資源簡介

(共23張PPT)
13.1.2 第1課時
線段垂直平分線的性質(zhì)
人教版 八年級上冊
教學目標
【教學目標】
1.知識與技能
（1）掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。
（2）能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題。
2.過程與方法
探究線段垂直平分線的性質(zhì)，培養(yǎng)學生認真探究、積極思考的能力。
3.情感態(tài)度和價值觀
在探究的過程中，更大程度的激發(fā)學生學習的主動性和積極性，并使學生具有一些初步研究問題的能力。
【重點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【難點】線段垂直平分的性質(zhì)的運用
回顧復習
垂直平分線
經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.
l⊥AB，垂足為O，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線.
新知探究
如圖，直線ι垂直平分線段AB，P1、P2、P3…是ι上的點，分別量一量點P1、P2、P3…，到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？
P1A=P1B;P2A=P2B;P3A=P3B …
由此你能得到什么規(guī)律？
新知探究
猜想：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.
已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點P 在l 上．
求證：PA =PB．
證明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　又 AC =CB，PC =PC，
　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
新知探究
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。
用符號語言表示為：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
性質(zhì)定理
針對練習
1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是(　 　)
A．2
B．4
C．6
D．8
C
針對練習
解：∵　AD⊥BC，BD =DC，
∴　AD 是BC 的垂直平分線，
∴　AB =AC．
∵　點C 在AE 的垂直平分線上，
∴　AC =CE．
2.如圖，AD⊥BC，BD =DC，點C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？
A
B
C
D
E
針對練習
A
B
C
D
E
解：AB =AC =CE．
∵　AB =CE，BD =DC，
∴　AB +BD =CD +CE．
即　AB +BD =DE ．
2.如圖，AD⊥BC，BD =DC，點C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？
新知探究
　　反過來，如果PA =PB，那么點P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？
點P 在線段AB 的垂直平分線上．
已知：如圖，PA =PB．
求證：點P 在線段AB 的垂直平
分線上．
P
A
B
C
探究
新知探究
證明：過點P 作線段AB 的垂線PC，
垂足為C．則∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 點P 在線段AB 的垂直平分線上．
P
A
B
C
新知探究
線段垂直平分線的判定
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
應用格式：
∵PA =PB，
∴點P 在AB 的垂直平分線上．
P
A
B
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
新知探究
【性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
【判定】與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
從上面兩個結(jié)論可以看出：
在線段AB的垂直平分線 l 上的點與點A、B的距離都相等；反過來，與A、B的距離相等的點都在直線 l 上，所以直線 l 可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合.
例題講解
例1.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.
已知：如圖，直線AB和AB外一點C. 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.
作法：(1)任意取一點K，使點K和點C在AB兩旁.
(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E.
(3)分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.
(4)作直線CF.
則：直線CF就是所求作的垂線
例題講解
∵ CD=CE，F(xiàn)D=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分線上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
例1.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.
已知：如圖，直線AB和AB外一點C. 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.
想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？
課堂練習
1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點D，若△DBC的周長為35 cm，則BC的長為(　　)
A．5 cm　　 B．10 cm　　
C．15 cm　　 D．17.5 cm
C
課堂練習
2．如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長為30，則BE的長為（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
C
3．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（　 ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
B
課堂練習
4.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5.如圖②所示，在△ABC中，BC=8 cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E, △BCE的周長等于18 cm,則AC的長是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
圖①
A
B
C
D
E
圖②
6.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16 cm,則△BCE的周長是 cm.
A
B
C
D
E
16
課堂練習
7.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關(guān)系．
解:AD垂直平分EF.
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵ AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF，
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D均在線段EF的垂直平分線上，
即直線AD垂直平分線段EF.
A
B
C
D
E
F
課堂練習
課堂小結(jié)
線段的垂直平分的性質(zhì)和判定
性質(zhì)
到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上
內(nèi)容
判定
內(nèi)容
作用
線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等
作用
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個點是否在線段的垂直平分線上
謝謝
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