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專題7追及和相遇問題
【知識梳理】
一、追及相遇問題的實(shí)質(zhì)：
就是分析兩物體在相同時間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置。
二、追及相遇問題的基本物理模型：以甲車追乙車為例
1．無論v甲增大、減小或不變，只要v甲2．若v甲＝v乙，甲、乙的距離 。
3．無論v甲增大、減小或不變，只要v甲>v乙，甲、乙的距離就 。
三、分析思路
可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系”．
1．一個臨界條件： 相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷問題的切入點(diǎn)；
2．兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系。通過畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。
四、常用分析方法
1．物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立物體運(yùn)動關(guān)系的情境圖。
能否追上的判斷方法(臨界條件法)：物體B追趕物體A，開始時兩個物體相距x0，當(dāng)vB＝vA時，
若xB>xA＋x0，則 追上；
若xB＝xA＋x0，則 追上；
若xB2．二次函數(shù)法：設(shè)運(yùn)動時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數(shù)關(guān)系，Δx＝0時，表示兩者相遇。
(1)若Δ>0，即有 個解，說明可以相遇 次；
(2)若Δ＝0，有 個解，說明 追上或相遇；
(3)若Δ<0， 解，說明 。
當(dāng)t＝－時，函數(shù)有極值，代表兩者距離的最大或最小值．
(3)圖像法：在同一坐標(biāo)系中畫出兩物體的運(yùn)動圖像．位移－時間圖像的交點(diǎn)表示 ；分析速度－時間圖像時，應(yīng)抓住速度相等時的“面積”關(guān)系找 關(guān)系。
五、常見追及情景
(1)速度小者追速度大者
情景 圖像 說明
勻加速追勻速 ①t＝t0以前，后面物體與前面物體間距離 ②t＝t0時，兩物體相距 ，為x0＋Δx(x0為兩物體初始距離) ③t＝t0以后，后面物體與前面物體間距離 ④ 追上且只能相遇 次
勻速追勻減速
勻加速追勻減速
提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng) 。
(2)速度大者追速度小者
情景 圖像 說明
勻減速追勻速 開始追趕時，兩物體間距離為x0，之后兩物體間的距離在減小，當(dāng)兩物體速度相等時，即t＝t0時刻： ①若Δx＝x0，則 追上，兩物體只能相遇 次，這也是避免相撞的臨界條件 ②若Δxx0，則相遇 次，設(shè)t1時刻Δx＝ ，兩物體第一次相遇，則t2時刻兩物體第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
勻速追勻加速
勻減速追勻加速
【專題練習(xí)】
一、單項(xiàng)選擇題
1．甲車以的加速度由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，乙落后1s在同一地點(diǎn)由靜止出發(fā)，以的加速度做勻加速直線運(yùn)動，兩車運(yùn)動方向相同，在乙車追上甲車之前，兩車的距離最大值為（　?。?br/>A．lm B．2m C．3m D．4m
2．甲、乙兩個質(zhì)點(diǎn)沿著同一直線運(yùn)動，其中質(zhì)點(diǎn)甲做勻速直線運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)乙做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，它們的位置隨時間變化規(guī)律如圖所示。已知時刻，甲的位置為，且此時兩圖線的斜率相同，下列判斷正確的是（　?。?br/>A．乙的速度大小為
