資源簡介

§1.1　集合的概念
第1課時　集合的概念
知識點一　元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對象統稱為元素(element)，常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
3．集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的．
4．集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．
知識點二　元素與集合的關系
知識點 關系 概念 記法 讀法
元素與集合的關系 屬于 如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A a∈A “a屬于A”
不屬于 如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A a A “a不屬于A”
知識點三　常用數集及表示符號
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
第2課時　集合的表示
知識點一　列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
知識點二　描述法
一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
§1.2　集合間的基本關系
知識點一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相關概念
定義 符號表示 圖形表示
子集 如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等 A＝B
2．Venn圖
用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
3．子集的性質
(1)任何一個集合是它本身的子集，即A A.
(2)對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
知識點二　空集
1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
2．規定：空集是任何集合的子集．
§1.3　集合的基本運算
第1課時　并集與交集
知識點一　并集
知識點二　交集
第2課時　補　集
知識點　全集與補集
1．全集
(1)定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
(2)記法：全集通常記作U.
2．補集
自然語言 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作 UA
符號語言 UA＝{x|x∈U且x A}
圖形語言
§1.4　充分條件與必要條件
1.4.1　充分條件與必要條件
知識點　充分條件與必要條件
“若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
推出關系 p q p q
條件關系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的充分條件 q不是p的必要條件
定理關系 判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件 性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件
1.4.2　充要條件
知識點　充要條件
1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，就記作p q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p q，那么p與q互為充要條件．
§1.5　全稱量詞與存在量詞
1.5.1　全稱量詞與存在量詞
知識點　全稱量詞和存在量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題
命題形式 “對M中任意一個x，p(x)成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”
1.5.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
知識點　含量詞的命題的否定
p 結論
全稱量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，(x) 全稱量詞命題的否定是 存在量詞命題
存在量詞命題 x∈M，p(x) x∈M，(x) 存在量詞命題的否定是 全稱量詞命題
§2.1　等式性質與不等式性質
第1課時　不等關系與不等式
知識點一　基本事實
兩個實數a，b，其大小關系有三種可能，即a>b，a＝b，a依據 a>b a－b>0. a＝b a－b＝0. a結論 要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小
知識點二　重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
第2課時　等式性質與不等式性質
知識點一　等式的基本性質
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
知識點二　不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
§2.2　基本不等式
第1課時　基本不等式
知識點　基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
其中叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
2．變形：ab≤，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．
a＋b≥2，a，b都是正數，當且僅當a＝b時，等號成立．
思考1　不等式≥ab和≥中等號成立的條件相同嗎？
答案　相同．都是當且僅當a＝b時等號成立．
思考2　“當且僅當a＝b時，等號成立”的含義是什么？
答案　a＝b ＝ab；a＝b>0 ＝.
第2課時　基本不等式的應用
知識點　用基本不等式求最值
用基本不等式≥求最值應注意：
(1)x，y是正數．
(2)①如果xy等于定值P，那么當x＝y時，和x＋y有最小值2；
②如果x＋y等于定值S，那么當x＝y時，積xy有最大值S2.
(3)討論等號成立的條件是否滿足．
利用基本不等式求最大值或最小值時，應注意什么問題呢？
答案　利用基本不等式求最值時應注意：一正，二定，三相等．
§2.3　二次函數與一元二次方程、不等式
第1課時　二次函數與一元二次方程、不等式
知識點一　一元二次不等式的概念
定義 只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式， 叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， 其中a≠0，a，b，c均為常數
知識點二　二次函數的零點
一般地，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，
我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做二次函數y＝ax2＋bx＋c的零點．
知識點三　二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根 x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 {x|x1第2課時　一元二次不等式的應用
知識點一　簡單的分式不等式的解法
分式不等式的解法：
知識點二　一元二次不等式恒成立問題
1．轉化為一元二次不等式解集為R的情況，即
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立
2．分離參數，將恒成立問題轉化為求最值問題．
知識點三　利用不等式解決實際問題的一般步驟
1．選取合適的字母表示題目中的未知數．
2．由題目中給出的不等關系，列出關于未知數的不等式(組)．
3．求解所列出的不等式(組)．
4．結合題目的實際意義確定答案．
§3.1　函數的概念及其表示
3.1.1　函數的概念
第1課時　函數的概念(一)
知識點　函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
第2課時　函數的概念(二)
知識點一　區間
設a，b∈R，且a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞)
知識點二　同一個函數
1．前提條件：(1)定義域相同；(2)對應關系相同．
2．結論：這兩個函數為同一個函數．
知識點三　常見函數的值域
1．一次函數f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為R，值域是R.
