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第一章、集合、常用邏輯、函數(shù)
第一節(jié)　集　合 四基精演練
1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(　　) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
(3)對于任意兩個集合A、B，關(guān)系(A∩B) (A∪B)恒成立．(　　)
(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　)
2．(知識點2)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，則下面結(jié)論中正確的是(　　)
A．{a} A　B．a(chǎn) A C．{a}∈A D．a(chǎn) A　
3.（知識點3）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則（ RA）∩B＝　　　　.
4．(知識點3)設(shè)集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}. 若A∩B＝{1}，則B＝(　　)　 A．{1，－3}　B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
考點一　集合的含義及表示[基礎(chǔ)練通]
1．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　) A．9　B．8 C．5 D．4
2．(2018·湖北八校聯(lián)考)設(shè)A＝，B＝{|a－2|，－2}，已知4∈A且4 B，則a的取值集合為________．
3．若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________．
1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合．
2．集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．
考點二　集合間的基本關(guān)系[探究變通]
[例1]　(1)(2018·成都模擬)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．AB　B．BA C．A B D．B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，則實數(shù)m的取值范圍為________．
[母題變式] 1．本例(2)中若B A變?yōu)锳 B則實數(shù)m的取值集合為________．
2．本例(2)中的集合A若變?yōu)锳＝{x|x＜－2或x＞5}，則實數(shù)m的取值集合為________．
1．判定集合間的基本關(guān)系有(1)化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關(guān)系；(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系．
2．已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系．常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題．
[易錯提醒]　在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．
考點三　集合的基本運算[多維貫通]
命題點1 交集、并集、補集的混合運算
[例2]　(1)(2018·天津卷)設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1，1} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{2，3，4}
(2)(2018·湖北孝感模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，則 A∪B(A∩B)＝(　　) A．(－∞，0) B． C．(－∞，0)∪ D．
命題點2 利用集合運算求參數(shù)
[例3]　(1)(2018·遼寧錦州質(zhì)檢)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于(　　) A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
(2)(2018·海口模擬)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠ ，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1≤a＜2 B．a(chǎn)≤2 C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)＞－1
集合運算的關(guān)注點
解集合運算問題應(yīng)注意如下三點：(1)看元素構(gòu)成，集合中元素是數(shù)還是有序數(shù)對，是函數(shù)的自變量還是函數(shù)值等；(2)對集合進行化簡，通過化簡可以使問題變得簡單明了；(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，集合運算常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．
(2018·西安西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|x2－5x＋4＜0，x∈Z}，若A∩B≠ ，則a等于(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．2或4
2．(2018·石家莊二檢)設(shè)集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A∪B＝{x|x＜0} B．( RA)∩B＝{x|x＜－1}
C．A∩B＝{x|－1＜x＜0} D．A∪( RB)＝{x|x≥0}
與集合有關(guān)的創(chuàng)新問題：以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對新概念的理解，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象．
[例4]　(1)(2018·南昌模擬)若x∈A，則∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是(　　)
A．1　B．3 C．7 D．31
(2)(2018·蘭州診斷)對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M)，若A＝，B＝{x|x＜0，x∈R}，則A B＝(　　)
A.　　B． C.∪[0，＋∞)
D．∪(0，＋∞)
解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程之中．(2)用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素．
[素材庫]
1．(2018·河北省邢臺市月考)已知全集U＝{x∈Z|0＜x≤8}，集合A＝{x∈Z|2＜x＜m}(2＜m＜8)，若 UA的元素的個數(shù)為4，則m的取值范圍為(　　)
A．(6，7] B．[6，7) C．[6，7] D．(6，7)
2．(2018·天津卷)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∩( RB)＝(　　) A．{x|0＜x≤1}　B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
3．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，則 UA＝(　　)
A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．(2018·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝(　　)
A．{0}　B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則 RA＝(　　)
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
3．(2018·廣西南寧畢業(yè)班摸底)設(shè)集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2－2x＜0}，則下列關(guān)系中正確的是(　　)
A．M∩N＝M B．M∪( RN)＝M C．N∪( RM)＝R D．M∪N＝M
4．(2018·南昌模擬)已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，則m＋n等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6
5．(2018·西安模擬)設(shè)集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，則滿足M (A∩B)的集合M的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3
6．(2018·石家莊重點高中畢業(yè)班摸底)已知集合M＝，N＝，則M∩N＝(　　)
A． B．{(3，0)，(0，2)} C．[－2，2] D．[－3，3]
7．(2018·鷹潭模擬)已知集合A＝{x|1＜2x≤16}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
8．(2018·太原階段性測評)設(shè)集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|y＝}，則圖中陰影部分所表示的集合為(　　)
A．{1} B．{0} C．{－1，0} D．{－1，0，1}
9．(2018·廣州模擬)已知集合A＝{4，a}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，若A∩( ZB)≠ ，則實數(shù)a的值為(　　) A．2 B．3 C．2或4 D．2或3
10．(2018·淮北二模)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋2a≥0}，N＝{x|log2(x－1)＜1}，若集合M∩( UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值為(　　)
A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)＝－ D．a(chǎn)≥
B級　能力提升練
11．(2018·衡水模擬)已知集合A＝{0，1，2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}，若A∩B＝{1，2m}，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. B． C.∪ D．(0，1)
12．(2018·遼寧恒大附中測試)對于非空集合P，Q，定義集合間的一種運算“≯”：P≯Q＝{x|x∈P∪Q且x P∩Q}．如果P＝{x|1≤3x≤9}，Q＝{x|y＝}，則P≯Q＝(　　) A．[1，2] B．[0，1]∪[2，＋∞)
C．[0，1]∪(2，＋∞) D．[0，1)∪(2，＋∞)
13．(2017·江蘇卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為________．
14．(2018·汕頭模擬)已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，則a的值是________．
15．(2018·寧波三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋a≥0，x∈R}，B＝{x|x2－2x－8≤0}．若( UA)∩B＝[－2，4]，則實數(shù)a的取值范圍是________．
C級　素養(yǎng)加強練
16．(2018·深圳模擬)當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”．對于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A與B構(gòu)成“全食”或構(gòu)成“偏食”，則a的取值集合為________．
第二節(jié)　常用邏輯用語
四基精演練、1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)命題“若α＝，則tan α＝1”的否命題是“若α＝，則tan α≠1”．(　　)
(2)若p是q的充分不必要條件，則 p是 q的必要不充分條件．(　　)
(3)若命題p∧q為假命題，則p、q都是假命題．(　　)
(4) x0∈M，p(x0)與 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
2．(知識點1)設(shè)m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0　
C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0
3．(知識點2)設(shè)p：x＜3，q：－1＜x＜3，則p是q成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件
D．既不充分也不必要條件　
