資源簡介

數學 選擇性必修第二冊
人教版 A 版
第四章 數列
4.1 數列的概念
4.2 等差數列
4.3 等比數列
4.4 數學歸納法
第五章 一元函數的導數及其應用
5.1 導數的概念及其意義
5.2 導數的運算
5.3 導數在研究函數中的應用
第四章 數列
4.1 數列的概念
一、數列
1.數列：按照一定順序排列著的一列數稱為數列。
（1）項：數列中的每一個數叫做這個數列的項。
（2）首項：數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第 1 項（通常也叫做
首項）。
（3）記法：排在第 n 位的數稱為這個數列的第 n 項。所以，數列的一般形式可以寫成 a1，a2，
a3，…，an，… . 簡記為 {an} 。({ }此時表示數列，而不是集合)
2.數列的分類
（1）按照數列的項數分：
①有窮數列：項數有限的數列
②無窮數列：項數無限的數列
（2）按照數列的變化趨勢分：
①遞增數列：從第 2 項起，每一項都大于它的前一項的數列。
②遞減數列：從第 2 項起，每一項都小于它的前一項的數列。
③常數列：各項都相等的數列。
④擺動數列：從第 2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列。
3.數列與數集：數列是按照一定順序排列的一列數。數集則是無序的。
4.通項公式
*
（1）數列可以看成以正整數集 N （或它的有限子集{1,2，…，n}）為定義域的函數
an=f(x)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值。反過來，對于函數 y=f(x)，
如果 f(i)（i=1,2,3,…）有意義，那么我們可以得到一個數列
f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…。 n f(n)
數列是特殊的函數（離散函數）
1 a1
2 a2
3 a3
（2）如果數列 {an} 的第 n 項與序號 n 之間 ··· ···
n an
的關系可以用一個式子來表示，那么這個 ··· ···
公式叫做這個數列的通項公式。
5.遞推法：如果已知數列{an}的首項（或前幾項），且任一項 an 與它的前一項 an-1 （或前
幾項）間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式。用遞推公式
給出數列的方法叫做遞推法。
6.數列的表示方法：圖像、列表、公式、遞推公式
4.2 等差數列
一、等差數列
1.等差數列：一般地，如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個
數列就叫做等差數列。（后項-前項）
（1）這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母 d 表示。
2.等差中項：由三個數 a，A，b 組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列。
這時，A 叫做 a 與 b 的等差中項。
（1）求等差中項：d=an-an-1 或 d=an+1-an
+
（2）a，A，b 為等差數列，則有 2A=a+b ， 得 A=
2
3.等差數列的通項公式： an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd (類似一元一次方程)
（1）推導：一般地，如果等差數列{an}的首項是 a1,公差是 d，我們根據等差數列的定義，可以得到 a2-
a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，所以有
a2=a1+d，a3=a2+d=( a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=( a1+2d)+d= a1+3d，……
由此，得出等差數列的通項公式 an = a1 +(n-1)d = (a1-d)+nd
4.關于等差數列的公式
（1）若 m+n=p+q ，則 am+an=ap+aq
（2）若 m+n=2p ，則 am+an=2ap
（3）若 an = a1 +(n-1)d ，則 an = am +(n-m)d

（4）d=

（5）若{an}為等差數列，公差為 d，則數列 ak，ak+m，ak+2m，…，公差為 md
5 已知數列{an}的通項公式為 an=pn+q，其中 p，q 為常數，那么這個數列一定是等差數列嗎？
解：取數列{an}中的任意相鄰兩項 an 與 an-1 (n＞1)求差，得
an- an-1 =(pn+q)-[p(n-1)+q] = pn+q-(pn-p+q) =p ，
它是一個與 n 無關的常數，所以{an}是等差數列。
二、等差數列{an}的前 n 項和：
1.數列{an}的前 n 項和：一般地，我們稱 a1+a2+a3+…+an 為數列{an}的前 n 項和，用 Sn 表示，即 Sn =
a1+a2+a3+…+an 。
2.等差數列{an}的前 n 項和
（1）推導：對于公差為 d 的等差數列， 倒序相加求和
Sn =a1+(a1+d)+ (a1+2d)+…+[a1+(n-1)d] ① (第 1 項+…+第 n 項)
Sn =an+(an-d)+ (an-2d)+…+[an-(n-1)d] ② (第 n 項+…+第 1 項)
由①+②，得 2Sn=(a1+an)+ (a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)，由此得到等差數列{an}的前 n 項和的公式
n( 1+ ) 項數(首項+末項)Sn= =
2 2
代入等差數列的通項公式 an = a1 +(n-1)d，Sn 也可以表示用首項 a1 與公差 d 表示，即
n(n 1)d
Sn=na1+
2
3.在等差數列{an}中。前 n 項和 Sn 的性質
（1）Sm ，S2m- Sm ，S3m- S2m 也成等差數列，公差為 m
2d
S S S d
（2）等差數列 { }，即數列 m 1 ， m， m+1 ，公差為
n m 1 m m+1 2
a
（3） m
S
= 2m 1 (am，bm 為等差數列，S、T 為前 n 項和)
2 1
4.裂項求和：設法將數列的每一項拆成兩項（裂項），并使它們在相加時除了首尾各有一項或少數幾項外，
其余各項都能前后相消，進而可求出數列的前 n 項和。
5.常見的裂項公式：
1 1 1
（1） = -
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（2） = ( - )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1
（3） = ( - )
(2n 1)(2n+1) 2 2n 1 2n+1
1 1
（4） = ( √n + k - √n )
√ + + √ k
1 1 1 1
（5） = [ - ]
n(n+1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
6.在等差數列{a2n}中，所有奇數項和為 S 奇=(a1+nd)(n+1)
推導：S 奇=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2n+1 ①
=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)
S 奇= a2n+1+ a2n-1+…+ a3+ a1 ②
=(a1+2nd)+ (a1+2nd-2d)+…+(a1+2d)+ a1
①+②得，2 S 奇=(2a1+2nd)(n+1) 所以 S 奇=(a1+nd)(n+1)
4.2 等比數列
一、等比數列
1.等比數列：一般地，如果一個數列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數
列叫做等比數列。
（1）這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母 q 表示（q≠0）。
（2）等比中項：若 a，G，b 成等比數列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項。則有

= ， G2=ab （a,b 同號） G=±√

2.等比數列{an}的通項公式：
an =a q
n-I
1 （q≠0）

推導： an =a q
n-m
m , 公比為 q=


3.已知 Sn 和 an 的關系，在 n≥2 時，往往得到 an 與 an-1 的關系
4. M=√ ,是 a，M，b 為等比數列的既不充分也不必要條件
5.證明數列為等比數列常用的方法：

（1）定義法： +1

= = q （q 為常數，n≥2）
1
（2）等比中項法：an+1
2= a *n · an+2 （an≠0，n∈N ）
（3）通項法：an =a1q
n-1
6.等比數列性質：
（1）若 m+n=q+p ，則 am · an = ap · aq
（2）若 m，n，p，為等差數列，則 am 、 an 、ap 為等比數列。
（3）若 a1、a2、…、an-1、an 為等比數列，則 a1 ·an = a2 ·an-1= a3 ·an-2 =…
（4）若{an}是公比為 q 的等比數列，則{ λan } （λ為常數）、{｜an｜} 、√ 仍為等比數列，公比分別
為 q、｜q｜、√ 。

（5）若{an}、{bn}是公比分別為 p、q 的項數相同的等比數列，則 {an·bn}、{
} 仍為等比數列，公比分


別為 pq、 。

（6）若{an}是公比為 q 的等比數列，且 an＞0，則 {logc an} 是以 logcq 為公差的等差數列。
（7）若數列{an}是公差為 d 的等差數列，則數列{ } 是公比為 C
d 的等比數列。
7.關于等比數列{an}的單調性：
（1）單調遞增：①a1＞0，q＞1 時 ②a1＜0，0＜q＜1 時
（2）單調遞減：①a1＞0，0＜q＜1 時 ②a1＜0，q＞0 時
（3）常數列：q=1 時
（4）擺動數列：q＜0 時
8.求等比數列時的設項方法：

（1）三個數： 、a、aq 公比為 q


（2）四個數： 3 、 、aq、aq
3 公比為 q2 ＞0

9.求等差數列時的設項方法：
（1）三個數：a-d、a、a+d 公差為 d
（2）四個數：a-3d、a-d、a+d、a+3d 公差為 2d
二、等比數列的前 n 項和
1.公式的推理：
數列{an}的前 n 項和：一般地，對于等比數列 a1，a2，a3，…，an ，的前 n 項和是
Sn = a1+a2+a3+…+an ，根據等比數列的通項公式，得 錯位相減法
Sn = a1+a1q+a1q
2+…+a1q
n-1 ①，如果用公比 q 乘①的兩邊，可得
qSn = a q+a q
2
1 1 +…+a q
n
1 ②，用①-②得：(1-q)Sn =a1-a
n
1q
(1 )
所以，得 Sn =
1 （q≠1）
1
2.等比數列的前 n 項和的公式： （代入通項公式）

