資源簡介

4.1　數列的概念
1.數列的概念及通項公式
知識點一　數列及其有關概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
2. 數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
知識點二　數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數 有窮數列 項數有限的數列
無窮數列 項數無限的數列
知識點三　函數與數列的關系
數列{an}是從正整數集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項an，記為an＝f(n)．
知識點四　數列的單調性
遞增數列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列
常數列 各項都相等的數列
知識點五　通項公式
1．如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式．
2．通項公式就是數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數．
2.數列的遞推公式
知識點一　數列的遞推公式
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
思考　僅由數列{an}的關系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能確定這個數列嗎？
答案　不能．知道了首項和遞推公式，才能確定這個數列．
知識點二　數列的前n項和Sn與an的關系
1．把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝
4.2　等差數列
1.等差數列的概念及通項公式
知識點一　等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負可為零．
思考　你能根據等差數列的概念寫出它的數學表達式嗎？
答案　an＋1－an＝d(d為常數，n∈N*)．
知識點二　等差中項的概念
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項且2A＝a＋b.
知識點三　等差數列的通項公式
首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d.
知識點四　從函數角度認識等差數列{an}
若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，
則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d ；
(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.
2.等差數列的性質
知識點一　等差數列通項公式的變形及推廣
設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
知識點二　等差數列的性質
1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有
數列 結論
{c＋an} 公差為d的等差數列(c為任一常數)
{c·an} 公差為cd的等差數列(c為任一常數)
{an＋an＋k} 公差為kd的等差數列(k為常數，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)
2.下標性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.
3．在等差數列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數列．
4．等差數列{an}的公差為d，則d>0 {an}為遞增數列；
d<0 {an}為遞減數列；d＝0 {an}為常數列．
3.等差數列前n項和公式的推導及簡單應用
知識點　等差數列的前n項和公式
已知量 首項，末項與項數 首項，公差與項數
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
4.等差數列前n項和的性質及應用
知識點一　等差數列前n項和的性質
1．若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為.
2．設等差數列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數列，且公差為m2d.
3．若等差數列{an}的項數為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
4．若等差數列{an}的項數為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
知識點二　等差數列{an}的前n項和公式的函數特征
1．公式Sn＝na1＋可化成關于n的表達式：Sn＝n2＋n.當d≠0時，Sn關于n的表達式是一個常數項為零的二次函數式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數的圖象上，這就是說等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數，它的圖象是拋物線y＝x2＋x上橫坐標為正整數的一系列孤立的點．
2．等差數列前n項和的最值
(1)在等差數列{an}中，
當a1>0，d<0時，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式組確定；
當a1<0，d>0時，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，則從二次函數的角度看：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數時，Sn取到最值．
4.3　等比數列
1.等比數列的概念及通項公式
知識點一　等比數列的概念
1．定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．遞推公式形式的定義：＝q(n∈N*且n>1).
知識點二　等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.
知識點三　等比數列的通項公式
若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．
知識點四　等比數列通項公式的推廣和變形
等比數列{an}的公比為q，則
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝·qn.③
其中當②中m＝1時，即化為①.
當③中q>0且q≠1時，y＝·qx為指數型函數．
2.等比數列的應用及性質
知識點一　實際應用題常見的數列模型
1．儲蓄的復利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y ＝a(1＋r)n.
2．總產值模型：基數為N，平均增長率為p，期數為n， 則總產值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知識點二　等比數列的常用性質
設數列{an}為等比數列，則：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．
(3)在等比數列{an}中，連續取相鄰k項的和(或積)構成公比為qk(或)的等比數列．
(4)若{an}是等比數列，公比為q，則數列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比數列，且公比分別是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為pq和.
3.等比數列前n項和公式
知識點一　等比數列的前n項和公式
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
求和公式 Sn＝ Sn＝
知識點二　等比數列前n項和的性質
1．數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，
則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數列．
2．若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：
①在其前2n項中，＝q；
②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
4.等比數列前n項和公式的應用
知識點　等比數列前n項和的實際應用
1．解應用問題的核心是建立數學模型．
2．一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型．
3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．
(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數n計算準確．
(3)在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
(4)在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．
5.1　導數的概念及其意義
1.變化率問題和導數的概念
知識點一　瞬時速度
瞬時速度的定義
(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
(2)一般地，設物體的運動規律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為＝.如果Δt無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當Δt無限趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝ ＝ .
知識點二　函數的平均變化率
對于函數y＝f(x)，設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值，即＝叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
知識點三　函數在某點處的導數
如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，
記作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
2.導數的幾何意義
知識點一　導數的幾何意義
1．割線斜率與切線斜率
設函數y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是＝.
當點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的切線．于是，當Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．導數的幾何意義
函數y＝f(x)在點x＝x0處的導數的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知識點二　導函數的定義
從求函數f(x)在x＝x0處導數的過程可以看出，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的導函數(簡稱導數)．y＝f(x)的導函數記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
特別提醒：
區別 聯系
f′(x0) f′(x0)是具體的值，是數值 在x＝x0處的導數f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值，因此求函數在某一點處的導數，一般先求導函數，再計算導函數在這一點的函數值
f′(x) f′(x)是函數f(x)在某區間I上每一點都存在導數而定義的一個新函數，是函數
5.2　導數的運算
1.基本初等函數的導數
知識點一　幾個常用函數的導數
原函數 導函數
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
知識點二　基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2.導數的四則運算法則
知識點　導數的運算法則
已知f(x)，g(x)為可導函數，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
3.簡單復合函數的導數
知識點　復合函數的導數
1．復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))．
2．復合函數的求導法則
一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x，即y對x的導數等于y對 u的導數與u對x的導數的乘積．
5.3　導數在研究函數中的應用
1.函數的單調性
知識點一　函數的單調性與其導數的正負之間的關系
定義在區間(a，b)內的函數y＝f(x)：
f′(x)的正負 f(x)的單調性
f′(x)>0 單調遞增
f′(x)<0 單調遞減
知識點二　利用導數判斷函數的單調性的一般步驟
(1)確定函數y＝f(x)的定義域；
(2)求出導數f′(x)的零點；
(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．
知識點三　函數圖象的變化趨勢與導數的絕對值的大小的關系
一般地，設函數y＝f(x)，在區間(a，b)上：
導數的絕對值 函數值變化 函數的圖象
越大 快 比較“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比較“平緩”(向上或向下)
2.函數的極值
知識點一　函數極值的定義
1．極小值點與極小值
若函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，就把a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．
2．極大值點與極大值
若函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，就把b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．
3．極大值點、極小值點統稱為極值點；極大值、極小值統稱為極值．
知識點二　函數極值的求法與步驟
1．求函數y＝f(x)的極值的方法
解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，
(1)如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
2．求可導函數f(x)的極值的步驟
(1)確定函數的定義域，求導數f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．
3.函數的最大(小)值
知識點一　函數最值的定義
1．一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
2．對于函數f(x)，給定區間I，若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)在區間I上的最小值；若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)在區間I上的最大值．
思考　如圖所示，觀察區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象，找出函數f(x)在區間[a，b]上的最大值、最小值．若將區間改為(a，b)，f(x)在(a，b)上還有最值嗎？
答案　函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．
若區間改為(a，b)，則f(x)有最小值f(x3)，無最大值．
知識點二　求函數的最大值與最小值的步驟
函數f(x)在區間[a，b]上連續，在區間(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：
(1)求函數f(x)在區間(a，b)上的極值；
(2)將函數f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

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