4．(知識點3、4)已知命題p： x∈R，2x＜3x；命題q： x0∈R，使x＝1－x，則下列命題中為真命題的是(　　)
A．p∧q　B．( p)∧q C．p∧( q) D．( p)∧( p)　
考點一　命題及其真假的判斷[基礎(chǔ)練通]
1．(2018·江西鷹潭二模)下列命題中錯誤的是(　　)
A．若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“p∨( q)”為真命題
B．命題“若a＋b≠7，則a≠2或b≠5”為真命題
C．命題“若x2－x＝0，則x＝0或x＝1”的否命題為“若x2－x＝0，則x≠0且x≠1” D．命題p： x0＞0，sin x0＞2x0－1，則 p為 x＞0，sin x≤2x－1
2．下列命題中的假命題是(　　)
A． x∈R，2x＞0　B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x0∈R，lg x0＜1 D． x0∈R，tan x0＝
3．已知命題p： x0∈R，x－x0＋1≥0；命題q：若a2＜b2，則a＜b.下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q B．p∧( q) C．( p)∧q D．( p)∧( q)
1．命題真假的判定：給出一個命題，要判定它是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可．
2．四種命題的關(guān)系的應(yīng)用：掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當直接判斷一個命題的真假不易進行時，可以判斷其逆否命題的真假．
3．判斷“p∧q”“p∨q”“ p”形式命題的真假關(guān)鍵是準確判斷簡單命題p、q的真假；再由真值表判斷復(fù)合命題的真假．
考點二　充分條件與必要條件的判斷
[探究變通]
[例1]　(1)(2018·沈陽模擬)設(shè)集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∈M”是“m∈N”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(2018·北京卷)設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
(3)(2018·長春二模)給定兩個命題p，q.若 p是q的必要不充分條件，則p是 q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[母題變式] 若本例(1)中的“m∈M”“m∈N”改為：“m M”“m N”，其他不變，則“m M”是“m N”的________條件．
充分條件與必要條件的判斷方法
1．定義法：分別判斷命題“若p，則q”和“若q，則p”的真假．
2．集合法：設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為P，Q，利用集合間的包含關(guān)系進行判斷．
3．利用原命題與其逆否命題同真假來判斷．
1．(2018·天津卷)設(shè)x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
★2.(2018·惠州調(diào)研)命題“ x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≥4　B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5
考點三　含參命題中參數(shù)的取值范圍
[創(chuàng)新貫通] [例2]　(1)(2018·煙臺模擬)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)，若p∧q是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
★(2)(2018·唐山二模)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若對 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[母題變式] 1．若本例(1)中的“p∧q”變?yōu)椤皃∨q”其他條件不變，如何解？
2．本例(2)中，若將“ x2∈[1，2]”改為“ x2∈[1，2]”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍是________．
1．已知含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，可根據(jù)每個命題的真假，利用集合的運算求解參數(shù)的取值范圍．
2．對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決．
3．(2018·蘇州模擬)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．
4．(2018·汕頭二模)已知命題p：關(guān)于x的方程x2＋ax＋1＝0沒有實根；命題q： x＞0，2x－a＞0.若“ p”和“p∧q”都是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2，1] C．(1，2) D．(1，＋∞)
邏輯用語的轉(zhuǎn)化技巧：等價轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了“把未知問題化歸到已有知識范圍內(nèi)求解”的求解策略．本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的等價轉(zhuǎn)化思想，對于一個難以入手的命題，可以把命題轉(zhuǎn)化為易于解決的等價命題，每一個等價命題都能提供一種解題思路．因此熟悉并掌握命題的多種等價形式是等價轉(zhuǎn)化的前提，同時也是靈活解題的基礎(chǔ)．
[例3]　[一題多解]已知p：－3≤x≤13，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且 p是 q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，換用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充分、必要條件問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是解此類問題的關(guān)鍵．
[素材庫]
(2018·皖南名校聯(lián)考)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命題p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，3]　B．(－∞，－2]∪[2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．(2018·清華大學(xué)自主招生能力測試)“ x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2－πx＜0　B． x∈R，x2－πx≤0
C． x0∈R，x－πx0≤0 D． x0∈R，x－πx0＜0
2．(2018·衡水模擬)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是(　　) A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)
D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)
3．(2018·武漢質(zhì)檢)在射擊訓(xùn)練中，某戰(zhàn)士射擊了兩次，設(shè)命題p是“第一次射擊擊中目標”，命題q是“第二次射擊擊中目標”，則命題“兩次射擊中至少有一次沒有擊中目標”為真命題的充要條件是(　　)
A．( p)∨( q)為真命題 B．p∨( q)為真命題
C．( p)∧( q)為真命題 D．p∨q為真命題
4．(2018·太原聯(lián)考)已知a，b都是實數(shù)，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(　　)
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．(2019·吉林實驗中學(xué)期末)下列命題中正確的是(　　)
A．命題“ x0∈R，使得x－1＜0”的否定是“ x∈R，均有x2－1＞0”
B．命題“存在四邊相等的空間四邊形不是正方形”，該命題是假命題
C．命題“若x2＝y(tǒng)2，則x＝y(tǒng)”的逆否命題是真命題
D．命題“若x＝3，則x2－2x－3＝0”的否命題是“若x≠3，則x2－2x－3≠0”
6．(2018·日照二模)已知命題p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命題q：任意x∈R，x2＋x＋1＞0.給出下列結(jié)論：①命題“p且q”是真命題；②命題“p且 q”是假命題；③命題“ p或q”是真命題；④命題“p或 q”是假命題．其中所有正確結(jié)論的序號為(　　)A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③
7．(2018·山東菏澤模擬)函數(shù)f(x)＝有且只有一個零點的充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)＜0 B．0＜a＜ C.＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a＞1
8．能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)．若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________．
9．(2018·豫西南五校聯(lián)考)若“ x∈，m≤tan x＋2”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________．
10．(2018·青島模擬)已知命題p： x0∈R，使tan x0＝1，命題q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．現(xiàn)有以下結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧ q”是假命題；③命題“ p∨q”是真命題；④命題“ p∨ q”是假命題．
其中正確結(jié)論的序號為________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)
B級　能力提升練
11．(2018·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
12．(2018·溫州模擬)下面四個條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是(　　)
A．a(chǎn)＞b＋1 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3
13．(2018·江西上饒二模)已知命題p：對任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命題q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，則下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q B．( p)∧( q) C．p∧( q) D．( p)∧q
14．(2018·沈陽模擬)有關(guān)下列說法正確的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件 B．若p： x0∈R，x－x0－1＞0，則 p： x∈R，x2－x－1＜0 C．命題“若x2－1＝0，則x＝1或x＝－1”的否命題是“若x2－1≠0，則x≠1或x≠－1” D．命題p和命題q有且僅有一個為真命題的充要條件是( p∧q)∨( q∧p)為真命題
15．(2018·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)＝a2x－2a＋1.若命題“ x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
C級　素養(yǎng)加強練
(2018·湖北襄陽模擬)設(shè)p：實數(shù)a滿足不等式3a≤9，q：函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋9x無極值點． 已知“p∧q”為真命題，并記為r，且t：a2－a＋m＞0，若r是 t的必要不充分條件，則正整數(shù)m的值為________．
第三節(jié)　函數(shù)及其表示
四基精演練 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a最多有2個交點．(　　)
(2)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)．(　　)
(3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．(　　)
(4)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．(　　)
2．(知識點1)函數(shù)f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是________．
