資源簡(jiǎn)介

圓錐曲線
一、橢圓及其性質(zhì)
第一定義 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)F1、F2距離之和為常數(shù)(大于 F1F2 )的點(diǎn)軌跡
MF1 = MF2第二定義 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離比是常數(shù)的點(diǎn)軌跡 = ed1 d2
焦點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在 y軸上
y y y= a
2
B2 c
2 2 A
x=- a b a
2
x= a
c c F1a
圖形 A1 F c b1 O F2 A2 x
B1 c B2 x
B1 F2 a2A1 y=- c
x2 y2 y2 x2
標(biāo)準(zhǔn)方程 2 + 2 = 1 a> b> 0 2 + 2 = 1 a> b> 0 a b a b
范圍 -a≤ x≤ a且-b≤ y≤ b -b≤ x≤ b且-a≤ y≤ a
A1 -a，0 ，A2 a，0 ，B1 0，-b ， A1 0，-a ，A2 0，a ，B1 -b，0 ，
頂點(diǎn)
B2 0，b B2 b，0
長(zhǎng)軸長(zhǎng)= 2a，短軸長(zhǎng)= 2b，焦距= F F = 2c，c2軸長(zhǎng) 1 2 = a2- b2
焦點(diǎn) F1 -c，0 、F2 c，0 F1 0，-c 、F2 0，c
焦半徑 PF1 = a+ ex0， PF2 = a- ex0 PF1 = a- ey0， PF2 = a+ ey0
焦點(diǎn)弦 左焦點(diǎn)弦 |AB| = 2a+ e(x1+ x2)，右焦點(diǎn)弦 |AB| = 2a- e(x1+ x2).
c 2
離心率 e= a = 1-
b
2 0< e< 1 a
a2 a2
準(zhǔn)線方程 x=± c y=± c
x0x y0y x0x y0y
切線方程 2 + 2 = 1 2 + 2 = 1a b b a
2
通徑 過(guò)橢圓焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng) AB = 2ba (最短焦點(diǎn)弦)
(1)由定義可知：|PF1|+|PF2| = 2a，周長(zhǎng)為：2a+ 2c
(2)焦點(diǎn)三角形面積：S 2 θ△F1PF = b × tan2 2
(3)當(dāng)P在橢圓短軸上時(shí)，張角 θ最大，cosθ≥ 1- 2e2
2 2
焦點(diǎn) (4) b b焦長(zhǎng)公式： PF1 = 、 MF =
三角形 a- ccosα
1 a+ ccosα
2
MP = 2ab = 2ab
2 y
P
a2- c2cos2α b2+ c2sin2α θ
α β
sin(α+ β) F1 O F( 25)離心率：e= xM
sinα+ sinβ
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二、雙曲線及其性質(zhì)
第一定義 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)F1、F2距離之差為常數(shù)（大于 F1F2 ）的點(diǎn)軌跡
MF1 = MF2第二定義 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離比是常數(shù)的點(diǎn)軌跡 = ed1 d2
焦點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在 y軸上
y y
F1 虛軸
虛軸 a b 實(shí)軸
圖形
F c1 F2 x x
F2
實(shí)軸
x2 y2 y2 x2
標(biāo)準(zhǔn)方程
a2
-
b2
= 1 a> 0，b> 0 - = 1 a> 0，b> 0
a2 b2
范圍 x≤-a或x≥ a，y∈R y≤-a或 y≥ a，x∈R
頂點(diǎn) A1 -a，0 、A2 a，0 A1 0，-a 、A2 0，a
軸長(zhǎng) 虛軸長(zhǎng)= 2b，實(shí)軸長(zhǎng)= 2a，焦距= F1F2 = 2c，c2= a2+ b2
焦點(diǎn) F1 -c，0 、F2 c，0 F1 0，-c 、F2 0，c
焦半徑 |PF1| = a+ ex0，|PF2| =-a+ ex0左支添“-”
c b2
離心率 e= a = 1+ a2 e> 1
a2 a2
準(zhǔn)線方程 x=± c y=± c
b
漸近線 y=± a x y=±
a x
b
x0x y0y x0x y0y
切線方程 - = 1 - = 1
a2 b2 b2 a2
2b2
通徑 過(guò)雙曲線焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng) AB = a (最短焦點(diǎn)弦)
(1)由定義可知：|PF1|-|PF2| = 2a
(2)焦點(diǎn)直角三角形的個(gè)數(shù)為八個(gè)，頂角為直角與底角為直角各四個(gè)；
(3)焦點(diǎn)三角形面積：S△F PF = b2÷ tan θ1 2 2 = c y
F1F2 sinθ sin(α+ β)(4)離心率：e= = =
PF1 - PF2 sinα- sinβ sinα- sinβ
焦點(diǎn)
y
三角形
P
θ
α β
F1 F2 x
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三、拋物線及其性質(zhì)
定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線．
方程 y2= 2px p> 0 y2=-2px p> 0 x2= 2py p> 0 x2=-2py p> 0
y y y y
F
y= p
圖形 2
F x F x x x
p p y=-
p
x=- 22 x= 2 F
頂點(diǎn) 0,0
對(duì)稱(chēng)軸 x軸 y軸
p p p p
焦點(diǎn) F 2 ，0 F - 2 ，0 F 0，2 F 0，- 2
=- p = p p p準(zhǔn)線方程 x 2 x 2 y=- 2 y= 2
離心率 e= 1
范圍 x≥ 0 x≤ 0 y≥ 0 y≤ 0
切線方程 y0y= p x+ x0 y0y=-p x+ x0 x0x= p y+ y0 x0x=-p y+ y0
通徑 過(guò)拋物線焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦 AB = 2p(最短焦點(diǎn)弦)
AB為過(guò) y2= 2px p> 0 焦點(diǎn)的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，傾斜角為 α.則：
( ) p p1 AF = x1+ 2 BF = x2+ 2 AB = x1+ x2+ p，
= p
2
(2)x1x2 4 y1y2=-p
2
( p p3) AF = BF = 1 + 1 = 2
1- cosα 1+ cosα |FA| |FB| p
2
(4) AB =
2p p
S
sin2α △AOB
=
2sinα
AB為過(guò) x2= 2py(p> 0)焦點(diǎn)的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，傾斜角為 α.則：
( p p1) AF = BF =
1- sinα 1+ sinα
( ) = 2p = p
2
2 AB S
cos2α △AOB 2cosα
焦點(diǎn)弦
( ) AF 3 = λ，則：sinα= λ- 1
BF λ+ 1
y A y
A
F
B
α α
O F x O x
B
=- px 2
y2= 2px(p> 0) y2= 2px(p> 0)
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四、圓錐曲線的通法
y y
M yP P
F1 F2 F1 F2
O x O F x O x
P
橢圓 雙曲線 拋物線
點(diǎn)差法與通法
1、圓錐曲線綜述：
聯(lián)立方程設(shè)交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)；變量范圍判別式，曲線定義不能忘；
弦斜中點(diǎn)點(diǎn)差法，設(shè)而不求計(jì)算暢；向量參數(shù)恰當(dāng)用，數(shù)形結(jié)合記心間.
★ 2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
（1）直線的設(shè)法：
1 若題目明確涉及斜率，則設(shè)直線：y= kx+ b，需考慮直線斜率是否存在，分類(lèi)討論；
2 若題目沒(méi)有涉及斜率或直線過(guò) (a，0)則設(shè)直線：x=my+ a，可避免對(duì)斜率進(jìn)行討論
（2）研究通法：聯(lián)立 y= kx+ b 得：ax
2+ bx+ c= 0
F(x，y) = 0
b c
判別式：Δ= b2 4ac，韋達(dá)定理：x1+ x2= a，x1x2= a
（3）弦長(zhǎng)公式： AB = (x - x )21 2 + (y 2 21- y2) = 1+ k |x1- x2|
= (1+ k2) [(x 21+ x2) - 4x1x ] = 1+ 12 (y 2k2 1+ y2) 4y1y2
3、硬解定理
x2 y2
設(shè)直線 y= kx+ φ與曲線 m + n = 1相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)
由： y= kx+ φ ，可得：(n+mk2)x2 + 2kφmx+m(φ
2-n) = 0
nx2+my2=mn
-2kmφ m(φ2-n)
判別式：△= 4mn(n+mk2- φ2)韋達(dá)定理：x1+ x2= 2 ，x1x2=n+mk n+mk2
△
由：|x1- x 22| = (x1+ x2) - 4x1x2，代入韋達(dá)定理：|x1- x2| = n+mk2
★ 4、點(diǎn)差法：
若直線 l與曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)是弦MN中點(diǎn)，MN的斜率為 kMN，
x2 + y
2 2
則：在橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)
y
k 0 b中，有
a b MN x
= 2 ;
0 a
x2 y2 = ( > > ) y
2
0
在雙曲線 2 2 1 a b 0 中，有 kMN x =
b
a b a2
；
0
在拋物線 y2= 2px(p> 0)中，有 kMN y0= p.
(橢圓)
設(shè)M、N兩兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)，
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x2 y
2
1 1 ya2 + b2 = 1， (1) N
則有 x2 2 2 y2 2 + 2 = 1. (2)a b P
F O F
( ) ( ) x
2 x2 y2 y2 1 2 x
1 2 1 2 + 1 2，得 2 = 0.a b2 M
y y y + y b2∴ 2 1 2 1x x x + x = 2 .2 1 2 1 a
∵ = y2 y1 y1+ y2 2y y y b
2
又 kMN x2 x
，
1 x + x
= 2x = x .∴ kMN x = 2 .1 2 a
圓錐曲線的參數(shù)方程
1、參數(shù)方程的概念
x= f(t)
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x，y都是某個(gè)變數(shù) t的函數(shù) y= g(t)
并且對(duì)于 t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M (x，y)都在這條曲線上，該方程
就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x，y的變數(shù) t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).
相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.
※ 2、直線的參數(shù)方程
π x= x + tcosα( ) 01 過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)、傾斜角為 α(α≠ 2 )的直線的參數(shù)方程 (t為參數(shù))y= y0+ tsinα
(2)參數(shù) t的幾何意義：
參數(shù) t表示直線 l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M (x，y)為終點(diǎn)的有向線段的長(zhǎng)

度再加上表示方向的正負(fù)號(hào)，也即 |M0M | = |t|，
y
|t|表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.
M1
當(dāng)點(diǎn)M在M0上方時(shí)，t> 0； α
當(dāng)點(diǎn)M在M0下方時(shí)，t< 0； O t M0 x
當(dāng)點(diǎn)M與M0重合時(shí)，t= 0；
x= x + tcosα(3) 0直線方程與參數(shù)方程互化：y yo= tanα(x xo) (t為參數(shù))y= y0+ tsinα
( ) x= x0+ at4 直線參數(shù)方程： (t為參數(shù))，y= y0+ bt
當(dāng) a2+ b2= 1時(shí)，參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)型參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義才是代表距離.
x= x
a
0+ 2 2 t
2 2 a + b當(dāng) a + b ≠ 1時(shí)，將參數(shù)方程化為 b 然后在進(jìn)行計(jì)算.y= y0+ a2+ b2 t
★ 3、圓的參數(shù)方程
x= a+ rcosθ
（1）圓心 (a，b)，半徑 r的圓 (x- a)2+ (y- b)2= r2參數(shù)方程 (θ為參數(shù))；y= b+ rsinθ
x= rcosθ
特別：當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，半徑為 r的圓 x2+ y2= r2的 y 參數(shù)方程為： (θ是y= rsinθ
參數(shù)). P(x,y)
(2) r參數(shù) θ的幾何意義：θ表示 x軸的正方向到圓心
α
和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角. x
(3)消參的方法：利用 sin2θ+ cos2θ= 1，
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可得圓方程：(x- a)2+ (y- b)2= r2
★ 4、橢圓的參數(shù)方程
x2 y2 x= acosφ(1)橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))；a b y= bsinφ
y2 x2 x= bcosφ橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))；a b y= asinφ
(2)參數(shù) θ的幾何意義：參數(shù) θ表示橢圓上某一點(diǎn)的離心角. y Q
P
如圖所示，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的離心角為 θ=∠QOx(過(guò)P作 α
O
PQ⊥ x軸，交大圓即以 2a x為直徑的圓于Q)，
切不可認(rèn)為是 θ=∠POx.
5、雙曲線的參數(shù)方程
x2 y2 x= asecφ
（1）雙曲線 2 - 2 = 1(a> b> 0)的參數(shù)方程 (φ為參數(shù))；secφ=
1
a b y= btanφ cosφ
y2 x2 x= bcotφ
雙曲線 2 - 2 = 1(a> b> 0)的參數(shù)方程 (φ
1
為參數(shù))；cscφ=
a b y= acscφ sinφ
（2）參數(shù) θ的幾何意義：參數(shù) θ表示雙曲線上某一點(diǎn)的離心角.
※ 6、拋物線的參數(shù)方程
x= 2pt2
1 1（ ）拋物線 y2= 2px參數(shù)方程 (t為參數(shù)，t=y= 2pt tanα )；
1
（2）參數(shù) t的幾何意義：拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù). t=
kOP
仿射變換與齊次式
1、仿射變換：
在幾何中，一個(gè)向量空間進(jìn)行一次線性變換并接上一個(gè)平移，變換為另一個(gè)向量空間.
※ 2、橢圓的變換：
橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2
x
= x x= x x b
a
= ax x=