S = 1
(1 )
= 1

n （q≠1）
1 1
Sn = na1 （q=1）
3.性質：
（1） Sn ，S2n – Sn ，S3n – S2n 為等比數列，那么公比為 q
n 。
S偶
（2）等比數列{an}項數為 2n，則 = q 。
S奇
a [1 ( 2) ]
證明：當 q≠1 時，S 偶=a2+a4+…+a2n =
2 ①.
1 2
a [1 ( 2) ] ① S偶 a
S 奇 = a1+a3+…+a2n-1 =
1
2 ②. 則用 = =
2 =q .
1 ② S奇 a1
當 q=1 時，顯然成立。
（3）若{an}為等比數列，則 S
n
n=Aq +B ，且 A+B=0
1(1
) 1 證明：Sn = = (1 )=
1 - 1 · qn = - 1 · qn +- 1
1 1 1 1 1 1
三、數列求和的常用方法
1.錯位相減法：等比數列（形如 an =bn · Cn ，且{bn}為等差數列，{Cn}為等比數列。）
2.倒序相加法：等差數列
3.并項求和法：（擺動數列）
4.裂項相消法：（把數列的通項拆成兩項之差求和，正負項相消，剩下首尾若干項。）
1 1 1
（形如： = - 等）
n(n+1) n n+1
5.分組求和法：（形如：an=bn+Cn ，{bn}、{Cn}同為等差數列或等比數列。）
1 1 1
例：設 x≠0，求和 Sn=(x+ )
2+(x2+ )2+…+(xn+ )2
2

2 1 4 1 1解：Sn=(x +2+ )+ (x +2+ )+…+(x
2n+2+ )
2 4 2
1 1 1
=2n+( x2+ x4+…+x2n)+( + + )
2 4 2
當 x2 =1 即 x=±1 時 ，Sn=2n+n+n=4n
1 1
2(1 2 2 ) 2(1 2
)
當 x ≠1 時 ，Sn=2n+ +
1 2 1 2
6.求 an 的方法：
（1）觀察法（規律）
（2）公式法（直接）
（3）已知 Sn 求 an （an=Sn-Sn-1 ，n≥2，驗證 n=1 時是否成立）
3
例 3：數列{an}的前 n 項和 Sn = an-3 ,求 an .
2
3
解：當 n=1 時，a1=S1= a1-3 ,得 a1=6
2
3 3
當 n≥2 時，an=Sn-Sn-1 = an - an-1 ,化簡得 =3
2 2 1
所以{an}為等比數列，a =6×3
n-1
n =2×3
n ，此時 n=1 時亦成立，
所以 an=2×3
n 。
（4）構造法 （形如 an+1 = p·an+q ） 變換為 an++1+x=p(an+x) 形式后求 q
例 4：已知 a1=3，an+1=2an+3，求 an
解：化為 an+1+x=2(an+x)形式 ∴ an+1=2an+x ∴x=3
于是有 an+1+3=2(an+3) ，∴q=2 ，∴{an+3}是以 a1+3=6 為首項，公比為 2 的
等比數列 ∴an+3=6×2
n-1 ，∴a nn=3(2 -1)
（5）累加法 （ 形如 an+1 -an=f(n) ）
例 5：已知數列{an}中，a1=1,且 an+1-an=3
n-n，求 an
解：∵an+1-a
n n-1
n=3 -n ∴an-an-1=3 -(n-1)
a -a =3n-2n-1 n-2 -(n-2)
… a3-a2=3
2-2
a2-a1=3-1
兩邊分別相加：a -a =(3n-1+3n-2n 1 +…+3)-[(n-1)+(n-2)+…+1]
3(1 3 1) ( 1)
= - ·（-1）
1 3 2
從而可以解出 an
+1
（6）累乘法 （ 形如 = f(n) ）

+2
例 6：已知 a1=1， +1 = ，求 an


解：∵ +1
+2 +1
= 所以 =
1 1

1 =
2 2
4
… 3 =
2 2
2 3 =
1 1
( +1) ( +1)
兩邊分別相乘： = ，∵a1=1 ，∴an= ，a1 亦成立
1 2 2
( +1)
∴an=
2
（7）作商法
（ 形如 a1 · a2 · a3 …an = f(n) ）
當 n=1 時 ，an=f(1)
( )
當 n≥2 時 ，an=
( 1)
例 7：在{an}中，a1=1 ，有 a1 · a2 · a3 …an =n
2 ，求 a3+a5
解：a1 · a2 · a3 …an =n
2
①
a1 · a2 · a3 …an-1 =(n-1)
2 ②
① 61
∴ 得 an=( )
2 ∴a3+a5=
② 1 16
（8）倒數法

例 8：在{an}中，a1=1 ，a 1n= ,求 an .
3 1+1

解：∵a = 1
1 3
∴ = 1
+1 1
n =3+
3 1+1 1 1
1
即{ }為首項為 1，公差為 3 的等差數列。

1 1
∴ =1+(n-1)·3=3n-2 ∴ an=
3 2
4.4 數學歸納法
一、數學歸納法
1.數學歸納法：一般地，證明一個與正整數 n 有關的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當 n 取第一個值 n0（n0 屬于 N
*）時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設 n=k（k≥n0，k∈N
*）時命題成立，證明當 n=k+1 時命題也成立。
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n0 開始的所有正整數 n 都成立。
2.歸納法的分類：歸納法是由一些特殊事例推出一般結論的推理方法其中特點是“特殊→一般”
（1）不完全歸納法：根據事物的部分（而不是全部）特例得出一般結論的推理方法叫作不完全歸納法
（2）完全歸納法：把研究對象一一都考察到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法。
1
例 1：用數學歸納法證明：13 + 23 + + 3 = 2( + 1)2（n∈N*）
4
1
證明：①當 n=1 時，左邊= 13 = 1，右邊= × 12 × (1 + 1)2 = 1，等式成立。
4
1
②假設當 n=k（k∈N*）時，等式成立，即13 + 23 + + 3 = 2( + 1)2，
4
1
那么13 + 23 + + 3 + ( + 1)3 = 2( + 1)2 + ( + 1)3
4
2 1= ( + 1) [ 2 + ( + 1)]
4
1
= ( + 1)2( + 2)2
4
1
= ( + 1)2 [ ( + 1) + 1 ]2
4
即當 n=k+1 時，等式也成立。根據①②可知，等式對任意 n∈N*都成立。
第五章 一元函數的導數及其應用
5.1 導數的概念及其意義
一、變化率問題
△y f(x ) f(x )
1.平均變化率： = 2 1
△x x2 x1
2.瞬時變化率：
一般地，函數 y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率是函數 f(x)從 x0 到 x0+△x 的平均變化率在△x→0 時的
△y f( 0+△x) f( 0)極限，即 lim = lim
△x→0 △x △x→0 △x
3.函數 f(x)在 x=x0 處的導數：
函數 y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率稱為函數 y=f(x)在 x=x0 處的導數，記作 f'(x0)或 y'｜x=x0 ,即
△y f( +△x) f( )
f'(x0)= lim = lim 0 0
△x→0 △x △x→0 △x
二、導數的概念及其幾何意義
1.函數 y=f(x)在 x=x0 處的導數就是曲線 y=f(x)在點 P(x0，f(x0))處的切線的斜率 k，即
f( +△x) f( )
K= f'(x0)= lim 0 0
△x→0 △x
2.導函數：
從求函數 y=f(x)在 x=x0 處的導數的過程可以看到，當 x=x0 時，f'(x0)是一個確定的數。這樣，當 x
變化時，f'(x)便是 x 的一個函數，我們稱它為 f(x)的導函數（導數）。即
f( +△x) f( )
f'(x)=y'= lim 0 0
△x→0 △x
5.2 導數的運算
一、基本初等函數的導數
（一）、幾個常用函數的導數
△y f(x+△x) f(x) c c △y
1.函數 y=f(x)=c 的導數： = = = 0 ，所以 y'= lim = lim 0 = 0
△x △x △x △x→0 △x △x→0
△y f(x+△x) f(x) x+△x x △y
2.函數 y=f(x)=x 的導數： = = = 1，所以 y'= lim = lim 1 = 1
△x △x △x △x→0 △x △x→0
△y f(x+△x) f(x) (x+△x)2 x2 x2+2x·△x+(△x)2 x2
3.函數 y=f(x)=x2 的導數: = = = = 2x +△ x，
△x △x △x △x
△y
所以 y'= lim = lim (2x +△ x) = 2x
△x→0 △x △x→0
1 1
1 △y f(x+△x) f(x) x (x+△x) 1
4.函數 y=f(x)= 的導數: = = x+△x x = = ，所以
x △x △x △x x(x+△x)△x x2+x·△x
△y 1 1
y'= lim = lim ( ) =
△x→0 △x 2△x→0 x +x·△x x2
△y f(x+△x) f(x) √x+△x √ (√x+△x √ )(√x+△x+√ ) 1
5.函數 y=f(x)= √ 的導數: = = = = ，所以
△x △x △x △x(√x+△x+√ ) √x+△x+√
△y 1 1
y'= lim = lim =
△x→0 △x △x→0 √x+△x+√ 2√
（二）、基本初等函數的導數公式及導數的運算法則
1.導數公式
函數 導函數
f(x)=c f'(x)=0
f(x)=xa（a∈Q*） f'(x)=axa-1
f(x)=sinx f'(x)=cosx
f(x)=cosx f'(x)= - sinx
f(x)=ax f'(x)=axlna（a>0）
f(x)=ex f'(x)=ex
1
f(x)=logax f'(x)= （a>0，a≠1）

