資源簡介

拋體運動
知識點一：曲線運動
一、曲線運動的速度方向
1.質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向.
2.曲線運動是變速運動.
(1)速度是矢量，既有大小，又有方向.
(2)在曲線運動中，速度的方向是變化的，所以曲線運動是變速運動.
二、物體做曲線運動的條件
1.物體如果不受力，將靜止或做勻速直線運動.
2.物體做曲線運動時，由于速度方向時刻改變，物體的加速度一定不為0；物體所受的合力一定不為0.
3.物體做曲線運動的條件：
(1)動力學角度：物體所受合力的方向與它的速度方向不在同一直線上時，物體做曲線運動.
(2)運動學角度：物體的加速度方向與速度方向不在同一直線上時，物體做曲線運動.
技巧點撥
一、曲線運動的速度方向
1.曲線運動中，質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向.
2.曲線運動中，質點的速度方向時刻改變，所以曲線運動一定是變速運動，加速度一定不為零.
二、物體做曲線運動的條件
1.物體做曲線運動的條件
(1)動力學條件：合力方向與物體的速度方向不在同一直線上.
(2)運動學條件：加速度方向與物體的速度方向不在同一直線上.
說明：物體做曲線運動時，所受合力可能變化，也可能不發生變化.
2.物體運動性質的判斷
(1)直線或曲線的判斷
看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直線上.
(2)勻變速或非勻變速的判斷
合力為恒力，物體做勻變速運動；合力為變力，物體做非勻變速運動.
(3)變速運動的幾種類型
軌跡特點 加速度與速度方向的關系 加速度特點 運動性質
直線 共線 加速度不變 勻變速直線運動
加速度變化 非勻變速直線運動
曲線 不共線 加速度不變 勻變速曲線運動
加速度變化 非勻變速曲線運動
三、曲線運動中合力方向、速度方向與軌跡的關系
由于曲線運動的速度方向時刻改變，合力不為零.合力垂直于速度方向的分力改變速度的方向，所以合力總指向運動軌跡的凹側，即曲線運動的軌跡總向合力所指的一側彎曲.
知識點二：運動的合成與分解
一、一個平面運動的實例——觀察蠟塊的運動
1.建立坐標系
研究蠟塊在平面內的運動，可以選擇建立平面直角坐標系.
如圖1所示，以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標系.
圖1
2.蠟塊運動的位置：玻璃管向右勻速平移的速度設為vx，蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設為vy，在某時刻t，蠟塊的位置P的坐標：x＝vxt，y＝vyt.
3.蠟塊運動的軌跡：將x、y消去t，得到y＝x，可見蠟塊的運動軌跡是一條過原點的直線.
4.蠟塊運動的速度：大小v＝，方向滿足tan θ＝.
二、運動的合成與分解
1.合運動與分運動
如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動，同時參與的幾個運動就是分運動.
2.運動的合成與分解：已知分運動求合運動的過程，叫作運動的合成；已知合運動求分運動的過程，叫作運動的分解.
3.運動的合成與分解遵循矢量運算法則.
技巧點撥
一、運動的合成與分解
1.合運動與分運動
(1)如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動，參與的幾個運動就是分運動.
(2)物體實際運動的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分運動的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
2.合運動與分運動的四個特性
等時性 各分運動與合運動同時發生和結束，時間相同
等效性 各分運動的共同效果與合運動的效果相同
同體性 各分運動與合運動是同一物體的運動
獨立性 各分運動之間互不相干，彼此獨立，互不影響
3.運動的合成與分解
(1)運動的合成與分解是指位移、速度、加速度的合成與分解.其合成、分解遵循平行四邊形定則.
(2)對速度v進行分解時，不能隨意分解，應按物體的實際運動效果進行分解.
二、合運動的性質與運動軌跡
1.分析兩個互成角度的直線運動的合運動的性質時，應先求出合運動的合初速度v和合加速度a，然后進行判斷.
(1)是否為勻變速的判斷：
加速度或合力
(2)曲、直判斷：
加速度或合力與速度方向
2.兩個互成角度的直線運動的合運動軌跡的判斷：
軌跡在合初速度v0與合加速度a之間，且向加速度一側彎曲
實驗：探究平拋運動的特點
知識點：實驗：探究平拋運動的特點
一、拋體運動和平拋運動
1.拋體運動：以一定的速度將物體拋出，在空氣阻力可以忽略的情況下，物體只受重力作用的運動.
2.平拋運動：初速度沿水平方向的拋體運動.
3.平拋運動的特點：
(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力作用.
二、實驗：探究平拋運動的特點
(一)實驗思路：
(1)基本思路：根據運動的分解，把平拋運動分解為不同方向上兩個相對簡單的直線運動，分別研究物體在這兩個方向的運動特點.
(2)平拋運動的分解：可以嘗試將平拋運動分解為水平方向的分運動和豎直方向的分運動.