b x
變換內(nèi)容 y = a y y= b y y b a = y y= y
x2 2 2 2 2 2圓方程 + y = a x + y = b
圖示 y y y y
C B C
C B C
B
B
O x O x
O x O x AA
A
A
a b
點(diǎn)坐標(biāo) A(x0，y0) →A'(x0， y0) A(x0，yb 0) →A'( a x0，y0)
k' = a k，由于 kA'C ' kB'C '= 1 k' = a． k，由于 kA'C ' kB'C '= 1．b b
斜率變化
k b b b
2 b b b2
AC kBC= a kA'C ' a kB'C '= a2
kAC kBC= a kA'C ' a kB'C '= a2
則AB= 1+ k2 x1- x2
弦長(zhǎng)變化 A'B' = 1+ k'2 x1- x2
= 1+ ( a )2 2b k x1- x2
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S = b S S = a△ABC a △A'B'C ' (水平寬不變，鉛 △ABC Sb △A'B'C '(水平寬擴(kuò)大，鉛面積變化
錘高縮小) 垂高不變)
2 k 2 c2x c2y
3 b OP b 0 0、中點(diǎn)弦問(wèn)題，kOP kAB= 2 ，中垂線問(wèn)題 = 2 ，且 x = y =- ，a k M 2 NMP a a b2
拓展 1：橢圓內(nèi)接△ABC中，若原點(diǎn)O為重心，則仿射后一定得到△OB'C '為 120°的等
腰三角形；△A'B'C '為等邊三角形；
拓展 2：橢圓內(nèi)接平行四邊形OAPB(A、P、B)在橢圓上，則仿射后一定得菱形OA'P'B'
4、面積問(wèn)題：
x2 y2 b2
（1）若以橢圓
a2
+
b2
= 1對(duì)稱(chēng)中心引出兩條直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且 kOA kOB= a2
，
則經(jīng)過(guò)仿射變換后 kOA' kOB'= 1，所以S△AOB為定值.
x2 y2 2
（2）若橢圓方程 2 + 2 = 1上三點(diǎn)A，B，M，滿(mǎn)足：① kOA k
b
a b OB
=
a2
ab
②S△AOB= 2 ③OM = sinαOA+ cosαOB α∈ 0
π
，2 ，三者等價(jià)
※ 5、平移構(gòu)造齊次式：（圓錐曲線斜率和與積的問(wèn)題）
（1）題設(shè)：過(guò)圓錐曲線上的一個(gè)定點(diǎn)P作兩條直線與圓錐曲線交于A、B，在直線PA
和PB斜率之和或者斜率之積為定值的情況下，直線AB過(guò)定點(diǎn)或者AB定斜率的問(wèn)題.
（2）步驟：①將公共點(diǎn) 平移到坐標(biāo)原點(diǎn)（點(diǎn)平移：左加右減上減下加）找出平移單位長(zhǎng).
②由①中的平移單位長(zhǎng)得出平移后的圓錐曲線C ，所有直線方程統(tǒng)一寫(xiě)為：mx+ny= 1
③將圓錐曲線C 展開(kāi)，在一次項(xiàng)中乘以mx+ny= 1，構(gòu)造出齊次式.
④在齊次式中，同時(shí)除以 x2，構(gòu)建斜率 k的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得斜率之積（和）.
圓錐曲線考點(diǎn)歸類(lèi)
(一)條件方法梳理
1、橢圓的角平分線定理
x2 + y
2
（1）若點(diǎn)A、B是橢圓 2 = 1(a> b> 0)上的點(diǎn)，AB與橢圓長(zhǎng)軸交點(diǎn)為N，在長(zhǎng)軸a b2
上一定存在一個(gè)點(diǎn)M，當(dāng)僅當(dāng)則 xM x = a2N 時(shí)，∠AMN=∠BMN，即長(zhǎng)軸為角平分線；
x2 y2
（2）若點(diǎn)A、B是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上的點(diǎn)，AB與橢圓短軸交點(diǎn)為N，在短軸a b
上一定存在一個(gè)點(diǎn)M，當(dāng)僅當(dāng)則 yM yN= b2時(shí)，∠AMN=∠BMN，即短軸為角平分線；
※ 2、關(guān)于角平分線的結(jié)論：
若直線AO的斜率為 k1，直線CO的斜率為 k2，EO平分∠AOC
則有：k1+ k2= tanα+ tan(π- α) = 0
角平分線的一些等價(jià)代換條件：作 x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、點(diǎn)到兩邊的距離相等.
3、四種常用直線系方程
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(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線系方程為 y- y0= k(x- x0) (除直線 x= x0)，其中 k是待定
的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線系方程為A(x- x0) +B(y- y0) = 0，其中A，B是待定的系數(shù)．
(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線 l 1 :A1x+B1y+C1= 0，l2 :A2x+B2y+C2= 0 的交點(diǎn)的直線系方程為
(A1x+B1y+C1) + λ(A2x+B2y+C2) = 0(除 l2)，其中 λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線 y= kx+ b中當(dāng)斜率 k一定而 b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線Ax+By+
C= 0平行的直線系方程是Ax+By+ λ= 0(λ≠ 0)，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C= 0(A≠ 0，B≠ 0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+ λ= 0，λ是參
變量．
4、圓系方程
(1)過(guò)直線 l:Ax+By+C= 0與圓C :x2+ y2+Dx+Ey+F= 0的交點(diǎn)的圓系方程是 x2+ y2+Dx+Ey+F
+ λ(Ax+By+C) = 0，λ是待定的系數(shù)．
(2)過(guò)圓C :x21 + y2+D1x+E1y+F1= 0與圓C 22:x + y2+D2x+E2y+F2= 0的交點(diǎn)的圓系方程是 x2+ y2+
D 2 21x+E1y+F1+ λ(x + y +D2x+E2y+F2) = 0，λ是待定的系數(shù)．
★ (二)圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
1、直線過(guò)定點(diǎn)的背景：
（1）直線過(guò)定點(diǎn)模型：A，B是圓錐曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，M是一定點(diǎn)，其中 α，β分別為MA，MB的傾斜角，則：

①、MA MB為定值 直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；
②、kMA kMB為定值 直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；
③、α+ β= θ(0< θ< π) 直線AB恒過(guò)定點(diǎn).
（2）拋物線中直線過(guò)定點(diǎn)：A，B是拋物線 y2= 2px(p> 0)上的兩動(dòng)點(diǎn)，α，β分別為OA，OB的傾斜角，則：
OA⊥OB k πOA kOB=-1 α- β = 2 直線AB恒過(guò)定點(diǎn) (2p，0).
3 A B x
2
+ y
2
（ ）橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)模型： ， 是橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)上異于右頂點(diǎn)D的兩動(dòng)點(diǎn)，其中 α，β分別a b
為DA，DB的傾斜角，則可以得到下面幾個(gè)充要的結(jié)論：
2
DA⊥DB kDA kDB=-1 α- β = π ac 2 直線AB恒過(guò)定點(diǎn) ( 2 ，0)a + b2
2、定點(diǎn)的求解方法：
1 含參形式簡(jiǎn)單的直線方程，通過(guò)將直線化為 y- y0= k(x- x0)可求得定點(diǎn)坐標(biāo) (x0，y0)
2 含參形式復(fù)雜的通過(guò)變換主元法求解定點(diǎn)坐標(biāo).
h(x，y) = 0
變換主元法：將直線化為 h(x，y) + λf(x，y) = 0，解方程組： 可得定點(diǎn)坐標(biāo).f(x，y) = 0
eg:直線方程（：2m+ 1）x+ (m- 5)y+ 6= 0，將m看作主元，按照降冪排列（：2x+ y）m
6
2x+ y= 0 x=-
+ 11x- 5y+ 6= 0 6 12，解方程組： ，解得： ，求得直線過(guò)定點(diǎn)（- ， ）.x- 5y+ 6= 0 y= 12 11 1111
3、關(guān)于以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：
(1)直接法：設(shè)出參數(shù)后，表示出圓的方程.
圓的直徑式方程：（x- x1）(x- x2) + (y- y1) (y- y2) = 0
(2)由特殊到一般：利用賦值法，先求出幾個(gè)位置的圓方程，聯(lián)立圓方程解出公共交點(diǎn)，
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該交點(diǎn)即為圓所過(guò)的定點(diǎn)，再利用向量數(shù)量積為 0證明點(diǎn)恒在圓上.
★ (三)圓錐曲線面積問(wèn)題
1、面積的求解方法：
（1）S 1△ABC= MN d，從公式可以看出，求面積重在求解弦長(zhǎng)和點(diǎn)到線的距離.2
（2）S = 1△ABC ×水平寬×鉛錘高，主要以點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算為主.2
1
（3）S△AOB= 2 x1y2- x2y1
例題1.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)O 0，0 ，A x1，y1 ，B x2，y2 不共線，
1
證明：△AOB的面積為S△AOB= 2 x1y2- x2y1 .
【證明】
分析：從三角形的常用面積公式出發(fā)，考慮哪些量能快速地用坐標(biāo)表示.
1
證明一: 利用S△AOB= 2 OA OB sin∠AOB
S△AOB= 12 OA OB sin∠AOB
= 1 22 OA × OB
2sin∠AOB
= 1 OA 22 × OB
2- OA OB cos∠AOB 2
1 = 2 OA
2× 2 OB 2- OA OB
= 12 x
2
1+ y21 x2 22+ y2 - x1x2+ y 21y2
= 12 x1y2- x2y1
2
= 12 x1y2- x2y1
: S= 1證明二 利用 2 aha
- = = y1xOA y x x y 0 OA d 2- x1y2 = x1y2- x2y1 易得直線 的方程為 1 1 ，所以 邊上的高為
x21+ y21 OA
1 1 x1y2- x2y1 1
從而有S△AOB= 2 OA d= 2 OA = 2 x1yOA 2
- x2y1

證明三: 割補(bǔ)法，利用截距
①若 y 1 11= y2，則S△AOB= 2 x1- x2 y1 = 2 x1y2- x2y1
x1y2- x2y1
②若 y1≠ y2，設(shè)直線AB與 x軸交于M m，0 ，則m= y ，2- y1
S = 1故 △AOB 2 m y1- y =
1
2 2 x1y2- x2y1
y
A
B
M
O x
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證明四: 叉乘
若A x1，y1，z1 ，B x2，y2，z2 ，C x3，y3，z3 ，則

i j k
S = 1

△ABC 2 AB×AC = 12 x2- x1 y2- y1 z2- z1x3- x1 y3- y1 z3- z 1

1
i j k
所以S△AOB= 2 OA×OB = 12 1x1- 0 y1- 0 0 = 2 x1y2- x2y1 x2- 0 y2- 0 0
2、面積中最值的求解
αx2+ βx+ φ
(1)f(x) = bx+n 型：令 t= x+n x= t-n進(jìn)行代換后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為：y= at+ t
(2)f(x) = x+n x+n2 型：先在分母中配出分子式 f(x) =αx + βx+ φ α(x+n)2+ λ(x+n) + υ
令 t= x+n t 1，此時(shí)：y=
αt2
，分子分母同時(shí)除 t，此時(shí) y= ，再利
+ λt+ υ αt+ υt + λ
用對(duì)勾函數(shù)或不等式分析最值.
(3)f(x) = αx+ β 型：令 t= x+n x= t2-n b進(jìn)行代換后裂項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為：y= at+
x+n t
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五、橢圓的二級(jí)結(jié)論
2. PF1 + PF2 = 2a
【證明】橢圓第一定義
x2 y23.標(biāo)準(zhǔn)方程
a2
+
b2
= 1
【證明】由定義即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。
PF1 4. = e< 1
d1
【證明】橢圓第二定義。
5.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.
【證明】如圖，設(shè)P(x0，y0)，切線PT (即 l)的斜率為 k，PF1所在直線 l1斜率為 k1，PF2所在直線 l2斜率為
k2。
4圖
k1- k2
由兩直線夾角公式 tanθ= 1+ 得：k1k2
b2x0 + y0k- k1 a2y0 x0+ c 2 2 2 2 2tanα= = = b x0+ a y0+ b x0c1+ kk 21 1- b x0 y0 a2x 2 2 0y0+ a cy0- b x0y0
a2y0 x0+ c

= a
2b2+ b2cx b20 = a
2+ cx 20 b
c2x 2
=
0y0+ a cy0 cy0 a2+ cx0 c y0
b2x0 y0
k- k +a2y x - c 2 2 2 2 2tanβ= 2 = 0 0 = b x0+ a y0- b x0c1+ kk 22 1- b x0 y0 a2x0y - a2cy - b2 x - c 0 0 x0y0a2y0 0
a2b2= - b
2cx b2 20 = a - cx0
2
c2x y - a20 0 cy0 cy 20 a - cx0 =
b
c y0
∵ α，β∈ 0 π，2 ∴ α= β同理可證其它情況。故切線PT平分點(diǎn)P處的外角。
6.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)
軸的兩個(gè)端點(diǎn).
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【證明】 5圖
如圖，延長(zhǎng)F1P至A，使PA=PF2，則ΔPAF2是等腰三角形，AF2中點(diǎn)即為射影H2。
則OH2=
F1A
2 = a，同理可得OH1= a，所以射影H1，H2的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。
7.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.
【證明】設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為 d1，d2，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 d，以PQ為
d1+ d2 PF+FQ
直徑的圓的半徑為 r，則 d= 2 = 2e =
r
e > r，故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離。
8.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.
【證明】
= = PF1 = 2a- PF2 = - PF 如圖，兩圓圓心距為 d OM 2 2 2 a 2 = a- r，故兩圓內(nèi)切。
9.設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則△PF1F2在邊PF2(或PF1)上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2
(或A1).
【證明】
如圖，由切線長(zhǎng)定理： F1S + F1T = PF1 + PF2 + F1F2 = 2a+ 2c， F1S = F1T = a+ c
而 F1T = a+ c= F1A2 ，T與A2重合，故旁切圓與 x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。
x2 210.橢圓 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為Aa b 1
(-a，0)，A2(a，0)，與 y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)
2 y2
A1P
x
1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 2 - 2 = 1.a b
【證明】易知A1 -a，0 A2 a，0 ，設(shè)P1 x0，y0 ，P2 x0，-y0 ，
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x2 y20 + 0 = y1A P 0 y0則
a2 b2 1 1
:y= a+ x x+ a ，A2P2:y= a- x x- a 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
則 x aP= x
a ay0 ∴ xP - yP = a - a yP 0
a b - a y0
x ，x a2 b2 x2 b2x2
= = 1
0 0 0 0 0 b2x20
x2 2∴P點(diǎn)的軌跡方程為 2 -
y
2 = 1a b
2 y2 x x y y
11. P (x x 0 0若點(diǎn) 0 0，y0)在橢圓 2 + 2 = 1 a> b> 0 上，則在點(diǎn)P0處的切線方程是a b a2
+ 2 = 1.b
【證明】證明一:
2 2
∵ yP0(x y x0， 0)在橢圓 2 + 2 = 1上a b
∴ x
2 2 2 2
0 y0 y
2 + 2 = 1
x
，對(duì) + = 1
a b a2 b2

