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第二章 直線和圓的方程 章末測試（基礎）
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1、若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　 　)
A．1　　　　　B．4 C．1或3 D．1或4
2、已知k＋b＝0，k≠0，則直線y＝kx＋b的位置可能是(　 　)
3、直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝(　 　)
A．2 B．－3 C.2或－3 D．－2或－3
4、若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經過(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、點(0，1)到直線y＝k(x＋1)的最大距離為(　 　)
A．0 B．1 C. D.
6、點在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B連線的中點的軌跡方程是(　 　)
A.＋y2＝4 B.＋y2＝1
C.＋4y2＝1 D.＋y2＝
7、過直線y＝x＋1上的點P作圓C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的兩條切線l1，l2，當直線l1，l2關于直線y＝x＋1對稱時，|PC|＝(　 　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2
8、由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　 　)
A．1 B．2 C. D．3
二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
9、已知A(-2,-4),B(1,5)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為 (　 　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
10、下列命題正確的是(　 　)
A．直線斜率是關于直線傾斜角的增函數
B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x軸的直線
C．直線過不同的兩點A，B，則方程＝可以表示平行于x，y軸和經過坐標原點的直線
D．直線方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y軸的直線
11、已知直線l：x－y＋1＝0，則下列結論正確的是(　 　)
A．直線l的傾斜角是
B．若直線m：x－y＋1＝0，則l⊥m
C．點(，0)到直線l的距離是2
D．過點(2，2)與直線l平行的直線方程是 x－y－4＝0
12、已知一組圓Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列說法正確的有(　 　)
A．存在k，使圓與x軸相切
B．存在一條直線與所有的圓均相交
C．存在一條直線與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經過原點
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13、若直線的傾斜角α滿足0<α<，則直線的斜率k的取值范圍是___________．
14、不論k為何實數，直線(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通過一個定點，這個定點的坐標是___ _____．
15、動點P到點A(8，0)的距離是到點(2，0)的距離的2倍，那么點P的軌跡方程為________．
16、點P在直線l：x＋y＝2上，過P作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則四邊形OAPB面積的最小值為________．
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17、已知兩點A(－3，4)，B(3，2)，過點P(1，0)的直線l與線段AB有公共點．
(1)求直線l的斜率k的取值范圍；
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．
18、已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等．
19、已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．
20、(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，圓C的圓心在直線x－y＝0上，且圓C經過點P(2，0)和點Q(－1，)．
(1)求圓C的標準方程；
(2)求經過點M(2，1)且與圓C恰有1個公共點的直線的方程．
21、已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點P(－2，2)．
(1)證明：對任意的實數λ，該方程都表示直線，且這些直線都經過同一定點，并求出這一定點的坐標；
(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.
22、已知圓A：x2＋(y＋1)2＝1，圓B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)過圓心A的直線l截圓B所得的弦長為，求直線l的斜率；
(2)若動圓P同時平分圓A與圓B的周長，
①求動圓圓心P的軌跡方程；
②問動圓P是否過定點？若經過，求出定點坐標；若不經過，請說明理由．第二章 直線和圓的方程 章末測試（基礎）（答案）
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1、若過點M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　A　)
A．1　　　　　B．4 C．1或3 D．1或4
2、已知k＋b＝0，k≠0，則直線y＝kx＋b的位置可能是(　B　)
3、直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m＝(　C　)
A．2 B．－3 C.2或－3 D．－2或－3
4、若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經過(　D　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、點(0，1)到直線y＝k(x＋1)的最大距離為(　C　)
A．0 B．1 C. D.
