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專題31機械能守恒定律之連接體問題
【知識梳理】
三種連接體模型
1．輕繩模型
(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。圖中速度相等的是 ，沿繩方向分速度相等的是 。
(2)用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
(3)對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能 ；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
2．輕桿模型
(1)平動時兩物體 速度相等，轉動時兩物體 速度相等。
(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能 。
(3)對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能 。
3．輕彈簧模型
(1)含彈簧的物體系統在只有彈簧彈力和重力做功時，物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能之間相互轉化， 組成的系統機械能守恒，而單個物體和彈簧機械能都 守恒。
(2)含彈簧的物體系統機械能守恒問題，符合一般的運動學解題規律，同時還要注意彈簧彈力和彈性勢能的特點。
(3)彈簧彈力做的功等于彈簧彈性勢能的 量，而彈簧彈力做功與路徑無關，只取決于初、末狀態彈簧形變量的大小。
(4)由兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統，當彈簧形變量 時，彈簧兩端連接的物體具有相同的速度；彈簧處于 時，彈簧彈性勢能最小(為零)。
【專題練習】
一、單項選擇題
1．如圖所示，A 和B 兩個小球固定在一根輕桿的兩端，A 球的質量為m，B 球的質量為2m，此桿可繞穿過O點的水平軸無摩擦地轉動。現使輕桿從水平位置由靜止釋放，則在桿從釋放到轉過90°的過程中，下列說法正確的是 （　　）
A．A 球的機械能減少
B．桿對B 球始終不做功
C．B 球重力勢能的減少量等于B球動能的增加量
D．A 球和B 球的總機械能守恒
2．如圖所示，半徑為的圓弧形光滑軌道固定于豎直平面內，圓弧形軌道與光滑的水平地面相切，可視為質點的質量均為的小球甲、乙用輕桿連接，置于圓弧形軌道上，小球甲與點等高，小球乙位于圓心的正下方。某時刻將兩小球由靜止釋放，最終它們在光滑水平面上運動。取，不計空氣阻力。則下列說法正確的是（　　）
A．兩小球最終在水平面上運動的速度大小為
B．兩小球最終在水平面上運動的速度大小為
C．整個過程中輕桿對小球乙做的功為0.5J
D．整個過程中輕桿對小球乙做的功為1J
3．如圖，現有一根輕桿OB，總長度為1.5m，A為OB的中點，輕桿可繞O點在豎直面內自由轉動，在A點和B點處各連接有一個質量m=10g的小球（小球體積忽略不計），將輕桿拉至水平位置由靜止釋放。則輕桿轉到豎直位置時，小球A的速度大小以及OA桿在豎直方向對小球A的作用力的大小是（　　）（）
A．3m/s，0.34N B．4m/s，0.56N C．3m/s，0.56N D．4m/s，0.34N
4．如圖，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍，當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高，將A由靜止釋放，B上升的最大高度是（　　）
A． B．R C． D．
5．如圖，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動。不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g。則（　　）
A．a落地前，輕桿對b一直做正功
B．a落地時速度大小為