3．(知識點2)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是________．　
4．(知識點3)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))等于______．　
考點一　求函數(shù)的定義域[基礎(chǔ)練通]
1．(2018·長沙模擬)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　)
A．[－2，0)∪(0，2]　B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2]
2．y＝f(x)的定義域是[1，2 020]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________．
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x)，則函數(shù)f(f(x))的定義域為________．
1．求函數(shù)的定義域時，不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化．2．定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．
考點二　求函數(shù)的解析式[探究變通]
[例1]　(1)[一題多解]已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，則f(x)＝________．
(2)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________．
★(3)(2018·泉州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________．
[母題變式] 1．若本例(1)中條件變?yōu)閒(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________．
2．若本例(2)中條件變?yōu)?f(x)＋f(－x)＝3x，則f(x)＝________．
求函數(shù)解析式常用的方法
1．求函數(shù)解析式常用的方法有：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、轉(zhuǎn)換法、解方程組法．2．使用換元法時，換元后要注意新元的取值范圍．
考點三　分段函數(shù)的應(yīng)用[創(chuàng)新貫通]
命題點1 求分段函數(shù)的函數(shù)值
[例2]　(1)設(shè)f(x)＝ f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　)
A．2　B．4 C．6 D．8
（2）(2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________．
命題點2 分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題
[例3]　設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________．
分段函數(shù)問題的求解策略
1．根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值．首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解．2．已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．
1．已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
2．(2018·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________．
與函數(shù)有關(guān)的新定義問題：以學(xué)習(xí)過的函數(shù)相關(guān)知識為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新的問題．
[例4]　設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若對任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為“美麗函數(shù)”，下列所給出的五個函數(shù)：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2x－2－x；⑤f(x)＝2sin x－1，
其中是“美麗函數(shù)”的序號有________．
1．緊扣定義：對于題目定義的新函數(shù)，通過仔細閱讀，分析定義以及新函數(shù)所滿足的條件，圍繞定義與條件來確定解題的方向，然后準確作答．
2．巧妙賦值：如果題目所定義的新函數(shù)滿足的條件是函數(shù)方程，可采用賦值法，即令x，y取特殊值，或為某一范圍內(nèi)的值，求得特殊函數(shù)值或函數(shù)解析式，再結(jié)合掌握的數(shù)學(xué)知識與方程思想來解決問題．
3．構(gòu)造函數(shù)：有些新定義型函數(shù)可看成是由兩個已知函數(shù)構(gòu)造而成的．
[素材庫]
1．(2018·長沙市高三模擬)定義運算：x Δy＝例如：3Δ4＝3，(－2)Δ4＝4，則函數(shù)f(x)＝x2Δ(2x－x2)的最大值為________．
2．(2018·濟寧高三模擬)如果定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①y＝－x3＋x＋1；②y＝3x－2(sin x－cos x)；③y＝ex＋1；④f(x)＝以上函數(shù)是“H函數(shù)”的是________．(填上所有正確的序號)
限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．(2018·河南濮陽檢測)函數(shù)f(x)＝log2(1－2x)＋的定義域為(　　)
A.　B． C．(－1，0)∪ D．(－∞，－1)∪
2．已知函數(shù)f(x)＝若f(2 019)＝0，則a＝(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．－2
3．(2018·山西太原二模)若函數(shù)f(x)滿足f(1－ln x)＝，則f(2)等于(　　)
A. B．e C. D．－1
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f＝4，則b＝(　　)
A．1 B． C. D．
5．(2018·寧波模擬)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
6．(2018·南昌模擬)已知具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①
7．(2018·河南南陽模擬)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
(2018·湖北十堰月考)若f(x)＝，則f(x)的定義域為________．
9．(2018·廣東韶關(guān)模擬)已知函數(shù)f(x)＝
若f(1)＝，則f(3)＝________．
10．若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________．
B級　能力提升練
11．(2018·山東濟南模擬)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為(　　) A．－ B．－ C．－或－ D．或－
12．已知函數(shù)f(x)＝的值域是[－8，1]，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3，0) C．[－3，－1] D．{－3}
13．(2018·陜西西安模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上有定義，對于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM(x)＝則稱函數(shù)fM(x)為f(x)的“孿生函數(shù)”．若給定函數(shù)f(x)＝2－x2，M＝1，則fM(0)的值為(　　) A．2 B．1 C. D．－
14．(2018·福州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是(　　) A.　B．[0，1] C. D．[1，＋∞)
15．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝2x＋1與函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2成軸對稱圖形，則函數(shù)y＝g(x)的解析式為________．
16．(2018·柳州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________．
第四節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值
教材細梳理、知識點1　函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2
當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
思考1：若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a，b)和(c，d)，設(shè)x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1＜x2，則f(x1)＞f(x2)成立嗎？
提示：不成立，如f(x)＝.
思考2：若函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是M和它在區(qū)間N上單調(diào)遞增，則M與N有怎樣的關(guān)系？
提示：N M.
[拓展] 1．函數(shù)的單調(diào)性定義中的x1、x2的三個特征是任意性、有大小、同屬于一個單調(diào)區(qū)間．
2．f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a，b)，且t1、t2∈(a，b)．f(t1)＜f(t2) b＞t1＞t2＞a.
知識點2　函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足
條件 ①對于任意x∈I，都有f(x)≤M ③對于任意x∈I，都有f(x)≥M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ④存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
思考：(1)若函數(shù)的最值存在，那么它一定是值域中的元素嗎？(2)若函數(shù)的值域是開區(qū)間，那么函數(shù)還存在最值嗎？
提示：(1)是．(2)不存在．
四基精演練
1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)對于函數(shù)f(x)，x∈D，若任意的x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)．(　　)
(3)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(4)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(知識點1)設(shè)函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是(　　)　
A．(0，1) B． C. D．
解析：當x≤1時，f(x)＝(3a－1)x＋4a為減函數(shù)，則3a－1＜0，即a＜；當x＞1時，f(x)＝logax為減函數(shù)，則0＜a＜1，且3a－1＋4a≥0，即≤a＜1.
綜上，≤a＜.選C.
3．(知識點2)函數(shù)f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分別是________．　
解析：函數(shù)f(x)＝＝＝2＋在[2，6]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(6)＝＝，f(x)max＝f(2)＝＝4. 答案：4，
4．(知識點1)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．　
解析：要使函數(shù)有意義，則x2－2x－8＞0，解得：x＜－2或x＞4，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
考點一　求函數(shù)的最值[基礎(chǔ)練通]
1．已知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域為，則a＝________．
解析：由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上單調(diào)遞增，
所以即解得a＝.答案：
2．[一題多解]對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：解法一：在同一坐標系中，
作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示．易知點A(2，1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.
