資源簡介

專題23萬有引力定律的應用
【知識梳理】
一、萬有引力定律
1．內容
自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成 ，與它們之間距離r的二次方成 。
2．表達式
F＝G，G為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．適用條件
(1)公式適用于 間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。
(2)質量分布均勻的球體可視為質點，r是 間的距離。
4．天體運動問題分析
(1)將天體或衛星的運動看成 運動，其所需向心力由 提供。
(2)基本公式：
①線速度：G＝m v＝
②角速度：G＝mω2r ω＝
③周期：G＝m2r T＝
④向心加速度：G＝ma a＝
結論：r越大，v、ω、a ，T 。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫 速度，其數值為 km/s。
(2)第一宇宙速度是人造衛星在 附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度。
(3)第一宇宙速度是人造衛星的最小 速度，也是人造衛星的最大 速度。
(4)第一宇宙速度的計算方法
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝ 。
2．第二宇宙速度
使物體掙脫 引力束縛的最小發射速度，其數值為 km/s。
3．第三宇宙速度
使物體掙脫 引力束縛的最小發射速度，其數值為 km/s。
三、萬有引力定律的理解及應用
1．萬有引力與重力的關系
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：
一是 ，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg0。
(3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的 。
越靠近兩極，向心力越小，g值越大．由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝G，得g＝ 。
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝.所以＝ 。
3．萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”
(1)兩點理解
①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和 力。
②地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個 。
(2)星體內部萬有引力的兩個推論
①推論1：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零。
②推論2：在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對它的萬有引力，即F＝G。
四、天體質量和密度的計算
1．利用天體表面重力加速度
已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
①由G＝mg，得天體質量M＝.
②天體密度ρ＝＝＝.
(2)利用運行天體(以已知周期為例)
測出衛星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝.
③若衛星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，故只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。
【專題練習】
一、單項選擇題
1．“風云四號”是我國新一代靜止軌道（地球同步衛星）氣象衛星的首發星，關于“風云四號”衛星，下列說法正確的是（　　）
A．能全天候監測同一地區
B．其運行速度大于第一宇宙速度
C．能出現在北京的正上空
D．其向心加速度大于地球表面的重力加速度
2．如圖所示為1687年出版的《自然哲學的數學原理》中一幅經典圖，牛頓設想：把物體從高山上水平拋出，若速度一次比一次大，落地就一次比一次遠；當拋出速度足夠大時，即達到特定速度（臨界速度）物體就不會落回地面。下列說法正確的是（　　）
A．增大拋出速度就會減小地球對物體的引力
B．增大拋出速度是因為物體慣性增加而運動更遠
C．不計空氣阻力，物體質量越大，該臨界速度越大
D．若物體拋出時的速度大于該臨界速度，可能沿橢圓軌道運動
3．北京時間2022年5月5日10時38分，我國太原衛星發射中心用長征二號丁運載火箭將8顆“吉林一號”衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，與原有在軌衛星成功組網。為農業、林業、海洋、資源、環保、城市建設等領域提供更加豐富的遙感數據。“吉林一號”衛星軌道高度距地面約500多千米，同步衛星軌道距地高度約36000千米，關于“吉林一號”衛星，下列說法正確的是（　　）