C．a下落過程中，其加速度大小始終不大于g
D．a落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg
6．如圖所示，豎直平面內固定著一光滑的直角桿，水平桿和豎直桿上分別套有質量為mP＝0.8kg和mQ＝0.9kg的小球P和Q，兩球用不可伸長的輕繩相連，開始時輕繩水平伸直，小球Q由頂角位置O處靜止釋放，當輕繩與水平桿的夾角θ＝37°時，小球P的速度為3m/s，已知兩球均可視為質點．重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則連接P、Q的輕繩長度為（　　）　
A．0.8m B．1.2m
C．2.0m D．2.5m
7．如圖所示，長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩球質量均為m，兩球半徑忽略不計，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當小球A沿墻下滑距離為時，下列說法正確的是（不計一切摩擦，重力加速度為g）（　　）
A．桿對小球A做功為mgL
B．小球A、B的速度都為
C．小球A、B的速度分別為和
D．桿與小球A、B組成的系統機械能減少了mgL
8．如圖為一幼兒園的可調臂長的蹺蹺板的示意圖，為蹺蹺板的支點。開始時一質量為的小朋友坐在蹺蹺板的端，此時端恰好著地，蹺蹺板與水平地面的夾角為。現有一質量為的老師輕坐在蹺蹺板的端，經過一段時間后蹺蹺板處于水平位置。已知，，不計空氣阻力和蹺蹺板的質量，重力加速度大小為，小朋友與老師均可視為質點，則（　　）
A．此過程中小朋友的機械能守恒
B．此過程中小朋友與老師的速度大小之比為
C．蹺蹺板處于水平位置時，老師的速度大小為
D．此過程中蹺蹺板對小朋友做的功為
9．如圖所示，小滑塊P、Q的質量均為m，P套在固定光滑豎直桿上，Q放在光滑水平面上。P、Q間通過鉸鏈用長為L的輕桿連接，輕桿與豎直桿的夾角為，一水平輕彈簧右端與Q相連，左端固定在豎直桿上。當時，彈簧處于原長，P由靜止釋放，下降到最低點時變為，整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降過程中（　　）
A．P、Q組成的系統機械能守恒
B．豎直桿對滑塊P的彈力始終大于彈簧彈力
C．彈簧彈性勢能最大值為
D．滑塊P的動能達到最大時，Q受到地面的支持力大小為2mg
10．如圖所示，兩根輕質桿構成直角支架，O點為水平轉軸，OA桿長為L，A端固定一質量為2m的小球a，OB桿長為2L，B端固定一質量為m的小球b，用手抬著B端使OB桿處于水平狀態，撒手后支架在豎直平面內轉動，不計一切摩擦，則以下說法正確的是（ ）
A．小球a不可能轉到與O點等高處
B．小球b轉動的最大速度為
C．轉動過程中桿受力一定沿桿方向
D．小球a從最低點運動到最高點的過程中，桿對小球a做的功為mgL
二、多項選擇題
11．如圖所示，汽車用跨過定滑輪的輕繩提升貨物A到高處。已知在提升A過程中，汽車始終向右勻速行駛。關于該過程，下列說法正確的是（　　）
A．貨物A勻速上升
B．貨物A的機械能增大
C．貨物A的速度比汽車速度小
D．貨物A的機械能減小
12．如圖所示，一輕桿兩端分別固定a、b兩個半徑相等的光滑金屬球，a球質量大于b球質量，整個裝置放在光滑的水平面上，設b球離地高度為h，將此裝置從圖示位置由靜止釋放，則下列判斷正確的是（　　）
A．在b球落地前的整個過程中，a、b及輕桿系統，動量守恒，機械能守恒
B．在b球落地前瞬間，b球的速度大小為
C．在b球落地前的整個過程中，輕桿對a球做的功為零
D．在b球落地前的整個過程中，輕桿對b球做正功
13．如圖所示。長度相同的三根輕桿構成一個正三角形支架。在A處固定質量為2m的小球，B處固定質量為m的小球，支架懸掛在O點，可繞過O點并與支架所在平面相垂直的固定軸轉動，開始時OB與地面相垂直，放手后開始運動。在不計任何阻力的情況下，下列說法正確的是（　　）
A．A球到達最低點時速度最大
B．A球機械能減少量等于B球機械能增加量
