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阿波羅尼斯圓定理及拓展及解題
一點到多點到兩弧圓的定比例距離定比例分段定比例長度切線
阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點 A、B，則所有滿足 PA/PB=k 且不等于 1
的點 P 的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓。
——點到兩定點距離定比。見圖 1。
阿氏圓是以定比 m：n（m/n=k）內分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓。
點點阿氏圓方程，見圖 2。
Y
P(x,y)
kL
X
O A a C B Q D
Xo
圖 1 阿氏圓——點到兩定點距離定比 圖 2 點點阿氏圓方程
根據已知條件列方程：
x 2 y 2 k 2 L2 ， x a 2 y2 L2 ， x2 2ax a2 y2 L2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
k 2 1 x2 y2 2ak 2x a2k 2 0
此公式為圓方程式，證明了動點到兩定點距離定比的軌跡是一個圓。
令 y 0 ，求 C 點 D 點的 x 坐標：
k 2 1 x2 2ak 2x a2k 2 0
x 1 2 2ak
2 2ak 2 2 4 k 2 1 a2k 2
2 k 1
x ak
2 1
2 2 a
2k 4 a2k 4 a2k 2
k 1 k 1
x a a ak
k 2

1 k 2 1
得到 C 點 D 點的 x 坐標：
ak 2x ak ak
2 ak
C k 2
， x
1 D

k 2 1
1
R
L
得到阿氏圓圓心的 x 坐標：
x ak
2 a
Q a 點點阿氏圓圓心公式k 2 1 k 2 1
得到阿氏圓半徑：
R ak 2 k 1
題目 1 圖見圖 3。
繪制阿氏圓類圖形、求解阿氏圓類問題，首先要繪制出阿氏圓。
繪制阿氏圓的方法一，內外分點法，內外定比分點直徑圓法。幾何原理，阿氏圓是內外
兩個分點連線為直徑的圓。見圖 4。
14
a 85
7
5
14
2
.
A C B 7R5 D
120 80
120
圖 3 題目 1 點到兩點距離定比 圖 4 運用方法一內外分點法繪制阿氏圓
繪制阿氏圓的方法二，內分點一對圓法，內分點定比點三點圓法。幾何原理，到兩定點
距離為定比的點在阿氏圓上，三點定圓。見圖 5。
R10
0
4
285
71
.14
A C B R57
120
圖 5 運用方法二內分點一對圓法繪制阿氏圓
繪制阿氏圓的方法三，兩對圓法，定比點三點圓法。幾何原理，到兩定點距離為定比的
點在阿氏圓上，三點定圓。見圖 6。
在繪制阿氏圓的基礎上解題，題目 1 題解見圖 8。
阿波羅尼斯圓定理擴展 1：已知平面上一動點 P 到兩定圓 OA（半徑 RA）、OB（半徑
RB）切線（切點為 TA 、TB）的長度之比為不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）則點 P
的運動軌跡是一個圓——阿氏圓。——點到兩圓切線定比。見圖 7。
2
47
R40
2a
10
0
R
14
428
57
.1
A C B R57
120 R60
圖 6 運用方法三兩對圓法繪制阿氏圓
4
57
1
42
8
.1
A C B 7R5 D
120
圖 7 阿波羅尼斯圓定理擴展 1——點到兩圓切線定比 圖 8 題目 1 題解
圓圓阿氏圓方程，見圖 9。
P(x,y)
Y kL
T A
R A R B TB X
O O A C OB O
Q R D
a
Xo
圖 9 圓圓阿氏圓方程
3
R150
47
R40
L
根據已知條件列方程：
x2 y2 R 2 k 2L2 x a 2 y2 2 2A ， RB L
x2 2ax a2 y2 R 2B L
2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2R 2 k 2L2B
k 2 1 x2 y2 2ak 2x R 2 k 2 a2 R 2A B 0
此公式為圓方程式，證明了動點到兩定圓切線長度為定比的軌跡是一個圓。
令 y 0 ，求 C 點 D 點的 x 坐標：
k 2 1 x2 2ak 2x R 2 2A k a2 R 2B 0
x 1 2 2 2 2ak 2ak
2 4 k 2 1 a2k 2 R 2A k 2R 2 B
2 k 1
x ak
2 1
a2k 4 a2k 4 k 2R 2 k 4R 2 a2k 2 R 2 2 2
k 2 2
A k RB
1 k 1 A B
x a a 1 2 1 k 2 R 2 k 2R 2 a2A B k 2 k 1 k 2 1
得到 C 點 D 點的 x 坐標：
ak 2 1 k 2 R 2 k 2A R 2B a2k 2xC k 2 1
ak 2 1 k 2 R 2A k 2R 2B a2k 2xD 2 k 1
得到阿氏圓圓心的 x 坐標：
x ak
2
Q 2 a
a
2 圓圓阿氏圓圓心公式k 1 k 1
得到阿氏圓半徑：
R 1 2 1 k 2 R 2A k 2R 2B a2k 2 k 1
題目 2，點到兩圓切線定比，見圖 10。
3a
2a
繪制阿氏圓的方法四，三公切線法，三
公切線定比分點法。幾何原理，到兩定圓切 R1
5
R20
線長度為定比的點在阿氏圓上，三點定圓。
見圖 11。 60
圖 10 題目 2 點到兩圓切線定比
4
40
繪制阿氏圓的方法五，
定比切線點一對圓法，公切
線定比分點定比切線點三點
R7
圓法。幾何原理，到兩定圓 5.657
切線長度為定比的點在阿氏 12
0 12
圓上，三點定圓。見圖 12。 R2 8
R1
5
繪制阿氏圓的方法六，
60
定比切線點兩對圓法，定比
切線點三點圓法。幾何原理，
到兩定圓切線長度為定比的
點在阿氏圓上，三點定圓。
見圖 13。 圖 11 運用方法四三公切線法繪制阿氏圓
0
5 R
2
R1
60
圖 12 運用方法五定比切線點一對圓法繪制阿氏圓
15 RR 20
60 40
60
圖 13 運用方法六定比切線點兩對圓法繪制阿氏圓
5
45
45
30 30
R75.65712128
28
12
1
576
75
.
