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專題四：曲線以及平拋運動
一、基礎知識填空
1.曲線運動的基本性質
（1）曲線運動條件： 與 。
（2）曲線運動的特點：一定是________運動，（可能是__________運動）。
（3）速度方向：始終在運動軌跡的 上
（4）曲線運動的受力特點：受力方向指向運動軌跡_______側。
（5）運動的性質的決定：
①物體運動的性質由 決定
②加速度為零時，物體做 或 運動；
③加速度恒定時，物體做 運動；加速度變化時物體做 運動。
（6）物體運動的軌跡（直線還是曲線）的決定
①物體運動軌跡是由物體的 和 的方向關系決定
②______與 方向在同一條直線上時物體做直線運動；
③ 和 方向有夾角時物體做曲線運動
2.運動的合成和分解
（1）運動的分解實質是分解運動的幾個物理量 、 、
（2）分解方式： 。
（3）合速度與分速度的幾個重要關系：______ __性、___________性、________性
（4）常見的幾種不共線運動的合成：
①兩個勻速直線運動的合運動：
②一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動合運動：
③兩個初速度為零的勻加速速直線運動的合運動：
④兩個有初速度的勻變速直線運動的合運動：
3.平拋運動的基礎
（1）平拋運動條件：_________ 、___________；
（2）運動性質：____________________________。
4.平拋運動的規律
（1）水平速度： ，豎直速度：
合速度（實際速度）的大小：
物體的合速度v與水平的夾角為：
（2）水平位移 ，豎直位移
合位移（實際位移）的大小：
物體的總位移x與水平之間的夾角為：
5.平拋運動的結論：
（1）平拋運動落地時間由 決定
（2）平拋運動水平飛行射程由 和 共同決定：
（3）落地瞬時速度由________和________共同決定
（4）任意時刻瞬時速度與水平方向的正切值為位移與水平方向正切值的_______倍。
（5）速度方向的反向延長線交于水平位移的 。
（6）任意一段時間內速度的變化量 ，方向恒為 。
6.類平拋運動
（1）某一方向物體做 運動，另一垂直方向做 運動。
（2）物體所受合力為 力，且與初速度的方向 。
二、典題練習
典題一：曲線運動和運動的合成
如圖，這是物體做勻變速曲線運動的軌跡的示意圖．已知物體在B點的加速度方向與速度方向垂直，則下列說法中正確的是(　　)
A．C點的速率小于B點的速率
B．A點的加速度比C點的加速度大
C．C點的速率大于B點的速率
D．從A點到C點加速度與速度的夾角先增大后減小，速率是先減小后增大
(多選)光滑水平面上一運動質點以速度v0通過點O，如圖所示，與此同時給質點加上沿x軸正方向的恒力Fx和沿y軸正方向的恒力Fy，則(　　)
A．因為有Fx，質點一定做曲線運動 B．如果Fy＜Fx，質點向y軸一側做曲線運動
C．如果Fy＝Fxtan α，質點做直線運動 D．如果Fx＞Fycot α，質點向x軸一側做曲線運動
(多選)如圖甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其v－t圖象如圖乙所示，人頂桿沿水平地面運動的x－t圖象如圖丙所示．若以地面為參考系，下列說法中正確的是(　　)
A．猴子的運動軌跡為直線 B．猴子在2 s內做勻變速曲線運動
C．t＝0時猴子的速度大小為8 m/s D．t＝2 s時猴子的加速度大小為4 m/s2
(多選)質量為2 kg的質點在xOy平面上做曲線運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．質點的初速度為5 m/s B．質點所受的合外力為3 N，做勻加速曲線運動
C．2 s末質點速度大小為6 m/s D．2 s內質點的位移大小約為12 m
(多選)如圖所示，在光滑水平面上有兩條互相平行的直線l1、l2，AB是兩條直線的垂線，其中A點在直線l1上，B、C兩點在直線l2上。一個物體沿直線l1以確定的速度勻速向右運動，如果物體要從A點運動到C點，圖中1、2、3為其可能的路徑，則可以使物體通過A點時(　　)
A．獲得由A指向B的任意大小的瞬時速度；物體的路徑是2
B．獲得由A指向B的確定大小的瞬時速度；物體的路徑是2
C．持續受到平行于AB的任意大小的恒力；物體的路徑可能是1
D．持續受到平行于AB的確定大小的恒力；物體的路徑可能是3
物體在直角坐標系xOy所在的平面內由O點開始運動，其沿坐標軸方向的兩個分速度隨時間變化的圖像如圖(甲)、(乙)所示，則對該物體運動過程的描述正確的是(　　)
