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(共35張PPT)
八上數(shù)學(xué)同步精品課件
人教版八年級(jí)上冊(cè)
13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì)和判定
情景導(dǎo)入
知識(shí)精講
典例解析
針對(duì)練習(xí)
達(dá)標(biāo)檢測(cè)
小結(jié)梳理
1.理解并掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法．(重點(diǎn)）
2.會(huì)用尺規(guī)過一點(diǎn)作已知直線的垂線.
3.能夠運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題．（難點(diǎn)）
如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.
一、軸對(duì)稱圖形
像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).
二、兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱
三、垂直平分線
經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.
l⊥AB，垂足為O，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線.
觀察演示，動(dòng)手操作:仔細(xì)觀察折紙過程，回答問題.
OP_________AB，PA____PB.
垂直平分
=
線段的垂直平分線的性質(zhì)：
線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上.求證PA=PB.
證明：∵ l ⊥AB
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=BC，PC=PC
∴ △PCA≌△PCB (SAS)
∴ PA=PB
線段的垂直平分線的性質(zhì)：
線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
幾何符號(hào)語(yǔ)言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
如圖，用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡(jiǎn)易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的箭的方向與木棒垂直呢？為什么？
如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
如圖，線段AB，PA=PB. 求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.
證法1：過點(diǎn)P作線段AB的垂線PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL)
∴ AC=BC
∴ PC是線段AB的垂直平分線
∴ 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上
與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
如圖，線段AB，PA=PB. 求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.
證法2：取AB的中點(diǎn)C，過P，C作直線.
∴ AC=BC
又∵ PA=PB，PC=PC
∴ △PAC≌△PBC (SSS)
∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°
即 PC⊥AB
∴ PC是線段AB的垂直平分線
∴ 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上
與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
線段的垂直平分線的判定：
幾何符號(hào)語(yǔ)言：
∵ PA=PB
∴ 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上
【性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
【判定】與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出：在線段AB的垂直平分線 l 上的點(diǎn)與點(diǎn)A、B的距離都相等；反過來，與A、B的距離相等的點(diǎn)都在直線 l 上，所以直線 l 可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合.
例1.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.
已知：如圖，直線AB和AB外一點(diǎn)C. 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.
作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB兩旁.
(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.
(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.
(4)作直線CF.
則：直線CF就是所求作的垂線
∵ CD=CE，F(xiàn)D=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分線上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
例1.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.
已知：如圖，直線AB和AB外一點(diǎn)C. 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.
想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？
例2.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為(　　)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm
C
【分析】∵△DBC的周長(zhǎng)為BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
故BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.
【點(diǎn)睛】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．
1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E, △BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是 .
B
10cm
例3.如圖，在△ABC中，AB，AC邊的垂直平分線交BC于E，F(xiàn),垂足分別為M,N，若△ABC周長(zhǎng)為18cm,且AB:BC:CA=2:4:3,求△AEF的周長(zhǎng).
解:ME，NF分別是AB，AC的垂直平分線∴AE=BE，AF=CF
∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC
設(shè)AB=2x，則BC=4x，CA=3x
則2x+4x+3x=18
解得x=2
∴BC=8cm 即△AEF的周長(zhǎng)為8cm.
例4.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.
求證：OE是CD的垂直平分線.
證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
∴OE是CD的垂直平分線.
例5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
【分析】(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；
(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．
例5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
證明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
例5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
1．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD．若△ABC的周長(zhǎng)等于17，△ADC的周長(zhǎng)為9，那么線段AE的長(zhǎng)等于（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．8
C
2．如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長(zhǎng)為30，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
C
3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（　 ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
B
4．如圖，的角平分線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的周長(zhǎng)為（ ）．
A．32 B．34 C．22 D．16
A
5．如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連結(jié)P1P2交OA于M，交OB于N，若線段P1P2的長(zhǎng)為12 cm，則△PMN的周長(zhǎng)為_____cm．
12
6．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，△APC周長(zhǎng)的最小值為____．
13
7．如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．
(1)求證：為的角平分線；
(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明
（1）證明：連接CD，BD，如圖所示：
為的垂直平分線，
，
，
，
在和中，
，
≌，
7．如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．
(1)求證：為的角平分線；
(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明
，
在和中，
，
≌，
，
為的角平分線；
7．如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．
(1)求證：為的角平分線；
(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明
（2）解：，理由如下：
≌，
，
又，
，
即，
．
線段的垂直平分的性質(zhì)和判定
性質(zhì)
到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上
內(nèi)容
判定
內(nèi)容
作用
線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
作用
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上
謝謝
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