R
在繪制阿氏圓的基礎上 3a 2a
繪制出題目 2，見圖 14
R20
R15
60
圖 14 題目 2 題解
擴展 1 擴展：動
點 Pp到兩定點 A、B
的距離之比為定值
kp，動點 Pt到兩定圓
OA（同 A 點）、OB
（同 B 點）切線的長
度之比 kt，兩比值相
等（kp=kt≠1）時，
兩點 Pp、Pt運動軌跡
的阿氏圓是兩個同
心圓。見圖 15。
圖 15 擴展 1 擴展——同心阿氏圓
從前面的點點阿氏圓圓心公式和圓圓阿氏圓圓心公式，可以得知兩個阿氏圓圓心為同一
個點，圓心的 x 坐標相同：
x ak
2
a aQ k 2

1 k 2 1
繪制阿氏圓的方法七，同心阿氏圓法。幾何原理，擴展 1 擴展。見圖 16、圖 17、圖 18。
50 20
R6
0 714
428
5
A C B R57
.1
R82
120 R .6 80 5714286
圖 16 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 1
6
40
R75.65712128
20
857
14
7.1
42
A C B R5
R82.8571
120 4286
50
圖 17 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 2
A C B
R82.8571
60 4286
120
圖 18 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 3
題目 3 見圖 19，題目 4 見圖 20。
a
7a
a
4a
140 0 90 0
R7 R7
圖 19 題目 3 點圓定比分點 圖 20 題目 4 點圓定比分點
擴展 2：動點 TA圍繞定圓 OA（半徑
RA）運動，定點 B 與動點 TA的連線 BTA，
連線 BTA 上有定比分點 P，PTA 長度與
PB 長度之比為定值 k，則動點 TA運動時，
定比分點 P 點的運動軌跡是一個圓 OP
（半徑 RP），且 RA/RP=BTA/BP=1+k，且
圓 OA 與圓 OP 的兩外公切線延伸交點為
P 點。——點圓定比分點。見圖 21。
圖 21 擴展 2 點圓定比分點
7
60
20 50
60
14
57
42
8
.1
R5
7
方法八，點圓定比分點法，幾何原理見擴展 2 點圓定比分點。見圖 21、圖 22、圖 23。
75
601707 73
4949
1.91 101.26
5
29547 7349
497
149.66
6
101.
80
0 70
R7 90 R
140
圖 22 題目 3 題解—— 圖 23 題目 4 題解——
運用方法八點圓定比分點法解題 運用方法八點圓定比分點法解題
7a
題目 5，點到點的距離與點到圓切線的長度
之比為定比。見圖 24。
0R5
擴展 3：動點 P 到定圓 OA（半徑 RA）作切
線，切點為 TA，動點 P 到切點 TA的距離 PTA與 120
動點P到定點B的距離PB之比為定值 k（PTA/PB
=k，k≠1），則動點 P 點的運動軌跡是一個圓—
—阿氏圓。——點到圓點切距定比。見圖 25。 圖 24 題目 5——點到圓點切距定比
圖 25 擴展 3——點到圓點切距定比
點圓阿氏圓方程，見圖 26。
根據已知條件列方程：
x2 y2 R 2 2 2 2 2 2A k L ， x a y L
x2 2ax a2 y2 L2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
k 2 1 x2 y2 2ak 2x R 2 a2A k 2 0
8
R40
60
4a
35R
P(x,y)
Y
kL
T A
R
R A X
O O C O A B O
Q D
a
Xo
圖 26 點圓阿氏圓方程
此公式為圓方程式，證明了動點到定點距離與到定圓切線長度為定比的軌跡是一個圓。
令 y 0 ，求 C 點 D 點的 x 坐標：
k 2 1 x2 2ak 2x R 2 a2k 2A 0
x 1 2 2 2 2ak 2ak
2
4 k 2 1 a2k 2 R 2A 2 k 1
x ak
2 1
a22 2 k
4 a2k 4 k 2R 2 2 2A a k R
2
A
k 1 k 1
x a a 1 2 1 k 2 R 2 a2 22 A k k 1 k 1
得到 C 點 D 點的 x 坐標：
ak 2 1 k 2 R 2A a2k 2xC k 2 1
ak 2 1 k 2 R 2A a2k 2xD k 2 1
得到阿氏圓圓心的 x 坐標：
2
x ak a aQ 2 點圓阿氏圓圓心公式k 1 k 2
1
得到阿氏圓半徑：
R 1 2 1 k 2 R 2 2 2k 1 A a k
繪制阿氏圓的方法九，點切距定比法，點到圓點切距定比法。幾何原理，擴展 3，見圖
27。
擴展 3 擴展：動點 Pp到兩定點 A、B 的距離之比為定值 kp，動點 Pt到定圓 OA（同 A
點）切線長度與到定點 B 的距離之比 kt，兩比值相等（kp=kt≠1）時，兩點 Pp、Pt 運動軌
跡的阿氏圓是兩個同心圓。見圖 28。
9
L
47
82
8
806
R50 95
.
R
120
圖 27 應用方法九點切距定比法繪制阿氏圓
圖 28 擴展 3 擴展——同心阿氏圓
從前面的點點阿氏圓圓
心公式、圓圓阿氏圓圓心公
式和點圓阿氏圓圓心公式， R118
可以得知同比例的三個阿氏 .1818
圓圓心為同一個點，圓心的 x 10 8R5 18
坐標相同： 7
120 28
4
8
ak 2
0
x a a
8
5.
6
Q R9k 2 1 k 2 1
繪制阿氏圓的方法七，
同心阿氏圓法。幾何原理，
擴展 1 擴展與擴展 3 擴展，
見圖 15、圖 16、圖 17、圖 圖 29 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 4
18、圖 28、圖 29。
題目 5 題解見圖 30。
10
84
40 70
R48
7a
R50
47
120 288
68
0
.
