資源簡介

高中數學常用解題公式結論
第1章 集合與邏輯關系 2
第2章 不等式 2
第3章 函數 3
第4章 數列 6
第5章 三角函數與解三角形 8
第6章 平面向量與復數 11
第7章 立體幾何 13
第8章 直線與圓的公式 15
第9章 解析幾何 17
第10章 概率與統計 20
第11章 排列組合、二項式定理、分布列 21
第12章 導數 23
高中數學公式與技巧
第1章 集合與邏輯關系
1、有限集合子集個數：子集個數：個，真子集個數：2n－1個；非空真子集有2n－2個
2、集合里面重要結論：
①；②；③ ④
3、同時滿足求交集，分類討論求并集
4、充要條件
（1）若且，則是的充分不必要條件；
（2）若且，則是的必要不充分條件；
（3）若且，則是的的充要條件(也說和等價)；
（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.
5.全稱量詞命題的否定為，.
存在量詞命題的否定為.
第2章 不等式
1.四個基本不等式鏈：如果，(當且僅當“”時取“”).
2.二維形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，等號成立．
3. 二元權方和不等式
已知，則有：（當且僅當時，等號成立）.
第3章 函數
1、幾個近似值：
ln2≈0.7 ln3≈1.1 ln4≈1.4 ln5≈1.6 ln6≈1.8 ln7≈2.0
2、指數公式：①，，；②，，；
③，，；④，，．
3、對數公式：①；；其中且；②(其中且，)；
③對數換底公式：； ④； ⑤；
⑥，； ⑦和； ⑧；
且
圖象
4、單調性的快速法：①.增＋增→增；增—減→增；②.減＋減→減；減—增→減；
③.乘正加常，單調不變： ④.乘負取倒，單調不變：
5、奇偶性的快速法：①.奇奇→奇；偶偶→偶；
②.奇奇→偶；偶偶→偶；奇偶→奇；
6、圖像的變換
(1)平移變換
（2）對稱變換
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
(3) 伸縮變換
①y＝f(x)→y＝f(ax)；
②y＝f(x)→y＝af(x)．
(4)翻折變換
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
7、函數有零點 函數無零點
8、常見的奇偶函數模型：
奇函數：①函數或函數．②函數．
③函數或函數
④函數或函數． ⑤sinx
偶函數：①函數．②函數．③函數類型的一切函數．
④x的偶次方 ⑤cosx
函數周期性：的周期；差為定值，則為周期。
(1) f(x＋a)＝f(x)，T＝a． (2) f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a． (3) f(x＋a)＝，T＝2a． (4) f(x＋a)＝－，T＝2a．
10、函數對稱性：的對稱軸；和為定值，則為對稱。
若函數關于點對稱，則．
推論：對稱性+周期性=奇偶性；奇偶性+周期性=對稱性
11、兩個重要不等式：麥克勞林展開
12、洛必達法則：(當時使用)
13、恒成立與存在問題：
（1）若函數在區間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；
不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；
（2）若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：
不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；
不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；
（3）對于任意的，總存在，使得；
對于任意的，總存在，使得；
若存在，對于任意的，使得；
若存在，對于任意的，使得；
14、證明思路：思路1：（常規首選方法）
思路2：（思路1無法完成）
15、零點存在性定理
如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根．
第4章 數列
等差數列 等比數列
定義 (公差) () 定義：(公比) ()
通項公式an an＝a1＋(n－1)d. an＝a1qn－1
前n項和Sn
性質 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*) 則ak＋al＝am＋an. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an
中項 若三個數，a，A，b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝ 如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項. 此時G2＝ab
推論 S2n－1＝(2n－1)an S2n＝n（an＋an+1)
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 關系 數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 也是等差數列．公差為md 當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.
數列單調性 ①若,d<0且滿足,則最大 ②若,d>0且滿足,則最小.