A．物體在0～3 s做直線運動 B．物體在3～4 s做直線運動
C．物體在3～4 s做曲線運動 D．物體在0～3 s做變加速運動
典題二：速度關聯問題
如圖所示，人在岸上用輕繩拉船，若人勻速行進，則船將做：（ ）
A. 勻速運動 B. 勻加速運動 C. 變加速運動 D. 減速運動
(多選)如圖所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，現用一支鉛筆貼著細線的左側水平向右以速度v勻速移動，運動過程中保持鉛筆的高度不變，懸掛橡皮的那段細線保持豎直，則在鉛筆未碰到橡皮前，橡皮的運動情況是(　　)
A．橡皮在水平方向上做勻速運動 B．橡皮在豎直方向上做加速運動
C．橡皮的運動軌跡是一條直線 D．橡皮在圖示虛線位置時的速度大小為v
(多選)如圖所示，人在岸上拉船，已知船的質量為m，水的阻力恒為f，當輕繩與水平面的夾角為θ時，人的速度為v，人的拉力為F(不計滑輪與繩之間的摩擦)，則以下說法正確的是(　　)
A．船的速度為 B．船的速度為vsin θ
C．船的加速度為 D．船的加速度為
A、B兩物體通過一根跨過光滑輕質定滑輪的不可伸長的輕繩相連放在水平面上，現物體A以v1的速度向右勻速運動，當繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時，如圖9所示，物體B的運動速度為(繩始終有拉力)(　　)
A. B. C. D.
如圖所示，一個固定汽缸的活塞通過兩端有轉軸的桿AB與圓盤邊緣連接，半徑為R的圓盤繞固定轉動軸O點以角速度ω逆時針勻速轉動，形成活塞水平左右振動．在圖示位置，桿與水平線AO夾角為θ，AO與BO垂直，則此時活塞速度為(　　)
A．ωR　　　　　　　　　　 B．ωRcos θ
C．ωRcot θ D．ωRtan θ
如圖所示的機械裝置可以將圓周運動轉化為直線上的往復運動．連桿AB、OB可繞圖中A、B、O三處的轉軸轉動，連桿OB在豎直面內的圓周運動可通過連桿AB使滑塊在水平橫桿上左右滑動．已知OB桿長為L，繞O點沿逆時針方向勻速轉動的角速度為ω，當連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β時，滑塊的水平速度大小為(　　)
A. B. C. D.
典題三：小船過河問題
在抗洪搶險中，戰士駕駛摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d，如戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為( )
A． B．0 C． D．
一條河寬100米，船在靜水中的速度為4m/s，水流速度是5m/s，則（ ）
A．該船可能垂直河岸橫渡到對岸
B．當船頭垂直河岸橫渡時，過河所用的時間最短
C．當船頭垂直河岸橫渡時，船的位移最小，是100米
D．當船橫渡時到對岸時，船對岸的最小位移是100米
民族運動會上有一個騎射項目，運動員騎在奔弛的馬背上，彎弓放箭射向南側的固定目標。假設運動員騎馬奔弛的速度為υ1，運動員靜止時射出的箭速度為υ2，跑道離固定目標的最近距離為d。要想命中目標且射出的箭在空中飛行時間最短，則
A．運動員放箭處離目標的距離為 B．運動員放箭處離目標的距離為
C．箭射到靶的最短時間為 D．箭射到靶的最短時間為
小河寬為d，河水中各點水流速度大小與各點到較近河岸邊的距離成正比，，x是各點到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，則下列說法中正確的是（ ）
A、小船渡河的軌跡為曲線 B、小船到達離河岸處，船渡河的速度為
C、小船渡河時的軌跡為直線 D、小船到達離河岸處，船的渡河速度為
小船從A碼頭出發，沿垂直于河岸的方向渡河，若河寬為d，渡河速度v船恒定，河水的流速與到河岸的距離成正比，即v水=kx （x≤d/2，k為常量），要使小船能夠到達距A正對岸為s的B碼頭，則
A．v船應為kd2/4s B.v船應為kd2/2s
C．渡河時間為4s/kd D.渡河時間為2s/kd
如圖所示，小船以大小為v1、方向與上游河岸成θ的速度（在靜水中的速度）從A處過河，經過t時間，正好到達正對岸的B處。現要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸B處，在水流速度不變的情況下，可采取下列方法中的哪一種： （ ）
A．只要增大v1大小，不必改變θ角 B．只要增大θ角，不必改變v1大小
C．在增大v1的同時，也必須適當增大θ角 D．在增大v1的同時，也必須適當減小θ角