R9
5
圖 30 題目 5 題解
a
題目 6，點到點的距離與點到圓切 4
線的長度之比為定比。見圖 31。 7a
應用方法九點切距定比法繪制阿
氏圓，見圖 32。
120
運用方法七同心阿氏圓法繪制阿
氏圓，見圖 33、圖 34。
圖 31 題目 6——點到圓點切距定比
R5
0
120
48
圖 32 應用方法九點切距定比法繪制阿氏圓
11
R118.65522897
60
R50
73
84R
4a
0
818 R
5
1 120
.18
18
8
R11
圖 33 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 4
81
8
18
1
18
8.
7
1 28
9
R1 55
2
.6
18
R1
圖 34 運用方法七同心阿氏圓法繪制阿氏圓 4
題目 6 題解見圖 35。
12
R118.65522897
48 84
9
604
8
3.8
69 11
6 1.771808
R5
0 56
R118.65 120522897
圖 35 題目 6 題解
擴展 4：一動點 P 到兩定點 A、B 的距
離相等（距離之比為 1，PA/PB=k=1）時，
則點 P 的運動軌跡是一條直線 Lp，且直線 Lp
為線段 AB 的垂直平分線，阿波羅尼斯定理
特例。——點到兩點距離相等。見圖 36。
擴展 5：一動點 P 到兩定圓 OA（半徑
RA）、OB（半徑 RB）切線（切點為 TA 、TB）
的長度相等（長度之比為 1，PTA/PTB =k =1）
時，則點 P 的運動軌跡是一條直線 Lp，且直
線 Lp經過公切線 Lt的中點，并垂直于連心線
OA OB，阿波羅尼斯定理特例。——點到兩
圓切線相等。見圖 37。 圖 36 擴展 4——點到兩點距離相等
圖 37 擴展 5——點到兩圓切線相等
13
73
題目 7，點到兩圓切線長度相等。
見圖 38。 A A
繪制阿氏圓直線的方法十，中點 0
R4
垂線法，阿波羅尼斯定理特例直線的
繪制。幾何原理，擴展 5。作經過公 120
切線的中點，并垂直于連心線的直
線。見圖 37、圖 39。
圖 38 題目 7 點到兩圓切線相等
題目 7 題解見圖 39。
8062 549
80.4 80.45
擴展 6：動點 P 到定圓 OA（半 49806
徑 RA）作切線，切點為 TA，動點 P
2
到切點 TA的距離 PTA與動點 P 到定 0R4
點 B 的距離 PB 相等（長度之比為 1，
PTA/PB =k =1）時，則點 P 的運動 120
軌跡是一條直線 Lp，且直線 Lp 經過
點 B 到圓 OA切線 Lt的中點，并垂直
于點 B 與圓心 OA的連線，阿波羅尼 圖 39 題目 7 題解——方法十中點垂線法
斯定理特例。——點切點點相等。見
圖 40。
題目 8，點到點距離與點到圓切
線長度相等。見圖 41。
繪制阿氏圓直線的方法十，中點
垂線法。阿波羅尼斯定理特例直線的
繪制。幾何原理，擴展 6，作經過切
線的中點，并垂直于點與圓心連線的
直線，見圖 40、圖 42。
題目 8 題解見圖 42。 圖 40 擴展 6——點切點點相等
A 5911
8
3
82.5
4
40R R4
0
120 120
圖 41 題目 8——點切點點相等 圖 42 題目 8 題解——方法十中點垂線法
14
63
63
63
63
11
8
59
54
3
25 82
.
25 RR
A
擴展 7：一動點 P 到相切（切
點 TAB）兩定圓 OA（半徑 RA）、
OB（半徑 RB）切線（切點為 TA 、
TB）的長度相等（長度之比為 1，
PTA/PTB =k =1）時，則點 P 的
運動軌跡是一條直線 Lp，且直線
Lp經過公切線 Lt的中點，并垂直
于連心線 OA OB，經過兩圓相切
的點 TAB，即 Lp直線為兩圓的內
公切線，阿波羅尼斯定理特例。
——相切圓等切線。見圖 43。
圖 43 擴展 7——相切圓等切線
題目 9，點到相切圓切線長度相等。見圖 44。
繪制阿氏圓直線的方法十一，內公切線法，阿波羅尼斯定理特例直線的繪制。幾何原理，
擴展 7，見圖 43、圖 45。
144.26
90° A 14
° 90 79 73
45°
R5
0
R5
0 R70
120 120
圖 44 題目 9 點到相切圓切線長度相等 圖 45 題目 9 題解——內公切線法
擴展 8：以動點 O 為圓心的圓 O
（半徑 R）與兩定圓 OA（半徑 RA）
和 OB（半徑 RB）相切（切點為 TAO、
TBO），過切點 TAO的內公切線 LAO與
過切點 TBO的內公切線 LBO相交于點
P，P 點跟隨動點 O 作相應的運動，
點 P 的運動軌跡是一條直線 Lp，且
直線 Lp 經過公切線 Lt 的中點，并垂
直于連心線 OA OB，見圖 46。
題目 10 圓切兩圓內公切線交點
軌跡為直線，見圖 47。
圖 46 擴展 8——圓切兩圓內公切線交點軌跡為直線
應用繪制阿氏圓直線的方法十中點垂線法解題，見圖 46、圖 48。
15
A
144.26149773
R7
0
題目 10 題解見圖 48。
R40
120
120
圖 47 題目 10，圓切兩圓內公切線 圖 48 題目 10 題解——方法十中點垂線法
交點軌跡為直線
擴展 8 擴展 1：圓 O 與圓 OA和圓 OB相
切，切線（LA 、LB）公切線（LAO 、LBO）
的長度相等，即 PTA= PTB=PTAO=PTBO=RP，
——圓切兩圓切線相等，——點到兩圓四切
線相等，——四切點共圓。
擴展 8 擴展 2：圓 O 與圓 OA和圓 OB相
切（切點為 TAO、TBO），公切線（LAO 、LBO）
相交與點 P，則 O、P、TAO、TBO四點共圓。
