
=-4.
(2)原式=(-15.63+15.20+0.43)+(-3.15+3.15)-2
=0+0-2=-2.
(3)原式=---++1
=-+--+1
=0-+1
=-.
(4)原式=-1-+2++1+-2-
=(-1+2+1-2)+(-++-)
=-++-
=-.
5.解：(1)由題圖可知，最高氣溫和最低氣溫分別是9℃和-4℃.
(2)未來一周中，周四的溫差最大，溫差是4-(-4)=8(℃).
6.解：(1)①- ②-
(2)
=1-+-+-+…+-＝1-＝.
高效訓練·速提能
1.C 2.D 3.A
4.1 解析：-3.5+|-(-)|-（-2）＝-3.5+2.5+2＝1.
5.解：(1)-(-)=+=.
(2)(-2)-=(-2)+(-)=-3.
(3)0-(-5)=0+5=5.
6.解：(1)(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)
=(+)+(-)+(-)+(+)+(-1)
=[(+) +(+)]+[(-)+(-)]+(-1)
=1+(-1)+(-1)=-1.
(2)-4.4-(-4)-(+2)+(-2)+12.4
=-4.4+4-2-2+12.4
=-4.4+12.4+4+(-2-2)
=8+4+(-5)=8+(-1)=7.
7.解：由題意，得b所以原式=-c-a-b+a=-c-b.
8.-1 解析：觀察(1)中的各數，可得f(2019)=2018，觀察(2)中的各數，可得f()=2019.所以f(2019)-f()=2018-2019=-1.
9.解：(1)a+b-c=+(-)-(-)=+(-)+=.
(2)a-b+c=-(-)+(-)=++(-)=.
(3)a-b-c=-(-)-(-)=++=.
10.解：當輸入-4時，根據程序可得，(-4)-3+6(-4)=3.結果不大于3，需再把3輸入，得3-3+6(-4)=10，結果大于3，所以輸出的結果為10.
同理，當輸入-5時，得-5-3+6-(-4)=2.結果不大于3，需再把2輸入，得2-3+6-(-4)=9，結果大于3，所以輸出的結果為9.
11.解：由題意可知，蝸牛往上爬的高度為0.5-0.1+0.42-0.15+0.7-0.15+0.75-0.1+0.55+0.48=2.90<3，故沒有爬出井口.
12.解：根據題意可知，(-12)-(-15)=3(℃)，38-35=3(℃)，故真正溫度比溫度計指示的溫度低3℃.所以當量得某天某一時刻的溫度為18℃時，真正溫度為15℃.
教材參考答案
1.3有理數的加減法
問題(第17頁)
算式③用數軸表示如答圖1.3-1①所示.算式④用數軸表示如答圖1.3-1②所示.
練習(第18頁)
1I解：(1)-4+7＝3(℃).
(2)7-5＝2(元).
2.解：(1)-10. (2)-2. (3)2. (4)0.
(5)10. (6)-10. (7)0. (8)-6.
3.解：(1)15+(-22)＝-(22-15)＝-7.
(2)(-13)+(-8)＝-(13+8)＝-21.
(3)(-0.9)+1.5＝1.5-0.9＝0.6.
(4)+(-)=-(-)=-.
4.解：答案不唯一，例如，飯店來了5位客人，又走了3位客人，還剩2位客人；某時溫度為-5℃，下降了3℃，現在溫度為-8℃.
問題(第19頁)
例2中，把正數和負數分別相加，從而使計算簡化.根據是加法交換律和加法結合律.
問題(第20頁)
比較例3中的兩種解法，解法2把互為相反數的一對數結合起來相加，可以使計算簡化.這種方法使用了加法交換律和加法結合律.
練習(第20頁)
1.解：(1)23+(-17)+6+(-22)
=(23+6)+[(-17)+(-22)]
=29+(-39)
=-10.
(2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
=[(-2)+2]+[3+(-3)]+[1+(-4)]
=-3.
2.解：(1)1+(-)++(-)
=(1+)+[(-)+(-)]
=+(-)
=.
(2)3+(-2)+5+(-8)
=(3+5)+[(-2)+(-8)]
=9+(-11)
=-2.
實驗與探究(第21頁)
1 2 -3
-4 0 4
3 -2 -1
(答案不唯一)
是將0填放中央的格中.
問題(第21頁)
從溫度計可以直觀地看出，3℃比-3℃高6℃.
探究(第22頁)
從③式能看出減-3相當于加+3.
0-(-3)＝0+3＝3，
(-1)-(-3)＝(-1)+3＝2，
(-5)-(-3)＝(-5)+3＝-2.
這些數減-3的結果與它們加+3的結果相同.
9-8＝1，9+(-8)＝1；
15-7＝8，15+(-7)＝8.
可以發現，減去一個正數等于加上這個正數的相反數.
思考(第22頁)
會，如1-2＝1+(-2)＝-1，(-1)-l＝-2.
一般地，較小的數減去較大的數，所得的差的符號是負號.
練習(第23頁)
1.解：(1)6-9＝-3.
(2)(+4)-(-7)＝4+7＝11.
(3)(-5)-(-8)＝-5+8＝3.
(4)0-(-5)＝5.