(二)進行實驗：
方案一：頻閃照相(或錄制視頻)的方法
(1)通過頻閃照相(或視頻錄制)，獲得小球做平拋運動時的頻閃照片(如圖所示)；
(2)以拋出點為原點，建立直角坐標系；
(3)通過頻閃照片描出物體經過相等時間間隔所到達的位置；
(4)測量出經過T,2T,3T，…時間內小球做平拋運動的水平位移和豎直位移，并填入表格；
(5)分析數據得出小球水平分運動和豎直分運動的特點.
拋出時間 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
豎直位移
結論 水平分運動特點
豎直分運動特點
方案二：分別研究水平和豎直方向分運動規律
步驟1：探究平拋運動豎直分運動的特點
(1)如圖所示，用小錘擊打彈性金屬片后，A球做________運動；同時B球被釋放，做__________運動.觀察兩球的運動軌跡，聽它們落地的聲音.
(2)改變小球距地面的高度和小錘擊打的力度，即改變A球的初速度，發現兩球____________，說明平拋運動在豎直方向的分運動為______________.
步驟2：探究平拋運動水平分運動的特點
1.裝置和實驗
(1)如圖所示，安裝實驗裝置，使斜槽M末端水平，使固定的背板豎直，并將一張白紙和復寫紙固定在背板上，N為水平裝置的可上下調節的向背板傾斜的擋板.
(2)讓鋼球從斜槽上某一高度滾下，從末端飛出后做平拋運動，使小球的軌跡與背板平行.鋼球落到傾斜的擋板N上，擠壓復寫紙，在白紙上留下印跡.
(3)上下調節擋板N，進行多次實驗，每次使鋼球從斜槽上同一(選填“同一”或“不同”)位置由靜止滾下，在白紙上記錄鋼球所經過的多個位置.
(4)以斜槽水平末端端口處小球球心在木板上的投影點為坐標原點O，過O點畫出豎直的y軸和水平的x軸.
(5)取下坐標紙，用平滑的曲線把這些印跡連接起來，得到鋼球做平拋運動的軌跡.
(6)根據鋼球在豎直方向是自由落體運動的特點，在軌跡上取豎直位移為y、4y、9y…的點，即各點之間的時間間隔相等，測量這些點之間的水平位移，確定水平方向分運動特點.
(7)結論：平拋運動在相等時間內水平方向位移相等，平拋運動水平方向為勻速直線運動.
2.注意事項：
(1)實驗中必須調整斜槽末端的切線水平(將小球放在斜槽末端水平部分，若小球靜止，則斜槽末端水平).
(2)背板必須處于豎直面內，固定時要用鉛垂線檢查坐標紙豎線是否豎直.
(3)小球每次必須從斜槽上同一位置由靜止釋放.
(4)坐標原點不是槽口的端點，應是小球出槽口時鋼球球心在木板上的投影點.
(5)小球開始滾下的位置高度要適中，以使小球做平拋運動的軌跡由坐標紙的左上角一直到達右下角為宜.
拋體運動的規律
知識點：拋體運動的規律
一、平拋運動的速度
以速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向為勻速直線運動，vx＝v0.
(2)豎直方向：只受重力，由牛頓第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；豎直方向的初速度為0，所以豎直方向為自由落體運動，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v與水平方向的夾角).
二、平拋運動的位移與軌跡
1.水平位移：x＝v0t①
2.豎直位移：y＝gt2②
3.軌跡方程：由①②兩式消去時間t，可得平拋運動的軌跡方程為y＝x2，由此可知平拋運動的軌跡是一條拋物線.
三、一般的拋體運動
物體被拋出時的速度v0沿斜上方或斜下方時，物體做斜拋運動(設v0與水平方向夾角為θ).
(1)水平方向：物體做勻速直線運動，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)豎直方向：物體做豎直上拋或豎直下拋運動，初速度vy0＝v0sin θ.如圖所示.
技巧點撥
一、對平拋運動的理解
1.平拋運動的特點
(1)做平拋運動的物體水平方向不受力，做勻速直線運動；豎直方向只受重力，做自由落體運動；其合運動為勻變速曲線運動，其軌跡為拋物線.
(2)平拋運動的速度方向沿軌跡的切線方向，速度大小、方向不斷變化.
2.平拋運動的速度變化
如圖所示，由Δv＝gΔt知，任意兩個相等的時間間隔內速度的變化量相同，方向豎直向下.
二、平拋運動規律的應用
1.平拋運動的研究方法
(1)把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.
(2)分別運用兩個分運動的運動規律去求分速度、分位移等，再合成得到平拋運動的速度、位移等.
2.平拋運動的規律
(1)平拋運動的時間：t＝，只由高度決定，與初速度無關.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同決定.
(3)落地速度：v＝＝，與水平方向的夾角為θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同決定.
3.平拋運動的推論
(1)做平拋運動的物體在某時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則有tan θ＝2tan α.
證明：如圖所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
(2)做平拋運動的物體在任意時刻的速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點.
