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專題21圓周運動中的臨界極值問題
【知識梳理】
一、豎直面內圓周運動的臨界問題
1．兩類模型對比
輕繩模型(最高點無支撐) 輕桿模型(最高點有支撐)
實例 球與繩連接、水流星、沿內軌道運動的“過山車”等 球與桿連接、球在光滑管道中運動等
圖示
受力示意圖 F彈向下或等于零 F彈向下、等于零或向上
力學方程
臨界特征 F彈＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F彈＝mg
討論分析 (1)最高點，若v≥ ，F彈＋mg＝m，繩或軌道對球產生彈力F彈 (2)若v<，則 到達最高點，即到達最高點前小球已經脫離了圓軌道 (1)當v＝0時，F彈＝mg，F彈背離圓心 (2)當0時， ＝m，F彈指向圓心并隨v的增大而
2．解題技巧
(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用 提供向心力列牛頓第二定律方程；
(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用 定理找出兩處速度關系；
(3)注意：求對軌道的壓力時，轉換研究對象，先求物體所受支持力，再根據 求出壓力。
二、水平面內圓周運動的臨界問題
1．運動特點
(1)運動軌跡是水平面內的圓。
(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供 ，豎直方向合力為零，物體在水平面內做勻速圓周運動。
2．過程分析
重視過程分析，在水平面內做圓周運動的物體，當轉速變化時，物體的受力可能發生變化，轉速繼續變化，會出現繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉速增大而逐漸達到最大值、彈簧彈力大小方向發生變化等，從而出現臨界問題。
3．方法突破
(1)水平轉盤上的物體恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體與盤間恰好達到 。
(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為 。
(3)繩的拉力出現臨界條件的情形有：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等。
4．解決方法
當確定了物體運動的臨界狀態和臨界條件后，要分別針對不同的運動過程或現象，選擇相對應的物理規律，然后再列方程求解。
【專題練習】
一、單項選擇題
1．如圖所示，質量可以不計的細桿長為l，一端固定著一個質量為m的小球，另一端能繞光滑的水平軸O轉動，讓小球在豎直平面內繞軸O做半徑為l的圓周運動，小球通過最高點時的線速度大小為v，下列說法中正確的是（　?。?br/>A．小球能過最高點的臨界條件是
B．當小球通過最高點時，小球可能處于超重狀態
C．在最高點時，若，則小球與細桿之間的彈力隨v增大而減小
D．在最高點時，若，則小球與細桿之間的彈力隨v減小而增大
2．旋轉餐桌的水平桌面上，一質量為的茶杯（視為質點）到轉軸的距離為r，茶杯與旋轉桌面間的動摩擦因數為，重力加速度大小為，餐桌帶著茶杯以周期T勻速轉動時，茶杯與餐桌沒有發生相對滑動，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是（　?。?br/>A．動摩擦因數的最小值為
B．將茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的周期勻速轉動餐桌，茶杯可能發生相對滑動
C．增大茶杯到轉軸的距離時，動摩擦因數減小
D．若減小餐桌的轉動周期T，則茶杯與餐桌可能發生相對滑動
3．過山車的部分軌道可簡化為半徑為、的圓，其底部位于同一水平面上，。質量為的一節過山車（可簡化為質點）以某一速度滑上半徑為的軌道時，恰好能通過軌道的最高點；若過山車通過軌道的最高點時速度恰好與通過的最高點時相等，則過山車通過的最高點時對軌道壓力為（　?。?br/>A．0 B． C． D．
4．如圖所示，轉動軸垂直于光滑平面，交點O的上方h處固定細繩的一端，細繩的另一端拴接一質量為m的小球B，繩長AB=l>h，小球可隨轉動軸轉動并在光滑水平面上做勻速圓周運動。要使球不離開水平面，轉動軸的轉速的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．質量為m的小球，由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，繩a長為l，當輕桿以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是（　?。?br/>A．a繩的張力不可能為零
B．a繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當角速度ω=時，b繩拉力不為零
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
6．如圖所示，粗糙水平轉盤上，質量相等的A、B兩個物塊（均可視為質點）疊放在一起，隨轉盤一起做勻速圓周運動，它們到轉軸的距離均為r。A、B之間的動摩擦因數為，B與轉盤之間的動摩擦因數為，各接觸面之間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。則下列說法正確的是（　　）
A．在隨轉盤做勻速圓周運動過程中，物塊A所需要的向心力由重力和B對它的支持力提供
B．A、B均未發生滑動時，A、B之間的摩擦力和B與轉盤之間的摩擦力大小相等
C．若，隨著轉盤角速度的增加，A先相對B發生滑動
D．若，為保證A、B均不發生滑動，轉盤轉動的角速度最大為
7．兩個質量均為m的小木塊a和（均可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸的距離為L，b與轉軸的距離為2L，a、b之間用長為L的強度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，開始時輕繩剛好伸直但無張力，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（　　）
A．b比a先達到最大靜摩擦力
B．a、b所受的摩擦力始終相等
C．是b開始滑動的臨界角速度
D．當時，a所受摩擦力的大小為
8．如圖所示，一質量為的人站在臺秤上，臺秤的示數表示人對秤盤的壓力；一根長為的細線一端系一個質量為的小球，手拿細線另一端，小球繞細線另一端點在豎直平面內做圓周運動，且小球恰好能通過圓軌道最高點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．小球運動到最高點時，小球的速度為零