(5)(-2.5)-5.9＝-8.4.
(6)1.9-(-0.6)＝1.9+0.6=2.5.
2.解：(1)2-8＝-6(℃).
(2)-3-6＝-9(℃).
問題(第23頁)
減法轉化為加法后使用了加法交換律和加法結合律.
探究(第24頁)
當a=2，b=6時，點A，B之間的距離是|2-6|=4；當a=0，b=6時，點A，B之間的距離是|0-6|=6；當a=2，b=-6時，點A，B之間的距離是|2-(-6)|=8；當a=-2，b=-6時，點A，B之間的距離是|-2-(-6)|=4.
由此可以發現，點A，B之間的距離等于數a，b差的絕對值.
練習(第24頁)
解：(1)1-4+3-0.5
=(1-4+3)-0.5
=-0.5.
(2)-2.4+3.5-4.6+3.5
=[(-2.4)+(-4.6)]+(3.5+3.5)
=-7+7
=0.
(3)(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
=-7-5-4+10
=-16+10
=-6.
(4)-+(-)-(-)-1
=--+-l
=
=
=-
=-.
習題1.3(第24頁)
1.解：(1)(-10)+(+6)=-4.
(2)(+12)+(-4)=8.
(3)(-5)+(-7)=-12.
(4)(+6)+(-9)=-3.
(5)(-0.9)十(-2.7)=-3.6.
(6)+(-)=-.
(7)(-)+==.
(8)(-3)+(-1)
=(-)+(-)
=-
=-
=-.
2.解：(1)(-8)+10+2+(-1)=12-9=3.
(2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)=17-17=0.
(3)(-0-8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5
=(-0.8)+0.8+(1.2+3.5)-0.7-2.1
=0+4.7-2.8
=1.9.
(4)+(-)++(-)+(-)
=+(-)+--
=0+-1
=-.
3.解：(1)(-8)-8=-16.
(2)(-8)-(-8)=-8+8=0.
(3)8-(-8)=8+8=16.
(4)8-8=0.
(5)0-6=-6.
(6)0-(-6)=0+6=6.
(7)16-47=-31.
(8)28-(-74)=28+74=102.-
(9)(-3.8)-(+7)=-3.8-7=-10.8.
(10)(-5.9)-(-6.1)=-5.9+6.1=0.2.
4.解：(1)(+)-(-)=+=1.
(2)(-)-(-)=-+=.
(3)-=.
(4)(-)-=.
(5)--(-)=-+=-=-.
(6)0-(-)=0+=.
(7)(-2)-(+)=(-2)+(-)=-2.
(8)(-16)-(-10)-(+1)
=(-16)+10+(-1)
=(-6)+(-1)
=-8.
5.解：(1)-4.2+5.7-8.4+10
=(-4.2-8.4)+(5.7+10)
=-12.6+15.7
=3.1.
(2)-++-
=(--)+(+)
=-+
=.
(3)12-(-18)+(-7)-15
=12+18-7-15
=30-22
=8.
(4)4.7-(-8.9)-7.5+(-6)
=4.7+8.9-7.5-6
=13.6-13.5
=0.1.
(5)(-4)-(-5)+(-4)-(+3)
=(-4)-(+3)-(-5)+(-4)
=-8+5-4
=-6.
(6)(-)+|0-5|+|-4|+(-9)
=-+5+4-9
=(--9)+(5+4)
=-10+10
=0.
6.解：8 844.43-(-415)=8 844.43+415=9 259.43(m)，
所以兩處高度相差9 259.43 m.
7.解：-7+11-9=-16+11=-5(℃)，
所以半夜的氣溫是-5℃.
8.解：132+(-12.5)+(-10.5)+127+(-87)+136.5+98=383.5(元).
所以食品店一周總盈余383.5元.
9.解：25×8+(1.5-3+2-0.5+1-2-2-2.5)=200+(4.5-10)=194.5(kg).
所以這8筐白菜一共194.5 kg.
10.解：星期一：10-2=8(℃)；
星期二：12-1=11(℃)；
星期三：11-0=11CC)；
星期四：9-(-1)=10(℃)；
星期五：7-(-4)=11(℃)；
星期六：5-(-5)＝10(℃)；
星期日：7-(-5)＝12(℃).
所以星期日的溫差最大，星期一的溫差最小.
11.(1)16 (2)(-3) (3)18 (4)(-12) (5)(-7) (6)7
12.解：(-2)+(-2)＝-4，
(-2)+(-2)+(-2)＝-6，
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-8，
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-10.
猜想：(-2)×2＝(-2)+(-2)＝-4，
(-2)×3＝(-2)+(-2)+(-2)＝-6，
(-2)×4＝(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-8，
(-2)×5＝(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-10.
進一步猜想：負數乘正數得負，積的絕對值等于兩個乘數的絕對值的積.
13.解：第一天：0.3-(-0.2)＝0.5(元)；
第二天：0.2-(-0.1)＝0.3(元)；
第三天：0-(-0.13)＝0.13(元).
＝0.31(元).
答：第一天的最高價與最低價的差為0.5元，
第二天的最高價與最低價的差為0.3元，
第三天的最高價與最低價的差為0.13元，
這些差的平均值為0.31元.

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