2x 2yy
求導(dǎo)得： 2 + 2 = 0，將點(diǎn)P0( )
2x
x y 0
2y0y0
0， 0 坐標(biāo)代入得： + = 0a b a2 b2
2
∴ =- b xy 0
a2y0
b2∴ x x x y y x
2 y2
切線方程為 y- y =- 0 0 x- x 0 0 00 a2y 0
即 2 + 2 = 2 + 2 = 1
0 a b a b
證明二:
2 y2
12.若P x0(x0，y0)在橢圓 2 + 2 = 1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方a b
x0x + y0y程是 2 2 = 1.a b
x0x1 + y0y1 x0x2 y0y2【證明】設(shè)P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ，由 10得： 2 = 1， + = 1，因?yàn)辄c(diǎn)P，P在直線Pa b2 a2 b2 1 2 1
P2
x0x + y0y = : x0x + y0y上，且同時(shí)滿(mǎn)足方程 2 2 1，所以Pa b 1
P2 2 = 1a b2
x2 y2 213.AB b是橢圓 2 + 2 = 1的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則 kOM kAB=- .a b a2
x2 y2 x2 y2
【證明】設(shè)A x1，y1 ，B x
1 2
2，y2 M x
1 2
， 0，y0 則有 + = 1，a2 b2 a2
+ 2 = 1b
x2- x2 21 2 + y1- y
2
2
作差得： = 0
a2 b2
x1- x2 x1+ x2 2 +
y1- y2 y1+ y2
a b2
= 0
= y1- y
2
2 =- b x + x b
2x 2
k 1 2 0AB x - x =- =-
b
1 2 a2 y1+ y2 a2y a20 kOM
2
kAB kOM=- ba2
2 2 2 2
14.若P0(x0，y0) x +
y x0x y0y x0 y0
在橢圓
a2 b2
= 1內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的方程是 + = + .
a2 b2 a2 b2
- =- b
2x
【證明】由 12可得：y y 0 x- x a2y y- a2y2+ b2x x- b2x20 = 0a2y 0 0 0 0 00
2 2
b2x x+ a2y y= b2x2+ a2y2 x0x + y0y = x0 y00 0 0 0 a2 2
+
b a2 b2
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x2 y2 2 2( ) + = x y x0x y y15.若P 00 x0，y0 在橢圓 2 2 1內(nèi)，則過(guò)PO的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 + = + .a b a2 b2 a2 b2
y- y0 y b2
【證明】由 12可得：x- x x =- 2 a
2y2- a2y y+ b2x20 - b2x0x= 0
0 a
2 y2 x x y yb2x2+ a2y2= b2x x+ a20 y0y x + = 0 + 0a2 b2 a2 b2
2 y2
16.若 PQ x是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)
1 1 1 1
上對(duì)中心張直角的弦，則 2 + 2 = 2 + 2 (r1= |OP|，ra b r r a b 2
=
1 2
|OQ|).
P acost bsint Q acost bsint k k = bsint bsint
2
【證明】設(shè) ， ， ， ，則 OP OQ acost =-1∴ tant tant =-
a
acost b2
1 1 r2+ r2+ = 1 2 a
2 cos2t+ cos2t + b2 sin2t+ sin2t
r2 r2 r2r2
= 2
1 2 1 2 a cos2t+ b2sin2t a2cos2t + b2sin2t
1 1 2 a2 + + b2 tan t + tan
2t
cos2t cos2t cos2t cos2t =
a2+ b2tan2t a2+ b2tan2t
a2= 2+ tan
2t+ tan2t + b2 tan2t+ tan2t + 2b2tan2ttan2t
a4+ a2b2 tan2t+ tan2t + b4tan2ttan2t
2 2
a2+ b2 tan2t+ tan2t + 2a2 a + b2
= b
2a4+ a2b2 tan2t+ tan2t
2
12 + 12 tan2t+ tan2t + 2 a
= a b b
2
2 a
2
2 + tan2t+ tan2t b
= 12 +
1
a b2
17. x
2 y2
若橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上中心張直角的弦 L所在直線方程為Ax+By= 1(AB≠ 0) (1)
1
，則
a b a2
1 4 2 4 2+ 2 =A
2+B2;(2)L= 2 a A + b B
b a2A2 2 2
.
+ b B
【證明】將直線AB代入橢圓方程中得： A2a2+B2b2 x2- 2Aa2x+ a2 1-B2b2 = 0
2 2
Δ= 4a2B2b2 A2a2+B2b2- 1 ， AB = 2ab A +B A2a2+B2b22 2 2 2 - 1A a +B b
A x y B x y x + x = 2Aa
2 a2= 1-B
2b2 b2 1-A2a2
設(shè) 1， 1 ， 2， 2 則 1 2 2 2 2 2 ，x1x2 2 2 ，y y = ∵OA⊥OBA a +B b A a +B2b2 1 2 A2a2+B2b2
∴ x1x2+ y1y2= 0 a2+ b2= a2b2 A2+B2 A2+B2= 12 +
1
a b2
2ab A2= +B
2 2
2 2+ 2 2- = 2 a + b
2 A2a2+B2b2- 1
AB 2 2 2 A a B b 1A a +B b2 A2a2+B2b2
2 A2a4+B2b4+ a2b2 A2+B2 - a2+ b2=
A2a2+B2b2
2 A2a4+B2b4=
A2a2+B2b2
2 2 2
18.給定橢圓C ：b2x2+ a2y2= a2 21 b (a> b> 0)，C ：b2x22 + a2y2= a - ba2+ b2 ab ，則
2 2 2 2
(i)對(duì)C1上任意給定的點(diǎn)P(x0，y0)，它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)C a - b a - b2上一定點(diǎn)M 2 x ，-a + b2 0 a2+ b2 y0 .
(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn)P (x 0，y 0)在C1上存在唯一的點(diǎn)M ，使得M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò)P 點(diǎn).
【證明】 Ι 設(shè)橢圓內(nèi)直角弦AB的方程為：y-m= k x-n 即 y= kx+m- kn。
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當(dāng)斜率 k存在時(shí)，代入橢圓C1方程中得： a2k2+ b2 x2+ 2a2k m- kn x+ a2 m- kn 2- b2 = 0
2a2k m- kn a2 m- kn 2- b2
設(shè)A x1，y1 ，B x2，y2 得 x1+ x2=- 2 2 2 ，x1x2= 2 2 2
a k + b a k + b
則PA PB= x0- x1 x0- x2 + y0- y1 y0- y2 =
k2+ 1 x1x2- k2n+ ky0+ x0-mk x1+ x + x2+ y - m- kn 22 0 0 = 0
a2 k2+ 1 m- kn 2- b2 + k2n+ ky0+ x0-mk 2a2k m- kn + a2k2+ b2 x20+
a2k2+ b2 y0- m- kn 2= 0
a2 k2+ 1 m- kn 2- a2 k2+ 1 b2+ a2k2+ b2 x2+ a2k2+ b20 y2+ a2k20 + b2 m- kn 2-
2y m- kn a2k20 + b2 - 2a2k2 m- kn 2+ 2a2kx0 m- kn + 2a2k2y0 m- kn = 0
a2 m- kn 2- a2 k2+ 1 b2+ a2k2+ b2 x2+ a2k2+ b2 y2+ b2 m- kn 2- 2y m- kn b20 0 0 +
2a2kx0 m- kn = 0
a2k2+ b2 x20+ y20 + a2+ b2 m- kn 2- a2b2 k2+ 1 + 2 m- kn a2kx0- b2y0 = 0
a2k2 x20+ y2 + b2 x2+ y2 + a2+ b2 m2+ a2+ b2 k2n2- 2kmn a2+ b2 - a2b2k2- a20 0 0 b2+ 2ma2kx0-
2mb2y - 2k2na20 x0+ 2knb2y0= 0
2 2
a
2x20+ a2+ b2 n2- b2x2- 2na2x = 0 m= b - a0 0 2 y
ma2x +nb2y =mn a2+ b2 a + b
2 0
0 0
a
2- b2
b2y2+ a2+ b2 m2- a2y2- 2mb20 0 y0= 0 n= xa2+ b2 0
a2- b2 b2- a2
即直線AB過(guò)定點(diǎn) 2 x ， y ，此點(diǎn)在C 上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線AB也過(guò)C 上的定a + b2 0 a2+ b2 0 2 2
點(diǎn)。
ΙΙ 由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。
2 y2
19.設(shè)P(x x0，y0)為橢圓(或圓)C : 2 + 2 = 1(a> 0，. b> 0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦，且弦PP1，PPa b 2
1+m b2
斜率存在，記為 k1，k2，則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)M (mx0，-my0) (m≠ 1)的充要條件是 k1 k2=- 1-m 2 .a
【證明】必要性：設(shè)P1P2：y+my0= k x-mx0 。 k存在時(shí)，代入橢圓方程中得：
a2k2+ b2 x2- 2a2km y 2 20+ kx0 x+ a m y0+ kx0 2- a2b2= 0
2a2km y0+ kx 20 a m2 y0+ kx0 2- a2b2
設(shè)P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 得 x1+ x2= 2 2 ，x x =a k + b2 1 2 a2k2+ b2
= y
2
0- y1 y0- y2 = k x1x2- k my0+mkx0+ y0 x1+ x2 + my0+mkx0+ y
2
k1 k
0
2
x0- x1 x0- x2 x1x2- x0 x1+ x2 + x20
= b
2 m+ 1 2kmx0y0+ k2x20 m- 1 + y20 m+ 1 b2= m+ 1
a2 m- 1 2kmx0y 20+ k x20 m- 1 + y2 20 m+ 1 a m- 1
k PP x=mx y=± b不存在時(shí)， ： 則 a21 2 0 a -m
2x20，
2
y b 2 2 2 b 2 20- a a -m x0 y0+ a a -m x2 y2-
b a20 0 2 -m2x20 b2x2 m2- 1 2
k a 01 k2= 2 2 = 2 2 = 2 2 2 =
b m+ 1
x0 1-m x0 1-m a x0 1-m a2 m- 1
必要性得證。
充分性：設(shè)P1P2過(guò)定點(diǎn) q，p ，則P1P2：y= kx+ p- kq。代入橢圓方程得：
a2k2+ b2 x2+ 2a2k p- kq x+ a2 p- kq 2- a2b2= 0
+ =- 2a
2k p- kq 2 2= a p- kq - a
2b2
設(shè)P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 得 x1 x2 a2k2
，x
+ b2 1
x2 a2k2+ b2
2
= y1- y0 y2- y0 = k x1x2+ k p- kq- y0 x1+ x2 + p- kq- y
2
k k 0

則 1 2
x1- x0 x2- x0 x1x2- x0 x1+ x2 + x20
a2k2= p- kq
2- a2b2k2- 2a2k2 p- kq p- kq- y0 + p- kq- y 2 a20 k2+ b2
a2 p- kq 2- a2b2+ 2a2kx0 p- kq + x2 2 2 20 a k + b
第 15頁(yè) 共 68頁(yè)
b2 p- kq 2- 2y p- kq + y20 0- k2x2= 0 = m+ 1 b
2
a2 p- kq 2+ 2kx0 p- kq + k2x20- y20 m- 1

a2
p- kq
2- 2y0 p- kq + y2- k2 20 x0 = m+ 1
p- kq 2+ 2kx p- kq + k2x2 20 0- y0 m- 1
k2 mx20+ q2-mqx0- qx0 + k mpx0+ px0-mqy0+ qy0- 2pq + mpy0- py0+ p2-my20 = 0
mx2+ q2 0 -mqx0- qx0= 0 q- x0 q-mx0 = 0 1
mpx0+ px0-mqy0+ qy0- 2pq= 0 px0 m+ 1 + qy0 1-m = 2pq (2)
mpy0- py0+ p2-my20= 0 p- y0 my0+ p = 0 3
注意到m≠ 1，解 (1) (3)得 p=-my0，q=mx0，代入 (2)式，成立。
驗(yàn)證 k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故 l過(guò)定點(diǎn) mx0，-my0 m≠ 1 ，充分性得證。
2 y2
20. x過(guò)橢圓 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0)上任一點(diǎn)A(x0，y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B，C兩a b
b2x0
點(diǎn)，則直線BC有定向且 kBC= 2 (常數(shù)).a y0
【證明】設(shè)AB：y- y0= k x- x0 即 y= kx+ y0- kx0
y= kx+ y0- kx0
2
2 2 2 2x2 + y2 = a k + b x + 2a2k y0- kx0 x+ a2 y0- kx - b20 = 01a2 b2
2
+ = 2a k kx - y
2 2 2 2
x 0 00 xB 2 2 2 xB=
a k x0- 2a ky0- b x0
a k + b a2k2+ b2

