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巧用換元法 妙解三角函數(shù)
三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.換元法是一種非常有效的解題方法，尤其是處理一些復(fù)雜的問題，效果明顯.合理代換往往能簡化題目的信息，優(yōu)化解題過程.當(dāng)三角函數(shù)遇上換元法，往往可以提現(xiàn)解題的優(yōu)越性，把復(fù)雜問題輕松解決.
1.一般到三角
例1(全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽)已知，求函數(shù)的值域.
解：由得
則并且易知
由三角函數(shù)有界性可得：，
從而解得：
評析：引進(jìn)三角函數(shù)，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的重要數(shù)學(xué)思想方法，同時要注意的角的取值范圍.
例2：(第三屆“希望杯”競賽）已知且，求證.
證明：
則已知可化為：.
即
從而有，則
故原式得證.
2.三角到一般
例3.已知，求證：
解：令.
則由已知得：
整理即得：，從而得 ，
那么
從而原式得證.
評析：借助同角三角函數(shù)平方和關(guān)系式，巧妙轉(zhuǎn)換，化三角函數(shù)為一般，從而使問題簡化.
例4.求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
解：設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，則
x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
點(diǎn)評：換元構(gòu)造對偶式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙.
三角換元法往往側(cè)重于一般的函數(shù)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，事實(shí)上兩者可以相互轉(zhuǎn)換，要根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，充分發(fā)揮各自的威力.
下面變式供同學(xué)們練習(xí)：
變式練習(xí)：1.已知函數(shù)，求的值域.
2.
3.求值：
參考答案：1. 2.
3. （提示：令，. 由得
由得）

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