證明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
平拋運動的臨界問題
分析平拋運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設定為極大或極小，讓臨界問題突顯出來，找出滿足臨界狀態的條件
四、斜拋運動
1.斜拋運動的規律
(1)斜拋運動的性質：斜拋運動是加速度恒為重力加速度g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線.
(2)斜拋運動的基本規律(以斜上拋為例說明，如圖所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②豎直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上拋運動可以看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動的合運動.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜拋運動的對稱性
(1)時間對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的上升時間等于下降時間.
(2)速度對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的兩點速度大小相等.
(3)軌跡對稱：斜拋運動的軌跡相對于過最高點的豎直線對稱.
圓周運動
知識點：圓周運動
一、線速度
1.定義：物體做圓周運動，在一段很短的時間Δt內，通過的弧長為Δs.則Δs與Δt的比值叫作線速度，公式：v＝.
2.意義：描述做圓周運動的物體運動的快慢.
3.方向：為物體做圓周運動時該點的切線方向.
4.勻速圓周運動
(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫作勻速圓周運動.
(2)性質：線速度的方向是時刻變化的，所以是一種變速運動，這里的“勻速”是指速率不變.
二、角速度
1.定義：連接物體與圓心的半徑轉過的角度與轉過這一角度所用時間的比值，公式：ω＝.
2.意義：描述物體繞圓心轉動的快慢.
3.單位：弧度每秒，符號是rad/s或rad·s－1.
4.勻速圓周運動是角速度不變的運動.
三、周期
1.周期T：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間，單位：秒(s).
2.轉速n：物體轉動的圈數與所用時間之比.單位：轉每秒(r/s)或轉每分(r/min).
3.周期和轉速的關系：T＝(n的單位為r/s時).
四、線速度與角速度的關系
1.在圓周運動中，線速度的大小等于角速度大小與半徑的乘積.
2.公式：v＝ωr.
技巧點撥
一、線速度和勻速圓周運動
1.對線速度的理解
(1)線速度是物體做圓周運動的瞬時速度，線速度越大，物體運動得越快.
(2)線速度是矢量，它既有大小，又有方向，線速度的方向在圓周各點的切線方向上.
(3)線速度的定義式：v＝，Δs代表在時間Δt內通過的弧長.
2.對勻速圓周運動的理解
(1)由于勻速圓周運動是曲線運動，其速度方向沿著圓周上各點的切線方向，所以速度的方向時刻在變化.
(2)勻速的含義：速度的大小不變，即速率不變.
(3)運動性質：勻速圓周運動是一種變速運動，其所受合外力不為零.
二、角速度、周期和轉速
1.對角速度的理解
(1)角速度描述做圓周運動的物體繞圓心轉動的快慢，角速度越大，物體轉動得越快.
(2)角速度的定義式：ω＝，Δθ代表在時間Δt內物體與圓心的連線轉過的角度.
(3)在勻速圓周運動中，角速度不變.
2.對周期和頻率(轉速)的理解
(1)勻速圓周運動具有周期性，每經過一個周期，線速度大小和方向與初始時刻完全相同.
(2)當單位時間取1 s時，f＝n.頻率和轉速對勻速圓周運動來說在數值上是相等的，但頻率具有更廣泛的意義，兩者的單位也不相同.
3.周期、頻率和轉速間的關系：T＝＝.
三、描述勻速圓周運動各物理量之間的關系
1.描述勻速圓周運動各物理量之間的關系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
2.各物理量之間關系的理解
(1)角速度、周期、轉速之間關系的理解：物體做勻速圓周運動時，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、轉速三個物理量，只要其中一個物理量確定了，其余兩個物理量也確定了.
(2)線速度與角速度之間關系的理解：由線速度大小v＝ω·r知，r一定時，v∝ω；v一定時，ω∝；ω一定時，v∝r.
四、同軸轉動和皮帶傳動問題
同軸轉動 皮帶傳動 齒輪傳動
裝 置 A、B兩點在同軸的一個圓盤上 兩個輪子用皮帶連接(皮帶不打滑)，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣上的點 兩個齒輪嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點
特 點 角速度、周期相同 線速度大小相等 線速度大小相等
規 律 線速度大小與半徑成正比：＝ 角速度與半徑成反比：＝ 角速度與半徑成反比：＝
向心加速度
知識點：向心加速度
一、勻速圓周運動的加速度方向
1.定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，這個加速度叫作向心加速度.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.
二、勻速圓周運動的加速度大小
1.向心加速度公式
an＝或an＝ω2r.
2.向心加速度的公式既適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動.
技巧點撥
一、向心加速度及其方向
對向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.
3.圓周運動的性質：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發生變化，圓周運動是變加速曲線運動.
4.變速圓周運動的加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢，所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心.
二、向心加速度的大小
1.向心加速度公式
(1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r.
(2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.
2.向心加速度公式的適用范圍
向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v即為那一位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度的方向都指向圓心.
3.向心加速度與半徑的關系(如圖所示)
向心加速度公式的應用技巧
向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關系，必須在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關系.
(1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同.
(2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比.