C．B球向左擺動所能達到的最高位置應高于A球開始運動的高度
D．當支架從左向右回擺時，A球一定能回到起始高度
14．如圖所示，質量為的環套在豎直桿上，質量為的環套在水平桿上，、用一根輕桿相連。某時刻環從如圖所示位置由靜止釋放，當輕桿與水平桿夾角為時，環的速度為，環速度為。不計一切摩擦，則（　　）
A．
B．
C．環重力勢能的減少量等于環的動能的增加量
D．環克服輕桿彈力做的功等于環的動能的增加量
15．如圖所示，質量分別為2m、m的A、B小球固定在輕桿的兩端，可繞水平軸O無摩擦轉動。已知桿長為，水平軸O在桿的中點，初始時A、O、B在同一豎直線上。現裝置因輕微擾動而發生轉動，在桿繞軸O轉過90°的過程中（　　）
A．球B的機械能保持不變
B．球A和球B的動能變化量之和為
C．球A和球B的重力勢能減少量之和為
D．桿對球A做負功，球A的機械能減少了
16．如圖所示，傾角的斜面固定在水平地面上，物塊P和Q通過不可伸長的輕繩連接并跨過輕質定滑輪，輕繩與斜面平行。已知P的質量，開始時兩物塊均靜止，P距地面高度，Q與定滑輪間的距離足夠大。現將P、Q位置互換并從靜止釋放，重力加速度，，，不計一切摩擦。下列說法正確的是（　　）
A．Q物塊的質量為4kg
B．P、Q組成的系統機械能守恒
C．Q落地時速度的大小為m/s
D．Q落地瞬間重力的功率為100W
三、解答題
17．如圖所示，不可伸長的輕質細繩一端系一物塊B，另一端繞過定滑輪系若物塊A。開始外力托著A，使A、B均處于靜止狀態，繩剛好處于伸長狀態。已知物塊A的質量、物塊B的質量，物塊A離水平地面高度，重力加速度大小，不計繩與定滑輪的摩擦及空氣阻力。當撤去外力后，物塊A加速下落，碰地后速度為零。求：
（1）物塊A碰地前瞬間速度大小v；
（2）物塊A加速下落過程的機械能變化量；
（3）以水平地而為參考平面，物塊B能上升的最大高度H。（上升過程中物塊B不會與滑輪相碰）
18．物體A的質量為，圓環B的質量為，通過繩子跨過定滑輪連接在一起，圓環套在光滑的豎直桿上，開始時連接圓環的繩子處于水平，如圖所示，長度。現從靜止釋放圓環，不計定滑輪和空氣的阻力，g取。求：
（1）若則圓環能下降的最大距離h；
（2）若圓環下降時的速度大小為，則物體A的質量與圓環B的質量的比值？
19．一根質量可不計的剛性的輕桿，左端通過鉸鏈固定于O點，中點及右端分別固定兩個小球A和B，兩球的質量分別是為m和2m，兩球與桿可在豎直平面內繞O點無摩擦地轉動。開始時桿與豎直方向的夾角α=60°，由靜止釋放，已知桿長為l，重力加速度為g，求：
（1）小球B運動到最低點時，桿的角速度和桿對球B的拉力；
（2）小球從靜止釋放到最低點的過程中，桿對小球A做的功；
（3）要使小球能繞O點做完整的圓周運動，則在圖示位置釋放時，至少給小球B多大的初動能。
參考答案
1．D 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．D 10．B
11．BC 12．BC 13．BCD 14．AD 15．CD 16．BC
17．（1）m/s；（2）75J；（3）7.5m
【解析】
（1）從開始釋放到物塊A落地，由機械能守恒定律
解得v=m/s
（2）物塊A加速下落過程的機械能變化量
（3）物塊A落地后，物塊B做豎直上拋運動，則還能上升的高度為
物塊B能上升的最大高度H=h+h′=7.5m
18．（1）；（2）
【解析】
（1）圓環下降到最低點時，物體A上升到最高點，根據系統機械能守恒，有
根據幾何關系
解得
（2）①根據運動的合成與分解
聯立解得
②根據系統機械能守恒，有
由幾何關系得
聯立解得
19．（1）；；（2）；（3）
【解析】
（1）設小球B運動到最低點時，桿的角速度ω，則
由機械能守恒定律
解得
對球B分析可知
解得桿對球B的拉力
（2）小球從靜止釋放到最低點的過程中，對球A由動能定理
解得桿對小球A做的功
（3）要使小球能繞O點做完整的圓周運動，則小球到達最高點時的速度至少為零，則由能量關系
其中
解得
給小球B的動能為

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