2．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，
當a>0時，值域為，
當a<0時，值域為.
3.1.2　函數的表示法
第1課時　函數的表示法
知識點　函數的表示法
特別提醒　函數三種表示法的優缺點比較
第2課時　分段函數
知識點　分段函數
1．一般地，分段函數就是在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數．
2．分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集．
3．作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象．
§3.2　函數的基本性質
3.2.1　單調性與最大(小)值
第1課時　函數的單調性
知識點一　增函數與減函數的定義
前提條件 設函數f(x)的定義域為I，區間D I
條件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)f(x2)
圖示
結論 f(x)在區間D上單調遞增 f(x)在區間D上單調遞減
特殊情況 當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數 當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數
知識點二　函數的單調區間
如果函數y＝f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間．
第2課時　函數的最大(小)值
知識點一　函數的最大值與最小值
最大值 最小值
條件 一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足： x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈I，使得f(x0)＝M
結論 稱M是函數y＝f(x)的最大值 稱M是函數y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點的縱坐標 f(x)圖象上最低點的縱坐標
知識點二　求函數最值的常用方法
1．圖象法：作出y＝f(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數的最大(小)值．
2．運用已學函數的值域．
3．運用函數的單調性：
(1)若y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則ymax＝f(b)，　ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，則ymax＝f(a)，　ymin＝f(b)．
4．分段函數的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個．
3.2.2　奇偶性
第1課時　奇偶性的概念
知識點　函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱
奇函數 設函數f(x)的定義域為I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱
第2課時　奇偶性的應用
知識點一　用奇偶性求解析式
如果已知函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的解析式，求關于原點的對稱區間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為
(1)“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設．
(2)要利用已知區間的解析式進行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
知識點二　函數的奇偶性與單調性
1．若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a2．若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a§3.3　冪函數
知識點一　冪函數的概念
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
知識點二　五個冪函數的圖象與性質
1．在同一平面直角坐標系內函數(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．
2．五個冪函數的性質
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減 增 增 在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減
知識點三　一般冪函數的圖象特征
1．所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．
2．當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上單調遞增．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．
3．當α<0時，冪函數在區間(0，＋∞)上單調遞減．
4．冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．
5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．
§3.4　函數的應用(一)
知識點　常見的幾類函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
分段函數模型 f(x)＝
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)
§4.1　指　數
4.1.1　n次方根與分數指數冪
4.1.2　無理數指數冪及其運算性質
第1課時　n次方根
知識點一　n次方根，根式
1．a的n次方根的定義
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符號 a的取值范圍
n為奇數 R
n為偶數 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
知識點二　根式的性質
根式的性質是化簡根式的重要依據
(1)負數沒有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，記作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n為大于1的奇數)．
(5)＝|a|＝(n為大于1的偶數)．
第2課時　分數指數冪、無理數指數冪
知識點一　分數指數冪
1．規定正數的正分數指數冪的意義是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2．規定正數的負分數指數冪的意義是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
3．0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義．
知識點二　有理數指數冪的運算性質
整數指數冪的運算性質，可以推廣到有理數指數冪，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
知識點三　無理數指數冪
一般地，無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．
§4.2　指數函數
4.2.1　指數函數的概念
知識點一　指數函數的定義
一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R.