——兩切點兩圓心四點共圓。
圖 49 四切線相等四切點共圓，
兩切點兩圓心四點共圓
題目 11 四切線相等四切點共圓，見圖 50。
題目 11 題解，四切線相等四切點共圓，見圖 51。
R80
R80
R40
R25
120
120
圖 50 題目 11 四切線相等四切點共圓 圖 51 題目 11 題解，四切線相等四切點共圓
題目 12，圓切兩圓，公切線夾角定角度，見圖 52。
幾何原理，公切線垂直于連心線，四邊形對角互補四點共圓，見圖 49、圖 53。
16
90°
90°
80
90°
80 R4
R 040
80
25R
90°
25R
90° 90°
40° 40°
140°
R40 R25
120 120
圖 52 題目 12，圓切兩圓，公切線定角度 圖 53 切點、圓心、公切線交點四點共圓
題目 12 作圖問題轉化為題目 13 題目 14 問題。
題目 13、題目 14，三角形兩邊差為定值，見圖 54、圖 55。
120 120
140° 140°
40 25 B+15 B
R R
圖 54 題目 13 三角形兩邊差為定值 圖 55 題目 14 三角形兩邊差為定值
方法十二，底外角圓法，等腰三角形底角外角圓法。
題目 12、題目 13、題目 14 解題 1，在 120 直線上作出公切線夾角 40°角，作三點圓
弧，任意作出其補角 140°角見圖 56。
解題 2，以 140°角為頂點作等腰三角
形，以等腰三角形底角的外角作圓弧，見圖
40° 57。
幾何原理，同圓弧的圓周角相等。
160°
120 140°
120 140° R175.42826401
圖 56 作 40°角作圓弧作 140°角 圖 57 作等腰三角形及其底角外角圓弧
解題 3，在橫線左端點處以半徑 15 圓截 160°R15
內圓弧，直線連接端點與交點，延伸至外圓 120 140°
弧，橫線右端點直線連接交點、直線連接端
點，得到新的 140°角為頂點的等腰三角形，
見圖 58。
幾何原理，同圓弧的圓周角相等。 R175.42826401
圖 58 作 R15 圓，直線連接橫線端點與交點
題目 13、題目 14 題解見圖 59。
并延伸到外圓弧，作出等腰三角形
17
R40
R25
題目 12 題解見圖 60。
16
0°R15
120 140°
擴展 9：以動點 O 為圓心的圓 O
（半徑 R）與兩相切（切點為 TAB）定
圓 OA（半徑 RA）和 OB（半徑 RB）相 56. 725
切（切點為 T 2 8AO、TBO），過切點 TAO的 97 21 2872 29
22
L T L .公切線 與過切點 的公切線 2AO BO BO 92
5
2 5
6.
8725
相交于點 P，P 點跟隨動點 O 作相應的
運動，圖形具有擴展 8 的特性。——三
圓兩兩相切切線相等。見圖 61。 圖 59 題目 13、題目 14 題解
擴展 9 擴展 1：圓 O
與兩相切（切點 TAB）圓
OA和OB相切（切點為TAO、 40°
TBO），過切點 TAO 和 TBO
的公切線LAO與LBO相交于 120
點 P，以 P 點為圓心可以
R2
作三角形 OOAOB 的內切 140° 5
圓-圓 P（半徑 RP），且圓 P 71.29 287
25
經過 TAO、TBO和 TAB三個 2287 9225 6.2
切點。——三切點圓為連 5
心三角形的內切圓。見圖
61。
圖 60 題目 12 題解
題目 15，3 圓相切，
已知兩圓，圓心三角形已
知角對邊，見圖 62。
題目 16，三角形與內
切圓，見圖 63。
圖 61 擴展 9 與擴展 9 擴展 1
70° 70°
R60
140
60
140
圖 62 題目 15 相切 3 圓與圓心三角形 圖 63 題目 16 一切點定位的三角形內切圓
18
R80
R40
題目 15、題目 16 解
題，按方法十二底外角圓
法，題解見圖 64。
0°7
擴展 9擴展 2：相切（切 70°
點 TAB）兩圓 OA和 OB，以
OAOB線段為直徑作圓 Ot，
圓 Ot與外公切線 Lt相切，
切點為 Tt，且切點 Tt 在過 125° R80
TAB 點的公切線 Lp 上。— 140 R20
—三圓外公切線共線。見
圖 65。
圖 64 題目 15、題目 16 題解——方法十二底外角圓法
擴展 9 擴展 3：相切
（切點 TAB）兩圓 OA 和
OB，公切線 Lt 與圓 OA
圓 OB 的切點為 TA、與
TB，過 TA、TB與 TAB三
點作圓 Tt，線段 TATB為
圓 Tt 的直徑線，連心線
OAOB為圓 Tt的切線，切
點為 TAB。——公切線圓
與連心線相切。見圖 66。
圖 65 擴展 9 擴展 2 相切兩圓連心線圓三圓外公切線共線
擴展 9 擴展 4：半圓
（圓 Ot）上的三個相切
（切點 TAO、TBO、TAB）
圓（圓 OA、圓 OB、圓 O），
公切線LAO與LBO的交點
為 P，則 O、P、TAO、
TBO四個點組成正方形。
見圖 67。
題目 17，半圓上的
三個相切圓，見圖 68。
圖 66 擴展 9 擴展 3 公切線圓與連心線相切
19
60R
圖 67 擴展 9 擴展 4 半圓上三個相切圓四點組成正方形
題目 17 解題，按方法十二底外角圓法，題解見圖 68、圖 69。
90°
90°
R20
R50
R50
120
120
圖 67 題目 17 半圓上的三個相切圓 圖 68 題目 17題解——方法十二底外角圓法
70°
擴展 10：動點 O 畫圓（圓 O
半徑 R），圓 O 與兩定圓（圓 OA
°
半徑 RA、圓 OB半徑 RB）相割， 70
割點為 JA1、JA2、JB1、JB2，割線