1
f(x)=lnx f'(x)=

二、導數的四則運算法則
[ f(x) ± g(x) ] ' = f'(x) ± g'(x)
[ f(x) · g(x) ] ' = f'(x) ·g(x) + f(x) · g'(x)
f(x) f′(x) · g(x) f(x)·g′(x)
[ ] ' = 2 （g(x)≠0） g(x) [ g(x) ]
三、簡單復合函數的導數
1.復合函數：一般地，對于兩個函數 y=f(u)和 u=g(x)，如果通過變量 u，y 可表示成 x 的函數，那么稱
這個函數為函數 y=f(u)和 u=g(x)的復合函數，記作 y=f( g(x) )。
（1）復合函數 y=f( g(x) )的導數和函數 y=f(u)，u=g(x)的導數間的關系為：
yx'=yu' ·ux'=f '(u)·g' (x)
（2）求復合函數的導數：
例①：求函數 y=(2x+3)2 的導數：
解：函數 y=(2x+3)2 可以看作函數 y=u2 和 u=2x+3 的復合函數，
根據復合函數求導法則有：
yx'=yu'·ux' =(u2) '·(2x+3) ' =4u =8x+12
5.3 導數在研究函數中的應用
一、函數的單調性
1.一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：在某個區間（a，b）內，
①如果 f'(x)>0，那么函數 y=f(x)在這個區間內單調遞增；
②如果 f'(x)<0，那么函數 y=f(x)在這個區間內單調遞減；
2.求函數單調區間的步驟：
①求出函數定義域及 f'(x)；
②解 f'(x)>0，f'(x)<0 并與定義域求交集；
③確定單調區間。
3.已知函數 y=f(x)，x∈[a，b]的單調性，求參數的取值范圍的步驟：
①求導數 y= f'(x)；
②轉化為 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 在 x∈[a，b]上恒成立問題；
③由不等式恒成立求參數范圍；
④驗證等號是否成立。
4.證明不等式 g(x)>φ(x) [或 g(x)≥φ(x)] 成立，可構造函數 f(x)=g(x)-φ(x)，后利用導數研究函數 f(x)>0
[或 f(x)≥0]，從而得不等式 g(x)>φ(x) [或 g(x)≥φ(x)] 成立。
1
例①：當 x>0 時，證明不等式 ln(x+1)>x- x2 .
2
1 1
證明：設 f(x)= ln(x+1) ，g(x)= x- x2 .F(x)= f(x)- g(x) ，則 F(x)= ln(x+1)- x+ x2 .
2 2
1 2
函數 F(x)的定義域為（-1，+∞），則 F' (x)= 1 + = ，當 x>0 時，
x+1 x+1
F' (x)>0 恒成立，則函數 F(x)在（0，+∞）上是單調遞增函數，
1
故 F(x)>F(0)=0，從而 f(x)>g(x)，即 ln(x+1)>x- x2 。
2
二、函數的極值與最大(小)值
1.極值點：極大值點、極小值點
2.極值：一般地，求函數 y=f(x)的極值的方法是：解方程 f'(x)=0 ，當 f'(x0)=0 時：
①極大值：如果在 x0 附近的左側 f'(x)>0，右側 f'(x)<0，那么 f(x0)是極大值；
②極小值：如果在 x0 附近的左側 f'(x)<0，右側 f'(x)>0，那么 f(x0)是極小值；
3.求函數 f(x)極值的步驟：
①求函數的定義域
②求函數的導數 f'(x)
③令 f'(x)=0，求出全部的根 x
④列表
⑤判斷得結論
4.不等式恒成立（或有解）與函數最值間的轉化關系：
①不等式 a≥f(x)恒成立 ：a≥f(x)的最大值 ；
②不等式 a≤f(x)恒成立 ：a≤f(x)的最小值 ；
③不等式 a≥f(x)有解 ：a≥f(x)的最小值 ；
④不等式 a≤f(x)有解 ：a≤f(x)的最大值 。
5.一般地，求函數 y=f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟：
①求函數 y=f(x)在[a，b]內的極值
②將函數 y=f(x)的各極值與端點處的函數值 f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最
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第六章 計數原理
6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
6.2 排列與組合
6.3 二項式定理
第七章 隨機變量及其分布
7.1 條件概率與全概率公式
7.2 離散型隨機變量及其分布列
7.3 離散型隨機變量的數字特征
7.4 二項分布與超幾何分布
7.5 正態分布
第八章 成對數據的統計分析
8.1 成對數據的相關關系
8.2 一元線性回歸模型及其應用
8.3 分類變量與列聯表
第六章 計數原理
6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
一、分類加法計數原理：
完成一件事有兩類不同方案，在第 1 類方案中有 m 種不同的方法，在第 2 類方案中有 n 種不同的
方案，那么完成這件事共有 N=m+n 種不同的方法。
二、分布乘法計數原理：
完成一件事需要兩個步驟，做第 1 步有 m 種不同的方法，做第 2 步有 n 種不同的方法，那么完成
這件事共有 N=m×n 種不同的方法。
（1）無論第 1 步采用哪種方法，都不影響第 2 步方法的選取。
三、區別于聯系
分類加法計數原理 分類乘法計數原理
每類方法都能獨立地完成這件事，它 任何一步都不能獨立完成這件事，缺少
本
是獨立的、一次性的且每次得到的是 任何一步也不能完成這件事，只有各個
最后結果，只需一種方法就可完成這 步驟都完成了，才算完成這件事。
質
件事。
關系 分類互斥 分步互依
6.2 排列與組合
一、排列
1.排列：一般地，從 n 個不同元素中取出 m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一
列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列。
2.排列數：從 n 個不同元素中取出 m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數叫做從 n 個不
同元素中取出 m 個元素的排列數，用符號 表示。
3.排列數公式： Amn = n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)
其中，n，m∈N*且 m≤n
4.全排列：n 個不同元素全部取出的一個排列，叫做 n 個元素的一個全排列。這時公式中 m=n，即有
Amn = n(n 1)(n 2) ··· 3 · 2 · 1
5.階乘：n 個不同元素全部取出的排列數，等于正整數 1 到 n 的連乘積。正整數 1 到 n 的連乘積，叫做
n 的階乘，用 n! 表示。所以 n 個不同元素的全排列數公式可以寫成
Amn = n! 規定 0!=1
m A
n
A = n
n!
6.排列數公式的階乘表示： n An m
=
n m (n m)!
（1）公式推理：Amn = n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)
n(n 1)(n 2) ··· (n m + 1)(n m)(n m 1) ··· 3 · 2 · 1
=
(n m)(n m 1) ··· 3 · 2 · 1
n! Ann
= =
(n m)! An mn m
7.性質： Amn = n
m 1
An 1
Am = mAm 1 + mn n 1 An 1
例 1：求3Ax8 = 4A
x 1
9 中的 x.
3 · 8！ 4 · 9！ 3 · 8！ 4 · 9·8！
解： = 化簡 =
(8 x)！ (10 x)！ (8 x)！ (10 x)(9 x)(8 x)！
得 90-19x+x2=12 ，解得 x=13 或 x=6
又 x≤8 且 x-1≤9，即 x≤8，所以 x=6.
例 2：求證：Amn +mA
m 1
n = A
m
n+1
n！ m · n！
證明：左邊 = +
(n m)！ (n m+1)！
n！( + )+m·n！
=
(n m+1)！
n！( + )
=
(n m+1)！
( + )！
= =右邊
(n m+1)！
8.拓展
有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的（不一定相鄰）方法：
（1）整體法：即若 m+n 個元素排成一列，其中 m 個元素之間的先后順序確定不變，將這 m+n 個元素
排成一列，有 Am+nm+n 種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他 n 個元素的位置不動，把這 m 個元
Am+nm+n
素交換順序，有 Amm 種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有 m 種滿足條件的不同排Am
法。
（2）插空法：即 m 個元素之間的先后順序不變，因此先排列這 m 個元素，只有一種排法，然后把剩
下的 n 個元素分類或分步插入由以上 m 個元素形成的空當中。
例 1：7 人排成一列，甲必須在乙的后面（可不相鄰），有 2520 種不同的排法
A7
解： 72 = 2520 A2
例 2：用 1，2，3，4，5，6，7 組成沒有重復數字的七位數，若 1，3，5，7 的順序一定，則有 210
A7
個七位數符合條件。 解： 74 = 210 A4
二、組合
1.組合：一般地，從 n 個不同元素中取出 m（m≤n）個元素合成一組，叫做從 n 個不同元素
中取出 m 個元素的一個組合。
2.組合數：從 n 個不同元素中取出 m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數，叫做從 n 個不
同元素中取出 m 個元素的組合數，用符號 表示。
3.組合數公式：
m A
m
n n(n 1)(n 2)···(n m+1) Cn = = Amm m!
n!
=
m!( )!
m，n∈N ，m≤n 規定C0n = 1
4.組合數的性質：
Cm = Cn m C5n n 8 = C
3
8
Cm mn+1 = Cn + C
m 1
n C
4 = C47 6 + C
3
6
5.解方程注意驗根：
y
（1）當Cxn = Cn 時，y=x 或 x+y=n 。（n≥x，n≥y，x,y∈N
）
6.3 二項式定理
一、二項式定理
1.二項式定理：
(a + b)n = C0an + C1an 1 1 + C2an 2 2 +··· +Ckan k +··· +Cnn n n n nb
n
（n∈N ）
2.特點
（1）各項的次數都等于二項式的冪指數 n。
（2）字母 a 按降冪排列，字母 b 按升冪排列。
（3）展開式共有 n+1 項，比二項式的次數多 1。
3.二項式系數：Ckn ，k∈{ 0，1，2，…，n}
4.二項展開式的通項： Ckan k n ，
它是展開式的第 k+1 項，可用 k n k +1表示，即 +1 = Cna .
1 6
例 1：求 （2√x ） 的展開式.
√x
1 6 2x 1 1解： (2√x ) = ( )6 = (2x 1)6
√x √x x3
1
= [(2x)6 C16(2x)
5 + C26(2x)
4 C36(2x)
3 + C46(2x)
2 C56(2x)
1 + C66 ] x3
1
= (64x6 6 · 32x5 + 15 · 16x4 20 · 8x3 + 15 · 4x2 6 · 2x + 1
x3
3 2 60 12 1 = 64x 192x + 240x 160 + +
x x2 x3
例 2：求(1 + 2x)7的展開式的第 4 項的系數
解： T = C3 43+1 71 (2x)
3 = 280x3 系數為 280
1
例 3：求(x )9的展開式中x3的系數.
x
解：T k 9 k
1 k
n+k = C9x ( ) = ( 1)
kCkx9 2k9
當 9-2k=3 時，即 k=3 時 ，x3的系數為 ( 1)3C39 = 84
例 4.：求(x y)(x + y)8 的展開式中x2y7的系數.
解： (x + y)8的通項公式： = Crx8 r r +1 8 y
7 78 = 7+1 = C8xy = 8
7 ， 6 2 67 = 6+1 = C8 y = 28
2y6
所以含x2y7的項為： · 8 7 · 28 2y6 = 20 2y7
x2y7的系數為-20
5.二項式的特定項：
（1）常數項：令通項中變元的指數為零。
（2）有理項：令未知量的指數為整數。

