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(共30張PPT)
垂直于弦的直徑
1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.
2.理解垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）
3.靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題.（難點）
趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位)？
剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？你能證明你的結論嗎？
可以發現，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.
分析：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點關于直徑所在的直線(對稱軸)的對稱點也在圓上.
證明：如圖，設CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O
上點C，D以外的任意一點.
過點A作AA′⊥CD，交
⊙O于點A′，垂足為M，連接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵ OA=OA′
∴ △OAA′是等腰三角形
又∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分線
這就是說，對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點A′，因此⊙O關于直線CD對稱.
圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.
從前面的證明我們知道，如果⊙O的直徑CD垂直于弦AA′，垂足為M，那么點A和點A′是對稱點.把圓沿著直徑CD折疊時，點A與點A′重合，AM與A′M重合， ， 分別與 ， 重合.
因此，AM=A′M， ， 即直徑CD平分弦AA′，并且平分 ，
.
這樣，我們就得到垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.
溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉化,形成整體,才能運用自如.
下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？
是
不是，因為沒有垂直
是
不是，因為CD沒有過圓心
垂徑定理的幾個基本圖形：
如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）結論與題設交換一條，命題是真命題嗎？
①過圓心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所對的優弧 ； ⑤平分弦所對的劣弧.
上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論嗎？
舉例證明其中一種組合方法
已知:_________;求證:_________.
①CD是直徑
②CD⊥AB，垂足為E
③AE=BE
④AC=BC ⑤AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
① ③
② ④ ⑤
由垂徑定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
證明：連接AO,BO,則AO=BO,
又∵AE=BE，
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
進一步，我們還可以得到推論：
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
例1.趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結果保留小數點后一位)？
解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.
⌒
⌒
經過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點C，連接OA.根據垂徑定理，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高.
⌒
⌒
由題設可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m
如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10cm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8cm，則這個小圓孔的寬口AB的長度為多少？
解：過點作于點，并延長交于點，如圖，
則由題意得
又，
，
在Rt中，
例2.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．
【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側；②弦AB和CD在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．
例2.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．
E
F
解：當弦AB和CD在圓心同側時，
過點0作OE⊥CD于點E,交AB于點F,連結OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴CE＝5cm，AF＝12cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OE-OF=12 5＝7cm.
例2.☉O的半徑為13cm，AB、CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．
E
F
解：當弦AB和CD在圓心異側時，
過點0作OE⊥CD于點E,作OF⊥AB于點F,連結OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AF＝12cm，CE＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．
在圓中有關弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.
涉及垂徑定理時輔助線的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：
弓形中重要數量關系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
例3.如圖，AB、CD是半徑為5的☉O的兩條弦,AB=8、CD=6,MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，求PA+PC的最小值.
解:連接OB，0C，BC，作CH⊥AB于H.
易得點A與點B關于直線MN對稱,四邊形HEFC是矩形.
根據垂徑定理，得BE=AB=4，CF=CD=3
∴OE=3，OF= =4
∴CH=EF=OE+0F=3+4=7
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7
在Rt△BCH中，由勾股定理得到BC=7
則PA+PC的最小值為7，此時P為BC與MN的交點.
1．如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為cm，水面寬為cm，則水的最大深度為（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
C
2．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（　 ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
B
3．如圖，為的直徑，為的弦，為優弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（ ）
A． B． C． D．
B
4．如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點D，若OD=DC，則弦AB的長為（ ）
A． B． C． D．
B
5．如圖，AC是的直徑，弦于E，連接BC，過點O作于F，若，，則OE的長為（ ）
A．3 B．4 C． D．5
A
6.如圖，是的直徑，弦于點，，，則的直徑為______．
7.如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于點E，交圓O于點D，OF⊥AC于點F，BD=5，則OF=_____．
8.如圖， 在⊙O中，AB是⊙O的直徑，，AB=8，M是AB上的一動點，CM+DM的最小值是______．
9.如圖，在半徑為1的扇形AOB中，，點P是弧AB上任意一點（不與點A，B重合），，垂足分別為C，D，則CD的長為________．
10.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．
達標檢測
證明：∵ AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴ ∠A=∠ODA=∠OEA=90°
∴ 四邊形ADOE是矩形
∵ OD⊥AB，OE⊥AC
∴ AE=CE=AC，AD=BD=AB
又 AB=AC
∴ AE=AD ∴ 四邊形ADOE是正方形.
11.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的點，且OD⊥AC于點E，連接BE，BC，若AC=8，DE=2．
（1）求半圓的半徑長；
（2）求BE的長．
解：（1）于點且
，
設半徑為，則
在Rt中有
解得：
即半圓的半徑為5
（2）為半圓的直徑
則
在Rt中有
垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理的推論：
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

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