JA1 JA2與 JB1JB2延伸交點為 P， R20
則 P 點隨動點 O 的運動而運動，
50
P 點的運動軌跡是一條直線 Lp、 R
且 Lp 經過兩定圓公切線 L 的中 120t
點，并垂直于兩圓的連心線
OAOB。——圓割兩圓，割線交點
在直線上，見圖 70。
圖 69 題目 17 題解——方法十二底外角圓法
20
R70
35°
90°
R70
R70
120
擴展 10 擴展 1：從 P 點作圓 O、圓 OA、圓 OB的切線，切點為 tA1、tA2、tA3、tB1、tB2、
tB3，則切線長度相等，即 PtA1=PtA2=PtA3=PtB1=PtB2=PtB3，切點 tA1、tA2、tA3、tB1、tB2、tB3
六點共圓，圓心為 P。——圓割兩圓，割線交點處切線相等切點共圓，見圖 71。
圖 71 擴展 10 擴展 1——圓割兩圓
圖 70 擴展 10——圓割兩圓割線交點在直線上
割線交點處切線相等切點共圓
擴展 10 擴展 2：連心線 OOA垂直平分割線 JA1JA2，連心線 OOB垂直平分割線 JB1JB2，
且 O、P、SA（OA）、SB（OB）四點共圓。見圖 72、圖 73、圖 74、圖 75。
R
L p O J
B2
R
O
J
RA
J
A1
A1 L
P S
90° B90°
O A
J J
O
R BA SA A2
B1
OB
O
JB1
J A A2 S RB T
J AB2 B
L
P T T TB B
L P 120T tA
圖 72 擴展 10 擴展 2——圓割兩圓四點共圓 圖 73 擴展 10 擴展 2——圓割兩圓四點共圓
L O
L J
R L O RP O
J A1
L JP B2
R S
A A O J JB A1 O
B2
J
O A J
A2 R
OB
J B RAB1 O
A J J
R
B1 B
T A2A L T T A
L
P T TB P T 120 B 120
圖 74 擴展 10 擴展 2——圓割兩圓四點共圓 圖 75 擴展 10 擴展 2、擴展 3、擴展 4
21
R50
擴展 10 擴展 3：圓（O）割兩圓（OA、OB），直徑（JA1JA2、JB1JB2）割線，三圓心（O、
OA、OB）與割線交點（P）四點共圓（OJ），見圖 75。
擴展 10 擴展 4：圓（O）割兩圓（OA、OB），直徑（JA1JA2、JB1JB2）割線，過四點（O、
OA、OB、P）圓（OJ）圓心（OJ）的豎線（LJ）為連心線（OAOB）的垂直平分線，且該豎線
（LJ）為過公切線（TATB）中點割線（JA1JA2、JB1JB2）交點（P）的豎線（LP）與過圓心（O）
的豎線（LO）的對稱線，見圖 75。
題目 18，圓割兩圓且割線長度相等，見圖 76。
方法十三，等割線法。幾何原理，擴展 10、擴展 10 擴展 1、擴展 10 擴展 2，切割線定
理，割線定理，擴展 5，方法十中點垂線法。因為切線相等，a=a，所以割線相等。見圖 77。
應用方法十三等割線法解題，題目 18 題解見圖 77。
0°7
110° 110°
a
R3
0
R30
120 120
圖 76 題目 18 圓割兩圓且割線長度相等 圖 77 題目 18 題解——方法十三等割線法
題目 19，圓割兩圓連心線夾角定角，見圖 78。
方法十四，中點鏡像法。幾何原理，擴展 10 擴展 4，切割線定理，割線定理，擴展 5，
方法十中點垂線法。見圖 79。
70°
0°7
70°
R30
120 120
圖 78 題目 19 圓割兩圓連心線夾角定角 圖 79 題目 19 題解方法十四中點鏡像法
應用阿波羅尼斯圓定理及拓展繪制圖形。
題目 20，三角形兩邊定比，見圖 80。
幾何原理，相似三角形，阿波羅尼斯圓定理。
應用繪制阿氏圓的方法一內外分點法解題，題解見圖 81。
22
80
R30
a
R50
R50
R30
R50
80
R50
50
.7877
R50
80
80 133.33
80x5/(5-2)
圖 80 題目 20 圓割兩圓連心線夾角定角 圖 81 題目 20 題解——方法一內外分點法
應用繪制阿氏圓的方法二內分點一對圓法解題，題解見圖 82。
應用繪制阿氏圓的方法三兩對圓法解題，題解見圖 83。
31.11
20
.7877
77.
78
R50
R3
80 0 80
R R77 55
R30
R36
圖 82 題目 20 題解——方法二內分點一對圓法 圖 83 題目 20 題解——方法三兩對圓法
題目 21，三角形兩邊定比，夾角直角，見圖 84。
幾何原理，阿波羅尼斯圓定理，直徑上的圓周角為直角。
應用繪制阿氏圓的方法一、方法二、方法三解題目 21，題解見圖 85、圖 86、圖 87。
5
71.
5
90°
80 80
圖 84 題目 21 三角形兩邊定比夾角直角 圖 85 題目 21 題解——方法一內外分點法
90° 90°
55 5
71. 71.
5
R
80 30 80
R60
圖 86 題目 21 題解——方法二內分點一對圓法 圖 87 題目 21 題解——方法三兩對圓法
方法十五，相似三角形法。幾何原理，相似三角形對應邊成比例。見圖 88。
應用方法十五解題目 21，題解見圖 88。
23
30
30
R50
30
30
31.1
1
8
35.
7
20
90R 8
35.
7
0 31.112
20
8
35.
7
題目 22，三角形兩邊定比，夾角定角，見圖 89。
應用方法一、方法二、方法三、方法十五解題 22，題解見圖 90、圖 91、圖 92、圖 93。
100
71.55
R80
圖 88 題目 21 題解——方法十五相似三角形法 圖 89 題目 22 三角形兩邊定比夾角定角
73°
46
75
.
6
5.