B．時刻，兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離為
C．時刻，兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離為
D．兩質(zhì)點(diǎn)相遇時，乙的速度大小為
3．、兩物體從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，沿相同方向運(yùn)動。圖甲是做勻加速直線運(yùn)動的圖像，圖乙是做勻減速直線運(yùn)動的圖像。則下列說法正確的是（　?。?br/>A．時兩物體速度相等
B．前內(nèi)兩物體間距離一直在變大
C．時刻，的速度為，的速度為
D．的加速度大小為，的加速度大小為
4．城市公共汽車的加速度為1m/s2，汽車剛啟動時，一未趕上車的乘客以6m/s速度追車，當(dāng)人與車尾的距離不超過5m，且維持4s以上，才能引起司機(jī)的注意，則（　?。?br/>A．乘客開始追趕公共汽車時至少距離公共汽車21m才能引起司機(jī)注意
B．公共汽車在6s末距離乘客最遠(yuǎn)
C．若乘客開始追趕公共汽車時距離公共汽車小于20m，則乘客可以追上公共汽車
D．滿足恰好引起司機(jī)注意的條件下，乘客可以追上公共汽車
5．甲、乙兩物體從同一位置出發(fā)沿同一直線運(yùn)動時的圖像如圖所示，下列判斷正確的是（　?。?br/>A．甲做勻速直線運(yùn)動，乙做勻變速直線運(yùn)動
B．兩物體兩次相遇時刻是末和末
C．乙在頭兩秒內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動，兩秒后做勻減速直線運(yùn)動
D．末兩物體相距最遠(yuǎn)
6．甲乙兩車在平直公路上行駛，其圖像如圖所示。已知兩車在時恰好并排行駛，則下列說法正確的是（　　）
A．0s時刻，兩車相距52.5m
B．1s時甲車追上乙車
C．0~3s內(nèi)，甲乙兩車運(yùn)動方向相反
D．第2s時甲、乙兩車的加速度相等
7．由于環(huán)境污染嚴(yán)重，今年全國多次出現(xiàn)大面積霧霾天氣，對交通造成極大影響，交通事故頻發(fā)。某人駕駛車輛在一高速公路上行駛，由于大霧與前車發(fā)生追尾事故，后經(jīng)交警調(diào)查，描繪出他和前面正處于減速狀態(tài)的汽車開始剎車時兩車的速度圖像如圖所示，則以下判斷正確的是（　?。?br/>A．后車剎車時兩車間距離一定小于 90 m
B．后車剎車時兩車間距離一定等于 112 m
C．兩車一定是在 t=20 s之前的某時刻發(fā)生追尾
D．兩車一定是在 t=20 s之后的某時刻發(fā)生追尾
8．在同一條平直公路上行駛的車和車，其速度一時間圖像分別為圖中直線和曲線，時刻車與車在同一位置，時刻車在車前方，在時間內(nèi)，下列說法正確的是（　　）
A．時刻兩車相距最遠(yuǎn)
B．某時刻兩車相遇
C．時刻車運(yùn)動方向發(fā)生改變
D．某時刻車加速度等于車加速度
9．甲、乙兩輛小汽車（都可視為質(zhì)點(diǎn)）分別處于同一條平直公路的兩條平行車道上，開始時（t=0）乙車在前甲車在后，兩車間距為x0，t=0時甲車先啟動，t=3s時乙車再啟動，兩車啟動后都是先做勻加速運(yùn)動，后做勻速直線運(yùn)動，v-t圖像如圖所示。根據(jù)圖像，下列說法正確的是（　?。?br/>A．兩車加速過程中，甲、乙的加速度之比為5：4
B．若x0=100m，則兩車間距最小為45m
C．若兩車在t=6s時相遇，則在t=8s時再次相遇
D．若x0=45m，則兩車只相遇一次
10．一興趣小組用兩個相同的遙控小車沿直線進(jìn)行追逐比賽，兩小車分別安裝不同的傳感器并連接到計(jì)算機(jī)中，小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時刻速度大小均為，車在前、B車在后，兩車相距，其傳感器讀數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖所示，規(guī)定初始運(yùn)動方向?yàn)檎较?，則下列說法正確的是（ ）