A．“吉林一號”衛星的運行線速度大于7.9km/s
B．“吉林一號”衛星的運行周期大于地球同步衛星的運行周期
C．“吉林一號”衛星運行的角速度大于地球自轉的角速度
D．僅根據“吉林一號”衛星的軌道半徑，可估算地球的質量
4．2021年2月，天問一號探測器實施近火捕獲制動，進入長軸為、周期為約10個地球日）、傾角約10°的大橢圓環火軌道，成為我國第一顆人造火星衛星。已知引力常量為G，依據題中信息，可估算出（　　）
A．火星的密度 B．火星的第一宇宙速度
C．火星的質量為 D．探測器的質量
5．北京時間2022年4月14日，神舟十三號載人飛船已完成全部既定任務，將擇機撤離空間站核心艙組合體，返回東風著陸場。神舟十三號載人飛行任務取得圓滿成功，中國航天又站在了一個新的起點。已知地球的質量為M，引力常量為G，飛船的質量為m，設飛船繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為r，則下列說法正確的是（　　）
A．飛船在此軌道上的運行速率為
B．飛船的發射速度至少為
C．飛船的發射速度可以小于
D．宇航員在飛船上處于完全失重狀態，鍛煉所用的彈簧拉力器、跑步機、啞鈴等器械都不能正常使用
6．如圖所示，2022年4月16日9時56分，在太空遨游半年的神舟十三號飛船在東風著陸場平安降落，太空“出差”的3名航天員翟志剛、王亞平、葉光富安全順利出艙，重回地球的懷抱。已知三位航天員工作和生活的場所——天宮二號空間站組合體做圓周運動時離地高度為h，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，地球同步衛星軌道離地高度為H，周期為T。下列判斷正確的是（　　）
A．三位航天員可以利用天平測量物體的質量
B．天宮二號空間站組合體轉動周期
C．天宮二號空間站組合體向心加速度約為
D．天宮二號空間站組合體的質量為
7．我國古代神話傳說中∶地上的“凡人”過一年，天上的“神仙”過一天。如果把看到一次日出就當作“一天”，已知中國空間站距離地面高度約為400km繞地球做勻速圓周運動，地球近地衛星做勻速圓周運動的周期為90min，地球半徑為6400km，表面重力加速度為10m/s2，則該空間站中翟志剛、王亞平、葉光富三位航天員24h內在空間站中看到日出的次數約為（　　）
A．1 B．8 C．16 D．24
8．我國的航天事業正飛速發展，“天宮”空間站正環繞地球運行，“天問一號”環繞器正環繞火星運行。假設它們都是圓形軌道運行，地球與火星質量之比為p，“天宮”空間站與“天問一號”環繞器的軌道半徑之比為k。“天宮”空間站與“天問一號”環繞器的（　　）
A．運行周期之比為 B．加速度之比為pk2
C．動能之比為 D．運行速度之比為
9．嫦娥五號任務實現了多項重大突破，標志著中國探月工程“繞、落、回”三步走規劃完美收官。若探測器攜帶了一個在地球上振動周期為T0的單擺，并在月球上測得單擺的周期為T，已知地球的半徑為R0，月球的半徑為R，忽略地球、月球的自轉，則地球第一宇宙速度v0與月球第一宇宙速度v之比為（　　）
A． B． C． D．
10．2022年6月5日10時44分，神舟十四號飛船順利點火升空，經6次變軌，成功對接于天和核心艙徑向端口。隨后，陳冬、劉洋、蔡旭哲三位航天員順利進駐天和核心艙。已知天和核心艙距離地面的高度為h，繞地球的運動可近似為勻速圓周運動，運動周期為T，萬有引力常量為G，地球半徑為R。根據以上信息，下列說法正確的是（　　）
A．陳冬、劉洋、蔡旭哲三位航天員在天和核心艙內所受重力為零
B．地球的平均密度
C．天和核心艙所處位置的重力加速度
D．天和核心艙繞地球運動的速度大于7.9km/s
二、多項選擇題
11．為了對大氣二氧化碳進行全天時、高精度監測，我國研制的全球首顆搭載主動激光雷達的大氣環境監測衛星，于2021年7月發射。與地球同步軌道衛星（圖中衛星1）不同，大氣環境監測衛星（圖中衛星2）是軌道平面與赤道平面夾角接近90°的衛星，一天內環繞地球飛14圈。下列說法正確的是（　　）
A．衛星2的速度大于衛星1的速度
B．衛星2的周期大于衛星1的周期
C．衛星2的向心加速度小于衛星1的向心加速度
D．衛星2所處軌道的重力加速度大于衛星1所處軌道的重力加速度
12．已知火星的半徑為地球半徑的，同一個物體在火星表面上的重力只有在地球表面上重力的，由此可以判斷（　　）
A．火星表面上的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍
B．火星質量是地球質量的
C．火星密度是地球密度的
D．若在火星表面上發射衛星，最小發射速度是地球第一宇宙速度的
13．天文學家發現一顆與地球類似的太陽系外行星，這顆行星距離地球約20億光年，公轉周期約為37年，這顆行星位于天秤座星群，它的半徑大約是地球的1.9倍，該行星表面與地球表面的重力加速度相近，則下列說法正確的是（　　）
A．在地球上發射航天器到達該星球，航天器的發射速度至少要達到第三宇宙速度
B．該行星的公轉速度比地球大
C．該行星的質量約為地球質量的3.6倍
D．要在該行星表面發射人造衛星，發射速度至少要達到7.9km/s