4 73°
7
80 240
80 80R R60
3°7
圖 90 題目 22 題解——方法一內外分點法 圖91 題目22題解——方法二內分點一對圓法
73°
46.
75
137.4271°
100
75.46
R7
80 80
5
R R60
73
°
圖 92 題目 22 題解——方法三兩對圓法 圖93 題目22題解——方法十五相似三角形法
題目 23、題目 24，三角形兩邊定比，夾角定角，見圖 94、圖 96。
應用方法十五解題 23、題 24，題解見圖 95、圖 97。
5a
160
7 127.45890°
R120
120
圖 94 題目 23 三角形兩邊定比夾角定角 圖95 題目23題解——方法十五相似三角形法
24
137.4271°
R100
35.78
50
137.4271°
50.9836 56.6
64 75
°
73 °
70
56.
6
70
°
0
R8
2a
56.
6
56.
6
90.78
140
圖 96 題目 24 三角形兩邊定比夾角定角 圖97 題目24題解——方法十五相似三角形法
題目 25、題目 26，定圓內接長方形長寬定比，見圖 98、圖 99。
應用方法十五解題 25、題 26，題解見圖 100、圖 101。
2H 7a
圖 98 題目 25 定圓內接長方形長寬定比 圖 99 題目 26 定圓內接長方形長寬定比
100 140
67.08 64.34
圖 100 題目 25 題解方法十五相似三角形法 圖 101 題目 26 題解方法十五相似三角形法
方法十六，比例縮放法。幾何原理，相似三角形對應邊成比例；CAD 操作，參照比例
縮放。見圖 88。
應用方法十六解題 25、題 26，題解見圖 102、圖 103。
75 140
64.34
67.08
100
圖 102 題目 25 題解方法十六比例縮放法 圖 103 題目 26 題解方法十六比例縮放法
題目 27，點到兩點距離相等，見圖 104。
25
33.54
33.54
H
50
50
27.57
27.57 160
103.74
3a
60
60
0
R8
80
48°
R7
0
R75
方法十七，垂直平分線法。幾何原理，擴展 4。見圖 105。
應用方法十七解題 27，題解見圖 105。
50
25
33.75
60
圖 104 題目 27 點到兩點距離相等 圖 105 題目 27 題解方法十七垂直平分線法
題目 28，點到兩點距離定比，見圖 106。
應用方法一內外分點法解題 28，題解見
圖 107。
應用方法十五相似三角形法解題 28，題
解見圖 108。
圖 106 題目 28 點到兩點距離定比
61 6. 10 .3 03
6
22.31 1.03
50
22.31
50
圖 107 題目 28 題解方法一內外分點法 圖 108 題目 28 題解方法十五相似三角形法
題目 29，點到兩點距離定比，見圖 109。
應用方法一內外分點法解題 29，題解見圖 110。
50
30
.32
13.16 26
60
圖 109 題目 29 點到兩點距離定比 圖 110 題目 29 題解方法一內外分點法
題目 30，點到兩點距離定比，見圖 111。
26
35
35
22.33
5
40 20
40 20
33
2. 32 4.
6
4
63.
44
應用方法一內外分點法解題 30，題解見圖 112。
R90
60
55
R 80
圖 111 題目 30 點到兩點距離定比 圖 112 題目 30 題解方法二內分點一對圓法
題目 31，點到三點距離定比，見圖 113。
解題，求兩阿氏圓的交點。
解題 31，應用方法一內外分點法求阿氏圓，見圖 114、圖 115，應用對齊縮放操作對齊
到正方形的兩邊，見圖 116，應用參照比例縮放調整到尺寸，題解見圖 117。
5:8阿氏圓
15 24
65 39
104
圖 113 題目 31 點到三點距離定比 圖 114 題目 31 解題 1 作 5:8 阿氏圓
100
8:13阿氏圓
64.6762
40 65
6
.42
2
168 105 40
273
圖 115 題目 31 解題 2 作 8:13 阿氏圓 圖 116 題目 31 解題 3 對齊到正方形的兩邊
12.3693
8
5
圖 118 題目 32 點到兩點距離定比
圖 117 題目 31 題解——解題 4 參照縮放
直線分割定比
27
12.3693
13
46.55
6
100 9.82
105.0988
100
5°7
°
320
52.
0
題目 32，點到兩點距離定比直線分割定比，見圖 118。
解題 32，1）應用方法一內外分點法作阿氏圓，見圖 119；2）應用方法八點圓定比分
點法，以 56 線段左端點為基點復制參照比例縮放作出阿氏圓的三分之二圓，見圖 120；3）
偏移橫線 28，連接 56 線段左端點與偏移橫線和三分之二圓的交點，延伸至阿氏圓，題解見
圖 121。
另外，在偏移 28 的橫線上還有另外一個解，見圖 122。
56 112 56 112
圖 120 題目 32 解題 2
圖 119 題目 32 解題 1 作 3:2 阿氏圓
作出阿氏圓的三分之二圓
52.9
7
35
1. 105.
94
2
69 35
42
. 1.2
69
42
.
.94
56 112 105
56 112
圖 121 題目 32 解題 3 偏移
圖 122 在偏移 28 的橫線上的兩個解
直線連接延伸連線——題解
題目 33，兩個點到兩點距離的兩個定比且直線相交分割定比，見圖 123。
解題 33，1）應用方法一內外分點法作 3:2 阿氏圓，見圖 124。
50 100
圖 123 題目 33 兩個點到兩點距離
圖 124 題目 33 解題 1 方法一作 3:2 阿氏圓
的兩個定比且直線相交分割定比
2）應用方法二內分點一對圓法作 6:7 阿氏圓，見圖 125。
3）應用方法八點圓定比分點法，以 50 線段左端點為基點參照比例縮放復制作出 3:2
28
28
28
42.69
42.69
阿氏圓的三分之二圓，見圖 126。
4
R161.