A．時兩車間距離為
B．內(nèi)，車的加速度大于B車的加速度
C．兩車最近距離為
D．內(nèi)兩車相遇一次
二、多項(xiàng)選擇題
11．足球運(yùn)動員將一個靜止的足球，以10m/s的速度踢出，足球沿草地作直線運(yùn)動，速度不斷減小，設(shè)加速度大小恒為2m/s2，同時運(yùn)動員以4m/s不變的速度去追足球，下列說法正確的是（ ）
A．足球運(yùn)動的時間為5s
B．足球的位移大小為12.5m
C．足球停下后運(yùn)動員才追上足球
D．運(yùn)動員追上足球所需時間8s
12．甲、乙兩個質(zhì)點(diǎn)同時同地點(diǎn)向同一方向作直線運(yùn)動，它們的v—t圖象如圖所示，則（　?。?br/>A．乙的加速度為5m/s2
B．4s前兩者的距離越來越大，到4s末最大
C．0—4s內(nèi)兩者距離先增大后減小，到t=2s時最大
D．t=2s時乙追上甲
13．無線藍(lán)牙耳機(jī)擺脫了線材束縛，可以在一定距離內(nèi)與手機(jī)等設(shè)備實(shí)現(xiàn)無線連接。為了研究在運(yùn)動過程中無線連接的最遠(yuǎn)距離，甲和乙兩位同學(xué)做了一個有趣的實(shí)驗(yàn)。乙佩戴無線藍(lán)牙耳機(jī)，甲攜帶手機(jī)檢測，乙站在甲正前方10m處，二人同時沿同一直線向正前方運(yùn)動，各自運(yùn)動的圖像如圖所示，結(jié)果手機(jī)檢測到藍(lán)牙耳機(jī)能被連接的時間為4s。則下列判斷正確的是（　?。?br/>A．3s時甲乙相距最遠(yuǎn)
B．6s時甲乙相距最近
C．甲減速加速度大小為
D．5s時兩者距離為7.5m
14．在同一直線上沿同一方向運(yùn)動的A、B兩物體，在時經(jīng)過同一位置，A的圖和B的圖分別如甲、乙所示，則下列說法正確的是（　　）
A．A物體做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為
B．B物體做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為
C．兩物體將在末再次相遇
D．再次相遇前，兩物體相距最遠(yuǎn)距離為
15．甲、乙兩輛汽車同時同地出發(fā)，沿同方向做直線運(yùn)動，兩車速度的平方隨位移的變化圖象如圖所示，下列說法不正確的是（　　）
A．甲的初速度為36m/s
B．甲的加速度為2m/s2
C．兩車在6m處相遇
D．甲停止前，兩車在2s時相距最遠(yuǎn)
16．甲、乙兩車從同一地點(diǎn)沿同一平直公路運(yùn)動的v－t圖像如圖所示，甲車從t＝0時刻開始剎車，乙車剎車速度減為0后立即調(diào)頭追趕甲車，則下列說法正確的是（　　）
A．前2s內(nèi)甲車做勻減速運(yùn)動，乙車也做勻減速運(yùn)動
B．甲、乙兩車在t＝3s時相遇
C．甲、乙兩車在t＝6s前必定相遇
D．甲、乙兩車相遇前二者之間的最大距離為15m
17．在某次自動駕駛和基于蜂窩網(wǎng)絡(luò)技術(shù)車路協(xié)同測試中，甲、乙兩試驗(yàn)車在同一車道上同向勻速行駛，t=0時刻，在前面以36 km/h的速度行駛的甲車突然以a=2 m/s2的加速度減速，在后面以72 km/h的速度行駛的乙車通過車聯(lián)網(wǎng)實(shí)現(xiàn)信息交互同時剎車，兩車剎車過程均可視為勻減速直線運(yùn)動，則（　　）
A．若兩車不相撞，甲車在6 s內(nèi)的位移大小為25 m
B．若兩車剎車前相距12 m，乙車以加速度6 m/s2 剎車可能在t=3 s時撞上甲車
C．若兩車剎車前相距20 m，則乙車的加速度至少為4 m/s2 才能避免兩車相撞
D．若兩車剎車前相距37.5 m，則乙車的加速度至少為3.2 m/s2才能避免兩車相撞
18．甲、乙兩車同時從同一位置出發(fā)，沿著同一平直路面行駛，它們的速度v隨時間t變化的圖像如圖所示。下列說法正確的是（　?。?br/>A．0~時間內(nèi)，甲車在追乙車
B．~時間內(nèi)，兩車間的距離一直減小
C．0~時間內(nèi)，甲車先沿正方向運(yùn)動，再沿負(fù)方向運(yùn)動
D．~時間內(nèi)，甲車的平均速度大于乙車的平均速度