向心力
一、向心力
1.定義：做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力叫作向心力.
2.方向：始終沿著半徑指向圓心.
3.作用：只改變速度的方向，不改變速度的大小.
4.向心力是根據力的作用效果命名的，它由某個力或者幾個力的合力提供.
5.表達式：
(1)Fn＝m
(2)Fn＝mω2r.
二、變速圓周運動和一般的曲線運動
1.變速圓周運動的合力：變速圓周運動的合力產生兩個方向的效果，如圖所示.
(1)跟圓周相切的分力Ft：改變線速度的大小.
(2)指向圓心的分力Fn：改變線速度的方向.
2.一般的曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動.
(2)處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，每一小段可以看作圓周運動的一部分，分析質點經過曲線上某位置的運動時，可以采用圓周運動的分析方法來處理.
知識點一：實驗：探究向心力的大小與半徑、角速度、質量的關系
探究方案一　用繩和沙袋定性研究
1.實驗原理
如圖(a)所示，繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體)，將手舉過頭頂，使沙袋在水平面內做勻速圓周運動，此時沙袋所受的向心力近似等于繩對沙袋的拉力.
2.實驗步驟
在離小沙袋重心40 cm的地方打一個繩結A，在離小沙袋重心80 cm的地方打另一個繩結B.同學甲看手表計時，同學乙按下列步驟操作：
操作一　手握繩結A，如圖(b)所示，使沙袋在水平面內做勻速圓周運動，每秒轉動1周.體會此時繩子拉力的大小.
操作二　手仍然握繩結A，但使沙袋在水平面內每秒轉動2周，體會此時繩子拉力的大小.
操作三　改為手握繩結B，使沙袋在水平面內每秒轉動1周，體會此時繩子拉力的大小.
操作四　手握繩結A，換用質量較大的沙袋，使沙袋在水平面內每秒轉動1周，體會此時繩子拉力的大小.
(1)通過操作一和二，比較在半徑、質量相同的情況下，向心力大小與角速度的關系.
(2)通過操作一和三，比較在質量、角速度相同的情況下，向心力大小與半徑的關系.
(3)通過操作一和四，比較在半徑、角速度相同的情況下，向心力大小與質量的關系.
3.實驗結論：半徑越大，角速度越大，質量越大，向心力越大.
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.實驗原理
向心力演示器如圖所示，勻速轉動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉動.皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動.小球做圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球對擋板的反作用力，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露出標尺8，根據標尺8上露出的紅白相間等分標記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值.
2.實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動半徑和轉動角速度相同時，探究向心力與小球質量的關系.
(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉動角速度和質量相同時，探究向心力與轉動半徑的關系.
(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上，小球質量和轉動半徑相同時，探究向心力與角速度的關系.
探究方案三　利用力傳感器和光電傳感器探究
1.實驗原理與操作
如圖所示，利用力傳感器測量重物做圓周運動的向心力，利用天平、刻度尺、光電傳感器分別測量重物的質量m、做圓周運動的半徑r及角速度ω.實驗過程中，力傳感器與DIS數據分析系統相連，可直接顯示力的大小.光電傳感器與DIS數據分析系統相連，可直接顯示擋光桿擋光的時間，由擋光桿的寬度和擋光桿做圓周運動的半徑，可得到重物做圓周運動的角速度.
實驗時采用控制變量法，分別研究向心力與質量、半徑、角速度的關系.
2.實驗數據的記錄與分析
(1)設計數據記錄表格，并將實驗數據記錄到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序號 1 2 3 4 5 6
Fn
ω
ω2
②m、ω一定(表二)
序號 1 2 3 4 5 6
Fn
r
③r、ω一定(表三)
序號 1 2 3 4 5 6
Fn
m
(2)數據處理
分別作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的圖像，若Fn－ω圖像不是直線，可以作Fn－ω2圖像.
(3)實驗結論：
①在質量和半徑一定的情況下，向心力的大小與角速度的平方成正比.
②在質量和角速度一定的情況下，向心力的大小與半徑成正比.
③在半徑和角速度一定的情況下，向心力的大小與質量成正比.
知識點二：向心力的分析和公式的應用
一、向心力的理解及來源分析
導學探究
1.如圖1所示，用細繩拉著質量為m的小球在光滑水平面上做勻速圓周運動.
圖1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的線速度為v，運動半徑為r，合力的大小是多少？
答案　(1)小球受到重力、支持力和繩的拉力，繩的拉力提供了向心力，合力等于繩的拉力，方向指向圓心.
(2)合力的大小F＝m.
2.若月球(質量為m)繞地球做勻速圓周運動，其角速度為ω，月地距離為r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？該力的大小、方向如何？
答案　月球受到地球的引力作用，地球對月球的引力提供了月球繞地球做圓周運動的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知識深化
1.對向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r.
(2)向心力的方向
無論是否為勻速圓周運動，其向心力總是沿著半徑指向圓心，方向時刻改變，故向心力是變力.
(3)向心力的作用效果——改變線速度的方向.由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，故向心力不改變線速度的大小.
