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第4節　科學測量：用單擺測量重力加速度
[實驗目標]　1.用單擺測量重力加速度．　2.會使用秒表測量時間．　3.能分析實驗誤差的來源，并能采用適當方法減小測量誤差．
一、實驗器材
長約1 m的細線、開有小孔的金屬小球、帶有鐵夾的鐵架臺、刻度尺、秒表、游標卡尺．
二、實驗原理與設計
單擺做簡諧運動時，由周期公式T＝2π，可得g＝.因此，測出單擺擺長和振動周期，便可計算出當地的重力加速度．
用秒表測量30～50次全振動的時間，計算平均做一次全振動的時間，得到的便是振動周期．
三、實驗步驟
1．取長約1 m的細線，細線的一端連接小球，另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，讓擺球自由下垂，如圖所示．
實驗裝置示意圖
2．用刻度尺測擺線長度l線，用游標卡尺測小球的直徑d.測量多次，取平均值，計算擺長l＝l線＋.
3．將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5°的位置并由靜止釋放，使其在豎直面內振動．待振動穩定后，從小球經過平衡位置時開始用秒表計時，測量N次全振動的時間t，則周期T＝.如此重復多次，取平均值．
4．改變擺長，重復實驗多次．
5．將每次實驗得到的l、T代入g＝計算重力加速度，取平均值，即為測得的當地重力加速度．
四、數據處理
1．平均值法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．設計如表所示實驗表格．
實驗次數 擺長l/m 周期T/s 加速度g/(m·s－2) g的平均值
1 g＝
2
3
2.圖像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸，其斜率k＝.由圖像的斜率即可求出重力加速度g.
五、注意事項
1.選擇材料時應選擇細而不易伸長的線，比如用單根尼龍絲、絲線等，長度一般不應短于1 m，小球應選用密度較大的金屬球，直徑最好不超過2 cm.
2.單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時擺線下滑、擺長改變．
3.注意擺動時控制擺線偏離豎直方向不超過5°.
4.擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺．
5.計算單擺的振動次數時，應以擺球通過最低點時開始計時，以后擺球應從同一方向通過最低點時計數，要多測幾次全振動的時間，用取平均值的辦法求周期．
六、誤差分析
1.本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即：懸點是否固定，是單擺還是復擺，球、線是否符合要求，振動是圓錐擺還是同一豎直平面內的振動，以及測量哪段長度作為擺長等．
2.本實驗的偶然誤差主要來自時間(單擺周期)的測量上．因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，最好采用倒數計時計數的方法，不能多記或漏記振動次數．為了減小偶然誤差，應進行多次測量后取平均值．
3.本實驗中長度(擺線長、擺球的直徑)的測量時，讀數讀到毫米位即可，時間的測量中，秒表讀數的有效數字的末位在“秒”的十分位即可.
【例1】　(1)某同學在探究影響單擺周期的因素時有如下操作，請判斷是否恰當(選填“是”或“否”)．
①把單擺從平衡位置拉開約5°釋放． (　　)
②在擺球經過最低點時啟動秒表計時． (　　)
③把秒表記錄擺球一次全振動的時間作為周期． (　　)
(2)該同學改進測量方法后，得到的部分測量數據見表．用螺旋測微器測量其中一個擺球直徑的示數如圖，該球的直徑為________mm.根據表中數據可以初步判斷單擺周期隨________的增大而增大．
數據組編號 擺長/mm 擺球質量/g 周期/s
1 999.3 32.2 2.0
2 999.3 16.5 2.0
3 799.2 32.2 1.8
4 799.2 16.5 1.8
5 501.1 32.2 1.4
6 501.1 16.5 1.4
[解析]　單擺做簡諧運動要求擺角小，單擺從平衡位置拉開約5°釋放滿足此條件；因為最低點位置固定、容易觀察，所以在擺球經過最低點時啟動秒表計時；擺球一次全振動的時間太短，不易讀準，誤差大，應測多個周期的時間求平均值；由表中數據可以初步判斷單擺周期隨擺長的增大而增大．
[答案]　(1)①是　②是　③否
(2)20.685(20.683～20.687均正確)　擺長
【例2】　在做“用單擺測定重力加速度”的實驗時，用擺長l和周期T計算重力加速度的公式是g＝________.若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖所示，則單擺擺長是________m．若測定了40次全振動的時間為75.2 s，單擺擺動周期是________．
為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應的T值．現將測得的六組數據標示在以l為橫坐標，以T2為縱坐標的坐標系上，即圖中用“·”表示的點，則：
(1)單擺做簡諧運動應滿足的條件是________．
(2)試根據圖中給出的數據點作出T2和l的關系圖線，根據圖線可求出g＝________m/s2.(結果取兩位有效數字)
[解析]　由T＝2π，可知g＝.