5
R7
0 R161.5
4
60 50 100 50R
圖 126 題目 33 解題 3 以線段左端點為基點
圖 125 題目 33 解題 2 方法二作 6:7 阿氏圓
作出 3:2 阿氏圓的三分之二圓
4）自 50 線段右端點任
意作直線與左側 6:7 阿氏圓
.2
7
相交，見圖 127。 17 40
5 .）作出其他直線，題解 23
54
見圖 127。 34.
從步驟 4）可以知道，
題解不是唯一的。
50
要得到唯一的解，還需
要有一個條件。
再仔細分析題圖，見圖
123，3b 直線與 7a 直線相互
垂直。
以 50 直線為直徑作圓，
再繪制出其他直線。 圖 127 題目 33 解題 4 解題 5 直線連接延伸連線——題解 1
8.
9 題解見圖 128。
1
.87 題目 34，兩個點到兩點3
距離的兩個定比且直線相交
分割定比，見圖 129。
50
圖 129 題目 34 距離定比且
圖 128 題目 33 解題 5 作圓作其他直線——題解 2
直線相交分割定比
繪制阿氏圓的方法十七，直角三角形法。
幾何原理，見圖 130，阿氏圓上任意一點到兩點的距離定比。
自 B 點作線段 AB 的垂線與以 AB 的內外分點為直徑的阿氏圓相交于 P 點，則 PA:PB
29
40.48
34.4
90 8°
4
34.5
23.
47 37.8
為定比 k。
繪制 m:n=k 阿氏圓的直角三角形法： P
1） 作 PB=L；
kL2） 作垂線 BA；
3） 以 P 點為圓心，kL 為半徑畫弧（圓），
交 BA 于 A； A C B O D
4） 作 PO 垂直于 PA，交 AB b c于 O； a
5） 以 O 為圓心，OP 為半徑畫圓 O；
圓 O 131 b/c=k=m:n即為阿氏圓。見圖 。
圖 130 方法十七直角三角形法幾何原理
作圖方法證明，即已知 PA/PB=KL/L=k，
P
證明 b/c=k，AD/BD=k。 kL
證明： kL
PDA CPA △CAP ≌△PAD
AP AC PC
A b C c B O DAD AP PD a
BDP BPC b/c=k=m:n
直角△BDP≌直角△BPC
圖 131 方法十七直角三角形法繪制阿氏圓
PC CB PB AP AC CB PB

PD PB DB AD AP PB DB
AC CB AC PA b
k 即 k
AP PB CB PB c
AP PB AP AD AD PA
k
AD DB PB DB BD PB
繪制阿氏圓的方法十八，任意三角形法。
幾何原理，見圖 132，阿氏圓上任意一點到兩點的距離定比。
繪制 7:4 阿氏圓的任意三角形法：
1） 作橫線； R70
2） 任意方向畫 40 直線；
3） 以 40 直線上端點為圓心，70 為半徑
畫弧（圓），交橫線；
4） 橫線右端修剪（延伸）調整到與圓弧
的交點；
5） 橫線作 11 等分（4+7）；
6） 端點-節點-垂足三點畫圓（即左斜線
上端點、橫線左 4 分點、橫線的垂
圖 132 方法十八任意三角形法繪制阿氏圓
足點）或上下鏡像左斜線；
7） 端點-節點-端點三點畫圓。
畫出的圓即為 7:4 阿氏圓。見圖 132。
解題 34，
30
L
L
40
1） 應用繪制阿氏圓的方法十七直角三角形法作 6:7 阿氏圓，見圖 133。
2） 應用繪制阿氏圓的方法十八任意三角形法作 3:2 阿氏圓，見圖 134。
R70 R60
36.18
6:7阿氏圓 79.16
3:2阿氏圓
圖 133 方法十七直角三角形法繪制阿氏圓 圖 134 方法十八任意三角形法繪制阿氏圓
3） 將兩個阿氏圓應用對齊縮放或參照比例縮放加移動，調整到同一條 50 長的線段上，
見圖 135。
4） 應用方法八點圓定比分點法，以 50 線段左端點為基點參照比例縮放復制作出 3:2
阿氏圓的三分之二圓，見圖 136。
5） 應用方法八點圓定比分點法，以 50 線段右端點為基點參照比例縮放復制作出 6:7
阿氏圓的五分之三圓，見圖 136。
1
0.
6
1 16
R160
.6 R6 R0 R60R40
50 50
五分之三圓
6:7阿氏圓 3:2阿氏圓 三分之二圓
3:2阿氏圓
6:7阿氏圓
圖 136 以線段左右端點為基點參照比例縮
圖 135 將兩個阿氏圓調整到同一線段上
放復制作出兩個比例圓
6） 得到兩個比例
圓后由其交點 五分之三圓
就可以作出其
08
他的圖線，見圖 20
.
137。
15
.40
題目 34 的題解見圖 R40
138。 R160.61 50 60
R
題目 35，點到兩圓 6:7阿氏圓 三分之二圓
切線定比，見圖 139。 3:2阿氏圓
圖 137 由兩個阿氏圓比例圓的交點作出其他圖線
31
R116.2
60
R96
47 ..3 38 7
R94.9
R9 96.37
33
55
. 40.15
40 3.
2
3
3
2.
1
2
08
20
.
15.
40
50
圖 138 題目 34 的題解 圖 139 題目 35 點到兩圓切線定比
題目 35 解題，應用方法四三公切線法解題，將三公切線作 m+n（3+2）等分，用三個
內分點作出 m:n（3:2）阿氏圓，見圖 140。題解見圖 141。
41.21 41
1 .28 81 1
1. 1.6 6
60
60
圖 140 題目 35 應用三公切線法解題 圖 141 題目 35 題解
題目 36，點到兩圓切線定比夾角定角，見圖 142。
3a 2a
90 11
58.347 0°
110°
R15
R15 60 R20 R20
70°
圖 142 題目 36 點到兩圓切線定比夾角定角
R20
應用方法十五相似三角形法解題 36 ，題
解見圖 143。 圖 143 題 36 題解應用相似三角形法解題
7a
題目 37，點到圓點切距定比夾角定角，
70
見圖 144。參見圖 24 題目 5。 °
方法十五相似三角形法解題步驟： 50R
1）繪制頂角為定角兩邊為定比的三角
形，見圖 145。 120
2）在三角形底角處繪制符合幾何關系的
圓、直線等圖形，見圖 146。 圖 144 題目 37 點到圓點切距定比夾角定角
32
47.3
60 8
60
R60
4a
60
8
38.