二、數列通項公式an求法
⑴ 前n項和法：
⑵ 累加法：形如
⑶ 累乘法：形如
⑷ 構造法：形如，又叫待定系數法，構成一個新的等差或等比數列
⑸ 倒數法：形如
二、數列前n項和Sn 求法
1、裂項相消法1：若，則有
裂項相消法2：若，則有
裂項相消法3：若，則有
裂項相消法4：若，則有
裂項相消法5
裂項相消法6
2、整體裂項：（1） =－]
（2）=－
3、錯位相減法求和通式：形式：或（其中，為等差數列，為等比數列）
將上式兩邊同乘以得：
兩式相減得：
第5章 三角函數與解三角形
角度
弧度 0
sin α 0 0
cos α 1 0 0 1
tan α 0 1 不存在 0 不存在 0
1．弧度制
（1）角度制和弧度制的互化：，，．
（2）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
2、三角函數的定義：正弦：；余弦：；正切：；其中：
3、同角三角函數的基本關系
（1）平方關系： 知一求二sinθ、cosθ、tan θ；平方搭橋(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
（2）商數關系：； 弦切互化（分式齊次，分子分母同除以cosθ）
4、誘導公式：倍加減名不變，符號只需看象限；半加減名要變，符號還是看象限。
5、和差化積公式：①（傘科科傘，符號不反）
②（科科傘傘，符號相反）
③（上同下相反）
6、二倍角公式：① ②
③
7、降冪公式：①. ②.③.
8、輔助角公式:
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
周期與對稱性之間的關系：相鄰兩對稱中心（兩對稱軸）間隔半個周期T；相鄰對稱中心與對稱軸間隔T。
三角函數的圖像變換 y＝sin x經過圖像變換得到y＝2sin＋1： 方法一：①向左平移，得到y＝sin；②橫坐標縮短到原來的倍，得到y＝sin； ③縱坐標伸長到原來的2倍，得到y＝2sin；④向上平移1個單位長度，得到y＝2sin＋1． 方法二：①橫坐標縮短為原來的倍，得到y＝sin 2x；②向左平移，得到y＝sin＝sin；③④同上
已知函數圖像三角函數的解析式 (1) A＝，(2)B＝. (3)ω：先求周期T，再由T＝得ω. 把A、B、ω代入y＝Asin(ωx＋φ)＋B中 (4) φ：代特殊點：上升點（）、最高點（）下降點（）最低點（） 即得統一的形式：y＝Asin(ωx＋φ)＋B 三角函數圖像化簡思路： 二次化一次（2倍角、降冪公式），一次再統一（輔助角、兩角和差） 即化成統一的形式： y＝Asin(ωx＋φ)＋B
9、正弦定理：
邊化角：a＝2Rsin A；b＝2Rsin B； c＝2Rsin C
10、余弦定理：①
②③
11、面積公式：
12、三角形中一個角換為另兩個角①
②；
③
第6章 平面向量與復數
1、向量的幾何運算和坐標運算
運算 幾何法 坐標法（，，
加法 三角形法則平行四邊形法則
減法 三角形法則
數乘 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；當時，
平行 （共線） 垂直 若且，則一定存在唯一的實數，使． ，
數量積 （點乘）
夾角
模長 ．
投影 向量在方向上的投影數量
2、中線向量定理與共線定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
證明A、B、C三點共線兩種方法：(1)兩個向量共線且有一個公共點A；
(2)
3、奔馳定理與向量四心：
（1）重心．若點G是的重心，則或 （其中P為平面內任意一點）．
（2）垂心．若H是的垂心，則．
（3）內心．若點I是的內心，則．
（4）外心．若點O是的外心，則
或
4、復數
（1）；
（2） ，，，
（3）復數相等：且.
（4）共軛復數：與共軛.
（5）復數的模：記作或，即.
（6）復數復平面內的點.
（7）除法：.