三、解答題
19．龍門中學(xué)禁止學(xué)生騎電動自行車上、放學(xué)，一學(xué)生違規(guī)駕駛電動自行車在平直公路上行駛，速度為v1=36 km/h。 突然發(fā)現(xiàn)前方26 m處靜止停放著一輛交通事故車，馬上緊急剎車，并以2 m/s 的恒定加速度減速行駛，分情況討論：
（1）如果不考慮反應(yīng)時間，通過計(jì)算說明，該違規(guī)駕駛電動自行車學(xué)生是否會出現(xiàn)安全問題？
（2）如果考慮到該名學(xué)生看到交通事故時的反應(yīng)時間為0.2s，通過計(jì)算說明，該違規(guī)駕駛電動自行車學(xué)生是否會出現(xiàn)安全問題？
（3）交通事故車發(fā)現(xiàn)后方26 m處的學(xué)生，馬上以速度v2=2 m/s勻速駕駛離開，兩車均不考慮反應(yīng)時間，求兩車相距最近的距離。
20．交管部門強(qiáng)行推出了“電子眼”，機(jī)動車違規(guī)現(xiàn)象大幅度減少。現(xiàn)有甲、乙兩汽車正沿同一平直馬路同向勻速行駛，甲車在前，乙車在后，行駛速度v0均為54km/h。當(dāng)兩車快要到十字路口時，甲車司機(jī)看到紅燈亮起，于是緊急剎車，乙車司機(jī)看到甲車剎車后也緊急剎車（乙車司機(jī)的反應(yīng)時間t=0.4s，反應(yīng)時間內(nèi)視為勻速運(yùn)動）。已知甲車、乙車緊急剎車時產(chǎn)生的加速度大小分別為a1=5m/s2、a2=6m/s2。
（1）若甲司機(jī)看到紅燈時車頭距警戒線L=30m，要避免闖紅燈，他的反應(yīng)時間t1不能超過多少？
（2）為保證兩車在緊急剎車過程中不相撞，甲、乙兩車剎車前的距離x0至少多大？
21．甲、乙兩輛車在同一直軌道上向右勻速行駛，甲車的速度為v1=16m/s，乙車的速度為v2＝12m/s，乙車在甲車的前面。當(dāng)兩車相距L＝6m時，兩車同時開始剎車，從此時開始計(jì)時，甲車以a1＝2m/s2的加速度剎車，6s后立即改做勻速運(yùn)動，乙車剎車的加速度為a2＝1m/s2。求：
（1）從兩車剎車開始計(jì)時，甲車第一次與乙車相遇的時間；
（2）兩車相遇的次數(shù)和相遇最后一次時所經(jīng)歷的時間。
參考答案
1．A 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A
11．AC 12．AC 13．CD 14．AD 15．ABC 16．AD 17．AD 18．AD
19．（1）不會；（2）會；（3）10m
【解析】
（1）剎車距離
不會出現(xiàn)安全問題。
（2）反應(yīng)時間內(nèi)前進(jìn)距離
因?yàn)?br/>會出現(xiàn)安全問題。
（3）兩車速度相等時，距離最近
最近距離
聯(lián)立解得
20．（1）0.5s；（2）2.4m
【解析】
（1）由題意得
解得t1=0.5s
他的反應(yīng)時間t1不能超過0.5s。
（2）設(shè)乙剎車后經(jīng)過時間t，甲、乙兩車共速，則
解得t=2s；v=3m/s
此時甲車
乙車
則甲乙兩車剎車前的距離至少為x0=x2-x1=2.4m
21．（1）2s；（2）3次，t3=10 s
【解析】
（1）在甲減速時，設(shè)經(jīng)時間t相遇，甲和乙的加速度分別為a1、a2，位移分別為x1、x2，則有
x1=v1t-a1t2
x2=v2t-a2t2
x1=x2+L
聯(lián)立解得t1=2s，t2=6s
即在甲車減速時，相遇兩次，第一次相遇的時間為t1=2s。
（2）當(dāng)t2=6 s時，甲車的速度為v1'=v1-a1t2=4m/s
乙車的速度為v2'=v2-a2t2=6m/s
甲車的速度小于乙車的速度，但乙車做減速運(yùn)動，設(shè)再經(jīng)Δt甲追上乙，有v1'Δt=v2'Δt-a2(Δt)2
解得Δt=4s
而乙車速度減到零還需
此時乙仍在做減速運(yùn)動，此解成立則第三次相遇的時刻為
綜合以上分析知，甲、乙兩車共相遇3次，相遇的時刻為t1=2 s，t2=6 s，t3=10s。

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