a2k2x - 2a2 0 ky0- b
2x0 b2y - a2k20 y 2B 0- 2b kx0，
a2k2+ b2 a2k2+ b2
2 2
a k x0+ 2a
2ky - b2x 20 0 b y0- a2k2y0+ 2b2kx 4b2kx b2x
同理C 0 ∴ k = 0 = 0
a2
，
k2+ b2 a2k2+ b2 BC 4a2ky a20 y0
2 2
21. x橢圓 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)∠F1PF2= γ，則橢圓的a b
γ a γ b2 γ
焦點(diǎn)三角形的面積為S 2△F PF = b tan 2 ，P ± c c2- b2tan2 2 ，± c tan 2 .1 2
y
P
γ
F1 O F x2
【證明】
由余弦定理： PF1 2+ PF2 2- 2 PF1 PF2 cosγ= 2c 2
PF + PF 2= 4c21 2 + 2 PF1 PF2 cosγ+ 1
4a2= 4c2+ 2 PF1 PF2 cosγ+ 1
2 2
PF 2b b1 × PF2 = cosγ+ 1 = cos2 γ2
2b2sin γ cos γ1 b2sinγ 2 2 2 γS△F PF = 2 PF1 × PF2 sinγ= cosγ+ 1 = γ = b tan 2 = c y1 2 2cos2 P2
2 2 2
b γ γy a γ P = c tan 2 ， xP = a
2- a b tan2 22 2 = c c - b
2tan2
c 2
γ 2∴ γP ± ac c2- b2tan2 2 ，± bc tan 2
第 16頁(yè) 共 68頁(yè)
2 2
22.若P x為橢圓 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點(diǎn)，∠PFa b 1
F2= α，∠PF2F1=
β a- c，則 a+ c = tan
α β
2 tan 2 .
34 a- c 1- e【證明】由 ：a+ c = 1+ e =
sinβ+ sinα- sinγ = sinβ+ sinα- sin α+ β
sinβ+ sinα+ sinγ sinβ+ sinα+ sin α+ β
= sinβ+ sinα- sinαcosβ- sinβcosα = sinβ 1- cosα + sinα 1- cosβ
sinβ+ sinα+ sinαcosβ+ sinβcosα sinβ 1+ cosα + sinα 1+ cosβ
α β β α α β
2sin β cos β 2sin2 α2 2 2 + 2sin
α cos α 2sin2 β sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 + cos sin2 2 2 2 2 = =
2sin β cos β 2cos2 α + 2sin α α 2 β β α β α α β2 2 2 2 cos 2 2cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 + sin 2 cos 2
sin α2 sin
β
= 2 ββ = tan
α
2 tancos cos α 22 2
x2 y223.橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的焦半徑公式：|MF1| = a+ ex0，|MF2| = a- exa b 0
(F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M
(x0，y0)).
a2 a2
【證明】由第二定義得： MF1 = e x0+ c = a+ ex0， MF2 = e c - x0 = a- ex0
24. x
2 y2 b2 b2
橢圓 2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 的焦半徑公式： PF1 = ，MF = ，MP =a b a- ccosα 1 a+ ccosα
2ab2 = 2ab
2 b2 b2
a2- c2cos2α b2
，PF = ，MF =
+ 2 c sin2α 2 a+ ccosα 2 a- ccosα
y
P
θ
α β
F1 O F2 x
M
【證明】
證明一: 第二定義
y
A1 P
A θ2 α β
A3 F O F x1 2
M
PF1
如圖所示，結(jié)合橢圓的第二定義有， = e
PA1
2
則 PF1 = e PA1 = e F1A2 + PF1 cosα = e a c - c+ PF1 cosα
2
解得 PF b1 = a- ccosα
MF1
同理可得， = e
MA3
2
則 MF1 = e MA3 = e F1A - MF cosα = e a2 1 c - c- MF1 cosα
2
解得 MF b1 = a+ ccosα
第 17頁(yè) 共 68頁(yè)
證明二: 余弦定理
由余弦定理可得
PF 22 = PF1 2+ F 2 21F2 - 2 PF1 × F1F2 cosα= PF1 + 4c2- 4c PF1 cosα= 2a- PF1 2
2
解得 PF b1 = a- ccosα
2 y2
25. x若橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng) 2- 1≤ e< 1時(shí)，可在橢a b
圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).
PF1 = PF2【證明】 PF = e PF2= e PF1 a- ex0= e a+ ex
1- e
d 0
x0= a
1 e2+ e
∵ x0∈ 0，a
∴ 1- e2 ≤ 1 e
2+ 2e- 1≥ 0 e≥ 2- 1或 e≤-1- 2
e + e
∵ e∈ 0，1
∴ e∈ 2- 1，1
2 y2
26.P x為橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 2a- |AF2| ≤a b
|PA|+|PF1| ≤ 2a+ |AF2|，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)2，P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
【證明】在ΔAPF2中，有PF2-AF2≤PA≤PF2+AF2
∴PF1+PA≤PF1+PF2+AF2= 2a+AF2，PF1+PA≥PF1+PF2-AF2= 2a-AF2
都當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)
x2 y2 2 2 227.橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l：y= k(x- x0)對(duì)稱(chēng)的充要條件是 x
2
0≤
(a - b )
a b a2+ b2k2
.
【證明】25.設(shè)橢圓上的點(diǎn)A x1，y1 ，B x ，y 關(guān)于 l:y= kx+m對(duì)稱(chēng)，M x 2 2 0，y0 。
b2=- x