如圖所示，河水流動的速度為v且處處相同，河寬度為a.在船下水點A的下游距離為b處是瀑布．為了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，則(　　)
A．小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為t＝
B．小船軌跡垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度為vmax＝
C．當小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為vmin＝
D．當小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為vmin＝
(多選)甲、乙兩船在同一河流中同時開始渡河，河水流速為v0，兩船在靜水中的速率均為v，甲、乙兩船船頭均與河岸成θ角，如圖所示，已知甲船恰能垂直河岸到達河正對岸的A點，乙船到達河對岸的B點，A、B之間的距離為L，則下列判斷正確的是(　　)
A．乙船先到達對岸
B．若僅是河水流速v0增大，則兩船的渡河時間都不變
C．不論河水流速v0如何改變，只要適當改變θ角，甲船總能到達正對岸的A點
D．若僅是河水流速v0增大，則兩船到達對岸時，兩船之間的距離仍然為L
典題四：平拋運動的性質和規律
以v0的速度水平拋出一物體，當其水平分位移與豎直分位移大小相等時，下列說法正確的是(　　)
A．此時速度的大小是 v0 B．運動時間是
C．豎直分速度大小等于水平分速度大小 D．運動的位移是
在水平勻速飛行的飛機上，不計空氣阻力，相隔1s落下物體A和B，在落地前，A物體將（ ）
A．在B物體之前　 　B．在B物體之后
C．在B物體正下方　　D．在B物體前下方
做平拋運動的物體，每秒的速度增量總是（ ）
A．大小相等 B．大小不等 C．方向相同 D．方向不同
如圖所示，在傾角為θ的斜面上A點以水平速度v0拋出一個小球，不計空氣阻力，它落到斜面上B點所用的時間為 (　　)
A. B. C. D.
如圖所示，以v0＝10 m/s的速度水平拋出的小球，飛行一段時間垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考慮，以下結論中不正確的是(　　)
A．物體飛行時間是 s
B．物體撞擊斜面時的速度大小為20 m/s
C．物體飛行的時間是2 s
D．物體下降的距離是10m
一水平拋出的小球落到一傾角為的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如右圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為（ ）
A． B． C． D．
典題五：斜面上的平面
如圖所示，斜面體ABC固定在水平地面上，斜面的高AB為 m，傾角為θ＝37°，且D是斜面的中點，在A點和D點分別以相同的初速度水平拋出一個小球，結果兩個小球恰能落在地面上的同一點，則落地點到C點的水平距離為(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不計空氣阻力)(　　)
A. m B. m C. m D. m
(多選)如圖，在斜面頂端以不同的初速度水平拋出幾個小球，所有小球均落在斜面上．忽略空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
A．所有小球的豎直位移與水平位移之比都相等
B．小球的運動時間與初速度的平方成正比
C．所有小球落到斜面上時的速度方向都相同
D．小球從拋出到離斜面最遠的過程中，豎直位移為總豎直位移的一半
如圖所示，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經過時間ta恰好落在斜面底端c處．今在c點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經過時間tb恰好落在斜面的三等分點d處．若不計空氣阻力，下列關系式正確的是(　　)
A．ta＝tb B．ta＝3tb
C．va＝vb D．va＝vb
（多選）如圖所示，小球A、B分別從和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2l。忽略空氣阻力，則（　　）
A. A和B的位移大小相等 B. A的運動時間是B的2倍
C. A的初速度是B的 D. A末速度比B的大