知識點二　兩類指數模型
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當a>1時為指數增長型函數模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當04.2.2　指數函數的圖象和性質
第1課時　指數函數的圖象和性質(一)
知識點　指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性質 定義域 R
值域 (0，＋∞)
過定點 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
函數值的變化 當x<0時，00時，y>1 當x>0時，01
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
對稱性 y＝ax與y＝的圖象關于y軸對稱
第2課時　指數函數的圖象和性質(二)
知識點一　比較冪的大小
一般地，比較冪大小的方法有
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用指數函數的單調性來判斷．
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用冪函數的單調性來判斷．
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷．
知識點二　解指數方程、不等式
簡單指數不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．
知識點三　指數型函數的單調性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數的性質
(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有相同的定義域．
(2)當a>1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調性；當0§4.3　對　數
4.3.1　對數的概念
知識點一　對數的概念
1．對數的定義：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
2．常用對數與自然對數
知識點二　對數與指數的關系
一般地，有對數與指數的關系：
(1)若a>0，且a≠1，則ax＝N logaN＝x.
(2)對數恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．
知識點三　對數的性質
1．loga1＝0(a>0，且a≠1)．
2．logaa＝1(a>0，且a≠1)．
3．零和負數沒有對數．
4.3.2　對數的運算
知識點一　對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
拓展：＝logaM(n∈R，m≠0)
知識點二　換底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．對數換底公式的重要推論
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
§4.4　對數函數
4.4.1　對數函數的概念
知識點　對數函數的概念
一般地，函數y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．
4.4.2　對數函數的圖象和性質
第1課時　對數函數的圖象和性質(一)
知識點一　對數函數的圖象和性質
對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質如下表
y＝logax (a>0，且a≠1)
底數 a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
共點性 圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
函數值特點 x∈(0,1)時， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)時， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)時， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)時， y∈(－∞，0]
對稱性 函數y＝logax與y＝的圖象關于x軸對稱
知識點二　反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數．
它們的定義域與值域正好互換．
第2課時　對數函數的圖象和性質(二)
知識點　對數型函數的性質及應用
1．y＝logaf(x)型函數性質的研究
(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數的定義域．
(2)值域：在函數y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調性確定函數的值域．
(3)單調性：在定義域內考慮t＝f(x)與y＝logat的單調性，根據同增異減法則判定．(或運用單調性定義判定)
(4)奇偶性：根據奇偶函數的定義判定．
(5)最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據a確定函數y＝logat的單調性，最后確定最值．
2．logaf(x)(1)討論a與1的關系，確定單調性．
(2)轉化為f(x)與g(x)的不等關系求解，且注意真數大于零．
4.4.3　不同函數增長的差異
知識點　三種常見函數模型的增長差異
函數 性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞) 上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡” 隨x的增大逐漸趨于穩定 隨x的增大勻速上升
增長速度 y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝logax的增長
增長后果 會存在一個x0，當x>x0時，有ax>kx>logax
§4.5　函數的應用(二)
4.5.1　函數的零點與方程的解
知識點一　函數的零點
1．概念：對于一般函數y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．
2．函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：
知識點二　函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．
4.5.2　用二分法求方程的近似解
知識點一　二分法
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)·f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
知識點二　用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟
1．確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0.
2．求區間(a，b)的中點c.
3．計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間
(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點．
(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.
4．判斷是否達到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟2～4.
以上步驟可簡化為：定區間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．
§5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
知識點一　任意角
1．角的概念：
角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．
2．角的表示：
如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：OA，終邊：OB，頂點O.
3．角的分類：
名稱 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角
負角 一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角
零角 一條射線沒有做任何旋轉形成的角
知識點二　角的加法與減法
設α，β是任意兩個角，－α為角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的終邊旋轉角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知識點三　象限角
把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
知識點四　終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．
5.1.2　弧度制
知識點一　度量角的兩種制度
角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定義 以弧度作為單位來度量角的單位制
1弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角
知識點二　弧度數的計算
知識點三　角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30°
度數×＝弧度數 弧度數×＝度數
知識點四　弧度制下的弧長與扇形面積公式
設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則
(1)弧長公式：l＝αR.