0 =- 1
2
= a y
a2 kx 0 = 0+m
2 2
由 12得：k a m b mAB a2
k x =- ，y =-
y k b2x b20 0 x
0 2 0 2
0 c k c
a2m2 b2 2∵ ∴ + m = a
2+ b2k2 m2 4 2
又 M在橢圓內(nèi)， 4 2 4 4 2 < 1 m
2< c k
c k c c k a2+ b2k2
4 2 2 2
若m=-kx 2 c0，則 x0< 2 2 2 =
a - b
a + b k a2+ b2k2
28.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切
線垂直.
【證明】由 5即可得證。
29.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.
cosφ sinφ 2 acosφ
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，則切線 l: a x+ y= 1，A
a b
c ，sinφ 1-b c
27圖 30圖
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2
∴ = - b b - acosφ = ab
2cosφ ab2cosφ
FP FA acosφ c，bsinφ c ， 2 2sinφ 1 c c - b + b - c = 0
∴FP⊥FA
x= acos 30.P是橢圓 = (a> b> 0)
1
上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是 e2= .
y bsin 1+ sin2
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，由射影定理有:b2sin2φ= c- acosφ c+ acosφ = c2- a2cos2φ
c2= a2cos2φ+ a2- c2 sin2φ e2= cos2φ+ 1- e2 sin2φ
1+ sin2φ e2= sin2φ+ cos2φ= 1 e2= 1
1+ sin2φ
2 y2 2 2
31.設(shè)A，B x為橢圓 2 + 2 = k(k>
y
0，k≠ 1) x上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓 2 + 2 = 1相交于P，Q，則APa b a b
=BQ.
2 2 2 2
【證明】設(shè)C1: x +
y x y
2 2 = 1，C2: 2 + 2 = k k> 1 ，AB l :Ax+By+C= 0。聯(lián)立C1，l得：a b a b
2
A2a2+B2b2 x2+ 2Aa2Cx+ a2C 2- a2b2B2= 0，由韋達(dá)定理：xA+ x 2Aa CB=-A2a2+B2b2
2Aa2C
同理 xP+ xQ=- 。A2a2+B2b2
2
則AP-BQ= 1+ A x - x - 1+ A
2 2
B2 A P B2
xB- xQ = 1+ A2 xB A- xP - xB- xQ
而 xA- xP，xB- xQ的符號(hào)一定相反，故 xA- xP - xB- xQ = xA+ xB- xP+ xQ = 0。所以AP=BQ
2 y2
32. x在 橢 圓 2 + 2 = 1 中 ，定 長(zhǎng) 為 2 m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 點(diǎn) 軌 跡 方 程 為 m
2 =
a b
x2 y2 bx
1- 2 + 2 a2cos2α+ b2sin2α ，其中 tanα=- ay，當(dāng) y= 0時(shí)，α= 90 .a b
【證明】設(shè)A acosθ，bsinθ ，B acosφ，bsinφ ，M x0，y0 為AB中點(diǎn)。
θ+ φ θ- φ θ+ φ θ- φ
則 AB 2= a2 cosθ- cosφ 2+ b2 sinθ- sinφ 2= 4a2sin2 sin2 + 4b2cos2 sin2 = 4m22 2 2 2
2 2 θ+ φ θ- φa sin sin2 + b2 2 θ+ φ θ- φ2 2 cos 2 sin
2
2 =m
2
= acosθ+ acosφ = θ+ φ θ- φ = bsinθ+ bsinφ θ+ φ θ- φ而 x0 2 acos 2 cos 2 ，y0 2 = bsin 2 cos 2
= 2 θ- φ θ+ φ設(shè)A sin 2 ，B= sin
2 ，則 x2= a22 0 1-A 1-B ，y
2
0= b2 1-A B，m2= a2AB+ b2A 1-B
y2 a2y2 b2x20 0 0
x2 2 2 2
A= 1- 0 + y0 b
2 x0 y0 b2 a2
解得 2 2 ，B= ，代入m
2得：m2= 1- + +
a b x2 2 2 2 0 + y0 a b x2 2 2 20 y0 x0 y0
a2 b2 a2 + b2 +a2 b2
令 tanα=- bx0 得：m2=
2 2
1- x0 + y0 a
2 b2 tan2α
ay a2 b2 tan2
+ =
0 α+ 1 tan2α+ 1
x2 2 1- 0 2 + y02 a2cos2α+ b2sin2α a b
x2 y2
所以定長(zhǎng)為 2m(0bx
其中 tanα=- ay，當(dāng) y= 0時(shí)，α= 90
。
33. S x
2 y2
設(shè) 為橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的通徑，定長(zhǎng)線段 L的兩端點(diǎn)A，B在橢圓上移動(dòng)，記 |AB| = l，Ma b
第 19頁(yè) 共 68頁(yè)
2
(x0，y a l0)是AB中點(diǎn)，則當(dāng) l≥ΦS時(shí)，有 (x0)max= c - 2e c
2= a2- b2，e= ca ;當(dāng) l<ΦS時(shí)，有 (x0)max=
a 4b2- l2，(x ) = 0.
2b 0 min
【證明】設(shè)A acosα，bsinα ，B acosβ，bsinβ ，M x0，y0 為AB中點(diǎn)。則：
x0=
acosα+ acosβ
2 =
α+ β α- β α- β x
acos 02 cos 2 cos 2 = acos α+ β2
2= 2 α+ β α- β α+ β α- β AB a cosα- cosβ 2+ b2 sinα- sinβ 2= 4a2sin2 sin22 2 + 4b
2cos2 2 sin
2
2
= α- β α+ β α+ β α- β α+ β4sin2 2 a2sin2 + b2cos22 2 = 4 1- cos2 2 2 2 22 a - c cos 2 = l
2- 2 2 α- β + 2 2 α+ β + 2 2 α+ β 2 α- β
2
a a cos 2 c cos 2 c cos
l
2 cos 2 = 4
2
2 2- x0 + 2 2 α+ β
2
e x0 c cos + a2=
l ≤ a2
cos2 α+ β 22
4
2
二次函數(shù) y= e2x2-mx+ a2與 y= l4 在 0，a 內(nèi)的交點(diǎn)即為 x0的值。由圖易知 y= e
2x2-mx+ a2與 y
= l
2
4 的左交點(diǎn)為 x0的值。當(dāng)m增大時(shí)，x0減小。要使 x0最大，則要使m最小。
x20 2 α+ β α+ β x
α+ β + c cos
2
2 ≥ 2cx0，此時(shí)等號(hào)成立時(shí) cos
2
2 =
0max
c ≤ 1 x0max≤ ccos2 2
31圖 35圖
l2 2
當(dāng)此式成立時(shí) y= e2x2-mx+ a2= e2x24 0max- 2cx
2 l l a
0max+ a = 4 ex0max- a=- 2 x0max= e -
l = a
2 l
2e c - 2e
2 2
當(dāng) x0max= a - l = a - l = c時(shí)：l2e 2e c 2e = 4 ce- a
2 l= 2 a- ce 2b = a =Φ 通徑
x 2b
2 2 2
當(dāng) 0max≤ c時(shí)：l≥ a =Φ∴ l≥Φ=
2b
當(dāng) a 時(shí) x0max≤ c，x0max=
a
c -
l
2e。
α+ β
當(dāng) x 20max> c時(shí)，當(dāng) cos 2 = 1，即AB垂直于 x軸時(shí) x0最大。
2
2 l
e2x2 - x2 + a2- c2= l
2 b -
2 4 a2 2
0max 0max 4 x0max= 2 = 2 4b - l
2 x = a 0max 4b2- l21- e 4b 2b
考慮到對(duì)稱(chēng)性 x0min= 0對(duì)任意情況均成立。
a2 - l x ≤ c，l≥Φ= 2b
2
AB cos2 α+ β x c 2e 0max a ， 過(guò)焦點(diǎn)，
0
2 = c
∴ x0min= 0，x0max= a 2
2b 4b
2- l2 x 2b0max> c，l<Φ= a ，AB⊥ x軸，cos2 α+ β2 = 1
x2 y234.橢圓 2 + 2 = 1與直線Ax+By+C= 0有公共點(diǎn)的充要條件是A
2a2+B2b2≥C 2.
a b
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b2x2+ a2y2= a2b2
【證明】 A2a2+B2b2 + + = x
2+ 2a2ACx+ a2
Ax By C 0
C 2-B2b2 = 0
Δ= 4a4A2C 2- 4a2 C 2-B2b2 A2a2+B2b2 ≥ 0 A2a2+B2b2≥C 2
(x- x 20) + (y- y0)
2
35.橢圓 2 2 = 1與直線Ax+By+C= 0有公共點(diǎn)的充要條件是A
2a2+B2b2≥ (Ax
a b 0
+
By +C)20 .
b
2 x- x0 2+ a2 y- y 2= a2b20
【證明】 Ax+By+C= 0
A2a2+B2b2 x2+ 2 a2AC-B2b2x + a2ABy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 x+ a C + a B y0+B b x0- a B b + 2a BCy0 = 0
Δ≥ 0 A2a2+B2b2≥A2x2+B2y2 2 20 0+C + 2ABx0y0+ 2ACx0+ 2BCy0= Ax0+By0+C
當(dāng) x = y = 0時(shí)，即為 32：A2a2+B20 0 b2≥C 2
x2 y236.設(shè)橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PFa b 1
F2
中，記∠F1PF2= α，∠PF F = β ∠F F P= γ sinα c1 2 ， 1 2 ，則有 sinβ+ = a = e.sinγ
F1F2 = PF2 = PF1 sinα F1F2 2c c【證明】由正弦定理得 sinα sinβ sinγ，所以 = = = = e。sinβ+ sinγ PF1+PF2 2a a
37.經(jīng)過(guò)橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于
P1和P2，則 |P1A1| |P2A2| = b2.
cosφ sinφ
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，則P點(diǎn)處的切線為 a x+ y= 1，b
b2 1- cos2φ
由此可得：y = bP sinφ 1+ cosφ
b
，y = 21 P2 sinφ 1- cosφ ∴ P1A1 P2A2 = = bsin2φ
2 y2
38. x已知橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP⊥OQ.a b
(1) 1 + 12 2 =
1 + 1
|OP| |OQ| a2 b2
;
2 2
(2)|OP|2+ |OQ|2 4a b的最小值為 ;
a2+ b2
2 2
(3)S a bΔOPQ的最小值是 .a2+ b2
【證明】(1)同 15.
2
( ) ( ) 1 + 1 = |OP| + |OQ|
2 |OP|2+ |OQ|2 2
2 15 36 3 = = a + b
2
由 ， ：
|OP|2 |OQ|2 |OP|2|OQ|2 4S2 2 2ΔOPQ a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ |OP|2+ |OQ|2
a + b 4S= ΔOPQ 4 a + b a b 4a b
a2 2
≥ 2 2 =b a b 2 2 2 a + b a + b
2
(3)設(shè)P acosθ，bsinθ ，Q acosφ，bsinφ ，OP OQ= a2cosθcosφ+ b2sinθsinφ= 0 tanθtanφ=
a2-
b2
acosθ bsinθ
2SΔOPQ= OP×OQ = = ab sinθcosφ- sinφcosθ acosφ bsinφ
4S2
ΔOPQ2 2 = sin
2θcos2φ+ sin2φcos2θ- 2sinθcosθsinφcosφ
a b
a4
2 b4 a2
= tan
2θ+ tan2φ- 2tanθtanφ tan θ+ tan2 + 2θ b2=
tan2θ+ 1 tan2φ+ 1 4 aa4 2 b4
b4
+ tan θ+ + 1
tan2θ
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a4 2
a2b2 4 - 2
a
2 + 1b b a4- 2a2b2+ b4 a2+ b2 2 a2 2 2 2 2 2 = a4 + 1≤ 2 b a b4S 4a2 2 + 1=b 4a2b2 SΔOPQ≥ 2+ 2 SΔOPQ≥ 2 2ΔOPQ 4 2 a b a + b
tan2θ+ b a
tan2
+ 2
θ b2
2 2
∴Smin= a ba2+ b2
39.MN是經(jīng)過(guò)橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦點(diǎn)的任一弦，若AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心O且平行于MN的
弦，則 |AB|2= 2a|MN |.
x= tcosθ p 2
【證明】設(shè)∠MFx= θ，AB: b = ，橢圓 ρ= p=y tsinθ 1+ ecosθ a
37圖 38圖
= p p 2p 2ab
2 2ab2
則MN + + = = =1 ecosθ 1- ecosθ 1- e2cos2θ a2- c2cos2θ a2sin2θ+ b2cos2θ
AB t2= a
2b2
將 的方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中得： 2 2 2 2 ，由參數(shù) t的幾何意義可知：a sin θ+ b cos θ
2 2
AB 2= 4t2= 4a b 2 = 2a MN a sin2θ+ b2cos2θ
40.MN是經(jīng)過(guò)橢圓 b2x2+ a2y2= a2b2(a> b> 0)焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O的半弦OP⊥MN，則
2 + 1 = 1 + 1| .a MN | |OP|2 a2 b2
【證明】作半弦OQ⊥OP，由 37得： OQ 2= a MN 15 1 + 1 1 2 1 2 ，由 ：|OP|2 |OQ|2
= 2 + = +|OP| a MN a2
1
b2
x2 + y
2
41.設(shè)橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)，M (m，o)或 (o，m)為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一a b
a2
條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1，A2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線 l：x= m
2
(或 y= bm )上.
【證明】設(shè) l:x= ty+m，P x1，y1 ，Q x 22，y2 ，將 l的方程代入橢圓得： a + b2t2 y2+ 2b2mty+
b2 m2- a2 = 0
2b2mt b2 m2- a2 y1
由韋達(dá)定理得：y1+ y2=- 2 2 2 ，y1y2= ，直線A P的方程為 y= x+ a ，直線A Qa + b t a2+ b2t2 1 x1+ a 2
= y2 - = 2ty1y2+ a+m y2+ m- a y1的方程為 y x - a x a ，聯(lián)立A1P和A2Q得交點(diǎn)N的橫坐標(biāo) x a，2 a+m y2+ a-m y1
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代入化簡(jiǎn)：
2b2tm2- 2b2ta2- 2b2= m
2t+ a a2+ b2t2 y2- y 2 2 2 2 2x 1 a a + b t y2- y1 - 2ab t a
-2ab2mt+m a2+ b2t2
a= a=
y2- y1 m a2+ b2t2 y2- y1 - 2ab2t m
a2
所以交點(diǎn)一定在直線 x= m 上。同理可證M在 y軸上的情況。
引理(張角定理)：A，C，B三點(diǎn)按順序排列在一條直線上。直線外一點(diǎn)P對(duì)AC的張角為 α，對(duì)CB的張
角為 β。
sin α+ β = sinα + sinβ則：
PC PB PA
42.設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)
于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF⊥NF.
【證明】
如圖，A為左頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)∠PFH= θ，∠MFH= φ，則∠AFP= π- θ，∠PFM= θ- φ
a2 b2 2 2FH= bc - c= c = ae =
p p sin π- φ
e ，F(xiàn)M=
b
ecosφ p= a 。對(duì)F-APM由張角定理： FP =
sin π- θ + sin θ- φ FM FA
sinφ+ esinφcosθ= esinθcosφ+ sin θ- φ - esin θ- φ sinφ= sin θ- φ
∵ 0< θ< π∴ φ= θ- φ即FM平分∠PFH，同理FN平分∠QFH?！唷螹FN= 90 即MF⊥NF
當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí)，由 39可知左頂點(diǎn)A'與P、M；Q、N分別共線，于是回到上一種情況。
43.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q，A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，
A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF.
【證明】
如圖，設(shè)∠PFA2= θ，∠MFA2= φ，則∠A1FP= π- θ，∠PFM= θ- φ，∠A2FQ= π- θ
- - sin π- φ = sin π- θ + sin θ- φ sin π- θ+ φ 對(duì)F QA2M和F A1PM由張角定理： FP FM ， =FA1 FA2
sin π- θ + sinφFM FQ
sinφ sinφ sin θ- φ sin θ- φ
兩式相減并化簡(jiǎn)得：FP + = + sinφ= sin θ- φFQ FA FA 1 2
∵ 0< θ< π∴ φ= θ- φ即FM平分∠PFA2，同理FN平分∠QFA2?！唷螹FN= 90 即MF⊥NF
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x2 y244.設(shè)橢圓方程 2 + 2 = 1，則斜率為 k(k≠ 0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l：y= kx的共軛直線 y= k
x
a b
2
上，而且 kk =- b
a2
.
【證明】由 12即可證得。
2 y2
45. A B C D x設(shè) 、 、 、 為橢圓 2 + 2 = 1上四點(diǎn)，AB、CD所在直線的傾斜角分別為 α，β，直線AB與CDa b
PA PB b2cos2β+ a2sin2β
相交于P，且P不在橢圓上，則 = 2 2 2 . PC PD b cos α+ a sin2α
x= x + tcosα x= x + tcosβ
【證明】設(shè)P x0，y0 ，AB： 0 ，CD： 0 = ，將AB的方程代入橢圓得：y y0+ tsinα y= y0+ tsinβ
b2cos2α+ a2sin2α t2+ 2 b2x0cosα+ a2y0sinα t+ b2x2+ a2y20 0- a2b2 = 0
b2x2+ a2y2- a2b2
由參數(shù) t的幾何意義可知： PA PB = t1t 0 02 = 2 2 2 2 ，同理 PC PD =b cos α+ a sin α
b2x2+ a2y2- a2b20 0
b2cos2β+ a2sin2β
PA PB b2cos2 2∴ = β+ a sin
2β
PC PD b2cos2α+ a2sin2α
x2 y246.已知橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外(內(nèi))角平分線為a b
l，作 F 1、F 2 分別垂直 l 于 R、S，當(dāng) P 跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S 形成的軌跡方程是 x 2 + y 2 =
2 2 2
2 2 2= a y + b x x± c
2
a c y
a2y2 2
.
+ b x± c 2
【證明】對(duì)于外角平分線的情況由 5即可證得，下僅證 l為內(nèi)角平分線的情況。
: cosφ + sinφ設(shè)P acosφ，bsinφ ，則 l0 a x y= 1 bcosφ+ asinφ- ab= 0b
則 l:asinφx- bcosφy- c2sinφcosφ= 0，l1:bcosφx+ asinφy+ bccosφ= 0
l2:bcosφx+ asinφy- bccosφ= 0。分別聯(lián)立 l、l1和 l、l2得：
ccosφ acsin
2φ- b2cosφ - bcsinφcosφ ccosφ acsin
2φ+ b2cosφ bcsinφcosφ
H1 2 2 2 2 ，a sin φ+ b cos φ a- ccosφ ，H2 ，a2sin2φ+ b2cos2φ a+ ccosφ
+ = acsin
2φ - =- acsin
2φ b x+ c b x+ c
則 xH c1 a- ccosφ，xH c2 a+ ccosφ 對(duì)H1點(diǎn)： ay =-tanφ tanφ=- ay
∴ =± b x+ c sinφ ，cosφ= ay ，代回 x + c式得：
a2y2+ b2 x+ 2 2 2+ 2 + 2
H
c 1 a y b x c
b2 x+ c 2
x+ c = a
2y2+ b2 x+ c 2 cy b2 c x+ c
ac a± acy
1± =
2 2 a
2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2
a y + b2 x+ c 2
第 24頁(yè) 共 68頁(yè)
cy b2c x+ c - a2y2- b2 x+ c 2 2 2 2 ± = =- a y + b x x+ c c2y2=
a2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2 a2y2+ b2 x+ c 2
a2y2+ b2x x+ c 2
a2y2+ b2 x+ c 2
a2y2+ b22 2= x x- c
2 2 2 2
2 2= a y + b x x± c
2
同理對(duì)H2點(diǎn)得 c y 。故H 點(diǎn)、H 點(diǎn)的軌跡方程為 c ya2y2+ b2 x- c 2 1 2 a2y2+ b2 x± c 2
47.設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓Γ，且AB為Γ的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別交直線AC、BC于
E和F，又D為 l上一點(diǎn)，則CD與橢圓Γ相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).
a
【證明】由伸縮變換 y = y將橢圓(左圖)變?yōu)閳A(右圖)，橢圓中的共軛直徑變?yōu)閳A中相互垂直的直徑。
b
所證命題變?yōu)樽CCD與圓O相切的充要條件是D為EF中點(diǎn)。
充分性：若D為EF中點(diǎn)∵C在圓上，AB⊥OE∴FC⊥CE，OF⊥OB∴CD=DE=DF∴∠DCF=
∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF= 90° ∴OC⊥CD∴CD與圓相切。
必要性：若CD與圓相切，則∠OCD=∠ACB=∠FOB= 90° ∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD∴
DF=DC∵∠ECF= 90°
∴∠DEC= 90°-∠CFD= 90°-∠DCF=∠DCE∴CD=DE=DF即D為EF中點(diǎn)。
x2 y248.過(guò)橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M，N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交a b
|PF|
x e軸于P，則 | =MN | 2 .
p p 2p
【證明】設(shè)∠MFx= φ，由橢圓極坐標(biāo)方程： MN = 1- ecosφ + 1+ ecosφ = 1- e2cos2φ
p1- ecosφ - p1+ ecosφ ep cosφ HF ep PF
HF e = 2 = ，PF = = ∴ =1- 2 e cos2φ cosφ 1- e2cos2φ MN 2
2 y2 b2x
49.設(shè)A(x x 11，y1)是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為- 2 的直線L，又設(shè) d是原a b a y1
點(diǎn)到直線L的距離，r1，r2分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則 r1r2d= ab.
2 2
【證明】由 10可知 l為切線 l:b2x x+ a2y y- a2b2= 0∴ d= a b 由 22:r r = a2- e2x21 1
b4x2+ a4 2 1 2 11 y1
a2b2 a2b2 a2- e2x2 2 2 2 2∴ r r d= a2- e2x2 = 1 a b a - e x11 2 1 = = ab
b4x2+ a4y2 b41 1 x2+ a2b2 a2- x21 1 a4- c2x21
50. x
2 y2 2 2
已知橢圓 + = 1(a> b> 0) x y和 + = λ(0< λ< 1)，一直線順次與它們相交于A、B、C、D四
a2 b2 a2 b2
點(diǎn)，則 AB = CD .
【證明】48.同 29。
第 25頁(yè) 共 68頁(yè)
x2 y251.已知橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)，A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 x軸相交于點(diǎn)Pa b
2 2 2 2
(x0，0) a - b，則- a < x <
a - b
0 a .
b2x a20 y0 a2y0
【證明】設(shè)AB中點(diǎn)為M x0，y0 ，則 kAB=- 2 ∴ kMP= 2 ∴MP:y- y0= 2 x- x a y0 b x
0
0 b x0
a2- b2 2 2 2 2
令 y= 0，得 xP= 2 x0∵ x ∈ -a a ∴ x ∈ - a - b a - b0 ， ，a P a a
x2 y252.設(shè)P點(diǎn)是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記∠F1PF2= θ，則a b
2
(1)|PF1||PF2| = 2b+ .1 cosθ
(2)SΔPF F = b2tan θ1 2 2 .
【證明】同 20。
53.設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)B(m，o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和
a2 n-m 2
AQ分別交相應(yīng)于過(guò)H點(diǎn)的直線MN：x=n于M N a-m， 兩點(diǎn)，則∠MBN= 90 a+m = b2(n+ a)2
.
【證明】設(shè) l:x= ty+m，P x ，y ，Q x ，y ，代入橢圓方程得： a2+ b2t2 y2+ 2b21 1 2 2 mty+ b2 m2- a2 = 0
2b2mt b2 m2- a2
由韋達(dá)定理得：y1+ y2=- a2+ b2t2
，y1y2= a2+ b2t2
A P M y = n+ a由 、 、 三點(diǎn)共線得 M x + a y1=
n+ a y1 n+ a y2
1 ty1+m+ a
，同理 yN= ty2+m+ a