2.向心力的來源分析
向心力是根據力的作用效果命名的.它可以由重力、彈力、摩擦力等各種性質的力提供，也可以由它們的合力提供，還可以由某個力的分力提供.
(1)當物體做勻速圓周運動時，由于物體線速度大小不變，沿切線方向的合外力為零，物體受到的合外力一定指向圓心，以提供向心力.
(2)當物體做非勻速圓周運動時，其向心力為物體所受的合外力在半徑方向上的分力，而合外力在切線方向的分力則用于改變線速度的大小.
二、勻速圓周運動問題分析
1.勻速圓周運動問題的求解方法
圓周運動問題仍屬于一般的動力學問題，無非是由物體的受力情況確定物體的運動情況，或者由物體的運動情況求解物體的受力情況.
解答有關勻速圓周運動問題的一般方法步驟：
(1)確定研究對象、軌跡圓周(含圓心、半徑和軌道平面).
(2)受力分析，確定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根據向心力公式列方程，必要時列出其他相關方程.
(4)統一單位，代入數據計算，求出結果或進行討論.
2.幾種常見的勻速圓周運動實例
圖形 受力分析 力的分解方法 滿足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
三、變速圓周運動和一般的曲線運動
導學探究
用繩拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做變速圓周運動，如圖5所示.
圖5
(1)分析繩對沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何變化？為什么？
答案　(1)繩對沙袋的拉力方向不經過圓心，即不與沙袋的速度方向垂直，而是與沙袋的速度方向成一銳角θ，如題圖所示，拉力F有兩個作用效果，一是改變線速度的大小，二是改變線速度的方向.
(2)由于拉力F沿切線方向的分力與v一致，故沙袋的速度增大.
知識深化
1.變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動中合力不指向圓心，合力F產生改變線速度大小和方向兩個作用效果.
某一點的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解.
2.一般的曲線運動
曲線軌跡上每一小段看成圓周運動的一部分，在分析其速度大小與合力關系時，可采用圓周運動的分析方法來處理.
(1)合外力方向與速度方向夾角為銳角時，速率越來越大.
(2)合外力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為阻力，速率越來越小.
生活中的圓周運動
知識點：生活中的圓周運動
一、火車轉彎
1.如果鐵道彎道的內外軌一樣高，火車轉彎時，由外軌對輪緣的彈力提供向心力，由于質量太大，因此需要很大的向心力，靠這種方法得到向心力，不僅鐵軌和車輪極易受損，還可能使火車側翻.
2.鐵路彎道的特點
(1)彎道處外軌略高于內軌.
(2)火車轉彎時鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道的內側.支持力與重力的合力指向圓心.
(3)在修筑鐵路時，要根據彎道的半徑和規定的行駛速度，適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和彈力FN的合力來提供.
二、拱形橋
汽車過拱形橋 汽車過凹形橋
受力 分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
對橋的 壓力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
結論 汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小 汽車對橋的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大
三、航天器中的失重現象
1.向心力分析：宇航員受到的地球引力與座艙對他的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律：mg－FN＝m，所以FN＝mg－m.
2.完全失重狀態：當v＝時，座艙對宇航員的支持力FN＝0，宇航員處于完全失重狀態.
四、離心運動
1.定義：做圓周運動的物體沿切線飛出或做逐漸遠離圓心的運動.
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.
3.離心運動的應用和防止
(1)應用：離心干燥器；洗衣機的脫水筒；離心制管技術；分離血漿和紅細胞的離心機.
(2)防止：轉動的砂輪、飛輪的轉速不能太高；在公路彎道，車輛不允許超過規定的速度
技巧點撥
一、火車轉彎問題
1.彎道的特點
鐵路彎道處，外軌高于內軌，若火車按規定的速度v0行駛，轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如圖所示，則v0＝，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角.
2.速度與軌道壓力的關系
(1)當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時內外軌道對火車無擠壓作用.
(2)當火車行駛速度v>v0時，外軌道對輪緣有側壓力.
(3)當火車行駛速度v二、汽車過橋問題與航天器中的失重現象
1.拱形橋問題
(1)汽車過拱形橋(如圖)
汽車在最高點滿足關系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
①當v＝時，FN＝0.
②當0≤v<時，0③當v>時，汽車將脫離橋面做平拋運動，易發生危險.
說明：汽車通過拱形橋的最高點時，向心加速度向下，汽車對橋的壓力小于其自身的重力，而且車速越大，壓力越小，此時汽車處于失重狀態.
(2)汽車過凹形橋(如圖)
汽車在最低點滿足關系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
說明：汽車通過凹形橋的最低點時，向心加速度向上，而且車速越大，壓力越大，此時汽車處于超重狀態.由于汽車對橋面的壓力大于其自身重力，故凹形橋易被壓垮，因而實際中拱形橋多于凹形橋.
2.繞地球做圓周運動的衛星、飛船、空間站處于完全失重狀態.
