資源簡介

函數(shù)的單調(diào)性
學(xué)生姓名： 年級：高一年級 科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：
課題 第五講 函數(shù)的單調(diào)性
授課類型 基礎(chǔ)知識回顧 經(jīng)典例題再現(xiàn) 鞏固提升
教學(xué)目標(biāo) 1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義； 2.會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性； 3.學(xué)會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義求函數(shù)的最大（小）值。
教學(xué)重難點(diǎn) 會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性
授課日期及時(shí)段
教學(xué)內(nèi)容
一、函數(shù)單調(diào)性的定義 1、圖形描述： 對于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上，若其圖像為從左到右的一條上升的曲線，我們就說函數(shù)在區(qū)間D上為單調(diào)遞增函數(shù)；若其圖像為從左到右的一條下降的曲線，我們就說函數(shù)在區(qū)間D上為單調(diào)遞減函數(shù)。 2、定量描述 對于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值， （1）若當(dāng)時(shí)，都有,則說在區(qū)間D上是增函數(shù)； （2）若當(dāng)時(shí)，都有,則說在區(qū)間D上是減函數(shù)。 3、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 若函數(shù)=在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。 特別提醒： 1、函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的。有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)（圖1），當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)。而有的函數(shù)在整個(gè)定義域上都是單調(diào)的。2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；3、應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）。 二、用定義證明函數(shù)的單調(diào)性： 定義法證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增（減）函數(shù)是最基本方法其步驟是： 1、取量定大小：即設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且<； 2、作差定符號：即，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形； 3、判斷定結(jié)論： 即根據(jù)定義得出結(jié)論。 三、判斷較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性的幾條有用的結(jié)論 1、函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反 2、當(dāng)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反 3、在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)。 四、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 對于函數(shù)和，如果在區(qū)間上是具有單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性的規(guī)律見下表： 增 ↗減 ↘ 增 ↗減 ↘增 ↗減 ↘ 增 ↗減 ↘減 ↘增 ↗
以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同增異減”。 類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明 例1.已知：函數(shù) （1）討論的單調(diào)性. （2）試作出的圖象. 【變式1】 證明函數(shù)在上是增函數(shù). 【變式2】討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論. 類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)y=|x+1|； (2)　　　　(3) ；（4）y=|x2-2x-3|. 【變式2】已知的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí).若對于任意兩個(gè)正數(shù)和都有，試判斷的單調(diào)性. 【變式3】已知函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數(shù)，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3. . 類型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值) 例3. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)增函數(shù)． （1）比較與的大小； （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 例4. 求下列函數(shù)的值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2) ； (3) ； (4). 【變式1】已知當(dāng)?shù)亩x域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值. （1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）. 【變式2】已知函數(shù). (1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域. 變式3. 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象. 【變式4】 求在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值. 類型四：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 例5. 已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，求及的取值范圍． 【變式1】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 【變式2】函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)，則（ ）. A. B. C. D. 【變式3】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍。 【變式4】已知函數(shù). （1） 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； （2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。
1．定義域上的函數(shù)對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，總有，則必有( ) A．函數(shù)先增后減 B．函數(shù)先減后增 C．函數(shù)是上的增函數(shù) D．函數(shù)是上的減函數(shù) 2．在區(qū)間上為增函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 3．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間可以是（ ） A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞） 4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 5．函數(shù)的值域?yàn)? ) A． B． C． D． 6．設(shè)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 7．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是____________________. 8．函數(shù)的值域是____________. 9．若函數(shù)在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，則 . 10．已知一次函數(shù)在上是增函數(shù)，且其圖象與軸的正半軸相交，則的取值范圍是 . 11．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且的最小值為正數(shù)，則的解析式可以為 .（只要寫出一個(gè)符合題意的解析式即可，不必考慮所有可能情形） 12．設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間. 13．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋彝瑫r(shí)滿足下列條件：(1)是奇函數(shù)；(2)在定義域上單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍. 14．已知函數(shù). ① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； ② 求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).

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