∴ = - 2+ = - 2+ n+ a
2y y
BM BN n m
1 2
yMyN n m t2y1y2+ t m+ a y1+ y 22 + m+ a
b2 m2= n-m 2+ - a
2 n+ a 2
b2t2 m2- a2 - 2b2mt2 m+ a + m+ a 2 a2+ b2t2
2
= n-m 2+ b m- a n+ a
2 b22 m- a n+ a 2 a-m a2 n-m 2 b2t2 m- a - 2b2mt2+ m+ a a2+ b2t2 = n-m + = 0 = a2 m+ a a+m b2(n+ a)2
x2 y254. L是經(jīng)過(guò)橢圓 + = 1(a> b> 0)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離
a2 b2
心率，點(diǎn)P∈L，若∠EPF= α，則 α是銳角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (當(dāng)且僅當(dāng) |PH | = b時(shí)取等號(hào)).
【證明】52，53，54為同一類(lèi)題(最佳觀畫(huà)位置問(wèn)題)，現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A -k，0 ，B k，0 ，點(diǎn)
P m，y 在直線 x=m上 (m> k)，則當(dāng) y2= m+ k m- k =m2- k2時(shí)，∠APB最大，其正弦值為
k
m。
52. k= c，m= a∴ sinα≤ e，當(dāng)且僅當(dāng)PH= b時(shí)取等號(hào)。
2 y2
55. L x是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)P∈ L，e是離心率，∠EPF=a b
α，H是 L ab與X軸的交點(diǎn) c是半焦距，則 α是銳角且 sinα≤ e或 α≤ arcsine (當(dāng)且僅當(dāng) |PH | = c 時(shí)取等
號(hào)).
【證明】52，53，54為同一類(lèi)題(最佳觀畫(huà)位置問(wèn)題)，現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A -k，0 ，B k，0 ，點(diǎn)
P m，y 在直線 x=m上 (m> k)，則當(dāng) y2= m+ k m- k =m2- k2時(shí)，∠APB最大，其正弦值為
k
m。
2
53. k= a，m= ac ∴ sinα≤ e
ab
，當(dāng)且僅當(dāng)PH= c 時(shí)取等號(hào)。
第 26頁(yè) 共 68頁(yè)
x2 y256. L是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是 L與 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P∈ L，∠EPF=a b
α b，離心率為 e，半焦距為 c，則 α為銳角且 sinα≤ e2或 α≤ arcsine2 (當(dāng)且僅當(dāng) |PH | = c a
2+ c2 時(shí)取等
號(hào)).
【證明】52，53，54為同一類(lèi)題(最佳觀畫(huà)位置問(wèn)題)，現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A -k，0 ，B k，0 ，點(diǎn)
P m，y 在直線 x=m上 (m> k)，則當(dāng) y2= m+ k m- k =m2- k2時(shí)，∠APB最大，其正弦值為
k
m。
2
54. k= c a，m= c ∴ sinα≤ e
2 b，當(dāng)且僅當(dāng)PH= 2c a + c
2時(shí)取等號(hào)。
x2 + y
2
57.已知橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)，直線 L通過(guò)其右焦點(diǎn) F2，且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢a b
2 2 2
圓左焦點(diǎn)F 連結(jié)起來(lái)，則 b2≤ | | | | ≤ (2a - b )1 F1A F1B 2 (當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥ x軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且a
僅當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)).
【證明】設(shè)∠ p p p p- 4a AF2x= θ， F1A F1B = 2a- + 2a- 21 ecosθ 1- = 4a +ecosθ 1- e2cos2θ
∵ p p- 4a < 0∴ cos2θ ↑ F1A F1B ↓
2 2 2
∴當(dāng) θ= 0° 2a - b 時(shí)， F1A F1B 2 2min= b ；當(dāng) θ= 90°時(shí)， F1A F1B max= 2 ∴ b ≤ F1A F B ≤a 1
2a2- b2 2
a2
2 y2
58. x設(shè)A、B是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，∠PAB= α，∠PBA= β，a b
∠BPA= γ，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有
2
( )| | = 2ab |cosα|1 PA .
a2- c2cos2α
(2)tanαtanβ= 1- e2.
2 2
(3)S 2a bΔPAB= 2 cotγ.b - a2
( ) x= tcosα- a【證明】 1 設(shè)AP: ，代入橢圓方程得： b2cos2 = α+ a
2sin2α t2= 2ab2tcosα∵AP= t ≠ 0y tsinα
∴ 2ab
2 cosα 2
AP= 2ab cosα t =
b2
=
cos2α+ a2sin2α a2- c2cos2α
( ) = y
2 2
2 設(shè)P x0，y0 則 tanαtanβ
0 = b = 1- e2
a2- x2 20 a
(3)S= 1
2 2
PA ABsinα= 2a b sinαcosα 2a
2b2tanα
2 a2- c2cos2
=
α a2tan2α+ b2
b2tanα+
a2tanα a2tan2α+ b2 2
由 (2)：tan α+ β = 2 = 2 =-tanγ cotγ=-
c tanα
- b c tanα a2tan21 α+ b2
a2
∴ =- 2a
2b2cotγ 2 2
S 2 =
2a b cotγ
c b2- a2
2 y2
59.設(shè)A、B x是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))、外部的兩點(diǎn)，且 xA、xa b B
的
橫坐標(biāo) xA xB= a2，
(1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則∠PBA=∠QBA；
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(2)若過(guò)B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則∠PAB+∠QAB= 180 .
【證明】由 58可證。
x2 y260.設(shè)A、B是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))，外部的兩點(diǎn)，a b
(1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，(若BP交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng))，且
∠PBA=∠QBA，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo) xA、xB滿(mǎn)足 xA xB= a2；
(2)若過(guò)B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠PAB+∠QAB= 180 ，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足 xA
x = a2B .
【證明】(1)易知PQ的斜率為 0和斜率不存在時(shí)，對(duì)任意 x軸上的點(diǎn)A都成立。設(shè)PQ:x= ty+m，A
(m，0)
2 2 2 2
代入橢圓方程得： a2+
b m - a
b2t2 2b mt y2+ 2b2mty+ b2 m2- a2 = 0，則 y1+ y2=- 2 2 2 ，y1y2=a + b t a2+ b2t2
若∠ y yPBA=∠QBA 1 2，則 kBQ+ kBP= 0 x - x + x - x = 0 y1 ty2+m- xB + y2 ty1+m- xB = 01 B 2 B
2b2t m2- a2 2ty y + m- x y + y = 0 - 2b
2mt m- xB = 0 2b2t m2- a2 - 2b21 2 B 1 2 2+ 2 2 mt m- x = 0a b t a2+ b2t2 B
2 2
m2t- a2t-m2t+mtxB= 0 x aB= m xA x =m a = a2B m
(2)作P關(guān)于 x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P ，由 (1)即證。
2 2
61.設(shè)A，A x + y是橢圓 2 2 = 1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，QQ
是與AA 垂直的弦，則直線AQ與A Q 的交點(diǎn)P
a b
x2 y2
的軌跡是雙曲線 - = 1.
a2 b2
【證明】同 9。
62. x
2 y2 2
過(guò)橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左焦點(diǎn) F
8ab
作互相垂直的兩條弦AB、CD則 2 2 ≤ |AB|+|CD| ≤a b a + b
2(a2+ b2)
a .
p b2
【證明】設(shè)橢圓 ρ= 1- ecosφ = a- ccosφ，φ∈
0 π， 2 。
2 2 2 2
則 AB + CD = b b b ba- ccosφ + + +a- ccos φ+ π2 a- ccos φ+ π a- ccos φ+
3π
2
= b
2 b2 b2 2+ + + b = 8ab
2 a2+ b2
a- ccosφ a+ ccosφ a- csinφ a+ csinφ 4a2b2+ c4sin22φ
2 2 2
當(dāng) φ= π4 時(shí)， AB +
8ab = π + 2 a + b CD 有最小值 2 2 ；當(dāng) φ 0或 2 時(shí)，AB+
CD 有最大值
a b a
8ab2 2 a2+ b2∴ ≤ 2 2 AB + CD ≤a + b a
2 y2
63. x到橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)
a- c
兩焦點(diǎn)的距離之比等于 (c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓
a b b
(x± a)2+ y2= b2.
PA
【證明】61，62，63為同一類(lèi)問(wèn)題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A -m，0 ，B m，0 的距離之比 PB =
2
k k> 0 k≠ 1 P k + 1 2km ， ，則 點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為 k2 m，0 ，圓的半徑為 2 。- 1 k - 1
a- c m b
下三個(gè)題的比值 k均為 ，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為 e ，0 ，圓的半徑為 m。b c
第 28頁(yè) 共 68頁(yè)
61.m= c，圓心坐標(biāo)為 ±a，0 ，圓的半徑為 b。軌跡方程是姊妹圓 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a，圓心坐標(biāo)為 ± a b a be ，0 ，圓的半徑為 e。軌跡方程是姊妹圓 x±
2
e + y = e 。
63.m= a
2 a b a 2 b 2
c ，圓心坐標(biāo)為 ± 2 ，0 ，圓的半徑為 2。軌跡方程是姊妹圓e e x± + y
2
e2
= e2 。
64. x
2 y2 a- c
到橢圓
a2
+ = 1(a> b> 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于 (c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是
b2 b
a 2 b 2
姊妹圓 x± e + y
2= e .
PA
【證明】61，62，63為同一類(lèi)問(wèn)題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A -m，0 ，B m，0 的距離之比 PB =
2
k k> 0，k≠ 1 P k + 1 2km ，則 點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為 2 m，0 ，圓的半徑為k - 1 k2 。- 1
k a- c m下三個(gè)題的比值 均為 ，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為 e ，0b
b
，圓的半徑為 c m。
61.m= c，圓心坐標(biāo)為 ±a，0 ，圓的半徑為 b。軌跡方程是姊妹圓 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a a b a b，圓心坐標(biāo)為 ± e ，0 ，圓的半徑為 e。軌跡方程是姊妹圓 x± + y
2
e = e 。
2 2 2
63.m= a a b a bc ，圓心坐標(biāo)為 ± 2 ，0 ，圓的半徑為 2。軌跡方程是姊妹圓 x± 2 + y2=e e e 2 。e
2 y2
65. x + = 1(a> b> 0) x a- c到橢圓 2 2 的兩準(zhǔn)線和 軸的交點(diǎn)的距離之比為 (c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡a b b
2 2
是姊妹圓 x± a + y22 = b2 (e為離心率).e e
【證明】61，62，63為同一類(lèi)問(wèn)題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A -m，0 ，B m，0 PA 的距離之比 PB =
2
k k> 0，k≠ 1 P k + 1 2km ，則 點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為 2 m，0 ，圓的半徑為 。k - 1 k2- 1
a- c m b
下三個(gè)題的比值 k均為 ，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為 e ，0 ，圓的半徑為b c m。
61.m= c，圓心坐標(biāo)為 ±a，0 ，圓的半徑為 b。軌跡方程是姊妹圓 x± a 2+ y2= b2。
2 2
62.m= a，圓心坐標(biāo)為 ± a 0 b a be ， ，圓的半徑為 e。軌跡方程是姊妹圓 x± e + y
2= e 。
2
63.m= a ± a 0 b a
2 b 2
c ，圓心坐標(biāo)為 2 ， ，圓的半徑為 2。軌跡方程是姊妹圓 x± + y
2= 。
e e e2 e2
2 y2
66. x已知P是橢圓 + = 1(a> b> 0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A ，A是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且AQ⊥AP，A 2 2 Q⊥a b
2 2 2
A x
b y
P，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 2 + 4 = 1.a a