由圖可知：擺長l＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m.
T＝＝1.88 s.
(1)單擺做簡諧運動的條件是擺角小于5°.
(2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側，則直線斜率k＝.由g＝＝，可得g＝9.8 m/s2(9.9 m/s2也正確)．
[答案]　見解析
【例3】　甲、乙兩個學習小組分別利用單擺測量重力加速度．
(1)甲組同學采用如圖甲所示的實驗裝置．
①為比較準確地測量出當地重力加速度的數值，除秒表外，在下列器材中，還應該選用________．(用器材前的字母表示)
a．長度接近1 m的細繩
b．長度為30 cm左右的細繩
c．直徑為1.8 cm的塑料球
d．直徑為1.8 cm的鐵球
e．最小刻度為1 cm的米尺
f．最小刻度為1 mm的米尺
②該組同學先測出懸點到小球球心的距離L，然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間t.請寫出重力加速度的表達式g＝________.(用所測物理量表示)
③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點O處擺線的固定出現松動，擺長略微變長，這將會導致所測重力加速度的數值________．(選填“偏大”“偏小”或“不變”)
(2)乙組同學在圖甲所示裝置的基礎上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示．將擺球拉開一小角度使其做簡諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關系，如圖丙所示的v－t圖線．
①由圖丙可知，該單擺的周期T＝________s；
②更換擺線長度后，多次測量，根據實驗數據，利用計算機作出T2－L圖線，并根據圖線擬合得到方程T2＝4.04L.由此可以得出當地的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86，結果保留3位有效數字)
[解析]　(1)①根據T＝2π得g＝，知需要測量擺長，即擺線長和小球的直徑，擺線應選1 m左右的不可伸長的線，小球應選用質量大、體積小的金屬球，測量擺線長的米尺的最小刻度應為1 mm，故選a、d、f.
②因為T＝，則g＝＝.
③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導致測得的重力加速度偏小．
(2)①由v－t圖線可知，單擺的周期T＝2.0 s.
②由T＝2π，得T2＝L
即圖線的斜率k＝＝4.04
解得g≈9.76 m/s2.
[答案]　(1)①adf　②　③偏小
(2)①2.0　②9.76
1．某同學在做“利用單擺測重力加速度”實驗．某次用刻度尺測得擺線長為67.80 cm.用游標卡尺測得小球直徑的讀數如圖甲所示，則小球直徑為________cm；重復實驗幾次，改變擺線的長度L，用秒表測出相應的周期T，再以L為橫坐標，T2為縱坐標作圖，對應的圖像應為圖乙中的直線________(填“1”“2”或“3”)．若已知直線的斜率為k，請寫出重力加速度g的表達式________．
甲　　　　　　　　乙
[解析]　根據游標卡尺的讀數規律，直徑為1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm；
根據公式g＝
可知，對應的圖像應為圖乙中的直線“2”；
因為g＝ 斜率k＝
所以重力加速度可表示為g＝.
[答案]　1.640　2　
2．某同學探究單擺周期與擺長的關系，他用分度值為毫米的直尺測得擺線長為89.40 cm，用游標卡尺測得擺球直徑如圖甲所示，讀數為________cm，擺長為________cm.用停表記錄單擺做30次全振動所用的時間如圖乙所示，停表讀數為________s，如果測得的g值偏大，可能的原因是________(填選項前的字母)．
甲　　　　　　　乙
A．計算擺長時加的是擺球的直徑
B．將擺球和擺線平放在桌面上，拉直后用米尺測出擺球球心到擺線某點O間的長度作為擺長
C．擺線上端未牢固系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加(實驗過程中先測擺長后測周期)
D．實驗中誤將30次全振動記為31次
[解析]　游標卡尺的主尺讀數為2 cm，游標尺上第10個刻度和主尺上某一刻度對齊，所以游標尺讀數為10×0.05 mm＝0.50 mm，所以最終讀數為：2 cm＋0.050 cm＝2.050 cm；擺長為：89.40 cm＋ cm＝90.425 cm；由圖乙可知：秒表的讀數t＝57.0 s．根據T＝2π，得g＝.A項：計算擺長時用的是擺線長加擺球的直徑，則擺長的測量值偏大，重力加速度測量值偏大，故A正確；B項：用米尺測出擺球球心到擺線某點O間的長度作為擺長使擺長的測量值偏小，重力加速度測量值偏小，故B錯誤；C項：擺線上端未牢固系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加，則擺長的測量值偏小，重力加速度測量值偏小，故C錯誤；D項：實驗中誤將30次全振動記為31次，則周期的測量值偏小，重力加速度測量值偏大，故D正確．