B．當小球運動到最高點時，臺秤的示數最小，且為
C．小球在、、三個位置時，臺秤的示數相同
D．小球從點運動到最低點的過程中臺秤的示數增大，人處于失重狀態
9．如圖所示，疊放在水平轉臺上的物體 A、B及物體 C能隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C 的質量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數都為μ，A 和B、C離轉臺中心的距離分別為r和1.5r。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　?。?br/>A．B對A的摩擦力一定為3μmg
B．B對A的摩擦力一定為3mω2r
C．轉臺的角速度需要滿足
D．若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是A物體
二、多項選擇題
10．如圖，用長為的輕繩拴著一小球（可視為質點）在豎直平面內做完整的圓周運動，不計空氣阻力，重力加速度大小為。下列說法正確的是（　?。?br/>A．小球在最高點時，輕繩的拉力不可能為零
B．小球在最低點時，輕繩的拉力大小一定大于小球的重力大小
C．小球在最高點時，其向心力僅由輕繩的拉力提供
D．小球在最高點的最小速率為
11．如圖所示，小球在豎直放置的內壁光滑的圓形細管內做圓周運動，則（　?。?br/>A．小球通過最高點的最小速度為
B．小球通過最高點的速度可能為零
C．小球通過最高點時一定受到內管壁向上的支持力
D．小球通過最低點時一定受到外管壁向上的壓力
12．如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊（可視為質點），當物塊到轉軸的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直（繩上張力為0）。物塊和轉盤間的最大靜摩擦力是物塊對轉盤壓力的倍。已知重力加速度為g，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。下列說法正確的是（　?。?br/>A．當轉盤以角速度勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為
B．當轉盤以角速度勻速轉動時，細繩的拉力大小為
C．當轉盤以角速度勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為
D．當轉盤以角速度勻速轉動時，細繩的拉力大小為
13．質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是（重力加速度為g）（　?。?br/>A．a繩的張力不可能為零
B．a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C．當角速度，b繩中才出現張力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發生變化
14．如圖所示的玩具裝置，在光滑水平圓臺的中軸上O點固定一根結實的細繩，細繩長度為，細繩的一端連接一個小木箱，此時細繩與轉軸間的夾角為，且處于恰好伸直的狀態。已知小木箱的質量為，，，重力加速度g取，不計空氣阻力。在可調速電動機的帶動下，讓水平圓臺從靜止開始緩慢加速運動，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．當圓臺的角速度時，細繩中無張力
B．當圓臺的角速度時，細繩中張力大小為0.6N
C．當圓臺的角速度時，木箱對圓臺無壓力
D．當角速度時，細繩與轉軸間的夾角為53°
15．如圖所示，圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動。甲、乙物體質量分別是2m和m（兩物體均看作質點），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根剛好沿半徑方向被拉直的結實輕繩連在一起，甲、乙到圓心的距離分別為r和2r。當轉盤旋轉角速度由零逐漸緩慢增大時（　　）
A．輕繩剛開始有拉力后，轉盤旋轉角速度增大，甲受到的靜摩擦力先減小后增大
B．輕繩剛開始有拉力后，轉盤旋轉角速度增大，輕繩拉力增大
C．轉盤旋轉角速度很小時，輕繩拉力為0
D．轉盤旋轉角速度較大時，乙將拉著甲向外運動
16．如圖，兩個質量均為的小木塊和可視為質點放在水平圓盤上，與轉軸的距離為與轉軸的距離為，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的倍，重力加速度大小為若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（　?。?br/>A．、所受的摩擦力始終相等
B．一定比先開始滑動
C．是開始滑動的臨界角速度
D．當時，所受摩擦力的大小為
17．如圖1所示一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線豎直，母線與軸線之間夾角為θ，一條長度為l的輕繩，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小球（可看作質點），小球以角速度ω繞圓錐體的軸線做勻速圓周運動，細線拉力F隨ω2變化關系如圖2所示。重力加速度g取10m/s2，由圖2可知（ ）
A．繩長為l = 2m
B．小球質量為0.5kg
C．母線與軸線之間夾角θ = 30°
D．小球的角速度為2rad/s時，小球已離開錐面
18．如圖所示，質量為的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為的勻速圓周運動，已知重力加速度為，空氣阻力不計，要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則（　　）
A．該盒子做圓周運動的向心力恒定不變
B．該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于
C．盒子在最低點時，小球對盒子的作用力大小等于
D．盒子在與點等高的右側位置時，小球對盒子的作用力大小等于
參考答案
1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．BD
11．BD 12．ACD 13．AC 14．AC 15．BC 16．BCD 17．AB 18．BD

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