（3）中間項： ① n 為偶數，中間項為第 + 1 項。
2
+1 +1
② n 為奇數，中間項為第 項 和 + 1 項
2 2
（4）求最大項：設第 k+1 項系數 +1 最大，則滿足 Tk+1≥Tk 且 Tk+1≥Tk+2 。
二、二項式系數的性質
1. (a + b)n展開式的二項系數
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1
2.規律
（1）在同一行中，每行兩端都是 1，與這兩個 1 等距離的兩個二項式系數相等。
（2）在相鄰的兩行中，除 1 以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和
Cr = Cr + Cr 1n+1 n n 。
3.作用：可直觀地看出二項式系數的性質，同時當二項式乘方次數不大時，可借助它直接寫出
各項的二項式系數。
4.對于(a + b)n展開式的二項系數 C0n，C
1，C2n n， ···，C
n
n ，將此看作C
r
n是以 r 為自變量的函數 f(r)，其
定義域是{0，1，2，…，n}。 f(r)
（1）對稱性
（2）增減性與最大值
（3）各二項式系數的和
r
5.二項式系數的性質
性質 內容
Cmn = C
n m
n ，即二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數
對稱性
相等。
如果二項式的冪指數 n 是偶數，那么展開式中一項的二項式系數最大。
增減性
與
如果 n 為奇數，那么其展開式中間兩項的二項式系數相等且同時取得
最大值 1 +1
最大值。C 2 = C 2n n
二項展開式各二項式系數的和等于2 ，即
二項式 (1 + )2 = 2 = C0 + C1 2 n n + Cn +··· +Cn 。
系數的和 奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，都等于2 1
即 C1 + C3n n + C
5
n +···= C
2 4
n + Cn + C
6 1
n +···= 2 。
第七章 隨機變量及其分布
7.1 條件概率與全概率公式
一、條件概率
P(AB)
1.條件概率：一般地，設 A，B 為兩個事件，且 P(A)>0，稱 P(B|A) = 為在事件 A 發生的條件
P(A)
下，事件 B 發生的概率。P(B|A)讀作 A 發生的條件下 B 發生的概率。
（1）性質：
①任何事件的條件概率都在 0 和 1 之間，即 0≤P(B|A)≤1
②如果 B 和 C 是兩個互斥事件，則 P(B ∪ C | A) = P(B|A) + P(C|A)
P(AB) n(AB)
2.條件概率求法公式： P(B|A) = =
P(A) n(A)
P(AB) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)
二、全概率公式
1.全概率公式：一般地，設 A1，A2，……，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且 P(Ai)＞
0，i=1,2，……，n，則對任意的事件 Ω，有

( ) =∑ ( ) ( | )
=1
我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一。
2.貝葉斯公式：設 A1，A2，……，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且 P(Ai)＞0，
i=1,2，……，n，則對任意的事件 Ω，P(B)＞0 有
P(Ai)P(B|Ai) P(Ai)P(B|Ai)
P(Ai|B) = = n ，i = 1,2,…，n P(B) ∑k=1P(Ak)P(B|Ak)
7.2 離散型隨機變量及其分布列
一、離散型隨機變量
1.隨機變量：在隨機實驗中，確定了一個對應關系，使得每一個實驗結果都能用一個確定的數字表示，
在這個對應關系下，數字隨著實驗結果（自變量）的變化而變化。隨機變量常用 X，Y，ξ，η…表示。
2.離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量。通常
用大寫英文字母表示隨機變量，例如 X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如 x，y，z。
二、離散型隨機變量的分布列
1.概率分布列：一般地，設離散型隨機變量 X 的可能取值為 x1，x2，…， ，我們稱 X 取每一個值
的概率 P(X= )= Pi，i=1,2,…,n 為 X 的概率分布列，簡稱分布列。
（1）離散型隨機變量 X 的概率分布列：（簡稱 X 的分布列）
X x1 x2 … xi … xn
P P1 P2 … Pi … Pn
（2）性質：①離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和。② Pi
≥ 0 （i=1,2,…,n） ∑ =1 = 1
（3）表示方法：①表格法（分布列） ②解析式法（ P(X=xi )=pi ） ③圖像法(條形統計圖)
2.兩點分布
（1）兩點分布：若隨機變量 X 的分布列具有右表的形式，則稱 X 0 1
X 服從兩點分布，并稱 p=P（X=1）為成功概率。 P 1-P P
（2）性質：
①一般地，在只有兩個結果的隨機試驗中，用 0 表示事件不成功，1 表示事件成功，即隨機變量的取值
只有 0 和 1 兩個，故又稱為 0-1 分布。
②兩點分布應用廣泛，如抽取的彩票是否中獎。
③試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為 1。
7.3 離散型隨機變量的數字特征
一、離散型隨機變量的均值
1. 離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱 EX= x1p1+ x2p2+…+ xipi+…xnpn 為隨機變量 X 的均值或數學期望。
它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。
2.性質：
若 Y=aX+b，其中 a，b 是常數（X 是隨機變量），則 Y 也是隨機變量，且有
E(aX+b)=aE(X)+b
a=0 時，E(b)=b，即常數的均值就是這個常數本身。
性質
a=1 時，E(X+b)=E(X)+b，即隨機變量 X 與常數之和的均值等于 X 的
特例
均值與這個常數的和。
b=1 時，E(aX)=aE(X)，即常數與隨機變量乘積的均值等于這個常數
與隨機變量均值的乘積。
①結論：E(aX+bY)=aE(X)+b E(Y)
②若隨機變量 X 服從兩點分布，則有 E(X)=p .
③若 X～B(n，p)，則 E(X)=np
二、離散型隨機變量的方差
1.離散型隨機變量的方差：設離散型隨機變量 X 的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則 ( )2 描述了 xi (i=1，2，…，n)相對于均值 EX 的偏離程度。
①方差： = ∑ =1( ( ))
2 ②標準差： √ （記作σX） σ（西葛馬）
2.意義：反映隨機變量的取值的離散程度。方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；反之，越分
散。
3.離散型隨機變量 X 加上一個常數 b，僅僅使 X 的值產生一個平移，不改變 X 與其均值的離散程度，方
差保持不變，即 D(X + b) = D(X)
4.離散型隨機變量 X 乘以一個常數 a，其方差變為原方差的 a2倍，即 D(aX) = a2D(X)
5.性質：
①D(aX+b)= 2D(X)
②若 X 服從兩點分布，則 DX=p(1-p)
③若 X～B(n，p)，則 DX=np(1-p)
7.4 二項分布與超幾何分布
一、二項分布
1.伯努利試驗：我們把只包含兩個可能結果的實驗叫做伯努利試驗。
2.我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行 n 次所組成的隨機實驗成為 n 重伯努利試驗。顯然，n 重伯努
利試驗具有如下共同特征：
（1）同一個伯努利試驗重復做 n 次；
（2）各次實驗的結果相互獨立。
3.二項分布：一般地，在 n 重伯努利試驗中，設每次實驗中事件 A 發生的概率為 p（0＜p＜1），用 X 表
示事件 A 發生的次數，則 X 的分布列為
( = ) = (1 ) ， = 0,1,2, …， .
如果隨機變量 X 的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量 X 服從二項分布，記作 X～B(n，p)
由二項式定理，容易得到
n n
∑P(X = k) =∑Ck knp (1 p)
n k = [p + (1 p)]n = 1
k=0 k=0
二、超幾何分布
1.超幾何分布：一般地，假設一批產品共有 N 件，其中有 M 件次品，從 N 件產品中隨機抽取 n 件（不
放回），用 X 表示抽取的 n 件產品中的次品數，則 X 的分布列為
Ck Cn k
P(X = k) = M N Mn （k=m，m+1，m+2，…，r） CN
其中 n，N，M∈ ，M≤N，n≤N，m=max{ 0，n-N+M }，r=min{ n，M }
如果隨機變量 X 的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量 X 服從超幾何分布
X 0 1 … m
0 0 1 1
P
…






2.設隨機變量 X 服從超幾何分布，則 X 可以解釋為從包含 M 件次品的 N 件產品中，不放回地隨機抽取

n 件產品中的次品數。令 = ，則 p 是 N 件產品的次品率，而 是抽取的 n 件產品的次品率，我們


猜想 ( ) = ，即 E(X)=nP.