(1)質量為M的航天器在近地軌道運行時，航天器的重力提供向心力，滿足關系：Mg＝M，則v＝.
(2)質量為m的航天員：設航天員受到的座艙的支持力為FN，則mg－FN＝.
當v＝ 時，FN＝0，即航天員處于完全失重狀態.
(3)航天器內的任何物體都處于完全失重狀態.
三、離心運動
1.物體做離心運動的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足夠的向心力.
注意：物體做離心運動并不是物體受到“離心力”作用，而是由于合外力不能提供足夠的向心力.所謂“離心力”實際上并不存在.
2.合力與向心力的關系(如圖所示).
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”.
(2)若F合>mrω2或F合>，物體做近心運動，即“提供過度”.
(3)若0(4)若F合＝0，則物體沿切線方向做直線運動.
行星的運動
知識點：行星的運動
一、兩種對立的學說
1.地心說
(1)地球是宇宙的中心，是靜止不動的；
(2)太陽、月亮以及其他行星都繞地球運動；
(3)地心說的代表人物是古希臘科學家托勒密.
2.日心說
(1)太陽是宇宙的中心，是靜止不動的，地球和其他行星都繞太陽做勻速圓周運動；
(2)日心說的代表人物是哥白尼.
3.局限性
(1)古人都把天體的運動看得很神圣，認為天體的運動必然是最完美、最和諧的勻速圓周運動.
(2)開普勒研究了第谷的行星觀測記錄，發現如果假設行星的運動是勻速圓周運動，計算所得的數據與觀測數據不符(填“不符”或“相符”).
二、開普勒定律
1.第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.
2.第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等.
3.第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等.其表達式為＝k，其中a是橢圓軌道的半長軸，T是公轉周期，k是一個對所有行星都相同的常量.
三、行星運動的近似處理
1.行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心.
2.行星繞太陽做勻速圓周運動.
3.所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉周期T的二次方的比值都相等，即＝k.
技巧點撥
一、開普勒定律的理解
1.開普勒第一定律解決了行星運動的軌道問題
行星繞太陽運行的軌道都是橢圓，如圖所示.不同行星繞太陽運動的橢圓軌道是不同的，但所有軌道都有一個共同的焦點——太陽.開普勒第一定律又叫軌道定律.
2.開普勒第二定律比較了某個行星在橢圓軌道上不同位置的速度大小問題
(1)如圖所示，在相等的時間內，面積SA＝SB，這說明離太陽越近，行星在相等時間內經過的弧長越長，即行星的速率越大.開普勒第二定律又叫面積定律.
(2)近日點、遠日點分別是行星距離太陽最近、最遠的點.同一行星在近日點速度最大，在遠日點速度最小.
3.開普勒第三定律比較了不同行星周期的長短問題
(1)如圖所示，由＝k知橢圓軌道半長軸越長的行星，其公轉周期越長.比值k是一個對所有行星都相同的常量.開普勒第三定律也叫周期定律.
(2)該定律不僅適用于行星繞太陽的運動，也適用于衛星繞地球的運動，對于地球衛星，常量k只與地球有關，而與衛星無關，也就是說k值大小由中心天體決定.
二、開普勒定律的應用
1.當比較一個行星在橢圓軌道不同位置的速度大小時，選用開普勒第二定律；當比較或計算兩個行星的周期問題時，選用開普勒第三定律.
2.由于大多數行星繞太陽運動的軌道與圓十分接近，因此，在中學階段的研究中我們可以按圓軌道處理，且把行星繞太陽的運動看作是勻速圓周運動，這時橢圓軌道的半長軸取圓軌道的半徑.
萬有引力定律
知識點一：萬有引力定律
一、行星與太陽間的引力
行星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動.設行星的質量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r.
天文觀測測得行星公轉周期為T，則
向心力F＝m＝mr①
根據開普勒第三定律：＝k②
由①②得：F＝4π2k③
由③式可知太陽對行星的引力F∝
根據牛頓第三定律，行星對太陽的引力F′∝
則行星與太陽間的引力F∝
寫成等式F＝G.
二、月—地檢驗
1.猜想：地球與月球之間的引力F＝G，根據牛頓第二定律a月＝＝G.
地面上蘋果自由下落的加速度a蘋＝＝G.
由于r＝60R，所以＝.
2.驗證：(1)蘋果自由落體加速度a蘋＝g＝9.8 m/s2.
(2)月球中心距地球中心的距離r＝3.8×108 m.
月球公轉周期T＝27.3 d≈2.36×106 s
則a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留兩位有效數字)
＝2.8×10－4(數值)≈(比例).
3.結論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力，遵從相同的規律.
三、萬有引力定律
1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.
2.表達式：F＝G，其中G叫作引力常量.
四、引力常量
牛頓得出了萬有引力與物體質量及它們之間距離的關系，但沒有測出引力常量G.
英國物理學家卡文迪什通過實驗推算出引力常量G的值.通常情況下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
技巧點撥
一、對太陽與行星間引力的理解
導學探究
1.是什么原因使行星繞太陽運動？
答案　太陽對行星的引力使行星繞太陽運動.