解法二：依題意，h(x)＝當0＜x≤2時，h(x)＝log2x是增函數(shù)，
當x＞2時，h(x)＝3－x是減函數(shù)，所以h(x)在x＝2時取得最大值h(2)＝1.
答案：1
求函數(shù)最值的常用方法
1．單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；
2．圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；
3．換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
考點二　確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)[探究變通]
[例1]　(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的遞減區(qū)間為______．
解析：f(x)＝
＝畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，0]和[1，＋∞)．答案：[－1，0]和[1，＋∞)
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1，2]上的單調(diào)性．
解：當a∈(1，3)時，函數(shù)f(x)＝ax2＋在[1，2]上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)1≤x1＜x2≤2，則f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.又因為1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，從而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故當a∈(1，3)時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增．
[母題變式] 1．若本例(1)中函數(shù)變?yōu)閒(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解析：作出函數(shù)y＝|－x2＋2x＋1|＝的圖象如圖所示．由圖象可知，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－)和(1，1＋)．
答案：(－∞，1－)和(1，1＋)
2．若本例(2)中函數(shù)變?yōu)閒(x)＝(a≠0)，試判斷f(x)在(－1，1)上的單調(diào)性．
解：解法一(定義法)：設(shè)－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當a＞0時，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
函數(shù)f(x)在(－1，1)上遞減；當a＜0時，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1，1)上遞增．
解法二(導(dǎo)數(shù)法)：f′(x)＝＝＝－，當a＞0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上遞減；當a＜0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上遞增．
1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間．
2．(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法．
(2)函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則．
1．函數(shù)f(x)＝lg x2的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
解析：函數(shù)f(x)是定義域為{x|x≠0}的偶函數(shù)，且f(x)＝lg x2＝函數(shù)大致圖象如圖所示，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)．答案：(－∞，0)
2．(2018·銀川模擬)函數(shù)f(x)＝(x－2)|x|的單調(diào)增區(qū)間為________．
解析：由于f(x)＝(x－2)|x|＝結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0)，[1，＋∞)．答案：(－∞，0)，[1，＋∞)
考點三　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[創(chuàng)新貫通]
命題點1 利用單調(diào)性比較大小
[例2]　(2018·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c＞a＞b　B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c
解析：由x2＞x1＞1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立知，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，由此可得f＝f.因為1＜2＜＜e，所以f(2)＞f＞f(e)，故b＞a＞c. 答案：D
命題點2 利用單調(diào)性解不等式
[例3]　已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)＞f(2x)的范圍是(　　) A．(0，－1) B．(－1，＋1) C．(0，＋1) D．(－1，－1)
解析：作出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，不等式f(1－x2)＞f(2x)，等價于或解得－1＜x＜－1.答案：D
命題點3 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍
[例4]　(2018·北京西城區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝x|x|，若存在x∈[1，＋∞)，使得f(x－2k)－k＜0，則k的取值范圍是(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C. D．
解析：∵當x≥0時，f(x)＝x2，當x＜0時，f(x)＝－x2，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．由選項知k＞0，∴f(x－2k)－k＜0 f(x－2k)＜()2 f(x－2k)＜f() x－2k＜ x＜2k＋.∵存在x∈[1，＋∞)，使得x＜2k＋，即xmin＜2k＋，∴1＜2k＋，解得k＞.答案：D
1．比較函數(shù)值的大小，應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
2．求解含“f”的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)＜f(n)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，應(yīng)注意m，n應(yīng)在定義域內(nèi)取值．
3．利用單調(diào)性求參數(shù)時，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出與參數(shù)有關(guān)的不等式，或把參數(shù)分離出來求解．
3．已知函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)
A. B． C．(2，3) D．
解析：由f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，可得，化簡得0＜a≤.選A.
4．(2018·九江模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在[0，1]上的單調(diào)遞減函數(shù)，若f(x＋2)≤f，則x的取值范圍是(　　)
A．[1－，1＋] B．[1－，－1]
C．[－2，1＋] D．[－，－1]
解析：因為函數(shù)f(x)為定義在[0，1]上的單調(diào)遞減函數(shù)且f(x＋2)≤f，
所以1≥x＋2≥x2≥0，所以所以1－≤x≤－1，選B.
單調(diào)性與抽象函數(shù)的交匯創(chuàng)新
研究抽象函數(shù)的單調(diào)性主要利用定義來完成，但變形有一定的技巧性，在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．
[例5]　(2018·西安模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②當x＞0時，f(x)＞－1. (1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)．
(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.
解：(1)令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝－1.在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.
又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)． (2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，
故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}．
依據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義證明函數(shù)單調(diào)性，通常按照設(shè)元、作差、變形、判號、定論這五個步驟進行，充分體現(xiàn)了“邏輯推理”的核心素養(yǎng)．
[素材庫]
(2018·德州模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱，當x2＞x1＞－1時，＞0恒成立，設(shè)a＝f(－2)，b＝f，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c＞a＞b　B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c
解析：由已知可得，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對稱，則有f(x)＝f(－2－x)，
∴f(－2)＝f[－2－(－2)]＝f(0)，由x2＞x1＞－1時，＞0恒成立，知f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，又－＜0＜3，∴f(3)＞f(0)＞f，即c＞a＞b.選A.
限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．(2018·江西上饒模擬)函數(shù)f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A.　B．－ C．－2 D．2
解析：函數(shù)f(x)＝－x＋在上單調(diào)遞減，可知f(x)的最大值為f(－2)＝2－＝.選A.
2．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A．[1，2] B．[－1，0) C．[0，2] D．[2，＋∞)
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝作出函數(shù)圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]．選A.
3．(2018·陜西漢中模擬)已知函數(shù)f(x)＝則“c＝－1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：若函數(shù)f(x)在R上遞增，則需log21≥c＋1，即c≤－1.由c＝－1 c≤－1，但c≤－1c＝－1，所以“c＝－1”是“f(x)在R上遞增”的充分不必要條件．選A.
4．(2018·廈門調(diào)研)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：由x2－4＞0，得x＞2或x＜－2，故f(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t＝x2－4，則f(x)＝logt(t＞0)．∵t＝x2－4在(－∞，－2)上是減函數(shù)，且f(x)＝logt在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上是增函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)．選D.
5．(2018·深圳質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：作出f(x)＝的圖象，如圖，由f(x)的圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.選C.
6．(2018·蘇州模擬)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)＝取函數(shù)f(x)＝2－|x|.當k＝時，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(－∞，0)　B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：選C.由f(x)＞，得－1＜x＜1，由f(x)≤，得x≤－1或x≥1.
所以f(x)＝故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)．
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C.
D.∪
解法一：選A.易知y＝ln(1＋|x|)，y＝－是偶函數(shù)，所以f(x)是偶函數(shù)．當x＞0時，y＝ln(1＋|x|)單調(diào)遞增，y＝－單調(diào)遞增，所以f(x)＝ln(1＋|x|)－在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增．求使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍等價于解絕對值不等式|x|＞|2x－1|，即x2＞(2x－1)2，化簡為(3x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1.因此選A.