6、點在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B連線的中點的軌跡方程是(　C　)
A.＋y2＝4 B.＋y2＝1
C.＋4y2＝1 D.＋y2＝
7、過直線y＝x＋1上的點P作圓C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的兩條切線l1，l2，當直線l1，l2關于直線y＝x＋1對稱時，|PC|＝(　B　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2
8、由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為(　C　)
A．1 B．2 C. D．3
二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)
9、已知A(-2,-4),B(1,5)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為 (　AB　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
10、下列命題正確的是(　BCD　)
A．直線斜率是關于直線傾斜角的增函數
B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x軸的直線
C．直線過不同的兩點A，B，則方程＝可以表示平行于x，y軸和經過坐標原點的直線
D．直線方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y軸的直線
11、已知直線l：x－y＋1＝0，則下列結論正確的是(　CD　)
A．直線l的傾斜角是
B．若直線m：x－y＋1＝0，則l⊥m
C．點(，0)到直線l的距離是2
D．過點(2，2)與直線l平行的直線方程是 x－y－4＝0
12、已知一組圓Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列說法正確的有(　ABD　)
A．存在k，使圓與x軸相切
B．存在一條直線與所有的圓均相交
C．存在一條直線與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經過原點
三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13、若直線的傾斜角α滿足0<α<，則直線的斜率k的取值范圍是____________．
14、不論k為何實數，直線(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通過一個定點，這個定點的坐標是___(2，3)_____．
15、動點P到點A(8，0)的距離是到點(2，0)的距離的2倍，那么點P的軌跡方程為____x2＋y2＝16____．
16、點P在直線l：x＋y＝2上，過P作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則四邊形OAPB面積的最小值為____1____．
四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17、已知兩點A(－3，4)，B(3，2)，過點P(1，0)的直線l與線段AB有公共點．
(1)求直線l的斜率k的取值范圍；
(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．
解：如圖，由題意，知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.
(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是45°，直線PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.
18、已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直線l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等．
解：(1)因為l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因為直線l1過點(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)因為直線l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直線l1的斜率存在．
所以＝1－a.①
又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，
所以l1，l2在y軸上的截距互為相反數，即＝b.②
聯立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
19、已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程．
解：(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以無論k取何值，直線l總經過定點(－2，1)．
(2)由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經過第四象限，則必須有
解得k＞0；
當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．
(3)由題意可知k≠0，再由直線l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依題意得解得k＞0.
因為S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
當k＞0且4k＝，即k＝時等號成立，
所以Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.
20、(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，圓C的圓心在直線x－y＝0上，且圓C經過點P(2，0)和點Q(－1，)．
(1)求圓C的標準方程；
(2)求經過點M(2，1)且與圓C恰有1個公共點的直線的方程．
解：(1)由圓C的圓心在直線x－y＝0上，設圓心的坐標為(a，a)，半徑為r，
則圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝r2，
又圓C經過點P(2，0)和點Q(－1，)．
所以解得
所以圓C的標準方程為x2＋y2＝4.
(2)因為圓C的標準方程為x2＋y2＝4，
所以經過點M(2，1)且與圓C恰有1個公共點的直線與圓C相切．
當直線的斜率不存在時，直線的方程為x＝2，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為y－1＝k(x－2)，
所以圓心到直線的距離d＝＝2，得k＝－，
所以直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理得3x＋4y－10＝0.綜上，直線的方程為x＝2或3x＋4y－10＝0.
21、已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0與點P(－2，2)．
(1)證明：對任意的實數λ，該方程都表示直線，且這些直線都經過同一定點，并求出這一定點的坐標；
(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.
解：(1)顯然2＋λ與－(1＋λ)不可能同時為零，故對任意的實數λ，該方程都表示直線．
因為方程可變形為2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以解得
故直線經過的定點為M(2，－2)．
(2)證明：過點P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|≤|PM|，當且僅當Q與M重合時，|PQ|＝|PM|，　
此時對應的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直線系方程唯獨不能表示直線x－y－4＝0，
所以M與Q不可能重合，|PM|＝4，
所以|PQ|<4，故所證成立．
22、已知圓A：x2＋(y＋1)2＝1，圓B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)過圓心A的直線l截圓B所得的弦長為，求直線l的斜率；
(2)若動圓P同時平分圓A與圓B的周長，
①求動圓圓心P的軌跡方程；
②問動圓P是否過定點？若經過，求出定點坐標；若不經過，請說明理由．
解：(1)由題意知，直線l的斜率存在，且圓心A(0，－1)，設直線l的方程為y＝kx－1，由弦長可得圓心B(4，3)到直線l的距離為，
即＝，化簡得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
(2)①由已知可得|PA|＝|PB|，故圓心P在線段AB的中垂線上．
因為直線AB的斜率為1，所以圓心P所在直線的斜率為－1，且該直線過點(2，1)，所以圓心P在直線x＋y－3＝0上．即動圓圓心P的軌跡方程為x＋y－3＝0.
②動圓P經過定點．設P(m，3－m)，則動圓P的半徑為＝，
所以動圓P的方程為(x－m)2＋(y＋m－3)2＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m(x－y－1)＝0.
由得
或
故動圓P過定點(2＋，1＋)，(2－，1－)．

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