2.在推導太陽與行星間的引力時，我們對行星的運動怎么簡化處理的？用了哪些知識？
答案　將行星繞太陽的橢圓運動看成勻速圓周運動.在推導過程中，用到了向心力公式、開普勒第三定律及牛頓運動定律.
知識深化
萬有引力定律的得出過程
二、萬有引力定律
導學探究
(1)通過月—地檢驗結果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律.一切物體都存在這樣的引力，如圖，那么，為什么通常兩個人(假設兩人可看成質點，質量均為100 kg，相距1 m)間的萬有引力我們卻感受不到？
(2)地球對人的萬有引力與人對地球的萬有引力大小相等嗎？
答案　(1)兩個人之間的萬有引力大小為：F＝＝ N＝6.67×10－7 N，因引力很小，所以通常感受不到.
(2)相等.它們是一對相互作用力.
知識深化
1.萬有引力定律表達式：F＝G，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2.萬有引力定律公式適用的條件
(1)兩個質點間的相互作用.
(2)一個均勻球體與球外一個質點間的相互作用，r為球心到質點的距離.
(3)兩個質量均勻的球體間的相互作用，r為兩球心間的距離.
三、重力和萬有引力的關系
1.物體在地球表面上所受引力與重力的關系：
除兩極以外，地面上其他點的物體，都圍繞地軸做圓周運動，這就需要一個垂直于地軸的向心力.地球對物體引力的一個分力F′提供向心力，另一個分力為重力G，如圖所示.
(1)當物體在兩極時：G＝F引，重力達到最大值Gmax＝G.
(2)當物體在赤道上時：
F′＝mω2R最大，此時重力最小
Gmin＝G－mω2R
(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F′＝mω2R′減小，F′與F引夾角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
因為F′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引方向有偏差，重力大小mg2.重力與高度的關系
若距離地面的高度為h，則mg′＝G(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度).在同一緯度，距地面越高，重力加速度越小.
3.特別說明
(1)重力是物體由于地球吸引產生的，但重力并不是地球對物體的引力.
(2)在忽略地球自轉的情況下，認為mg＝G.
宇宙速度與人造地球衛星
知識點：宇宙航行
一、宇宙速度
1.牛頓的設想
如圖所示，把物體從高山上水平拋出，如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運動，成為人造地球衛星.
2.第一宇宙速度的推導
(1)已知地球質量m地和半徑R，物體繞地球的運動可視為勻速圓周運動，萬有引力提供物體運動所需的向心力，即＝m，可得v＝.
(2)已知地面附近的重力加速度g和地球半徑R，由mg＝m得：v＝.
(3)三個宇宙速度及含義
數值 意義
第一宇 宙速度 7.9 km/s 物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度
第二宇 宙速度 11.2 km/s 在地面附近發射飛行器使物體克服地球引力，永遠離開地球的最小地面發射速度
第三宇 宙速度 16.7 km/s 在地面附近發射飛行器使物體掙脫太陽引力束縛，飛到太陽系外的最小地面發射速度
二、人造地球衛星
1.1957年10月4日，世界上第一顆人造地球衛星發射成功.1970年4月24日，我國第一顆人造地球衛星“東方紅1號”發射成功.為我國航天事業作出特殊貢獻的科學家錢學森被譽為“中國航天之父”.
2.地球同步衛星的特點
地球同步衛星位于赤道上方高度約36 000 km處，因相對地面靜止，也稱靜止衛星.地球同步衛星與地球以相同的角速度轉動，周期與地球自轉周期相同.
三、載人航天與太空探索
1.1961年蘇聯宇航員加加林進入東方一號載人飛船，鑄就了人類首次進入太空的豐碑.
2.1969年，美國阿波羅11號飛船發射升空，拉開人類登月這一偉大歷史事件的帷幕.
3.2003年10月15日9時，我國神舟五號宇宙飛船把中國第一位航天員楊利偉送入太空，截止到2017年底，我國已經將11名航天員送入太空，包括兩名女航天員.
4.2013年6月，神舟十號分別完成與天宮一號空間站的手動和自動交會對接；2016年10月19日，神舟十一號完成與天宮二號空間站的自動交會對接.2017年4月20日，我國發射了貨運飛船天舟一號，入軌后與天宮二號空間站進行自動交會對接、自主快速交會對接等3次交會對接及多項實驗.
技巧點撥
一、三個宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)兩個表達式
思路一：萬有引力提供向心力，由G＝m得v＝
思路二：重力提供向心力，由mg＝m得v＝
(2)含義
①近地衛星的圓軌道運行速度，大小為7.9 km/s，也是衛星圓軌道的最大運行速度.
②人造衛星的最小發射速度，向高軌道發射衛星比向低軌道發射衛星困難，需要更多能量.