從傾角為θ、足夠長的斜面上的M點，以初速度v0水平拋出一小球，不計空氣阻力，落到斜面上的N點，此時速度方向與水平方向的夾角為α，經歷時間為t。下列各圖中，能正確反映t及tan α與v0關系的圖像是(　　)
如圖所示，水平面上固定一個斜面，從斜面頂端向右平拋一只小球，當初速度為v0時，小球恰好落到斜面底端，飛行時間為t0。現用不同的初速度v從頂端向右平拋這只小球，以下能正確表示平拋的飛行時間t隨v變化的關系是(　　)
典題六：半圓內的平拋問題
如圖所示，一豎直圓弧形槽固定于水平地面上，O為圓心，AB為沿水平方向的直徑．若在A點以初速度v1沿AB方向平拋一小球，小球將擊中槽壁上的最低點D點；若A點小球拋出的同時，在C點以初速度v2沿BA方向平拋另一相同質量的小球并也能擊中D點，已知∠COD＝60°，且不計空氣阻力，則(　　)
A．兩小球同時落到D點 B．兩小球初速度大小之比為∶3
C．兩小球落到D點時的速度方向與OD線夾角相等 D．兩小球落到D點時的瞬時速率之比為∶1
如圖所示，薄半球殼ACB的水平直徑為AB，C為最低點，半徑為R.一個小球從A點以速度v0水平拋出，不計空氣阻力．則下列判斷正確的是(　　)
A．只要v0足夠大，小球可以擊中B點
B．v0取值不同時，小球落在球殼上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
C．v0取值適當，可以使小球垂直撞擊到半球殼上
D．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊到半球殼上
如圖所示，在豎直放置的半圓形容器的中心O點分別以水平初速度v1、v2拋出兩個小球(可視為質點)，最終它們分別落在圓弧上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，則兩小球初速度之比為(　　)
A．tan α 　　　 B．sin α　　 C．tan α　 　D．cos α
典題七：平拋運動中的臨界條件
一帶有乒乓球發射機的乒乓球臺如圖所示．水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網高度為h.發射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發射乒乓球，發射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網右側臺面上，則v的最大取值范圍是(　　)
A. ＜v＜L1 B. ＜v＜
C. ＜v＜ D. ＜v＜
如圖，拋球游戲中，某人將小球水平拋向地面的小桶，結果球落在小桶的前方．不計空氣阻力，為了把小球拋進小桶中，則原地再次水平拋球時，他可以(　　)
A．增大拋出點高度，同時增大初速度 B．減小拋出點高度，同時減小初速度
C．保持拋出點高度不變，增大初速度 D．保持初速度不變，增大拋出點高度
未來在一個未知星球上用如圖甲所示裝置研究平拋運動的規律．懸點O正下方P點處有水平放置的熾熱電熱絲，當懸線擺至電熱絲處時能輕易被燒斷，小球由于慣性向前飛出做平拋運動．現對小球采用頻閃數碼照相機連續拍攝．在有坐標紙的背景屏前，拍下了小球在平拋運動過程中的多張照片，經合成后，照片如圖10乙所示．a、b、c、d為連續四次拍下的小球位置，已知照相機連續拍照的時間間隔是0.10 s，照片大小如圖中坐標所示，又知該照片的長度與實際背景屏的長度之比為1∶4，則：
　
(1)由已知信息，可知a點________(選填“是”或“不是”)小球的拋出點；
(2)由已知信息，可以推算出該星球表面的重力加速度為________ m/s2；
(3)由已知信息可以算出小球平拋的初速度是________ m/s；
(4)由已知信息可以算出小球在b點時的速度是________ m/s
如圖所示，水平房頂高H＝5 m，墻高h＝3.2 m，墻到房子的距離l＝3 m，墻外馬路寬d＝10 m。欲使小球從房頂水平飛出落在墻外的馬路上，求小球離開房頂時的速度v0應滿足的條件。(墻的厚度不計，g取10 m/s2)
如圖所示，一小球從平臺上水平拋出，恰好落在臺的一傾角為α＝53°的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑，已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，則：
小球水平拋出的初速度v0是多大？
斜面頂端與平臺邊緣的水平距離x是多少？
若斜面頂端高H＝20.8 m，則小球離開平臺后經多長時間t到達斜面底端？

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