3.特點：
①超幾何分布描述了由有限個物體中抽取 n 個物件，成功抽出指定種類的物件的次數。
②抽取過程是不放回的。
7.5 正態分布
一、正態曲線
1 ( )
2
1.正態曲線： ( ) = 2 2 ， ∈ 其中實數μ∈R,σ＞0 為參數。
√2
顯然，對任意的 x∈R，f(x)＞0，它的圖像在 x 軸的上方，可以證明 x 軸和曲線之間的區域的面積為 1，
我們稱 ( )為正態密度函數，稱它的圖像為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線。
2
2.正態分布：若隨機變量 X 的概率密度函數為 f(x)，則稱隨機變量 X 服從正態分布，記為 X～N (μ，σ )
特別地，當μ=0，σ=1 時，稱隨機變量 X 服從標準正態分布。
（1）正態分布完全由參數μ和σ確定
①標準正態分布：μ=0， σ=1
②參數μ的意義：μ就是隨機變量 X 的均值。E(X)=μ
2
③參數σ的意義：σ就是隨機變量 X 的標準差。D(X)= σ
（2）正態總體在三個特殊區間內取值的概率：
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ（3）性質
①曲線位于 x 軸上方，與 x 軸不相交
②曲線是單峰的，它關于 x=μ對稱
1
③曲線在 x=μ處達到峰值 ，并且由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，
σ√2
呈現“中間高，兩邊低”的形狀。
④曲線與 x 軸之間的面積為 1。
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定。曲線隨著μ的變化而沿 x 軸平移，如圖。
μ=-1 y
μ=1
性 μ=0
質 O x
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越
集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖。
y
=0.5
=1
=2
O x
第八章 成對數據的統計分析
8.1 成對數據的相關關系
一、變量的相關關系
1.相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度的關系。
2.函數關系與相關關系的異同點：
（1）相同點：均為兩個變量之間的關系。
（2）不同點：相關關系：非確定，函數關系：確定。
3.正相關（負相關）：從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加（減少）
的趨勢，稱這兩個變量正相關（負相關）。
4、兩個變量的線性相關
（1）散點圖
這些點大致分布在通過散點圖中心（ ， ）的一條直線附近。
5.線性相關：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線
性相關關系，這條直線叫回歸直線。
（1）一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱 這兩個變量非線性相關或
曲線相關。
二、樣本相關系數
1.對于變量 x 和變量 y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為（ 1， 1），（ 2， 2），…，（ ， ）,
其中 1， 2，…， 和 1， 2，…， 的均值分別為 和 .將數據以（ ， ）為零點進行平移，得到平
移后的成對數據為（x1 x，y1 y），（x2 x，y2 y），…，（xn x，yn y），并繪制散點圖。
2.利用散點（xi x，yi y）（i=1,2，…，n）的橫、縱坐標是否同號，可以構造一個量
1
= [(x1 x)(y1 y) + (x2 x)(y2 y) + + (x n
x)(yn y)]
（1）一般情形下，Lxy＞0 表明成對樣本數據正相關；Lxy＜0 表明成對樣本數據負相關。
3.樣本相關系數：
為了消除度量單位的影響，需要對數據做進一步的“標準化”的處理，仿照Lxy的構造方法得到
1 ∑n’ ’ ’ ’ ’ ’ i=1(xi x) (yi y)
r = (x1y1 + x2y2 + + xn n
yn) =
√∑ni=1(x
2
i x) √∑
n
i=1(yi y)
2
我們稱 r 為變量 x 和變量 y 的樣本相關系數。
（1）樣本相關系數 r 是一個描述成對樣本數據的數字特征，它的正負性和絕對值的大小可以反映出成
對樣本數據的變化特征
①當 r＞0 時，稱成對樣本數據正相關；
②當 r＜0 時，稱成對樣本數據負相關。
（2）樣本相關系數 r 的取值范圍：-1≤r≤1
（3）當|r|=1 時，表明成對樣本數據(xi，yi)都落在直線上，即兩個變量之間滿足一種線性關系。
（4）樣本相關系數的意義：r 的絕對值反映成對數據之間線性相關的程度。
（5）當|r|越接近 1 時，成對數據的線性相關程度越強；當|r|越接近 0 時，成對數據的線性相關程度越
若。
8.2 一元線性回歸模型及其應用
一、一元線性回歸模型
Y = bx + a + e
1.Y 關于 x 的一元線性回歸模型：{ 2
E(e) = 0，D(e) = σ
（1）Y 稱為因變量或響應變量，x 稱為自變量或解釋變量；
（2）a 和 b 為模型的未知參數，a 稱為截距參數，b 稱為斜率參數；e 是 Y 與 bx+a 之間的隨機誤差。
二、一元線性回歸模型參數的最小二乘估計
1.經驗回歸方程： = x+
n
∑i=1(xi x )(yi y ) ∑
n
i=1xiyi nx · y
= =
n 2 2∑ (xi x ) ∑
n 2
i=1 i=1
xi nx
{ = ·
1 1
記x = ∑ ，y = ∑
=1 =1

我們將 = x+ 稱為 Y 關于 x 的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回
歸直線，這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的 ， 叫做 b，a 的最小二乘估計。
2.殘差分析
（1）對于響應變量 Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的 稱為預測值，觀測
值減去預測值稱為殘差。殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，
以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析。
（2）殘差的散點圖：比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，則滿足一元線性回歸模型對
隨機誤差的假設。
2
（3） 2
∑
= 1 =1
(yi )
2 ，在
2表達式中，∑ =1(yi y )
2與經驗回歸方程無關，殘差平方和
∑ =1(yi y )
∑ =1(yi i)
2與經驗回歸方程有關。
3.一元線性回歸方程一定過樣本中心點（x ，y ）
4.在使用經驗回歸方程進行預測時，需注意：
（1）經驗回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。
（2）我們所建立的經驗回歸方程一般都有時間性。
（3）在樣本數據中的響應變量的取值范圍內，經驗回歸方程的預報效果好。
（4）不能期望經驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值。
8.3 分類變量與列聯表
一、分類變量與列聯表
1.分類變量：在討論問題時，為了表述方便，常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，
這類隨機變量稱為分類變量。
2.2×2 列聯表：表是關于分類變量 X 和 Y 的抽樣數據的 2×2 列聯表：最后一行的前兩個數分別是事件
{Y=0}和{Y=1}的頻數；最后一列的前兩個數分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數；中間的四個數 abcd 是事件
{X=x，Y=y} (x,y=0,1)的頻數；n 是樣本容量。
Y
X 合計
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計 a+c b+d n=a+b+c+d
3.兩個分類變量之間關聯關系的定性分析的方法
（1）頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發生的頻率大小進行比較來分析分類變
量之間是否有關聯關系。
（2）圖形分析法：常用等高堆積條形圖展示列聯表數據的頻率特征。
二、獨立性檢驗
1.提出零假設(原假設) 0:分類變量 X 和 Y 獨立，假定我們通過簡單隨機抽樣得到了 X 和 Y 的抽樣數據列