2.第二宇宙速度
在地面附近發射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠離開地球所需的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.當發射速度7.9 km/s3.第三宇宙速度
在地面附近發射飛行器，使之能夠掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
二、人造地球衛星
1.人造地球衛星
(1)衛星的軌道平面可以在赤道平面內(如同步軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度，如圖所示.
(2)因為地球對衛星的萬有引力提供了衛星繞地球做圓周運動的向心力，所以地心必定是衛星圓軌道的圓心.
2.近地衛星
(1)v1＝7.9 km/s；T＝≈85 min.
(2)7.9 km/s和85 min分別是人造地球衛星做勻速圓周運動的最大線速度和最小周期.
3.同步衛星
(1)“同步”的含義就是和地面保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期.
(2)特點
①定周期：所有同步衛星周期均為T＝24 h.
②定軌道：同步衛星軌道必須在地球赤道的正上方，運轉方向必須跟地球自轉方向一致，即由西向東.
③定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步衛星離地面高度為h＝－R≈3.58×104 km≈6R.
④定速度：由于同步衛星高度確定，則其軌道半徑確定，因此線速度、角速度大小均不變.
⑤定加速度：由于同步衛星高度確定，則其軌道半徑確定，因此向心加速度大小也不變.
三、同步衛星、近地衛星、赤道上物體的比較
同步衛星、近地衛星、赤道上物體的比較
1.同步衛星和近地衛星都是萬有引力提供向心力，即都滿足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比較各運動量的大小關系，即r越大，v、ω、an越小，T越大.
2.同步衛星和赤道上物體都做周期和角速度相同的圓周運動.因此要通過v＝ωr，an＝ω2r比較兩者的線速度和向心加速度的大小.
相對論時空觀與牛頓力學的局限性
知識點：相對論時空觀與牛頓力學的局限性
一、相對論時空觀
1.19世紀，英國物理學家麥克斯韋根據電磁場理論預言了電磁波的存在，并證明電磁波的傳播速度等于光速c.
2.1887年邁克耳孫—莫雷實驗以及其他一些實驗表明：在不同的參考系中，光的傳播速度都是一樣的！這與牛頓力學中不同參考系之間的速度變換關系不符(填“相符”或“不符”).
3.愛因斯坦假設：在不同的慣性參考系中，物理規律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是相同的.
4.時間延緩效應
(1)如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體在同一地點完成這個動作的時間間隔為Δt，那么兩者之間的關系是Δt＝.
(2)Δt與Δτ的關系總有Δt＞Δτ，即物理過程的快慢(時間進程)與運動狀態有關.(填“有關”或“無關”)
5.長度收縮效應：
(1)如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人測得桿長是l，那么兩者之間的關系是l＝l0.
(2)l與l0的關系總有l＜l0，即運動物體的長度(空間距離)跟物體的運動狀態有關.(填“無關”或“有關”)
二、牛頓力學的成就與局限性
1.牛頓力學的成就：牛頓力學的基礎是牛頓運動定律，萬有引力定律的建立與應用更是確立了人們對牛頓力學的尊敬.
2.牛頓力學局限性：牛頓力學的適用范圍是低速(填“高速”或“低速”)運動的宏觀(填“宏觀”或“微觀”)物體.
(1)當物體以接近光速運動時，有些與牛頓力學的結論不相同.
(2)電子、質子、中子等微觀粒子的運動不能用牛頓力學來說明.
3.牛頓力學不會被新的科學成就所否定，當物體運動的速度遠小于光速c時，相對論物理學與牛頓力學的結論沒有區別.
技巧點撥
一、相對論時空觀
1.低速與高速
(1)低速：通常所見物體的運動，如行駛的汽車、發射的導彈、人造地球衛星及宇宙飛船等物體皆為低速運動物體.
(2)高速：有些微觀粒子在一定條件下其速度可以與光速相接近，這樣的速度稱為高速.
2.相對論的兩個效應
(1)時間延緩效應：運動時鐘會變慢，即Δt＝.
(2)長度收縮效應：運動長度會收縮，即l＝l0.
3.對于低速運動的物體，相對論效應可以忽略不計，一般用經典力學規律來處理；對于高速運動問題，經典力學不再適用，需要用相對論知識來處理.
二、牛頓力學的成就與局限性
1.經典力學的成就
(1)經典力學體系是時代的產物，是現代機械、土木建筑、交通運輸以至航空航天技術的理論基礎.
(2)經典力學的思想方法對藝術、政治、哲學等社會科學領域也有巨大影響.
2.經典力學的局限性及適用范圍
(1)經典力學適用于低速運動的物體，相對論闡述物體在以接近光速運動時所遵循的規律.
(2)經典力學適用于宏觀世界；量子力學能夠正確描述微觀粒子的運動規律.
3.相對論和量子力學沒有否定經典力學
(1)當物體的運動速度遠小于光速時，相對論物理學與經典物理學的結論沒有區別；
(2)當另一個重要常量即“普朗克常量”可以忽略不計時，量子力學和經典力學的結論沒有區別.
(3)相對論和量子力學并沒有否定經典力學，經典力學是二者在一定條件下的特殊情形
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