解法二：(特殊值法)當x＝0時，f(x)＝－1，f(2x－1)＝f(－1)＝ln 2－，－1＜ln 2－，排除選項B和C. 當x＝1時，f(x)＝f(2x－1)，排除選項D.因此選A.
8．(2018·太原模擬)已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)＞f(a＋3)，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：由已知可得解得－3＜a＜－1或a＞3，所以實數(shù)a的取值范圍為(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
9．(2018·石家莊調(diào)研)函數(shù)f(x)＝－log2(x＋2)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為________．
解析：由于y＝在R上單調(diào)遞減，y＝－log2(x＋2)在[－1，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1，1]上的最大值為f(－1)＝3.答案：3
10．(2018·張家口檢測)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
解析：由題意知g(x)＝函數(shù)圖象如圖所示，
由函數(shù)圖象易得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1)．答案：[0，1)
B級　能力提升練
11．(2018·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，則(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：選B.因為函數(shù)y＝log2x與函數(shù)y＝＝－的單調(diào)性在(1，＋∞)上均為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，所以當x1∈(1，2)時，f(x1)＜f(2)＝0；當x2∈(2，＋∞)時，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
12．(2018·株洲二模)定義新運算 ：當a≥b時，a b＝a；當a＜b時，a b＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)
A．－1 B．1 C．6 D．12
解析：由已知得當－2≤x≤1時，f(x)＝x－2；當1＜x≤2時，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)．∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.選C.
13．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　)
A．f(x)在(0，2)單調(diào)遞增 B．f(x)在(0，2)單調(diào)遞減
C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱
解析：解法一：選C.f(x)的定義域為(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，從而對f(x)的研究可轉(zhuǎn)化為對二次函數(shù)g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因為g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，直線x＝1是y＝g(x)的圖象的對稱軸．從而排除A，B，D，故選C.
解法二：由于f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x，即f(x)＝f(2－x)，故可得y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故選C.
14．(2018·濰坊二模)已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0) C．(0，2) D．(－2，0)
解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等價于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.選A.
15．(2018·唐山模擬)如果對定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝
以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為________．
解析：因為對任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，所以不等式等價為(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)．①函數(shù)y＝ex＋x在定義域上為增函數(shù)，滿足條件．②函數(shù)y＝x2在定義域上不單調(diào)，不滿足條件．③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．④f(x)＝當x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．綜上，滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為①③.答案：①③
C級　素養(yǎng)加強練
16．(2018·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a是常數(shù)且a＞0)．對于下列命題：①函數(shù)f(x)的最小值是－1；②函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)；③若f(x)＞0在上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；④對任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正確命題的所有序號是________．
解析：根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，由圖象可知，①顯然正確；
函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，故②錯誤；若f(x)＞0在上恒成立，則2a×－1＞0，a＞1，故③正確；由圖象可知在(－∞，0)上對任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正確．答案：①③④
第五節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性
教材細梳理 知識點1　函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的實質(zhì)是函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個自變量處函數(shù)值的關(guān)系，具體為：
前提(必要條件) 奇偶性 滿足的充要條件 圖象特征 特性
函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱 奇函數(shù) 定義域中任意的x，都有f(－x)＝－f(x) 關(guān)于原點對稱 如果定義域中包含0，那么f(0)＝0
偶函數(shù) 定義域中任意的x，都有f(－x)＝f(x) 關(guān)于y軸對稱
思考：函數(shù)圖象分別關(guān)于坐標原點、y軸對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)和偶函數(shù)嗎？反之，成立嗎？
提示：一定是．反之，也成立．
[拓展]　奇偶性的重要結(jié)論
1．如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
2．如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
知識點2　函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于定義域中任意的x和一個非零常數(shù)T，f(x＋T)＝f(x)恒成立 f(x)是以T為周期的周期函數(shù)．
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說明，T一般都是最小正周期)．
思考：若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是周期函數(shù)，則其周期唯一嗎？是否有最小正周期？
提示：不唯一．若T是y＝f(x)(x∈R)的一個周期，則nT(n∈Z)也是函數(shù)的周期．若函數(shù)y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，則y＝f(x)是周期函數(shù)，且無最小正周期．
[拓展]　周期性的常用結(jié)論：設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R，a＞0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則2a為f(x)的一個周期；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則2a為f(x)的一個周期；
(3) 若f(x＋a)＝，則2a為f(x)的一個周期；
(4)若f(x＋a)＝－，則2a為f(x)的一個周期.
知識點3　函數(shù)圖象的對稱性
(1)函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝2b－f(2a－x) y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)成中心對稱．
(2)函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝f(2a－x) y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對稱．
思考：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(－x)與f(x＋a)＝f(x)有什么區(qū)別？
提示：前者函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝對稱，后者當a≠0時函數(shù)是周期函數(shù)．
四基精演練
1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　)
(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(　　)
(3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　)
(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱．(　　)
(5)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
2．(知識點1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)等于(　　)　A．－2　B．0 C．1 D．2
解析：選A.f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3．(知識點2)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1，1)時，　
f(x)＝則f＝________．
解析：由題意得：f＝f＝－4×＋2＝1.答案：1
4．(知識點3)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　)
A．[－2，2]　　B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]
解析：已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(－1)＝－f(1)＝1，所以原不等式可化為f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，則－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，選D.
考點一　函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用[基礎(chǔ)練通]
1．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù)　B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
解析：由題意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，對于選項A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，故A項錯誤；對于選項B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，故B項錯誤；對于選項C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函數(shù)，故C項正確；對于選項D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項錯誤，選C.
2．(2018·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________．
解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2. 答案：－2
3．(2018·濰坊二模)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以當x≥0時，f(x)＝2x＋2x－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.選A.
1．判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點：
(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提．
(2)判斷關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．
2．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要有：利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式；利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的奇偶性解不等式；利用函數(shù)的奇偶性求最值等．
考點二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用[探究變通]
[例1]　(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋4)＝f(x)．當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2，則f(2 019)＝________．
解析：因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(－1＋4×505)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－1
(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當x∈[0，2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2 017)＋f(2 019)的值為________．
解析：當x≥0時，f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0
[母題變式] 1．若本例(1)中的條件不變，則f(x)(x∈[2，4])的解析式是________．
解析：當x∈[－2，0]時，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又當x∈[2，4]時，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2，4]時，f(x)＝x2－6x＋8.答案：f(x)＝x2－6x＋8
2．若將本例(2)中“f(x＋2)＝－”變?yōu)椤癴(x＋2)＝－f(x)”，則f(－2 017)＋f(2 019)＝________．
解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0
函數(shù)周期性的應(yīng)用
根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．
1．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________．
解析：因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案：3
考點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[創(chuàng)新貫通]
命題點1 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合
[例2]　(2018·武漢檢測)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，當x1，x2∈(0，＋∞)時，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0.設(shè)a＝ln，b＝(ln m)2，c＝ln，其中m＞e，則(　　) A．f(a)＞f(b)＞f(c)　B．f(b)＞f(a)＞f(c)
C．f(c)＞f(a)＞f(b) D．f(c)＞f(b)＞f(a)
解析：根據(jù)已知條件知f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，|a|＝ln m＞1，b＝(ln m)2＞|a|，0＜c＝ln m＜|a|，∴f(c)＞f(a)＞f(b)．選C
命題點2 函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合
[例3]　[一題多解](2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0 C．2 D．50
解析：解法一：∵f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，①又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)，②由①②得f(2＋x)＝－f(x)，③
用2＋x代替x得f(4＋x)＝－f(2＋x)．④由③④得f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的最小正周期為4.由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝2.故選C.