第7章 立體幾何
1、線線角向量法公式：
2、線面角：(1)向量法公式：；(2)幾何法公式：
3、二面角：(1)向量法公式： ；(2)幾何法公式（垂面法）：
4、點面距：(1)向量法公式：；(2)幾何法公式（等體積法）：
5、多面體的內切球半徑：
6、長方體的外接球半徑：
7、直棱錐的外接球半徑：正棱錐的外接球半徑：
側面展開圖 側面積公式 表面積 體積
圓柱 S圓柱側＝2πrl 棱柱 圓柱 S表＝S側＋2S底 V＝Sh
圓錐 S圓錐側＝πrl 棱錐 圓錐 S表＝S側＋S底 V＝Sh
圓臺 S圓臺側＝π(r1＋r2)l 棱臺 圓臺 S表＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
棱柱、棱錐、棱臺求表面積需要求各個面的面積--不外乎三角形面積，平行四邊形面積 球 S＝4πR2 V＝πR3
8、正三角形的性質：高：，面積：
9、立體幾何第（1）問證明思路及性質、判定定理
平行
垂直
角 異面直線角：平移 線面角：作平面垂線（由面面垂直得線面垂直） 二面角：作三垂線（由等體積法求垂線長）
第8章 直線與圓的公式
直線
斜率與坐標 （、）. 斜率與傾斜角.
直線的方向向量（1，k）
直線的五種方程（熟練掌握兩點和截距式、一般式）
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；②；
到角公式
.(，,)
點到點的距離公式
點到直線的距離 (點,直線：).
兩條平行線間距離之間的距離是：.
圓
圓的三種方程
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種，若，
則點在圓外;點在圓上;點在圓內.
直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:
;;.
其中.
兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
圓的切線方程
圓在處的切線方程
()()+ () ()=r 2
相交弦方程：兩圓相交的公共弦方程
. 0
解析幾何
一、圓錐曲線的統一定義
平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。
橢圓 雙曲線
第一定義 到兩定點F1 ,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡 到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡
軌跡條件 ｜PF1｜+｜PF2｜=2a, ｜F1F2｜< 2a ｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=2a, ｜F1F2｜＞2a
圖形 焦點在x軸 焦點在y軸 焦點在x軸 焦點在y軸
標準方程 焦點在x軸 (>0) 焦點在y軸（a>b>0） 焦點在x軸 (a>0,b>0) 焦點在y軸 (a>0,b>0）
范圍 ─axa，─byb ─aa，─bxb |x| a，yR |y| a，xR
中心 原點O（0，0）
頂點 焦點在x軸 B1(0,b),B2(0,-b) 焦點在y軸 焦點在x軸 焦點在y軸
對稱軸 x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b 長半軸為a，短半軸為b x軸，y軸; 實軸長2a, 虛軸長2b. 實半軸為a，虛半軸為b
焦點 焦點在x軸 焦點在y軸 焦點在x軸 焦點在y軸
焦距 2c （c=） 2c （c=）
a,b,c關系 c2=b2+a2
離心率 （離心率越大，橢圓越扁） （離心率越大，開口越大）
漸近線 焦點在x軸 焦點在y軸
通 徑
準 線 x=± 準線垂直于長軸，且在橢圓外. y=± 準線垂直于長軸，且在橢圓外. x=± 準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側. y=± 準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.
切線方程 已知切點 已知切點
焦點三角形 .
