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專題37彈性碰撞與非彈性碰撞（類碰撞）模型
【知識梳理】
一、碰撞的特點和分類
1．碰撞的特點
(1)時間特點：碰撞現象中，相互作用的時間極短，相對物體運動的全過程可忽略不計。
(2)相互作用力特點：在碰撞過程中，系統的內力 外力，所以系統動量守恒。
2．碰撞的分類
(1)彈性碰撞：系統 守恒， 守恒。
(2)非彈性碰撞：系統 守恒， 減少，損失的機械能轉化為內能。
(3)完全非彈性碰撞：系統動量守恒，碰撞后合為一體或具有 的速度，機械能損失最 。
3.爆炸：一種特殊的“碰撞”
特點1：從動量角度，系統動量 。
特點2：從能量角度，系統能量 。
二、彈性正碰模型
1．“一動碰一靜”模型：質量為m1、速度為v1的小球與質量為m2的靜止小球發生正面彈性碰撞：
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
解得v1′＝，v2′＝。
結論：
(1)當兩球質量相等時，v1′＝ ，v2′＝ ，兩球碰撞后交換了 。
(2)當質量大的球碰質量小的球時，v1′>0，v2′>0，碰撞后兩球都沿速度v1的方向運動。
(3)當質量小的球碰質量大的球時，v1′<0，v2′>0，碰撞后質量小的球被反彈回來。
(4)撞前相對速度與撞后相對速度大小 。
2．如果兩個相互作用的物體，滿足動量守恒的條件，且相互作用過程初、末狀態的總機械能不變，廣義上也可以看成彈性正碰。
三、碰撞可能性分析
判斷碰撞過程是否存在的依據
1.滿足動量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
2.滿足動能不增加原理：Ek1＋Ek2 Ek1′＋Ek2′或＋ ＋。
3.速度要符合情景
(1)如果碰前兩物體同向運動，則后面物體的速度必 前面物體的速度，即v后 v前，否則無法實現碰撞。碰撞后，原來在前的物體的速度一定 ，且原來在前的物體的速度 原來在后的物體的速度，即v前′ v后′。
(2)如果碰前兩物體是相向運動，則碰后兩物體的運動方向不可能都不改變，除非兩物體碰撞后速度均為零。若碰后沿同向運動，則前面物體的速度 后面物體的速度，即v前 v后。
四、“滑塊—彈簧”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)動量守恒：兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力 ，則系統動量守恒．
(2)機械能守恒：系統所受的外力為零或除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能 ．
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度 ，彈性勢能最 ，系統動能通常最 (相當于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉化為彈簧的 )．
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為 ，系統動能最 (相當于剛完成彈性碰撞)．
五、“滑塊—斜(曲)面”模型
1．模型圖示
2．模型特點
(1)上升到最大高度：
①m與M具有共同 速度v共，此時m的豎直速度vy＝ ，系統水平方向動量守恒，mv0＝(M＋m)v共；
②系統機械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度，不一定等于弧形軌道的高度(相當于完全非彈性碰撞，系統減少的動能轉化為m的重力勢能)．
(2)返回最低點：m與M分離點．水平方向動量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系統機械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相當于完成了彈性碰撞)．
【專題練習】
一、單項選擇題