解法二：由題意可設(shè)f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2，故選C.答案：C
函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
1．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．
2．周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．
3．單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．
2．(2018·蘭州診斷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2，2]上是增函數(shù)，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．選D.
★3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3，0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________．
解析：因為f(x＋4)＝f(x－2)，令t＝x＋4，則x－2＝t－6，所以f(t)＝f(t－6)，所以函數(shù)f(x)的周期為6，f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)＝f(－1)＝6.答案：6
函數(shù)的“三性”與抽象函數(shù)的交匯
以學(xué)習(xí)過的函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性相關(guān)知識為基礎(chǔ)，利用單調(diào)性、奇偶性、周期性的定義、公式、變形形式等，經(jīng)過一系列的推理、計算迅速解決問題．
[例4]　(2018·臨沂聯(lián)考)若定義在[－2 020，2 020]上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1∈[－2 020，2 020]，x2∈[－2 020，2 020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2 019，且x＞0時有f(x)＞2 019，f(x)的最大值、最小值分別為M，N，則M＋N＝(　　)
A．2 019　B．2 020 C．4 040 D．4 038
解析：令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2 019，所以f(0)＝2 019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2 019＝2 019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4 038，令g(x)＝f(x)－2 019，則g(x)max＝M－2 019，g(x)min＝N－2 019，因為g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4 038＝0，所以g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2 019＋N－2 019＝0，所以M＋N＝4 038.答案：D
函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性．
[素材庫]
1．(2018·惠州市調(diào)研考試)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且滿足下列三個條件：
①對任意的x1，x2∈[4，8]，當x1＜x2時，都有＞0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f(6)，b＝f(15)，c＝f(2 019)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a
解析：由①知函數(shù)f(x)在區(qū)間[4，8]上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以c＝f(2 019)＝f(252×8＋3)＝f(3)，b＝f(15)＝f(7)；由③可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，所以b＝f(7)，c＝f(3)＝f(5)．因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[4，8]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即c＜a＜b，選B.
2．(2018·廣西桂林市、柳州市高三綜合模擬金卷)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為________．
解析：∵f(x)為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(1)＝0，f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)，＝2＜0，即或根據(jù)f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)，且f(－1)＝f(1)＝0，解得x∈(－1，0)∪(0，1)．答案：(－1，0)∪(0，1)
限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．(2018·唐山二模)函數(shù)f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，則f(－a)的值為(　　)
A．－3　B．－1 C．1 D．2
解析：選B.由題意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2.∴f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1，故選B.
2．已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)(　　)
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
解析：易知函數(shù)f(x)的定義域為R且關(guān)于原點對稱．∵f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝－在R上是增函數(shù)，∴f(x)＝3x－在R上是增函數(shù)．選A.
3．(2018·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(－3x)＋1，則f(lg 2)＋f等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：設(shè)g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．∴g(x)是奇函數(shù)，∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，因此f(lg 2)＋f＝2.選D.
4．(2018·荊州模擬)已知f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當x∈(0，1)時，f(x)＝3x－1，則f＝(　　)
A.＋1 B．－1 C．－－1 D．－＋1
解析：因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又當x∈(0，1)時，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝1－.選D.
5．(2018·烏魯木齊診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是(　　)
A. B． C. D．
解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)，∴f(|2x－1|)＜f，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴|2x－1|＜，∴－＜2x－1＜，解得＜x＜，選A.
已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x＞時，f＝f，則f(6)＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．2
解析：當x＞時，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，又由題意知f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝2，選D.
7．(2018·青島模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1) C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0
解析：由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)，選C.
8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝________．
解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)，又∵f(x)的周期為2，
∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.又∵f＝f＝－f＝－4＝－2.∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
9．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝.若g(2)＝3，則g(－2)＝________．
解析：由題意可得g(2)＝＝3，則f(2)＝1，又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1.答案：－1
10．(2018·武漢模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x≤1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
解析：依題意知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)
＝2－1＋21－1＋20－1＝.答案：
B級　能力提升練
11．(2018·莆田模擬)對于函數(shù)f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，選取a，b，c的一組值計算f(1)，f(－1)，所得出的正確結(jié)果可能是(　　)
A．2和1 B．2和0 C．2和－1 D．2和－2
解析：設(shè)g(x)＝asin x＋bx3＋cx，g(x)為定義域上的奇函數(shù)，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B選項中兩個值的和為2.選B.
12．(2018·佛山模擬)已知y＝f(x)是偶函數(shù)，且當0≤x≤1時，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，則a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小關(guān)系是(　　)
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c
解析：因為y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，因為y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．所以函數(shù)f(x)的周期為4，又因為當0≤x≤1時，f(x)＝sin x，所以函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，
因為a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，
c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，又因為f(x)在[0，1]上為增函數(shù)，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.選B.
(2018·西安模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.選C.
14．對任意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(2 019)＋f(2 020)＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4
解析：∵y＝f(x－1)的圖象關(guān)于x＝1對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝0對稱，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)的周期是2，又f(0)＝2，則f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，選B.
15．(2018·內(nèi)蒙古包頭模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上為增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4的值為________．
解析：因為f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，結(jié)合f(x)在[0，2]上為增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，由圖看出，四個交點中的左邊兩個交點的橫坐標之和為2×(－6)，另兩個交點的橫坐標之和為2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8
已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則(　　) A．f(－31)＜f(84)＜f(13)
B．f(84)＜f(13)＜f(－31) C．f(13)＜f(84)＜f(－31) D．f(－31)＜f(13)＜f(84)
解析：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，則有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)．若函數(shù)y＝f(x－3)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于點(－3，0)成中心對稱，則有f(x)＝－f(－6－x)，又由函數(shù)的周期為6，則有f(x)＝－f(－x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．又由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，則有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，選A.
C級　素養(yǎng)加強練
17．(2018·泰安模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函數(shù)，給出下列幾個命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱；③f(x)在[1，2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號是________(請把正確命題的序號全部寫出來)．
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x，y∈R恒成立．令x＝y(tǒng)＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．因為f(x)在x∈[－1，0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在[0，1]上為增函數(shù)．由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)為周期函數(shù)．f(x＋2)＝－f(x) f(－x＋2)＝－f(－x)．又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝f(x)，所以函數(shù)關(guān)于x＝1對稱．由f(x)在[0，1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對稱，所以f(x)在[1，2]上為減函數(shù)．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
答案：①②③④
學(xué)科素養(yǎng)專題一　巧用函數(shù)性質(zhì)妙解函數(shù)
函數(shù)性質(zhì)主要指函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，解題過程中要深刻理解并加以巧妙地運用．
應(yīng)用一　奇函數(shù)的最值性質(zhì)
已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.