聯表，在列聯表中，如果零假設 0成立，則應滿足 ≈ ，即 ad-bc≈0,。因此|ad-bc|越小，說明兩 + +
個分類變量之間關系越弱；反之，越強。
為了使不同樣本容量的數據有統一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量
( )2
2 =
( + )( + )( + )( + )
2.臨界值：對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數 ，使得 P(x
2≥xa)=α成立，我們稱 xa為α的臨界
值，這個臨界值可作為判斷 x2大小的標準，概率值α越小，臨界值 xa越大。數學 選擇性必修第一冊
人教版 A 版
第一章 空間向量與立體幾何
1.1 空間向量及其運算
1.2 空間向量基本定理
1.3 空間向量及其運算的坐標表示
1.4 空間向量的應用
第二章 直線和圓的方程
2.1 直線的傾斜角與斜率
2.2 直線的方程
2.3 直線的交點坐標與距離公式
2.4 圓的方程
2.5 直線與圓、圓與圓的位置關系
第三章 圓錐曲線的方程
3.1 橢圓
3.2 雙曲線
3.3 拋物線
第一章 空間向量與立體幾何
1.1 空間向量及其運算
一、空間向量及其線性運算
1.空間向量：與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量。
（1）表示方法：空間向量可以用有向線段來表示。
B
2.向量的模：向量的大小叫做向量的長度或模，有向線段的長度表示向量的模。
如圖：向量 的起點是 A，終點是 B，則向量 也可記作 ，其模記為｜ ｜
或｜ ｜。
A
3.特殊向量
（1）零向量：我們規定，長度為 0 的向量叫做零向量，記為 。
（2）單位向量：模為 1 的向量。
（3）相反向量：與向量 長度相等而方向相反的向量，成為 的相反向量，記為 -
（4）相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量。因此，在空間，同向且等長的有向線段表示
同一向量或相等向量。
5.空間向量的加法與減法運算
（1）加法運算：
C B
①三角形定則（收尾相連：起點指向終點）： + = 。
②平行四邊形定則（同起點）： + = 。
（2）減法運算： O
A
①三角形定則（同起點：箭頭指向被減向量）： - = 。
6.空間向量的加法運算滿足交換律及結合律：
（1）交換律： + = +
（2）結合律： ( + )+ = +( + )
二、空間向量的數乘運算
1.數乘運算
（1）定義：與平面向量一樣，實數λ與空間向量 的乘積λ 仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算。
（2）幾何意義：①當λ>0 時，λ 與向量 方向相同；②當λ<0 時，λ 與向量 方向相反。λ 的長
度是 長度的｜λ｜倍。
（2）空間向量對的數乘運算滿足分配率及結合律：
①分配率：λ )= λ +λ
②結合律：λ（ ）=（λμ）
2.共線向量
（1）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量
或平行向量。記作： ∥
（2）共線向量定理：對空間中任意的兩個向量 、 （ ≠ ）， ∥ 的充要條件是存在實數λ，使
=λ 。
3.方向向量
（1）如圖，l 為經過已知點 A 且平行于已知非零向量 的直線，對空間任意一點 O，點 P 在直線 l 上
的充分條件是存在實數 t，使 = +t ，其中向量 叫做直線 l 的方向向量。
P
B
A
l
O
4.共面向量
（1）定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。
（2）定理：①如果兩個向量 、 不共線，那么向量 與向量 、 共面的充要條件是存在惟一的有
序實數對（x，y）使 =x +y
②如圖，空間一點 P 位于平面 ABC 內的充要條件是存在有序實數對（x，y）使 =x +y ；或
對空間任意一點 O，有 = +x +y 。
（3）四點共面的重要依據： C P
若空間任意一點 O 和不共線的三點 A、B、C A B
滿足向量關系式： = +y +z
（其中 x+y+z=1），則點 P 與點 A、B、C 共面。 O
三、空間向量的數量積運算
1.兩個向量夾角的定義：已知兩個非零向量 、 ，在空間中任取一點 O，作 = ， = ,則
B
∠AOB 叫做向量 與 的夾角，記作< ， >
O A
2.如果< ， >= ，那么向量 ， 互相垂直，記作： ⊥ （ 與任意向量相互垂直）
3.空間向量的數量積：已知兩個非零向量
、 ，則｜ ｜·｜ ｜·cos< , >叫做 的數量積，記作：
即： =｜ ｜·｜ ｜·cos< , >
（1）零向量與任何向量的數量積為 0
（2）特別地， =｜ ｜·｜ ｜·cos< , > =｜ ｜2
（3） 的幾何意義： 的數量積等于 的模與 在 上的投影｜ ｜·cos< , >的乘積，也
等于 的模與 在 上的投影｜ ｜·cos< , >的乘積。
4.兩個向量夾角的范圍：通常規定：0≤< , >≤π，且< , >=< , >
（1）當 與 共線且同向時，< , >=0
（1）當 與 共線且反向時，< , >=π
5.性質：
（1） =｜ ｜·cos< , >
（2） ，則 =0
（3）｜ ｜2 =
（4）cos< , >=
（5）｜ ｜≤｜ ｜·｜ ｜
（6）-｜ ｜·｜ ｜≤ ≤｜ ｜·｜ ｜
注：（反向：< , >=π） （同向：< , >=0）
6.空間向量的數量積滿足的運算律：
（1）（λ ）· =λ( )； （ < , >不變 ）
（2） = （交換律）；
（3） = + （分配率）。
1.2 空間向量基本定理
一、空間向量基本定理
1.定理內容：如果三個向量 、 、 不共面，那么對空間任一向量 ，存在惟一的有序實數組
{x，y，z}，使得 =x +y +z
2.如果三個向量 ， ， 不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{
x,y,z∈R} ，這個集合可看作是由向量 ， ， 生成的。我們把{ ， ， }叫做空間向量的一個
基底， ， ， 都叫做基向量。空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底。
3.單位正交分解：特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為 1，那么這個基
底叫做單位正交基底，常用 { ， ， k }表示。
4.正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量 ，均可以分解為三個向量 x ，y j ，
z k ，像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解。
1.3 空間向量及其運算的坐標表示
一、空間直角坐標系
1.空間直角坐標系：在空間選定一點 O 和一個單位正交基底{ ， ， k }，以點 O 為原點，分別以 ，
， k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x 軸、y 軸、z 軸，它們都叫做坐標軸。
這時我們就建立了一個空間平面直角坐標系 Oxyz，O 叫做原點， ， ， k 都叫做坐標向量，通過每兩
個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為 Oxy 平面，Oyz 平面，Ozx 平面，它們把空間分成八個部分。
z
k

y
x
2.在空間直角坐標系 Oxyz 中， ， ， k 為坐標向量，對空間任意一點 A，對應一個向量 O A ，且點 A 的
位置由向量 O A 唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使 O A = i + y j + z k
3.在單位正交基底{ ， ， k }下與向量 O A 對應的有序實數組（x,y,z）叫做點 A 在空間直角坐標系中的
坐標，記作 A（x,y,z），其中 x 叫做點 A 的橫坐標，y 叫做點 A 的縱坐標，z 叫做點 A 的豎坐標。
二、空間向量運算的坐標表示
1.運算 =（a1，a2，a3） （b1，b2，b3）
（1） + = (a1+b1，a2+b2，a3+b3)
（2） - = (a1-b1，a2-b2，a3-b3)
（3）λ =(λ a1，λa2，λa3)
（4） = a1b1+a2b2+a3b3
2.性質
（1） ∥ =λ a1=λb1 ，a2=λb2，a3=λb3 （λ∈R）
（2）） ⊥ =0 a1b1+a2b2+a3b3=0
（3）｜ ｜= =
（4） cos< , > = =
（5）dAB=｜ ｜= 空間兩點間的距離公式
（6）若三點 A、B、C 共線，則｜AC｜=｜AB｜+｜BC｜
x +x y +y z +z
（7）中點坐標 P （ 1 20 ， 1 2， 1 2）
2 2 2
（8）對稱坐標求法：（關于誰對稱，誰不變，其余相反）P（x，y，z）
關于 x 軸對稱： P1（x，-y，-z）
關于 y 軸對稱： P2（-x，y，-z）
關于 z 軸對稱： P3（-x，-y，z）
關于坐標平面 xoy 對稱： P4（x，y，-z）
關于坐標平面 yoz 對稱： P5（-x，y，z）
關于坐標平面 xoz 對稱： P6（x，-y，z）
1.4 空間向量的應用
一、用空間向量研究直線、平面的位置關系
（一）空間中點、直線和平面的向量表示
1.點的位置向量：在空間中，我們取一定點 O 作為基點，那么空間中任意一點 P 的位置就可以用向量
來表示。我們把向量 稱為點 P 的位置向量。
2.空間直線的向量表示式 ： =t
①空間中任意一條直線 l 的位置可以由 l 上一個頂點 A 以及一個定方向確定。如圖，點 A 是直線 l 上
任意一點 P，一定存在實數 t，使得 =t 。
P
O
l
②空間中平面α的位置可以由α內兩條相交直線來確定。如圖，設這兩條直線相交于點 O，它們的方向
向量分別為 和 ，P 為平面α上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序實數對（x，y），使得
=x + y .
3、平面向量的法向量的求法
（1）平面向量的法向量的定義：已知平面內α，如果直線 l ⊥α，取直線 l 的方向向量 ，則向量 叫
做平面α的法向量，或者說向量 與平面α正交。
（2）求平面法向量的坐標步驟：
①設平面的法向量為 =（x，y，z）
②找出平面內的兩個不共線向量 （a1，b1，c1）， （a2，b2，c2）
③根據法向量的定義建立方程組 =0 =0
④解方程組，取其中一個解（一般令 z=1），得到法向量
（二）空間中直線、平面的平行
1.線線平行： =λ
直線 l1 、l2 的方向向量 =（a1，b1，c1）、 =（a2，b2，c2）
則 l1 ∥ l2 ∥ =λ a1=λa2、b1=λb2、c1=λc2
2.線面平行 =0 且 l α
①設直線 l 的方向向量是 =（x1，y1，z1），平面α的法向量 =（x2，y2，z2），
則 l ∥α ⊥ 且 l α =0 且 l α x1x2+y1y2+z1z2=0
l
②在平面內找 與直線 l 的方向向量 共線。
③證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量表示。
α
3.面面平行 ∥
①線線平行 線面平行 面面平行 α
②求出平面α，β的法向量 ， ，證明 ∥
β
（三）空間中直線、平面的垂直
1.線線垂直 =0
①設直線 l1 、l2 的方向向量為 、 ，則 =0 l1 ⊥l2
2.線面垂直 ∥ l
①設直線 l 的方向向量是 ，平面α的法向量 ， ∥ l ⊥α
α
②平面內兩條相交直線與直線 l 垂直 線面垂直
β
3.面面垂直 =0
①線線垂直 線面垂直 面面垂直
α
②兩平面內的法向量相互垂直
二、用空間向量研究距離、夾角問題
1.向量夾角和異面直線夾角
①不同點：向量夾角的范圍：0≤< , >≤π ；異面直線夾角的范圍： 0＜θ≤
②相同點：當兩向量夾角為銳角時，θ=< , > ；當兩向量夾角為 時，則異面直線垂直；
當兩向量夾角為鈍角時，θ=π-< , >
③求法：設空間直線 a，b 的方向向量分別是 ， ，兩直線的夾角為θ，則
｜cosθ｜=
2.直線與平面的夾角的求法 θ∈(0， ]
①定義：平面的斜線與它在平面上的射影所成的角叫這條斜線與平面所成的角。
②范圍：θ∈(0， ]
③求法：設直線 l 的方向向量 與平面α的法向量 的夾角為φ，則
sinθ=｜cosφ｜=
三、平面的夾角（二面角）的求法
1.二面角的平面角：過二面角α-l -β棱上任意一點 O 作垂直于棱 l 的平面，與面α，β的交線分別為 OA，
OB，那么∠AOB 叫做二面角α-l -β 的平面角。
α
2.二面角大?。褐付娼堑钠矫娼堑拇笮?。 A
3.二面角的取值范圍：[0，π] O
B
β
4.二面角的向量求法
（1）若 AB，CD 分別是二面角α-l -β的兩個面內與棱 l 垂直的異面直線，則二面角的大小就是 與 的夾角。
α
B
C α
A β
D
β
（2）設 ， 是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量 與 的夾角（或其補角）大小就是二面角
的平面角的大小。
5.平面的法向量與兩個平面夾角的關系：
已知平面α和β的法向量分別為 ，
（1）當 0≤< , >≤ 時，平面α與β的夾角為< , >
（2）當 ≤< , >≤π 時，平面α與β的夾角為 π-< , >
四、立體幾何中的向量方法
1.求點與點之間的距離 dAB=
2.求點到直線的距離：已知一點 B，直線 l 過點 A，與 l 垂直的一個向量為 ,則 B 到直線 l 的距離為
d= =｜ ｜·｜cos< , >｜
3.點到平面的距離：已知平面α，其法向量為 ，在平面α上任取一點 P?？臻g中一點 A 到平面α的距離
為 d= =｜ ｜·｜cos< , >｜
4.異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度叫做兩條異
面直線的距離。
第二章 直線和圓的方程
2.1 直線的傾斜角與斜率
一、傾斜角：直線 L 與 X 軸相交，取 X 軸為基準，X 軸正向與直線 L 向上方向之間所成的角α。[0°，180°)
二、斜率：一條直線的傾斜角α的正切值。k=tanα