共焦點方程
共離心率方程
拋物線定義：到定點與定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.離心率,焦點弦長
拋物線的圖像：在題目中，與焦點有關就用定義！
標準方程
謹記：
焦點坐標 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
二、圓錐曲線常用二級結論匯總
1、橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于兩點，則
的周長=4a
2、點差法的斜率公式（垂徑定理)：
3、通用弦長公式：,
4、圓的弦長公式：
5、焦半徑公式（帶坐標）：
(1)橢圓中：；（左加右減）(2)雙曲線：(3)拋物線：
6、橢圓的焦點三角形面積： 雙曲線焦點三角形面積：
7、雙曲線的焦漸距為：(虛半軸)
8、橢圓、雙曲線通徑公式： 拋物線的通徑公式：
9、焦點弦公式：在橢圓和雙曲線中
拋物線焦點弦性質：
10、圓錐曲線的離心率公式：
11、解析幾何中的向量問題：,
12、向量與夾角問題：(1)鈍角;(2)銳角;
(3)直角（）
13、向量與圓的問題：與以為直徑的圓的位置關系：(1)在圓內：鈍角;
(2)在圓上：直角;(3)在圓外：銳角;
14、坐標軸平分角問題(傾斜角互補）：
15、橢圓、雙曲線的第三定義（周角定理）若 A,B 關于原點O 對稱，P 是橢圓上異于 A,B 的任意一點，則有（焦點在x軸）
第10章 概率與統計
1、頻方圖的頻率 =小矩形面積：；頻率=頻數/總數
2、頻方圖的頻率之和：；同時 ；
3、頻方圖的眾數：最高小矩形底邊的中點。
4、頻方圖的平均數：
5、頻方圖的中位數：從左到右或者從右到左累加，面積等于0.5時的值。
6、頻方圖的方差：
7、古典概型公式： 幾何概型公式：
8、互斥事件概率公式：
9、對立事件概率公式：
10、獨立事件概率公式：
11、獨立事件至少有一個發生概率公式：
12、條件概率公式：條件概率是指事件A在事件B發生的條件下發生的概率。若只有兩個事件A，B，那么，P（A|B）=P（AB）/P（B）
13、樣本相關系數的性質
①|r|≤1.
②當r>0時，稱成對樣本數據正相關；當r<0時，稱成對樣本數據負相關．
③當|r|越接近于1時，成對樣本數據的線性相關程度越強；當|r|越接近于0時，成對樣本數據的線性相關程度越弱．特別地，當|r|＝1時，說明成對樣本數據都落在一條直線上．
第11章 排列組合與二項式定理
1、計數原理 1．加法原理：做一件事有n類辦法，則方法數N=++……+ 2．乘法原理：做一件事分n步完成，則方法數N=
2、排列組合 排列定義：n中取m，m排一排（有順序） 排列公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 注意：，, 組合定義：n中取m（無順序） 公式：C＝＝＝ 注意：，，
二項式定理 ⑴ 二項展開式共項： ⑵ 展開式中的通項公式： （第項） ⑶ 二項式系數：， 二項式系數之和：； 偶（奇）數項的二項式系數之和相等，即 ⑷ 中間項的二項式系數最大. 當兩項的系數均為1時，各項的系數等于二項式系數。 當是偶數時，中間項僅有一項為；當是奇數時，中間項有兩項和. ⑸ 各項的系數：是指未知數前面的系數。 賦值法：① 令； ② 令； （各項的系數之和） ③ 令； 由①③得 偶次項系數和：(②＋③) 即: 奇次項系數和：(②－③) 即：
離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的均值與方差 變量Xx1x2…xi…xn概率Pp1p2…pi…pn
隨機變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示 分布列的性質①: pi0，（i＝1,2,3…n） ②: p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1. (1)期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn (2)方差： 期望方差的性質：(1) E(aX＋b)＝aE(X)＋b (2) D(aX＋b)＝a2D(X) (3) D ()＝E()－ 2．常見的離散型隨機變量的分布列 X01P1－pp
(1)兩點分布: 其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
(2)超幾何分布：在含有個特殊元素的個元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個數記為，則有 E（X）= n (3)二項分布：在次獨立重復試驗中，事件發生的概率為，設在次試驗中事件發生的次數為隨機變量，則有 ，即：
若隨機變量X服從二項分布X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
第12章 導數
常函數 f(x)＝c(c為常數) f ′(x)＝0
冪函數 f(x)＝xα f ′(x)＝αxα－1
三角函數 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
指數函數 f(x)＝ax f ′(x)＝axln a
f(x)＝ex f ′ (x)＝ex
對數函數 f(x)＝logax f ′(x)＝
f(x)＝ln x f ′(x)＝
1.過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
2．導數的四則運算法則
① = k f′(x) 常數不用導
② 各自導各自
③ 前導后不導+后導前不導
④
3．復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：

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