14．2021年4月29日11時23分，搭載空間站天和核心艙的長征五號B遙二運載火箭，在我國文昌航天發射場點火升空，約494秒后，天和核心艙與火箭成功分離，進入預定軌道，發射任務取得圓滿成功。未來兩年，天和核心艙在距離地面400km的圓軌道上運行，每90分鐘環繞地球一圈。后續天和核心艙將先后迎接天舟貨運飛船和神舟載人飛船的訪問，在全面完成空間站關鍵技術驗證后，與問天實驗艙、夢天實驗艙實施交會對接，完成空間站三艙組合體在軌組裝建造，下列說法正確的是（　　）
A．天和核心艙的運行速率小于7.9km/s
B．天和核心艙的向心加速度大于9.8m/s2
C．若知道萬有引力常量，就可以求出地球的密度
D．后續可以把問天實驗艙發射到比天和核心艙更低軌道上，然后加速與天和核心艙對接
15．我國建設的“天宮二號”空間站繞地球在圓軌道上運行，已知軌道半徑為r，運行周期為T，萬有引力常量為G，利用以上數據能求出的是（　　）
A．地球的質量 B．空間站的加速度
C．空間站受到的向心力 D．空間站運行的線速度
16．北京時間2022年6月5日20時50分，“神舟十四號”3名航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲全部順利進入“天和”核心艙。已知核心艙距地球的高度為h，繞地球做勻速圓周運動的線速度大小為v，地球的半徑為R，引力常量為G，把地球看成質量分布均勻的球體，球體的體積公式（r為球體的半徑），不考慮地球自轉的影響。下列說法正確的是（　　）
A．地球的質量為
B．核心艙轉動的角速度為
C．地球表面的重力加速度大小為
D．地球的密度為
17．某運行在赤道上空的人造衛星，其轉動方向與地球自轉方向相同，地球自轉的角速度為，衛星軌道半徑為地球半徑R的兩倍，地球極點表面處的重力加速度大小為g，則（　　）
A．地球的密度為
B．衛星所在處的重力加速度大小為
C．衛星繞地球轉動的角速度
D．衛星相鄰兩次經過赤道上同一建筑物正上方的時間間隔
三、解答題
18．北京時間2022年6月23日10時22分，我國在西衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭。采取一箭三星方式，成功將遙感三十五號02組衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功，該衛星主要用于科學試驗、國土資源普查、農產品估產及防災減災等領域。已知地表附近重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G，該組衛星軌道半徑為r。
（1）求該地球的質量M。
（2）求該組衛星運行的周期T。
（3）求地球的第一宇宙速度v。
19．a、b兩顆衛星均在赤道正上方繞地球做勻速圓周運動，a衛星在地球表面附近運行，b衛星離地面高度為3R，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，試求：（忽略地球的自轉）
（1）b衛星的運動周期；
（2）a衛星的線速度大小；
（3）若某時刻兩衛星正好同時通過赤道同一點的正上方，則至少經過多長時間兩衛星相距最遠。（兩衛星同向運轉）
20．“玉兔號”月球車與月球表面的第一次接觸實現了中國人“奔月”的偉大夢想。“玉兔號”月球車在月球表面做了一個自由下落試驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t，已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G。求：
（1）月球表面重力加速度；
（2）月球的質量和月球的第一宇宙速度；
（3）月球的平均密度。
參考答案
1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A 9．A 10．B
11．AD 12．BD 13．AC 14．AD 15．ABD 16．AD 17．BD
18．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根據題意，設地球表面的物體的質量為，由萬有引力等于重力有
解得
（2）根據題意，設衛星的質量為，由萬有引力提供向心力有
可得
代入（1）中結果可得
（3）第一宇宙速度等于貼近地面的衛星做勻速圓周運動的速度大小，由萬有引力提供向心力有
解得
代入（1）中結果可得
19．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）衛星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則有，設地球質量為M，對地球表面上質量為m的物體有
對b衛星，有
解得
（2）對a衛星，有
解得
（3）對a衛星，有
解得
設經過時間t，二者第一次相距最遠，此時a比b多轉半圈，則
解得
20．（1）；（2），；（3）
【解析】
（1）由自由落體運動規律有h=
解得
（2）在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力
聯立解得
月球的第一宇宙速度為近月衛星的運行速度，根據重力提供向心力
解得
（3）月球的平均密度

展開更多......

收起↑