【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，Q x，y ，A -a，0 ，A a，0 ，由AP AQ=A P A Q= 0得
a2 - - sinφQ acosφ， b
φ Q x
2 b2y2
消去參數(shù) 得 點(diǎn)的軌跡方程： 2 + 4 = 1a a
67.橢圓的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
【證明】同 37。
x2 y2+ = b
2x
68. 1(a> b> 0) A A P(x y ) 1設(shè)橢圓 2 2 長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 ， ， 1， 1 是橢圓上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為- 的a b a2y1
直線 l，過(guò)A，A 分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交 l于M，M ，則 (1)|AM ||A M | = b2. (2)四邊形MAA M 面積
第 29頁(yè) 共 68頁(yè)
的最小值是 2ab.
【證明】(1)同 35(2) 1由基本不等式 AM + A M ≥ 2b，則梯形MAA M 面積的最小值為 2 2a 2b=
2ab。
2 y2
69. x已知橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的右準(zhǔn)線 l與 x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于a b
A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且BC x軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).
AM BC
【證明】設(shè)AC x FM AC AM BC AF BC交 軸于M，AD⊥ l于D。由橢圓第二定義：EM = CM AD = = =CM AD BF AD
AC
e
e = 1
∴AC過(guò)EF的中點(diǎn)。
(x- a)2 y2
70.OA、OB是橢圓 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則a b
2
(1) 2ab直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) a2+ b2 ，0 .
2 2 2 2
(2) ab ab以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是 x- 2a2 2 + y = 2 2 (x≠ 0).+ b a + b
x2 y2 a2- b2
【證明】(1)由 17可知當(dāng)橢圓方程為 2 + 2 = 1時(shí)，AB過(guò)定點(diǎn) 2 2 -a，0 。當(dāng)橢圓方程變?yōu)閍 b a + b
(x- a)2 y2
a2
+ 2 = 1b
a2- b2
時(shí)，橢圓向右平移了 a個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了 a個(gè)單位，故此時(shí)AB過(guò)定點(diǎn) 2 -a+ a，0 即a + b2
2ab
2
2 2 ，0a + b
2 2 2 2
(2)由 69(2)P為原點(diǎn)，即m=n= 0 Q x- ab 2 ab時(shí) 點(diǎn)的軌跡方程是 2 + y = x≠ 0 。a + 2 2+ 2 b a b
(x- a)2 y2
71.P(m，n)是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一個(gè)定點(diǎn)，PA、PB是互相垂直的弦，則 (1)直線ABa b
2ab
2+m(a2- b2) n(b2- a2)
必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) 2 2 ， 2 2 . (2)以PA、PB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方a + b a + b
程是
2 2 2 2 2 a2[b4+n2(a2- b2)]
x- ab + a m b n2 2 + y- 2 2 = 2 2 2 (x≠m且 y≠n).a + b a + b (a + b )
x2 y2 a2- b2 b2- a2
【證明】(1)由 17可知當(dāng)橢圓方程為 + = 1時(shí)，AB過(guò)定點(diǎn) m- a ， n 。當(dāng)橢圓方
a2 b2 a2+ b2 a2+ b2
(x- a)2 y2
程變?yōu)?2 + 2 = 1a b
時(shí)，橢圓向右平移了 a個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了 a個(gè)單位，故此時(shí)AB過(guò)定點(diǎn)
a2 - b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 m- +
b - a 2ab +m(a - b ) n(b - a )a a， n 即 ， 。
a + b a2+ b2 a2+ b2 a2+ b2
x2( y
2
2)先證橢圓中心在原點(diǎn)的情況。橢圓方程為： 2 + 2 = 1，P x0，y0 ，AB的斜率為 k= tanθ。a b
a217(1) AB - b
2 b2- a2 2 2 2x b - a a - b
2
由 ： 過(guò)定點(diǎn) 2 2 0， 2 2 y0 ，設(shè)AB：y- 2 2 y0= k x-a + b a + b a + b a2 x ，PQ：y- y =+ b2 0 0
- 1 x- xk 0
第 30頁(yè) 共 68頁(yè)
2b2kx a2 k2- 1 y 2 20 0
兩者聯(lián)立得 yQ= 2 2 2 + 2 2 2 +
b y0 = 2a ky，x 0 +
k + 1 a + b k + 1 a + b a2+ b2 Q k2+ 1 a2+ b2
b2 1- k2 x a20 x0
k2 2 2
+
+ 1 a + b a2+ b2
a2x 2 2 2 2- 0 = 2a ky0 + b 1- k x0 = 2a y0tanθ + b
2x0 1- tan2θ
則 xQ a2+ b2 k2+ 1 a2+ b2 k2+ 1 a2+ b2 tan2θ+ 1 a2+ b2 tan2θ+ 1 a2+ b2
2a2= y0sinθcosθ b
2
+ x0 cos
2θ- sin2θ = a
2y0 b2x0
2 2 2 2 2 2 sin2θ+ 2 2 cos2θa + b a + b a + b a + b
2 2 2 2 2
- b y0 = 2b kx0 + a k - 1 y0 = 2b x0tanθ
2 2
yQ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +
a y0 tan θ- 1
a + b k + 1 a + b k + 1 a + b tan θ+ 1 a + b tan2θ+ 1 a2+ b2
= 2b
2x0sinθcosθ a
2
+ y
2
0 sin θ- cos2θ = b
2x0 a2ysin2θ- 02 2 2 2 2 2 2 2 cos2θa + b a + b a + b a + b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ xQ- a x02+ 2 + y -
b y0 = a y0Q 2+ 2 2+ 2 sin2θ+
b x0
2+ 2 cos2θ +
b x0
2+ 2 sin2θ-
a y0
a b a b a b a b a b a2+ b2 cos2θ
4 2
= b x0+ a
4y2 b2 a2b2- a2 20 = y0 + a
4y2 a2 b4+ y2 2 20 = 0 a - b
a2+ b2 2 a2+ b2 2 a2+ b2 2
(x- a)2 2
當(dāng)橢圓方程變?yōu)?2 +
y
2 = 1時(shí)，橢圓向右平移了 a個(gè)單位，圓心也應(yīng)向右平移了 a個(gè)單位，而半徑a b
a2 m- a b2 + a n ab
2+ a2m b2n
不變。故此時(shí)圓心的坐標(biāo)為
a2
， 即 ，
+ b2 a2+ b2 a2+ b2 a2+ b2 ，半徑的平方仍為
a2 b4+ y20 a2- b2
。
a2+ b2 2
ab2+ a2m 2 b2n 2 a2 b4 2 2 2∴ - + - =
+ y0 a - b Q點(diǎn)的軌跡方程為 xQ 2 2 y+ Q 2+ 2 2+ 2 2 x≠m且 y≠n 。a b a b a b
72.如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為 b，焦點(diǎn)F1、F2到直線L的距離分別為 d1、d2，那么
(1)d1d2= b2，且F1、F2在L同側(cè) 直線L和橢圓相切.
(2)d 21d2> b ，且F1、F2在L同側(cè) 直線L和橢圓相離，
(3)d d < b21 2 ，或F1、F2在L異側(cè) 直線L和橢圓相交.
: + + = = C-Ac C+Ac C
2 2 2
【證明】設(shè)L Ax By C 0，則 d1 ，d2= ∴ =
-A c
d d
A2+B2 A2+ 1 2B2 A2+B2
將L代入橢圓方程得： A2a2+B2b2 y2+ 2BCb2y+ b2C 2-A2a2b2= 0，Δ= 4a2b2A2 A2a2+B2b2-C 2
Δ< 0 A2a2+B2b2-C 2< 0 A2+B2 b2+A2c2-C 2< 0 C 2-A2c2> A2+B2 b2> 0
d1d 22> b 直線L和橢圓相離，且F1、F2在L同側(cè)。
d1d2= b2 直線L和橢圓相切，且F1、F2在L同側(cè)。
d 21d2< b 直線L和橢圓相交，或F1、F2在L異側(cè)。
2 y2
73.AB x是橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)的長(zhǎng)軸，N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N的切線與過(guò)A、B的切線交于C、a b
x2 4y2D兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是
a2
+ 2 = 1(y≠ 0).b
b b 1 1 1 sinφ
【證明】由 35：yC= sinφ 1+ cosφ ，yD= sinφ 1- cosφ ∴ y = + = +M yC yD b 1+ cosφ
sinφ = 2
b 1- cosφ bsinφ
第 31頁(yè) 共 68頁(yè)
bsinφ x + a y x2 4y2∴ y = M = MM 2 由 2a y 得 xM= acosφ，消去參數(shù) φ得M點(diǎn)的軌跡方程為： 2 + = 1 y≠ 0 D a b2
74. P(x y ) x
2
+ y
2 2 2
設(shè)點(diǎn) 0， 0 為橢圓 2 2 = 1(a> b> 0)
x y
的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓 2 + 2 = 1過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)a b a b
a2b2- (a2y2+ b2x20 0)
的任一弦，當(dāng)弦AB平行(或重合)于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí) (|PA| |PB|)max= 2 .當(dāng)弦ABb
2 2
(| | | |) = a b - (a
2y2+ b20 x20)
垂直于長(zhǎng)軸所在直線時(shí)， PA PB min 2 .a
b2x20+ a2y20- a2b2 a2b2- b2x20+ a2y20
【證明】由 43： PA PB = 2 2 2 = 。當(dāng) θ= 0即AB與橢圓長(zhǎng)軸平行b cos θ+ a sin2θ b2+ c2sin2θ
時(shí)，
a2b2- b2 2 = x0+ a
2y20
PA PB max 2 ；當(dāng) θ=
π
2 即AB與橢圓短軸平行時(shí)， PA PB b min
=
a2b2- b2x2+ a2y20 0
a2
75.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切.
【證明】同 7。
76.橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn).
【證明】同 8。
77.橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值 a+ c與 a- c.
【證明】由 8可知，F(xiàn)2處的切線長(zhǎng) F2T = a+ c- 2c= a- c，同理可證P在其他位置情況。
78.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值 a- c.
【證明】 76圖
76.如圖，由切線長(zhǎng)定理PS=PT，PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T=PF1+PF2-F1Q-F2Q= 2a-
2c，所以PS=PT= a- c
79.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) e (離心率).(注:在橢圓
焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).)
第 32頁(yè) 共 68頁(yè)
【證明】 77圖
c2+ cosφx c + c c- x
設(shè)P acosφ，bsinφ ，由 79 M a M中得到的內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)和 22中的焦半徑公式： PF =1 a+ ccosφ
= e， PF2
c- c
2cosφ
= aa- ccosφ = e
80.橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比 e.
∵ ∠ ∴ MF1 = NF1 MF2【證明】 MN平分 F1MF2 MF NF NF =
MF1 MF
NF ，同理F2I平分∠MF2N∴
MI = 2 =
2 2 2 1 NI NF2
MF1+MF2
NF +NF =
2a 1
1 2 2c
= e
81.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).
cosφ sinφ
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，則∠F1PF2外角平分線(即切線) l: a x+ y= 1，由此得外點(diǎn)b
N acosφ，0
sinφ cosφ c2 2
同理∠ ': c cosφF1PF2內(nèi)角平分線(即法線) l x- a y- sinφcosφ= 0，由此得內(nèi)點(diǎn)M a ，0b ab
∴ c
2cosφ
x aM xN= a cosφ = c
2
82.橢圓焦三角形中，橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成
比例.
c2 - cosφ c
2cosφ a
【證明】由 79中得到的內(nèi)外點(diǎn)坐標(biāo)可得：c c a = a cosφ - c ，即證。
83.橢圓焦三角形中，半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成
比例.
c2cosφ
【證明】由 79 a a中得到的內(nèi)外點(diǎn)坐標(biāo)可得：cosφ c- a = c cosφ - c ，即證。
84.橢圓焦三角形中，過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線，則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半
徑所在直線平行.
【證明】同 5。
85.橢圓焦三角形中，過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線，則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半
軸的長(zhǎng).
【證明】同 5。
86.橢圓焦三角形中，過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線，垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓
和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn).
【證明】由 5，7即證。
第 33頁(yè) 共 68頁(yè)
87.橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 e.
cosφ
cosφ sinφ
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，則∠F1PF a2外角平分線(即切線) l: a x+ y= 1，tanβ=-b sinφ =
b
- batanφ
由 50 π得：tan 2 -
bcsinφ csinφ
α = cotα= 2 = ，tanα= bb b csinφ 則
b2 b2c2sin21 φ 2 2
cos2α 2tan2α+ 1 tan β+ 1 a2 2 + 1 + c sin φtan φ a2tan2φ b2e2cos2φ+ c2sin2= = = = = φ
cos2β 1 tan2α+ 1 b2 + b21 + c2sin2φ b2+ c2sin2φtan2β+ 1 c2sin2φ
2 2 2 2 2
= b e - b e sin φ+ a
2e2sin2φ 2 2= b e + c
2e2sin2φ
2 2 2 2 2 2 = e
2 cosα = e
b + c sin φ b + c sin φ cosβ
88.橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.
【證明】由 4即證。
89.橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.
【證明】同 4。
90.橢圓焦三角形中，過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交，則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩
焦點(diǎn).
【證明】由 71：y bC= sinφ 1+ cosφ y =
b
，D sinφ 1- cosφ ，F(xiàn)1 -c，0 ，F(xiàn)2 c，0
b2 1- cos2φ 2∴ = + - - = ∴ = + - - b 1- cos
2φ
CF1 F1D a c a c 2 0同理： CF2 F2D a c a c =sin φ sin2φ
0
∴CF1⊥F1D，CF2⊥F2D，即兩焦點(diǎn)在以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓上。
x2 y291.已知橢圓 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0) (
b b
包括圓在內(nèi))上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作直線 y= x及 y=- x
a b a a
的平行線，與 x軸于M，N，與 y軸交于R，Q.O為原點(diǎn)，則：
(1)|OM |2+ |ON |2= 2a2；
(2)|OQ|2+ |OR|2= 2b2.
【證明】設(shè)P acosφ，bsinφ ，則 l1:y- bsinφ= ba x- acosφ
b
y= a x+ b sinφ- cosφ
b cosφ- sinφ 2
同理 l2:y=- ba x+ b sinφ+ cosφ ∴ OM
2= = a2 b cosφ- sinφ
2= a2 1- sin2φ
a
同理 ON 2= a2 cosφ+ sinφ 2= a2 1+ sin2φ ∴ OM 2+ ON 2= a2 1+ sin2φ + a2 1- sin2φ = 2a2
同理 OQ 2+ OR 2= b2 1+ sin2φ + b2 1- sin2φ = 2b2
92.過(guò)平面上的P點(diǎn)作直線 l1:y= ba x及 l2:y=-
b
a x的平行線，分別交 x軸于M，N，交 y軸于R，Q. (1)若
2 2
|OM |2+ |ON |2= y2a2 x，則P的軌跡方程是 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0). (2)若 |OQ|
2+ |OR|2= 2b2，則P的軌
a b
x2 + y
2
跡方程是 2 2 = 1(a> 0，b> 0).a b
b b b b
【證明】設(shè)P x0，y0 ，則 l1:y= a x+ y0- a x0，l2:y=- a x+ y0+ a x0
第 34頁(yè) 共 68頁(yè)
b 2
∴ 2= a
x0- y0 = bx0- ay0
2 b
2 ax0+ y0
2 bx
OM ON = = 0
+ ay0 2
b ，b b b a a
2 2 2 2
∴ bxOM 2+ ON 2= 0
- ay0 2+ bx0+ ay0
2 2 b x + a y
= 0 0 = 2a2b b b2
2 b 2 2 2OQ = x - y OR 2= b x + y ∴ OQ 2+ OR 2= b x - y + b
2
同理： a 0 0 ， a 0 0 a 0 0 a x0+ y0 =
2
2 b x2+ y2 = 2b2a2 0 0
x2 y2
均推出P點(diǎn)的軌跡方程為 2 + 2 = 1。a b
2 y2
93.點(diǎn)P x為橢圓
a2
+ 2 = 1(a> 0，b> 0) (包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)P引 x軸、y軸的b
平行線，交 y軸、x軸于M，N，交直線 y=- ba x于Q，R，記△OMQ與△ONR的面積為S1，S2，則：
S +S = ab1 2 2 .
【證明】∵P x，y ，PMQ x軸，PNR y軸∴M 0，y ，N x 0 Q - a， ， y，yb ，R x
b
，- a x
2
∴S = 1 y a ayy= 1 S = 1 x b x= 1 bx
2 2 2 2 2
1 2 2 ， 2 2 a 2 a ∴S +S =
1 ay
1 2 2 + bx = ab x +
y = ab
b b b a 2 a2 b2 2
94.點(diǎn)P b為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P引 x軸、y軸的平行線，交 y軸、x軸于M，N，交直線 y=- a x于Q，R，
2 y2
記△OMQ與△ONR ab x的面積為S1，S2，已知S1+S2= 2 ，則P的軌跡方程是 2 + 2 = 1(a> 0，b> 0).a b
2 2
【證明】設(shè)P x0，y0 ，則 xQ=- a y ，y =- b
ay bx
x ∴S +S = 1 0 + 0 = ab 由此得P點(diǎn)的軌跡方
b 0 R a 0 1 2 2 b a 2
x2 y2
程為 2 + 2 = 1。a b
2
95. 2b過(guò)橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦(通徑)是最短的弦，長(zhǎng)為 a ，過(guò)焦點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸．
96.過(guò)原點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a，最短弦為短軸長(zhǎng) 2b.
2 2 2 2
97. x與橢圓 2 +
y
2 =
y
1(a> b> 0) x有共焦點(diǎn)的橢圓方程為 2 + 2 = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a + λ b + λ
y2 2 2 2
98. x與橢圓 2 + 2 = 1( > > )
y
a b 0 x有共焦點(diǎn)的橢圓方程為 2 + 2 = 1 (a> b> 0，λ>-b
2)．
a b a + λ b + λ
99.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P (x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若 r1= |PF1|，r2
= |PF2|，∠F1PF2= θ，△PF1F2的面積為S，則
x2 y2
在橢圓 2 + 2 = 1(a> b> 0)中：a b
第 35頁(yè) 共 68頁(yè)
①當(dāng) r1= r2時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
r2+ r2- 4c2= 1 2 r1+ r
2
2 - 2r 2 2 2 2 2 2 2 2cosθ 1r2- 4c 4b2r r = 2r r = 2r r - 1=
2b - 1≥ 2b 2b - a b - cr + r 2 - 1= 2 = 2
1 2 1 2 1 2 r1r2 1 22 a a
當(dāng)且僅當(dāng) r1= r2時(shí)，等號(hào)成立.
②S= 12 |PF ||PF
sinθ 2 2 θ
1 2|sinθ= c|y0| = + b = b tan 2 ，當(dāng) |y0| = b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，1 cosθ
最大值為 bc；
③△PF1F2的周長(zhǎng)為 2(a+ c)．
100.AB 1 1 2a為過(guò)F的焦點(diǎn)弦，則 + =
FA FB b2
【證明】
y
A M
b
D
O F C E x
N
B
x2 y2
2 + 2 = 1(a> b> 0)a b
由△ACF △BDF AF CF，BF = DF =
FE-CE
BN-FE
2 2
EF= ac - c=
b
c 看成 p，
AM= AF
由橢圓第二定義知： e BN= BFe
AF
∴ AF FE-CE
p- e ep-AF
BF = BN-FE = BF =- p BF- epe
去分母，得：2AF BF= ep AF+BF
∴ 1 + 1 = 2 = 2 2a
FA FB ep c b2
=
b2a c
2 y2
101. l C : x直線 為橢圓 2 + 2 = 1 a> b> 0 的切線，焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2到切線的距離分別為 d1，d2，則有結(jié)論：a b
d d = b21 2
y
d1
d2 l
F1 O F2 x
【證明】設(shè)切點(diǎn)為 x0，y0 ，利用替換法則可以快速求出切線方程為 b2x x+ a20 y0y= a2b2
于是左右焦點(diǎn)到直線的距離分別為
第 36頁(yè) 共 68頁(yè)
2
= -b x0c- a
2b2 = b
2x0c- a2b2 d1 ，d
b4x2+ a4y2 2 40 0 b x20+ a4y20
= a
4b4- b4x2 2
d d 0
c
則 1 2 b4x2+ a4y20 0
因?yàn)?b2x x+ a2y y= a2b2和 a2= b2+ c20 0
a4b4- b4x2c2 a4b2- a2b2x2= 0 = 2 0+ b
4x2
d d b 0
= b21 2 b4x2 4 2 40+ a y0 b x2+ a4b20 - a2b2x20
2 2
102.已知橢圓 Γ: x2 +
y
2 = 1 a> b> 0 的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2.橢圓 Γ在點(diǎn)P處的切線為 l，Q∈ l.且滿(mǎn)a b
足∠AQF1= θ 0< θ< π2
a
，則點(diǎn)Q在以C 0，±ccotθ 為圓心， 為半徑的圓上.
sinθ
Q y
θ
P
F1 O x
2 2 2 2
103. x橢圓C : 2 +
y = 1 a> b> 0 Γ: x - y2 與雙曲線 2 2 = 1 a> 0，b> 0 的公共焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，Pa1 b1 a2 b2
b2- b2
為兩條曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則 cos∠F PF 1 21 2= b21+ b22
【證明】
第 37頁(yè) 共 68頁(yè)
六、雙曲線的二級(jí)結(jié)論
1. PF1 - PF2 = 2a
【證明】雙曲線第一定義。
x2 y22.標(biāo)準(zhǔn)方程 -
a2 b2
= 1
【證明】由定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。
PF1 3. = e> 1
d1
【證明】雙曲線第二定義。
4.點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.
【證明】設(shè)P(x0，y0)在第一象限，切線PT (即 l)的斜率為 k，PF1所在直線 l1斜率為 k1，PF2所在直線 l2
k - k
斜率為 k2，PF PT
1 2
1與 的夾角為 α，PF2與PT的夾角為 β。由兩直線夾角公式 tanθ= + 得：1 k1k2
y0 b2x0
= k- k
- 2 2 2
1 x + c = 0 a y0 = b x0- a2y20+ b2x 2 2 2 2 2tanα 0c a b + b cx0 b a + cx0 1+ kk b2x y a2 = = =1 1+ 0 0 x0y0+ a2cy 2 20+ b x0y0 c x y 2 20 0+ a cy0 cy0 a + cx0
a2y0 x0+ c
b2
c y0
b2x0 - y0k- k a2y x0- c 2 2= 2 = 0 = b x0- a2y2- b2x 2 2 2 2 2tanβ 0 0c1+ kk2 + b2x0 y0 a2x y - a2cy + b2x y = a b - b cx0 b a - cx0 c2 = =1 0 0 0 0 0 x0y0- a2cy 0 cy0 a2- cxx - c 0 a2y0 0
b2
c y0
∵ α π，β∈ 0，2 ∴ α= β同理可證其它情況。故切線PT平分點(diǎn)P處的內(nèi)角。
5.PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)
軸的兩個(gè)端點(diǎn).
【證明】不妨設(shè)P在第一象限。作F2關(guān)于切線PT的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，由 4可知M在PF1上，則F1M=PF1-
PF2=
FM
2a，垂足H F 1為 2M的中點(diǎn)，則OH= 2 = a，同理可證其它情況。射影H的軌跡是以實(shí)軸為直
徑的圓除去兩端點(diǎn)。
6.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.
【證明】6.設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為 d1，d2，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 d，以PQ
= d1+ d2 = PF+FQ r為直徑的圓的半徑為 r，則 d 2 2e = e < r，故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交。
7.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.
= = PF2 = 2a+ PF 【證明】7. 1如圖，兩圓圓心距為 d OM 2 2 = a+
PF1
2 = a+ r，故兩圓外切。
第 38頁(yè) 共 68頁(yè)
7圖
8.設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓必切于與P在同側(cè)的頂點(diǎn).
【證明】 8圖
8.如圖，由切線長(zhǎng)定理： F1S + F1T = PF1 - PF2 + F1F2 = 2a+ 2c， F1S = F1T = a+ c
而 F1T = a+ c= F1A2 ，T與A2重合，故內(nèi)切圓與 x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。
9. x
2 y2
雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(-a，0)，A2(a，0)，與 y軸平行的直線交雙曲線于a b
2 y2
P1、P2時(shí)A1P1與A2P
x
2交點(diǎn)的軌跡方程是 + = 1.a2 b2
btanφ
【證明】9.設(shè)P1 asecφ，btanφ ，P2 asecφ，-btanφ ，則A1P1:y= x+ a ，A2P2:y=a secφ+ 1
btanφ
x- a
a 1- secφ
2 y2
則 xP= acosφ，y= bsinφ∴P x點(diǎn)的軌跡方程為 2 + = 1a b2
2 y2( x x y y10.若點(diǎn)P0 x y ) x - = 1(a> 0 b> 0) P 0 00， 0 在雙曲線 2 2 ， 上，則在點(diǎn) 0處的切線方程是 2 - = 1.a b a b2
【證明】證明一:
2 2
∵P0(
y
x0，y
x
0)在雙曲線 a2
-
b2
= 1上
∴ x
2 2
0 - y0 = 1 x
2 2
- y = 1 2x