[答案]　2.050　90.425　57.0　AD
3．某同學利用單擺測定當地重力加速度，發現單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，他仍將從懸點到球心的距離當作擺長L，通過改變擺線的長度，測得6組L和對應的周期T，畫出L－T2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個點，坐標如圖所示．他采用恰當的數據處理方法，則計算重力加速度的表達式應為g＝________.請你判斷該同學得到的實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相比，將________(填“增大”“偏小”或“相同”)．
[解析]　設擺球重心在其球心的下方x遠處
由T＝2π得，TA＝2π，TB＝2π
由以上各式可得g＝eq \f(4π2 LB－LA ,T\o\al(B)－T\o\al(,A))
由T＝2π可得L＝，可見在L－T2圖中斜率k＝，即得g＝4π2k，題中數據不改變，k也不會改變，g也不變．
[答案]　eq \f(4π2 LB－LA ,T\o\al(B)－T\o\al(,A))　相同
4．某實驗小組利用單擺測當地的重力加速度，實驗裝置如圖甲所示：
甲　　　　　　乙
(1)實驗中，發現某次測得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________(填選項前的字母)．
A．以擺球直徑和擺線長之和作為擺長來進行計算
B．單擺所用擺球質量太大
C．把(n－1)次全振動時間誤當成n次全振動時間
D．開始計時時，秒表過早按下
(2)從懸點到小球重心的距離記為擺長l，通過不斷改變擺長l的長度，該小組測得多組擺長l和對應的周期的平方T2，然后在圖乙所給的坐標系中作出了l－T2圖像，則根據圖像可求得當地的重力加速度g＝________(用圖乙中所給字母表示)．
[解析]　(1)根據T＝2π得：g＝
以擺球直徑和擺線長之和作為擺長來進行計算，則L偏大，測得的g偏大，故A正確；重力加速度與單擺所用擺球質量大小無關，故B錯誤．把(n－1)次全振動時間誤當成n次全振動時間，則周期測量值偏小，重力加速度測量值偏大，故C正確．開始計時時，秒表過早按下，則測得的T偏大，則g測量值偏小，故D錯誤．
(2)根據T＝2π得：l＝T2，則 k＝＝，解得g＝
[答案]　(1)AC　(2)
5．用單擺測定重力加速度的實驗中：
(1)應選用下列器材中的________(填選項前的字母)．
(A)半徑 1 cm 的木球
(B)半徑 1 cm 的實心鋼球
(C)1 m 左右的細線
(D)30 cm 左右的細線
(E)秒表、三角板、米尺
(2)在做“用單擺測定重力加速度”的實驗中，有人提出以下幾點建議，其中對提高測量結果精確度有利的是________(填選項前的字母)．
A．適當加長擺線
B．單擺偏離平衡位置的角度不能太大
C．質量相同、體積不同的擺球，選用體積較大的
D．當單擺經過平衡位置時開始計時，經過一次全振動后停止計時，用此時間間隔作為單擺振動的周期
(3)一端固定在房頂的一根細線垂到三樓窗沿下，某同學為了測量窗的上沿到房頂的高度， 在線的下端系了一小球，發現當小球靜止時，細線保持豎直且恰好與窗子上沿接觸．打開窗子，讓小球在垂直于窗口的豎直平面內擺動，如圖所示．
①為了測小球擺動的周期，他打開手機里的計時器，在某次小球從窗外向內運動到達最低點時數 1，同時開始計時，隨后每次小球從外向內運動到最低點依次數 2、3、4…，數到 n 時， 手機上顯示的時間為 t，則小球擺動的周期T為________；
②該同學用鋼卷尺測量出擺動中小球球心到窗上沿的距離，測得 50 cm.又測出小球擺動的周期是 4.5 s，當地的重力加速度為 9.8 m/s2，則窗的上沿到房頂的高度約為________．
[解析]　(1)單擺在擺動過程中，阻力要盡量小甚至忽略不計，所以擺球選鋼球，故B正確，A錯誤；擺長不能過小，一般取1 m左右，故C正確，D錯誤．試驗中要用到秒表測量周期，米尺測擺線的長度，三角板測擺球的直徑，故E正確．(2)單擺的擺長越長，周期越大，適當加長擺長，便于測量周期，故A正確；要減小空氣阻力的影響，應選體積較小的擺球，故C錯誤；單擺在擺角很小的情況下才做簡諧運動，則單擺偏離平衡位置的角度不能太大，一般不超過5°，故B正確；單擺周期較小，把一次全振動的時間作為周期，測量誤差較大，應采用累積法，測多個周期的時間取平均值作為單擺的周期，故D錯誤；(3)①從小球第1次通過圖中的最低點開始計時，第n次通過最低點用時t，故周期為：
T＝.
②小擺的周期為：T1＝2π，
大擺周期為：T2＝2π，其中有T＝
聯立解得h＝13.8 m.
[答案]　(1)BCE　(2)AB　(3)①　②13.8 m

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