1.斜率公式：直線過點 P (x ，y )，P (x ，y )，（x ≠x ）的直線的斜率 k= 2
1 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2 （= ）
2 1 1 2
2.直線情況：
y y y y
直線情況
x x x x
α大小 （90°～180°） 0° （0°～90°） 90°
k 的取值 k＜0 k=0 k＞0 K 不存在
3.兩條直線平行與垂直的判定
（1）平行：L1 : y1=k1x+b1 ①k1=k2 L1∥L2 或 L1與 L2重合
L2 : y2=k2x+b2 ②k1、k2 不存在 L1∥L2 或 L1與 L2重合
（2）垂直：L1 : y1=k1x+b1 ①k1 · k2=-1 L1⊥L2
L2 : y2=k2x+b2 ②k1不存在，且 k2=0 時 L1⊥L2
2.2 直線的方程
一、直線的點斜式方程

1.點斜式方程：直線 L 過 P0(x0，y0)，k 為斜率，由斜率公式得 k=
0 ，變形得
0
點斜式 y-y0=k(x-x0)
（1）當 k=0 時，y-y0=0 ，即 y=y0
（2）當 k 不存在時，x-x0=0 ，即 x=x0
2.斜截式方程：直線 L 與 y 軸交點（0，b），k 為斜率，由點斜式得 y-b=k(x-0)，變形得
斜截式 y=kx+b
（1）直線 L 在 y 軸上的截距：與 y 軸交點的縱坐標。

（2）適用范圍：α≠90°，k≠ 。
2
二、直線的兩點式方程

1.兩點式方程：已知兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中 x1≠x2，y1≠y2），k=
2 1，任取
2 1

P1(x1，y1)，由點斜式得 y-y
2 1
1= (x-x1)，變形得
2 1

兩點式 1 = 1
2 1 2 1
2.截距式方程：已知直線 L 與 x 軸相交于（a，0），y 軸相交于（0，b），a≠0，b≠0，
0
將兩點代入兩點式得 = ，變形得
0 0
（1）a，b 同時存在
截距式 + = 1
（2）橫截距：a
（3）縱截距：b
三、直線的一般是方程
1.一般是方程：一般式 Ax+By+C=0 （其中 A,B 不同時為 0）
2.3 直線的交點坐標與距離公式
一、兩條直線的交點坐標
1.兩條直線 L1 ：A1x + B1y + C1 = 0 L2 ：A2x + B2y + C2 = 0
（1）有唯一解：相交 （2）無窮個解：重合 （3）無解：平行
2.直線系：具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系。
（1）設直線 L1 :A1x + B1y + C1 = 0 、L2 :A2x + B2y + C2 = 0，則過直線 L1和 L2交點的
直線系為 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B
2 2
2y+C2)=0 ，（其中 m,n 為參數，m +n ≠0）。
可改寫為（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0，（其中λ為實數）。
二、兩點間的距離
1.過兩點：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距離公式 ｜P1P2｜=√( 2 22 1) + ( 2 1)
2.特殊情況
（1）原點 O(0，0)與任意一點 P(x，y)距離 ： ｜OP｜=√ 2 + 2
（2）當 P1P2∥x 軸（y1=y2）時，距離： ｜P1P2｜=｜x2-x1｜
（3）當 P1P2∥y 軸（x1=x2）時，距離： ｜P1P2｜=｜y2-y1｜
（4）當點 P1，P2在直線 y=kx+b 上時，距離 ｜P 21P2｜=√1 + · ｜x2-x1｜
3.平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。
三、點到直線的距離
1.點 P0(x0，y0)到直線 L：Ax+By+C=0 距離
｜A 0+ 0+ ｜距離公式 d=
√ 2+ 2
（1）點 P0(x0，y0)到 x 軸的距離：d=｜y0｜
（2）點 P0(x0，y0)到 y 軸的距離：d=｜x0｜
（3）點 P0(x0，y0)到 x 軸平行的直線 y=a 的距離：d=｜y0-a｜
（4）點 P0(x0，y0)到 y 軸平行的直線 x=b 的距離：d=｜x0-b｜
四、兩平行線間的距離
1.直線 L1 :Ax + By + C1 = 0 、L2 :Ax + By + C2 = 0 ， L1∥L2 ，直線 L2的任一點 P(x0，y0)
到直線 L1的距離就是兩平行直線 L1與 L2之間的距離。
｜A
距離公式 d = 0
+ 0+ 1｜ ｜ ｜ = 1 2
√ 2+ 2 √ 2+ 2
五、拓展
1.點關于點的對稱問題
x +x y +y
（1）若兩點（x1，y1）、（x2，y2）關于點（x0，y0）對稱，則線段 AB 的中點 P( 1 2， 1 2)
2 2
2.直線關于點的對稱問題
若兩條直線 L1，L2關于點 P 對稱，則
（1）L1上任意一點關于點 P 的對稱點必須在 L2上。
（2）若 L1∥L2，則點 P 到直線 L1，L2的距離相等。
（3）過點 P 任意一直線與 L1，L2分別交于 A,B 兩點，則點 P 是線段 AB 的中點。
3.點關于直線的對稱問題
若 A,B 兩點關于直線 L 對稱，則 L 是線段 AB 的垂直平分線，則
（1）直線 AB 與直線 L 垂直。
（2）線段 AB 的中點在 L 上。
（3）直線 L 上任意一點到 A,B 兩點的距離相等。
4.直線關于直線的對稱問題
若兩直線 L1，L2關于直線 L 對稱，則
（1）L1上任意一點關于直線 L 的對稱點必在 L2上。
（2）過直線 L 上的一點 P，且垂直于直線 L，作一直線與 L1，L2分別交于 A,B 兩點，
則點 P 是直線 AB 的中點。
2.4 圓的方程
一、圓的標準方程 (x-a)2 + (y-b)2 = r2
1.點與圓的位置關系：
（1）點在圓上：(x-a)2 + (y-b)2 = r2
（2）點在圓外：(x-a)2 + (y-b)2 ＞ r2
（3）點在圓內：(x-a)2 + (y-b)2 ＜ r2
二、圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
2+ 2 4
1.變形：(x+ )2+(y+ )2=
2 2 4
（1）當 D2+E2-4F＞0 時，表示圓。
（2）當 D2+E2-4F =0 時，表示點。
（3）當 D2+E2-4F＜0 時，不表示任何圖形。
2.5 直線與圓、圓與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系
（1）當 d＞r 時，相離
（2）當 d =r 時，相切
（3）當 d＜r 時，相交
2.圓與圓的位置關系
相交 外切 外離 內切 內含
第三章 圓錐曲線的方程
3.1 橢圓
一、橢圓及其標準方程
1.橢圓：我們把平面內與兩個定點 F1，F2的距離的和等于常數（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫做橢圓。
y
①橢圓的交點：定點 F1，F2 M
a
②橢圓的焦距：兩交點間的距離｜F1F2｜
b
F1 O c F2 X
③橢圓的半焦距：焦距的一半 OF1 或 OF2
2 2
2.橢圓的標準方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
（1）推理：由橢圓的定義，知橢圓就是集合 P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a }
2 2
∵｜MF1｜=√（x + c） + 2 ｜MF ｜=√（x c） + 22
2 2 2 2
則√

（x + c） + 2 + √（x c） + 2 =2a 化簡得 2 + =1 2 2
2 2
化簡過程：①移項得：√（x + c） + 2 =2a- √（x c） + 2
2 2②兩邊分別平方得：（x+c） + y2=4a2-4a 2 2√（x c） + 2 +(x-c) +y
2
整理得：a2-cx=a√（x c） + 2
③兩邊分別平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
2 2
④兩邊同時除以 a2(a2-c2)得 + =1
2 2 2
∵2a>2c（三角形兩邊之和大于第三邊）即 a>c
2 2
∴a2-c2>0 令 b=√ 2 2 得到 2 + 2 =1（a>b>0）
2 2
（2）橢圓的標準方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
①橢圓的兩個交點 F1（-c，0） ，F2（c，0） 由 b=√ 2 2 解出 c
②橢圓的焦距｜F1F2｜=2a
③橢圓的半焦距｜OF1｜=｜OF2｜=a
2 2
（3）若橢圓的交點 F1，F2 在 x 軸上，則橢圓方程為： 2 + 2 =1（a>b>0）
2 2
若橢圓的交點 F1，F2 在 x 軸上，則橢圓方程為： 2 + 2 =1（a>b>0）
①判斷方程：看 x2，y2 項的分母大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上
(“誰大在誰上”）
3.橢圓的定義可用集合表示為：P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a ，2a>｜F1F2｜ }
｜F1F2｜=2c（a，c 為常數）
（1）a>c ：集合 P 為橢圓。 （3）a（2）a=c ：集合 P 為線段 F F 。 （4）a21 2 =b
2 : 方程表示為圓。
4.橢圓方程的統一形式：
mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）
二、橢圓的簡單幾何性質
2 2
標準方程： 2 + 2 =1（a>b>0）
1.取值范圍： x∈[-a，a] y∈[-b，b]
2.對稱性：軸對稱圖形（坐標軸），中心對稱圖形（原點），橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。
y
3.頂點（確定橢圓的具體位置）：橢圓與它的對稱軸的交點。 B1
A1（-a，0） A2（a，0） B1（0，-b） B2（0，b）
A1 O A2 X
長軸：A1A2 （｜A1A2｜=2a） 長半軸長：a
短軸：B1B2 （｜B1B2｜=2b） 短半軸長：b B2