1．物體甲靜止在光滑水平面上，質量未知的物體乙從甲的左側以一定的速度與物體甲發生正碰，碰撞時間極短，碰撞后物體甲和物體乙粘在一起成為一個整體。如圖所示，a段為碰撞前物體乙的位移一時間圖像，b段為碰撞后整體的位移一時間圖像，下列說法正確的是（　　）
A．物體甲與物體乙的質量之比為1：2
B．碰撞前物體乙的速度與碰撞后整體的速度大小之比為
C．物體甲和物體乙碰撞過程中機械能守恒
D．碰撞過程中物體甲對物體乙的沖量與物體乙對物體甲的沖量相同
2．內壁光滑的圓環管道固定于水平面上，圖為水平面的俯視圖。O為圓環圓心，直徑略小于管道內徑的甲、乙兩個等大的小球（均可視為質點）分別靜置于P、Q處，PO⊥OQ，甲、乙兩球質量分別為km、m。現給甲球一瞬時沖量，使甲球沿圖示方向運動，甲、乙兩球發生彈性碰撞，碰撞時間不計，碰后甲球立即反彈，甲球剛返回到P處時，恰好與乙球再次發生碰撞，則（　　）
A． B． C．k=3 D．
3．2019年斯諾克世界杯于今年6月24日在中國無錫開賽，為中國斯諾克臺球獲得世界冠軍做出巨大貢獻的臺球名將丁俊暉、梁文博繼續出戰。丁俊暉的一次擊球如圖所示，光滑的水平面上，白球A以某一速度被擊出，與靜止的紅球B發生對心正碰，假設碰前A球的動量為，碰后B球的動量為，則A、B兩球的質量之比可能為（　　）
A．1 ： 4 B．1 ： 1 C．2 ： 1 D．4 ： 1
4．如圖所示，靜止在光滑水平面上的物塊A和B的質量分別為m和2m，它們之間用輕彈簧相連。在極短的時間內對物塊A作用一個水平向右的沖量I，可知（　　）
A．物塊A立刻有速度
B．物塊B立刻有速度
C．當A與B之間的距離最小時，A的速度為零，B的速度為
D．當彈簧恢復原長時，A的速度為零，B的速度為
5．如圖木塊A的右側為光滑曲面，且下端極薄，其質量為2.0kg，靜止于光滑水平面上，一質量為2.0kg的小球B以2.0m/s的速度從右向左運動沖上A的曲面，則B球沿A曲面上升的最大高度是（g取10m/s2）（　　）
A．0.2m B．0.1m C．0.3m D．0.5m
6．如圖甲所示，光滑的水平地面上放著一個足夠長的長木板，t=0時，一質量為m的滑塊以初速度v0滑上長木板，兩者的v﹣t圖像如圖乙所示，當地的重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．在0～t0時間內，滑塊在長木板上滑過的位移為
B．長木板的質量為
C．在0～t0時間內，滑塊受到的摩擦力為
D．在0～t0時間內，滑塊與長木板之間因摩擦而產生的熱量為
二、多項選擇題
7．如圖，兩滑塊A、B在光滑水平面上沿同一直線相向運動，滑塊A的質量為m，速度大小為2，方向向右，滑塊B的質量為2m，速度大小為，方向向左，兩滑塊發生彈性碰撞后的運動狀態是 （　　）
A．A和B都向左運動 B．A向左速度為2，B向右速度
C．A靜止，B向右運動 D．A向左運動，B向右運動
8．如圖所示，一輕彈簧的兩端分別與物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上。物塊A、B的質量分別為m、2m。現使B瞬間獲得一水平向右的速度，從此刻開始到彈簧第一次伸長達到最大過程中，彈簧彈力對B球的沖量大小為、做功為；當彈簧由此次最大伸長到第一次恢復原長的過程中，彈簧彈力對B球的沖量大小為、做功為，則（　　）
A． B． C． D．
9．質量為m2且各處光滑的帶有四分之一圓弧（半徑足夠大）的軌道靜止在光滑水平面上，現有一質量為m1的滑塊以初速度v0水平沖上軌道（不脫離軌道），下列說法正確的是（ ）
A．若m1= m2，則m1滑下后將與m2一起以的速度勻速運動
B．若m1= m2，則m1滑到最高點時速度為0
C．若m1= m2，則m1上升的最大高度為
D．m1滑下后，速度可能向左
10．如圖所示，帶有擋板的小車質量，擋板上固定一輕彈簧，彈簧自由端離小車右端的距離，小車上表面點左側光滑，小車靜止于光滑水平面上。質量的滑塊（可以看做質點）以速度從右側滑上小車。已知滑塊與小車點右側表面的動摩擦因數，重力加速度，整個過程中彈簧始終處于彈性限度內。下列說法中正確的是（ ）
A．滑塊相對小車向左滑行的過程中一直在減速
B．滑塊相對小車向左滑行的過程中加速度大小先不變后變大
C．此過程中彈簧的最大彈性勢能