[典例1]　設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________．
解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)＝＝1＋，
設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案：2
應(yīng)用二　函數(shù)周期性的應(yīng)用
已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若對任意x∈R，總存在非零常數(shù)T，使得f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)是周期函數(shù)，T為其一個周期．除周期函數(shù)的定義外，還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一個周期函數(shù)
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一個周期函數(shù)
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么T＝2a.是f(x)的一個周期函數(shù)
.(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么T＝6a.是f(x)的一個周期函數(shù)
[典例2]　(2018·河北衡水模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)
A．－2　　B．－1 C．0 D．1
解析：因為f＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以f(x)的周期為3.
則有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝－1，故選B.答案：B
應(yīng)用三　函數(shù)對稱性的應(yīng)用
1．函數(shù)圖象自身的對稱性 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；
(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱．特別地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱．
2．兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系
(1)函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱(由a＋x＝b－x得對稱軸方程)；
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；
(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(－x)的圖象關(guān)于點(0，b)對稱；
(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱．
[典例3]　(2018·天津河西區(qū)二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函數(shù)，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意x∈恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3，－1] B．[－2，0] C．[－5，－1] D．[－2，1]
解析：由定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函數(shù)，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且函數(shù)f(x)在(－∞，1)上遞減，由此得出自變量離1越近，函數(shù)值越小．觀察四個選項，發(fā)現(xiàn)0，1不存在于A，C兩個選項的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通過驗證a的值(取0與1時兩種情況)得出正確選項．當a＝0時，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)變?yōu)閒(2)≤f(x－1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意x∈恒成立，由此排除A，C兩個選項；當a＝1時，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)變?yōu)閒(x＋2)≤f(x－1)，由函數(shù)f(x)的圖象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤，不滿足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)對任意x∈恒成立，由此排除D選項．綜上可知，選B.答案：B
第六節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù)
教材細梳理 知識點1　冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)五種冪函數(shù)的圖象
(3)五種冪函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
思考：冪函數(shù)的圖象能經(jīng)過第四象限嗎？
提示：不能．因為當x＞0時，y＝xα＞0.
知識點2　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
圖象
定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞增，在x∈上單調(diào)遞減 在x∈上單調(diào)遞增，在x∈上單調(diào)遞減
奇偶性 當b＝0時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù)
頂點坐標
對稱性 圖象關(guān)于直線x＝－對稱
思考：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定在頂點處取到最大(小)值嗎？
提示：不一定．因為最值的取得還與自變量的取值區(qū)間有關(guān)，當x＝－不在自變量的取值區(qū)間內(nèi)時，則最值就不能在頂點處取到最值．
四基精演練
1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　)
(2)當n＞0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　)
(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．(　　)
(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(知識點1)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點，則k＋α＝(　　)　
A.　B．1 C. D．2
解析：因為f(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1.又f(x)的圖象過點，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.選C.
3．(知識點1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)　
A．a(chǎn)＜b＜c　B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和冪函數(shù)的單調(diào)性可比較大小．因為函數(shù)y＝0.6x是減函數(shù)，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，即b＜a＜1.因為函數(shù)y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函數(shù)，1＜1.5，所以1.50.6＞10.6＝1，即c＞1.綜上，b＜a＜c.選C.
4．(知識點2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．　
解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
考點一　冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)[基礎(chǔ)練通]
1．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　)
解析：選C.設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，因為冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.所以y＝，其定義域為[0，＋∞)，且是增函數(shù)，
當0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方．
2．(2018·銀川模擬)若a＝，b＝，c＝，則下列正確的是(　　)
A．a(chǎn)＞b＞c　B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：因為y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，所以a＝＞c＝，因為y＝是減函數(shù)，所以c＝＞b＝，所以a＞c＞b.選B.
3．(2018·保定質(zhì)檢)已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m的值為________．
解析：因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.由于f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．所以m2－2m－3為偶數(shù)，又當m＝2時，m2－2m－3為奇數(shù)，所以m＝2舍去，因此m＝1.答案：1
1．求解與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象特征，結(jié)合其奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)研究．
2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．
考點二　二次函數(shù)解析式的確定[探究變通]
[例1]　[一題多解]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
解：解法一：(利用一般式)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得解得所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用頂點式)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因為f(2)＝f(－1)，所以拋物線的對稱軸為x＝＝，所以m＝.又函數(shù)有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因為f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零點式)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，所以＝8，解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[母題變式] 1．若本例條件變?yōu)椋憾魏瘮?shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足(1)不等式f(x)＋2x＞0的解集為{x|1＜x＜3}，(2)方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則函數(shù)f(x)的解析式為________．
解析：因為f(x)＋2x＞0的解集為(1，3)，設(shè)f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
解得a＝1或a＝－.由于a＜0，舍去a＝1.所以f(x)＝－x2－x－.
2．若本例條件變?yōu)椋憾魏瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4，3)，在x軸上截得的線段長為2，且對 x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，則函數(shù)f(x)的解析式為________．
解析：因為f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，所以f(x)的對稱軸為x＝2.又因為f(x)的圖象在x軸截得的線段長為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又因為f(x)的圖象過點(4，3)，所以3a＝3，a＝1.
所以所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
答案：f(x)＝x2－4x＋3
二次函數(shù)解析式的求法
考點三　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)[創(chuàng)新貫通]
命題點1 二次函數(shù)圖象的識別
[例2]　(2018·深圳二模)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正確的是(　　) A．②④　B．①④ C．②③ D．①③
解析：因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確．對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤．結(jié)合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤．由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確．答案：B
命題點2 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
[例3]　(1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上有最大值2，則a的值為________；
解析：函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a.
當a＜0時，f(x)max＝f(0)＝1－a，則1－a＝2，即a＝－1.當0≤a≤1時，f(x)max＝a2－a＋1，則a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，解得a＝(舍去)．當a＞1時，f(x)max＝f(1)＝a，則a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.答案：－1或2
(2)(2018·福州模擬)若函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________．
解析：作出函數(shù)y＝x2－2x＋3的圖象如圖所示．由圖象可知，要使函數(shù)在區(qū)間[0，m]上取得最小值2，則1∈[0，m]，從而m≥1.
當x＝0時，y＝3；當x＝2時，y＝3，所以要使函數(shù)取得最大值為3，則m≤2.故所求m的取值范圍為[1，2]．答案：[1，2]
命題點3 與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題
[例4]　(1)(2018·廈門調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：作出二次函數(shù)f(x)的草圖，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，則有即解得－＜m＜0.答案：
(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為________．
解析：由題意得x2＋x＋1＞k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，則g(x)在[－3，－1]上遞減．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1.故k的取值范圍為(－∞，1)．答案：(－∞，1)
1．二次函數(shù)最值問題的解題思路
抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．
2．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路
解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域．
1．(2018·定州模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x在區(qū)間[－1，n]上的值域是[－5，4]，則n的取值范圍是(　　) A．[2，5]　B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]
解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5，畫出f(x)的圖象如圖，由f(x)的圖象知，2≤n≤5. 選A.