(2)扇形面積公式：S＝lR＝αR2.
§5.2　三角函數的概念
5.2.1　三角函數的概念
知識點一　任意角的三角函數的定義
條件 如圖，設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓交于點P(x，y)
定義 正弦 點P的縱坐標y叫做α的正弦函數， 記作sin α，即y＝sin α
余弦 點P的橫坐標x叫做α的余弦函數， 記作cos α，即x＝cos α
正切 點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切，記作tan α，即＝tan α(x≠0)
三角函數 正弦函數y＝sin x，x∈R 余弦函數y＝cos x，x∈R 正切函數y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
知識點二　正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號
1．圖示：
2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知識點三　公式一
終邊相同的角的同一三角函數的值相等．即
(sin α＋2kπ ＝sin α， cos α＋2kπ ＝cos α， tan α＋2kπ ＝tan α， 其中k∈Z.
5.2.2　同角三角函數的基本關系
知識點　同角三角函數的基本關系
關系式 文字表述
平方關系 sin2α＋cos2α＝1 同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1
商數關系 ＝tan α 同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
§5.3　誘導公式(一)
知識點　公式二～四
終邊關系 圖示 公式
公式二 角π＋α與角α的終邊關于原點對稱 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α
公式三 角－α與角α的終邊關于x軸對稱 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α
公式四 角π－α與角α的終邊關于y軸對稱 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α
§5.3　誘導公式(二)
知識點　誘導公式五、六
§5.4　三角函數的圖象與性質
5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象
知識點　正弦函數、余弦函數的圖象
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象
圖象畫法 五點法 五點法
關鍵五點 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
正(余)弦曲線 正(余)弦函數的圖象叫做正(余)弦曲線
5.4.2　正弦函數、余弦函數的性質
第1課時　周期性與奇偶性
知識點一　函數的周期性
1．函數的周期性
一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數．非零常數T叫做這個函數的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫做f(x)的最小正周期．
知識點二　正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象
定義域 R R
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函數 偶函數
第2課時　單調性與最值
知識點　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
正弦函數 余弦函數
圖象
定義域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
單調性 在每一個閉區間(k∈Z) 上都單調遞增， 在每一個閉區間(k∈Z) 上都單調遞減 在每一個閉區間 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上都單調遞增， 在每一個閉區間 [2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都單調遞減
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)時， ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)時， ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時， ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)時， ymin＝－1
5.4.3　正切函數的性質與圖象
知識點　正切函數的圖象與性質
解析式 y＝tan x
圖象
定義域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函數
單調性 在每一個區間(k∈Z)上都單調遞增
對稱性 對稱中心(k∈Z)
§5.5　三角恒等變換
5.5.1　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
第1課時　兩角差的余弦公式
知識點　兩角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
簡記符號 C(α－β)
使用條件 α，β為任意角
第2課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)
知識點一　兩角和與差的余弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
兩角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
知識點二　兩角和與差的正弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
兩角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
第3課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)
知識點　兩角和與差的正切公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正切公式 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
兩角差的正切公式 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
第4課時　二倍角的正弦、余弦、正切公式
知識點　二倍角公式
三角函數 公式 簡記
正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α
余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan 2α＝ T2α
5.5.2　簡單的三角恒等變換
知識點一　半角公式
sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝.
知識點二　輔助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
§5.6　函數y＝Asin(ωx＋φ)(一)
知識點　A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
1．φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R圖象的影響
2．ω(ω>0)對y＝sin(ωx＋φ)圖象的影響
3．A(A>0)對y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
§5.7　三角函數的應用
知識點一　三角函數的應用
1．三角函數模型的作用
三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測未來等方面發揮重要作用．
2．用函數模型解決實際問題的一般步驟
收集數據―→畫散點圖―→選擇函數模型―→求解函數模型―→檢驗．
知識點二　函數y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數的物理意義