D．滑塊離開小車后做自由落體運動
三、填空題
11．如圖所示，某興趣小組希望通過實驗求得連續碰撞中的機械能損失，做法如下：在光滑水平面上，依次有質量為m，2m，3m……10m的10個小球，排列成一直線，彼此間有一定的距離，開始時后面的九個小球是靜止的，第一個小球以初速度v0向著第二個小球碰去，結果它們先后全部粘合到一起向前運動．求全過程中系統損失的機械能為__________．
12．某機械裝置的豎直切面如圖所示，裝置由內壁光滑的圓管構成，其中AB部分水平，BC部分是內徑為R的半圓，且圓管半徑遠小于R．由于某種原因，一質量為m的小球a留在了水平管內，現用一個質量也為m的小球b“沖撞”小球a，小球a恰好到達圓管最高點C，已知兩小球發生彈性正碰，兩小球直徑略小于圓管直徑，重力加速度為g。則小球b的入射速度大小為______，小球b對小球a的沖量大小為_____。
四、解答題
13．如圖所示，水平面上固定著兩根足夠長的平行導槽，質量為3m的U形管恰好能在兩導槽之間自由滑動，一質量為m的小球沿水平方向，以初速度v0從U形管的一端射入，從另一端射出。已知小球的半徑略小于管道半徑，不計一切摩擦，求：
（1）小球從U形管另一端射出時的速度；
（2）小球運動到U形管最左端時的速度。
14．如圖所示，原來靜止在光滑水平面上的小車質量為，上表面是光滑曲面，現在有一個質量為的可看成質點的小球以速度從左端滑上小車，小球沒有翻越曲面，最后從小車左側離開小車（g取10m/s2）。
（1）小球離開小車時小球的速度和小車的速度各是多大？
（2）曲面的高度需要滿足什么條件？
15．如圖，LMN是豎直平面內固定的光滑軌道，MN水平且足夠長，LM下端與MN相切。質量為2kg的小球B與一輕彈簧相連，并靜止在水平軌道上，質量為4kg的小球A從LM上距水平軌道高為h=0.45m處由靜止釋放，在A球進入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧但不粘連。設小球A通過M點時沒有機械能損失，重力加速度g取10m/s2.求：
（1）A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v0；
（2）A球與彈簧相碰過程中彈簧的最大彈性勢能Ep；
（3）A、B兩球最終的速度vA、vB的大小。
參考答案
1．A 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．BD 8．BC 9．CD 10．AD
11．
12． ；
13．【解析】
（1）小球從U形管的一端射入，從另一端射出的全過程中，沒有外力做功，小球與U形管組成的系統整體機械能守恒，相當于完成了一次彈性碰撞，則選向左的方向為正方向，有
mv0=mv1+3mv2
聯立解得
負號表示速度方向與所選的正方向相反；
（2）從射入到運動到U形管最左端的過程中，小球和U形管平行于導軌方向動量守恒，則
mv0=(m+3m）vx
得
根據能量守恒定律得
解得v=
14．【解析】
（1）小球滑上小車到從小車左側離開小車過程，小球與小車組成的系統滿足水平方向動量守恒，可得
小球與小車組成的系統滿足機械能守恒，可得
聯立解得，
可知小球離開小車時小球的速度大小為，方向向左，小車的速度大小為，方向向右。
（2）當小球到達最高點時，小球與小車具有相同的水平速度，根據水平方向動量守恒可得
根據系統機械能守恒可得
聯立解得
為了滿足小球沒有翻越曲面，曲面的高度需要滿足
即
15．【解析】
（1）設A球質量m1，A球下滑的過程，由動能定理
代入數據可解得
（2）設B球的質量為m2，A球進入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧，當A、B相距最近時，兩球速度相等，彈簧的彈性勢能最大，設此時A、B的速度為v，由動量守恒得
由能量守恒可得彈簧的彈性勢能
聯立方程，代入數據可解得
（3）當彈簧恢復原長時，設A、B的速度分別為、之后A、B分離，這也就是它們的最終速度，由動量守恒可得
再根據能量守恒可得
聯立兩式，代入數據可解得；

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