★2.(2018·河南開封模擬)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果對x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：因為f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的對稱軸為x＝－(a－2)，對x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，所以討論對稱軸與區(qū)間[－3，1]的位置關(guān)系，畫出函數(shù)圖象如圖(1)，(2)，(3)，由圖(1)(2)(3)知：
或或解得a∈ 或1≤a＜4或－＜a＜1，
所以a的取值范圍為.答案：
“三個二次”模型間的轉(zhuǎn)化
二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式統(tǒng)稱為“三個二次”，它們常有機結(jié)合在一起，而二次函數(shù)是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象將其貫穿為一體．因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，常利用數(shù)形結(jié)合法、分類討論法轉(zhuǎn)化為方程與不等式來解決．
[例5]　已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1) (1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的范圍；(3)若f(x)＝0的兩根都在[0，1]上，求a的范圍．
解：(1)①當a＝0時，f(x)＝－2x在[0，1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②當a＞0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝.
ⅰ.當0＜≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x的圖象的對稱軸在[0，1]內(nèi)，∴f(x)在上遞減，在上遞增．∴f(x)min＝f＝－＝－.
ⅱ.當＞1，即0＜a＜1時，f(x)＝ax2－2x的圖象的對稱軸在[0，1]的右側(cè)，∴f(x)在[0，1]上遞減．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
③當a＜0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝＜0，在y軸的左側(cè)，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上遞減．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
綜上所述，f(x)min＝
(2)只需f(x)min≥－1，即可．由(1)知，當a＜1時，a－2≥－1，∴a≥1(舍去)；
當a≥1時，－≥－1恒成立，∴a≥1.
(3)由題意知f(x)＝0時，x＝0，x＝(a≠0)，0∈[0，1]，∴0＜≤1，∴a≥2.限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)
A級　基礎(chǔ)夯實練
1．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4，2)，若f(m)＝3，則實數(shù)m的值為(　　)
A.　　B．±　C．±9　　D．9
解析：由f(4)＝4α＝2可得α＝，即f(x)＝x，f(m)＝m＝3，則m＝9.選D.
2．(2018·茂名模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點，則函數(shù)g(x)＝(2x－1)f(x)在區(qū)間上的最小值是(　　) A．－1　B．0 C．－2 D．
解析：由題設(shè)3a＝ a＝－1，故g(x)＝(2x－1)x－1＝2－在上單調(diào)遞增，則當x＝時取最小值g＝2－2＝0.選B.
3．(2018·濟南統(tǒng)考)若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍是(　　)
A．[0，4] B． C. D．
解析：二次函數(shù)y＝x2－3x－4的圖象的對稱軸為直線x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，結(jié)合圖象易得m∈.選D.
4．(2018·福州模擬)函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則(　　)
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25 C．f(1)≤25 D．f(1)＞25
解析：選A.函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為，由已知可得≤－2，得m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.
5．(2018·贛州模擬)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與y＝xb的圖象如圖，則下列不等式一定成立的是(　　)
A．ba＞0 B．a(chǎn)＋b＞0 C．a(chǎn)b＞1 D．loga2＞b
解析：由圖象可知a＞1，b＜0，故loga2＞0，所以loga2＞b.選D.
6．(2018·鄭州模擬)設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
解析：A項，因為a＜0，－＜0，所以b＜0.又因為abc＞0，所以c＞0，由圖象知f(0)＝c＜0，故A項不可能；B項，因為a＜0，－＞0，所以b＞0，又因為abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B項不可能；C項，因為a＞0，－＜0，所以b＞0，又因為abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C項不可能；D項，因為a＞0，－＞0，所以b＜0，又因為abc＞0，所以c＜0，由圖象知f(0)＝c＜0.選D.
7．(2018·衡陽模擬)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－4ax＋c在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，0]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) D．[0，4]
解析：二次函數(shù)f(x)＝ax2－4ax＋c在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，又因為它的對稱軸是直線x＝2，所以a＞0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)＝f(4)，則當f(m)≤f(0)時，有0≤m≤4.選D.
8．(2018·上海卷)已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝________．
解析：∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α＜0，故α＝－1.答案：－1
9．已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________．
解析：x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2＋，x∈[0，1]，所以當x＝0或1時，x2＋y2取最大值1；當x＝時，x2＋y2取最小值.因此x2＋y2的取值范圍為.答案：
10．(2018·深圳模擬)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．當x＝0時，－3＜0，符合題意；當x≠0時，a＜－，因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以當x＝1時，右邊取最小值，所以a＜.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
B級　能力提升練
11．(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)
C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)
解析：設(shè)x1，x2分別是f(x)在[0，1]上的最小值點與最大值點，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，此值與a有關(guān)，與b無關(guān)．選B.
12．(2018·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若對于任意實數(shù)x，f(x)與g(x)中至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，2] B．(－2，2] C．(－∞，－2) D．(0，＋∞)
解析：對于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.當t＝0時，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有負，不符合題意，故排除B；當t＝2時，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合題意，故排除C；當t＞2時，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，當x趨近于－∞時，f(x)與g(x)都為負值，不符合題意，故排除D，選A.
13．(2018·臨沂質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，則(　　)
A． m∈A，都有f(m＋3)＞0 B． m∈A，都有f(m＋3)＜0
C． m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D． m0∈A，使得f(m0＋3)＜0
解析：選A.由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，當x＞1時，f(x)＞0.由a＞b，得1＞，
設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的另一個根為x1，則x1＋1＝－＞－1，即x1＞－2，
由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由拋物線圖象可知，f(m＋3)＞0，
14．(2018·西安二模)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，給出以下結(jié)論：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③xf(x1)＞xf(x2)；④xf(x1)＜xf(x2)．其中正確結(jié)論的序號是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：選C.設(shè)函數(shù)f(x)＝xα，依題意有＝2，所以α＝－，因此f(x)＝x－.
令g(x)＝xf(x)＝x·x－＝x，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而0＜x1＜x2，
所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故①錯誤，②正確；令h(x)＝＝＝x－，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，而0＜x1＜x2，所以h(x1)＞h(x2)，即eq \f(f（x1）,x)＞eq \f(f（x2）,x)，于是xf(x1)＞xf(x2)，故③正確，④錯誤，故選C.
15．(2018·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，在區(qū)間[2，5]上單調(diào)且有最大值為8，則實數(shù)t的值為________．
解析：函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1圖象的對稱軸是x＝t，函數(shù)在區(qū)間[2，5]上單調(diào)，故t≤2或t≥5.若t≤2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是增函數(shù)，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝；若t≥5，函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，此時f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，解得t＝－，與t≥5矛盾．綜上所述，t＝.答案：
16．(2018·河北衡水模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，對

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