4.離心率（e= ）:我們把橢圓的焦距與長軸長的比 稱為橢圓的離心率，用 e 表示。

①e 的大小描述了橢圓的扁平程度。
②離心率的取值范圍：（0，1）
③e 越接近 1，則 c 就越接近 a，從而 b=√ 2 2 越小，橢圓越扁；反之，
E 越接近 0，則 c 就越接近 0，從而 b 越接近 a，橢圓越接近圓。
二、關于橢圓的拓展
A
1.通徑：過橢圓焦點與長軸垂直的直線截橢圓弦長叫通徑。
2 2 F1 F2
｜AB｜=

B
P
∠
2.焦點三角形的面積： 2 1 2 △ =b tan 1 2 2
F1 F2
2
3.橢圓第二定義：平面內的點 M 到一個定點 F（c，0）的距離與它到定直線 x=±

（準線）的距離 d 的比為一個常數 e（0M（x0，y0）
｜MF｜
（1）由定義知 e= e=
d d
2 2
（2）｜MF｜=e·d=（ -x0）·e = ·e-ex0 =a-ex0 F(c,0)

2 2
（｜MF｜=a+ex0 左準線） x=- x=
3.2 雙曲線
一、雙曲線及其標準方程
1.雙曲線：把平面內與兩個定點 F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數
y
M
（小于｜F1F2｜）的點的軌跡。
①焦點：這兩個定點 F1、F2
F c O
②焦距：焦點間的距離｜F F ｜ 1 F2 X 1 2
2 2
2.雙曲線的標準方程： 2 - 2 =1（a>0，b>0）
（1）推理：由雙曲線定義，雙曲線就是集合 P={M｜｜MF1｜-｜MF2｜=2a }
2 2
｜MF1｜=√（x + c） + y2 ｜MF2｜=√（x c） + y2
2 2
∴√（x + c） + y2 - √（x c） + y2 =±2a
x2 y2
化簡得 2 - 2 2 =1 ，由定義知 2c>2a，∴c
2-a2>0
a c a
2 2
令 c2-a2=b2
x y
，得 2 - 2 =1（a>0，b>0） a b
（2）焦點：F1（-c，0） F2（c，0） 焦距：｜F1F2｜=2c
3.雙曲線的標準方程 （“誰正在誰上”）
2 2
①焦點在 x 軸上： 2 - 2 =1（a>0，b>0） c
2=a2+b2

2 2
②焦點在 y 軸上： 2 - 2 =1（a>0，b>0） c
2=a2+b2

2 2
4.雙曲線方程的統一形式： mx +ny =1（mn<0）
二、雙曲線的簡單幾何性質
2 2
標準方程： 2 - 2 =1（a>b>0）
1.取值范圍： x≤-a 或 x≥a （ x2≥a2 ）
2.對稱性：原點、x 軸、y 軸 （雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。）
y
3.頂點：雙曲線與它的對稱軸 x 軸的兩個交點。
B2
A1（-a，0） A2（a，0） (0,b)
令 x=0，得 y2=-b2 沒有實數根，
(-a,0) (a,0)
F A
O A
1(-c，0) 1 2 X
所以雙曲線和 y 軸沒有交點。 F2(c，0)
把 B （0，-b） B （0，b） 畫在 y 軸上： (0,-b) 1 2
B1
實軸：A1A2 （｜A1A2｜=2a） 長實軸長：a
虛軸：B1B2 （｜B1B2｜=2b） 短虛軸長：b （c
2-a2=b2）

4.漸近線：矩形的兩條對角線。y=± x 無限接近不相交


5.離心率（e= ，c>a>0，e>1）:我們把雙曲線的焦距與實軸長的比 稱為橢圓的離心率，用 e 表

√ 2 2
示。 含義： = =√( )2 1 =√ 2 1


①當 e∈(1，+∞) 時， ∈(0，+∞) ，且 e 增大， 也增大。E 增大時，漸近線與實軸的夾角增

大（斜率）。
②e 表示雙曲線開口大小的一個量，e 越大，開口越大。
6. 等軸雙曲線：實軸=虛軸的雙曲線（a=b 時）。x2-y2=m（m≠0） 漸近線為 y=±1
二、 關于雙曲線的拓展
1.關于直線與雙曲線的交點：
①該直線為漸近線，則沒有交點。
②平行于漸近線，則有一個交點。
③與漸近線不平行，則沒有交點。
2.雙曲線焦點 F 到漸近線的距離為 b
2 2
3.任意雙曲線 2 - 2 =1（a>b>0） ，
θ
焦點三角形的面積： =b2cot = b2
1
△ 1 2 2 θ tan
2
4.求雙曲線的方程方法：
2 2
①若已知有共同焦點，則設曲線方程為： 2 - 2 =1 解出 λ 。
2 2
②若已知漸近線，則設曲線方程為： 2 - 2 =λ (λ ≠ 0） 解出λ 。
5.
定義 ｜MF1｜-｜MF2｜=2a （ 0<2a<｜F1F2｜）
y y
M
F2
圖
F1 O F X O X2
像
F1 M
2 2方程
2 2
- =1 - =1
2 2 2 2
焦點 F（±c，0） F（0，±c）
abc 關系 a2=c2-b2 a2=c2-b2
3.3 拋物線
一、拋物線及其標準方程
1.拋物線：我們把平面內與一個頂點 F 和一條直線 l（不過點 F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
y
d M
①焦點： F ( ，0) H
2

②準線：直線 l ：x=-
2
( ，0) O X
2 F ( ，0) 2
2
2.拋物線的標準方程： y =2Px （P>0）
x=-
2
（1）推理：設點 M（x，y）是拋物線上任意一點，點 M 到直 線 l 的距離為 d，
由拋物線的定義。拋物線就是點的集合 P={M｜｜MF｜=d} 。
因為 ｜MF｜=√( )2 + 2 ，d=｜x+ ｜ ,所以 √( )2 + 2 = ｜x+ ｜
2 2 2 2
2
兩邊分別平方化簡，得 y =2Px （P>0） 。

（2）焦點：F（ ，0） （3）準線方程：x=-
2 2
3.雙曲線
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y
l y
y2

O F x =2Px （P>0） （ ，0） x=- 2 2
y
y l
2
y =-2Px

x （- ，0） x= F O 2 2
（P>0）
y y
F

x2=2Py （P>0） （0， ） y=-
O x 2 2
l
y
y
2
l x =-2Py

O x （0，- ） y= 2 2
（P>0）
F

（1）相同點：頂點為原點；對稱軸為坐標軸；頂點到焦點的距離=頂點到準線的距離=
2
（2）不同點：一次項變量為 x（或 y），則對稱軸為 x（或 y）；
二次項系數為正（或負），則開口指向正（或負）方向。
4.與拋物線只有 1 個交點的直線：①y 軸 ②與 x 軸平行 ③相切的直線
y
2
二、拋物線的簡單幾何性質： y =2Px （P>0） M(x ，yA 0 0)
1.性質：
（1）范圍：M（x，y） x≥0

( ，0) O X
2 F ( ，0) 2
（2）對稱性：關于 x 軸對稱（拋物線的軸）

x=-
（3）頂點：拋物線和它的軸的交點（原點） 2 B
（4）離心率：e=1，拋物線上的點 M 到焦點 F 的距離和它到準線的距離比。
（5）焦半徑：拋物線上一點與焦點的連線的線段長：｜MF｜=x0+

2
（6）通徑：通過拋物線的焦點 F 作垂直于 x 軸的直線，交拋物線于 A、B 兩點，線段 AB 叫做拋物線的
通徑。｜AB｜=2P
（7）焦點弦：過焦點的直線與拋物線相交所得的線段。
（8）準焦距：準線與焦點的距離為 P
2.特點：
（1）拋物線只位于半個坐標平面內，雖然它可以無限延伸，但無漸近線。
（2）只有一條對稱軸，無對稱中心。
（3）只有一個頂點，一個焦點，一條準線。
（4）離心率是確定的，e=1。
（5）P 對拋物線開口的影響：P 越大，開口越開闊（本質是成比例放大的）。
三、拓展
1.已知 AB 是拋物線 y2=2Px（P>0）的焦點弦。且 A（x1，y1）、B（x2，y2），點 F 是拋物線的焦點，M 是
AB 的中點，過點 A、B、M 向拋物線的準線作垂線，垂足分別為 A1、B1、M1 。則有：
2
（1）y y =-P2
y
1 2 ，x1x2=
4 A1
2
（2）｜AB｜=x1+x2+P= 2 （α為直線 AB 的傾斜角
） A（x1,y1）

M1
（3）以 AB 為直徑的圓與準線 l 相切。
P2 M
（4）S△AOB=
2·sinα B1 O
1 1 2 F ( ，0) X
（5） + 為定值 2
｜AF｜ ｜BF｜
B（x2,y2）
（6）∠AM1B=∠A1FB1=90°
x=-
2

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