2 2 ，對(duì) 2 2 求導(dǎo)得： 2 -
2yy
a b a b a b2
= 0

2x 2y y
將P (x y ) 0 0 00 0， 0 代入得：a2
- = 0
b2
2
∴ y = b x0
a2y0
2 2 2
∴切線方程為 y- y0=
b x0 - x x y0y x y02 x x0
0 0
即 2 - 2 = 2 - 2 = 1a y0 a b a b
證明二:
第 39頁(yè) 共 68頁(yè)
2 y2
11.若P0(x y x0， 0)在雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)外，則過(guò)P0作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)a b
x x y y
弦P1P
0 0
2的直線方程是 a2
- 2 = 1.b
【證明】11.設(shè)P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ，
x x
10 0 1 - y0y1 = x0x2 y0y1 2由 得： 2 2 ， 2 - 2 = 1，a b a b
x0x y0y
因?yàn)辄c(diǎn)P1，P2在直線P1P2上，且同時(shí)滿(mǎn)足方程 2 - 2 = 1，a b
: x0x y0y所以P1P2 - = 1a2 b2
x2 y212.若AB是雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則 ka b OM

k b
2
AB= 2 .a
【證明】證明一: 點(diǎn)差法
設(shè)A x1，y1 ，B x2，y2 ，M x0，y0
則有
x2 2
1
y1
2 - 2 = 1 ①a b
x2 22 - y2 = 1 ②a2 b2
2
- x1- x
2
2 - y
2
1- y22
① ②作差得： = 0
a2 b2
x1- x2 x1+ x2 - y1- y2 y1+ y2 2 2 = 0a b
= y1- y2 = b
2 x 2 2
k 1
+ x2 b x0 b
AB x - x a2
= =
1 2 y + y a21 2 y0 a2kOM
b2 kAB kOM= a2
2 y2 x x y y
13. x 0 0若P0(x0，y0)在雙曲線 2 - 2 = 1(a> 0，b> 0)內(nèi)，則被P0所平分的中點(diǎn)弦的方程是a b a2
- =
b2
x2 y20 0
a2
- 2 .b
b2x
【證明】由 12 0可得：y- y0= 2 x- x0 a
2y 2 2 2 2 2
a y 0
y- a y0- b x0x+ b x0= 0
0
2 2
b2x x- a2y y= b2x2- a2 x x0 0 0 y2 00 2 -
y0y = x02 2 -
y0
a b a b2
2 y2 2 2
14.若P0(x x0，y0)在雙曲線 2 - = 1(a> 0，b> 0)
x y x0x
內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 - = -
a b2 a2 b2 a2
y0y .
b2
y- y0 y b2
【證明】14..由 12可得： = a2y2- a2 2x- x x 2 y0y- b x
2+ b2x0x= 0
0 a
2 2
b2x2- a2y2= b2x x- a2 y x x y y0 y0y x 0 0a2
- = -
b2 a2 b2
2 y2
15.若PQ x 1 1 1 1是雙曲線 2 - 2 = 1(b> a> 0)上對(duì)中心張直角的弦，則 2 + 2 = 2 - 2 (r1= |OP|，r2=a b r1 r2 a b
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|OQ|).
btanβ
【證明】15.設(shè)P asecα，btanα ，Q asecβ，btanβ ，則 kOP kOQ= btanαasecα =-1∴ sinαsinβ=asecβ
2
- a
b2
1 + 1 = 1 1 cos
2α cos2β
r2 r2 a2sec2α+ b2 2
+ = +
1 2 tan α a2sec2β+ b2tan2β a2+ b2sin2α a2+ b2sin2β
a2cos2α+ b2sin2βcos2= α+ a
2cos2β+ b2s

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