89
33
40.15
5.5
.2
33
.1
3
22
280 280
圖 145 繪制頂角定角兩邊定比的 圖 146 在三角形底角處
符合幾何關系的三角形 繪制符合幾何關系的圓、直線等圖形
3）三角形底角處的圖形，沿三角形底邊指示的方向移動，以使底邊底角圖形符合幾何
關系，見圖 147。
4）保持三角形底邊底角處圖形的幾何關系，在三角形底邊原三角形底角的對應點處繪
制原三角形頂角兩邊的平行線，構造與原三角形相似的新的三角形，見圖 148。
題目 37 題解見圖 148。幾何原理，相似三角形對應邊比例相等，對應角角度不變。
280 280
145.06
R50 R50
R50 R50 120
圖 147 沿三角形底邊指示方向移動圖形 圖 148 題目 37 題解相似三角形法在對應點
以使底邊底角圖形符合幾何關系 處作原三角形兩邊的平行線得到相似三角形
題目 38，點到圓點切距定比夾角定角，見圖 149。參見圖 31 題目 6。
應用方法十五相似三角形法解題 38，題解見圖 150。
280
7 °
70° a 70
0°7
R120
120 120
R50 R50
圖 149 題目 38 點到圓點切距定比夾角定角 圖 150 題目 38 題解相似三角形法
題目 39，點到圓點切距定比線定位，見
圖 151。
繪制點圓阿氏圓的方法十八，直角三角
形加切線分點法。題目 39 解題 1。
1）在點圓心連線與圓的交點處作直角三
角形，直角邊與斜邊之比為定比 m:n（1：2）。
圖 151 題目 39 點到圓點切距定比線定位
33
4a
R50
16
1 060
160
82.89
1
1 66 00
0°7
20
R1
0°7
70
°
50R
°
0° 7
0
7 20R1
30-60 度直角三角形短邊為斜邊的一半，見
圖 152。 60°
2）作圓的兩條切線，將切線三等分，見
58
圖 153。 .21
3）三點作圓，用直角三角形定比線的頂
點與兩個切線的等分點，作阿氏圓，見圖
153。
4）作出其他直線，題解 1 見圖 154。
50
圖 152 方法十八在交點處作直角三角形，
直角邊與斜邊之比為定比 m:n 即 1:2
60°
50
16.71
33.42
50
圖 154 方法十八直角三角形加切線分點法
圖 153 作切線等分切線作阿氏圓
解題——題目 39 題解 1
題目 39 解題 2。應用方法十七和方法七
6
解題。 0°
1）用方法十七直角三角形法繪制點與圓
心點兩點的 m:n（1:2）阿氏圓，見圖 155。 50
2）畫一條切線，等分切線，見圖 155。 16.71
3）過切線等分點畫點點阿氏圓的同心
圓，即方法七，見圖 155。
4）作出其他直線，題解 2 見圖 155 3。 3.42
繪制點圓阿氏圓的方法十九，相似直角 圖 155 方法十七直角三角形法和方法七
三角形同心圓法。 同心圓法解題——題目 39 題解 2
1）作直角邊與斜邊之比為定比m:n（1:2） 60°
的兩個相似直角三角形，另一直角邊為點與
圓心連線和連線與圓的交點到點的連線，見 82.
圖 156。 40
2）作斜邊垂線，與連心線相交，以交點
8
為圓心作點點阿氏圓，見圖 157。 .5
21
3）過另一個相似三角形頂點作點點阿氏
圓的同心圓，見圖 158。 圖 156 方法十九相似直角三角形同心圓法 1
34
50
50
50
50
3.164
1.658
43.1
6
60° 60°
圖 157 方法十九相似直角三角形同心圓法 2 圖 158 方法十九相似直角三角形同心圓法 3
作點點阿氏圓 作阿氏圓的同心圓
4）作出其他直線，見圖 155。
題目 40，點到圓點切距相等，見圖 159。
應用方法十中點垂線法解題，題目 40 題解見圖 160。
27.5
50 27.5
圖 159 題目 40 點到圓點切距相等 圖 160 題目 40 題解——方法十中點垂線法
題目 41，點到兩圓切線相等，見圖 161。
應用方法十中點垂線法解題，題目 41 題解見圖 162。
44.59
35.89
70
圖 161 題目 41 點到兩圓切線相等 圖 162 題目 41 題解——方法十中點垂線法
題目 12、題目 13、題目 14，見圖 52、
圖 54、圖 55。
應用方法十五相似三角形法解題 12、解 40°
題 13、解題 14，題解見圖 163、圖 164、圖
R40 R25
165。
題目 9 見圖 44。
120
應用方法十五相似三角形法解題 9，題
解見圖 166。
圖 52 題目 12，圓切兩圓，公切線定角度
35
40
50
35
44.59
120 120
140° 140°
40 25 B+15 B
R R
圖 54 題目 13 三角形兩邊差為定值 圖 55 題目 14 三角形兩邊差為定值
40° 120
31.29
R40 R25
40°
31.29
R120
R25
140°
120 R40
R40
圖 163 題目 12 題解方法十五相似三角形法 圖 164 題目 13 題解方法十五相似三角形法
90° A
R120 12
0 56.29
R15 140° 0
15 56.29 R5
120
圖 165 題目 14 題解方法十五相似三角形法 圖 44 題目 9 點到相切圓切線長度相等
200
144.26
R70
70°
R
0 62 01
140
R50
圖 166 題目 9 題解方法十五相似三角形法 圖 62 題目 15 相切 3 圓與圓心三角形
題目 15、題目 16 見圖 62、圖 63。
應用方法十五相似三角形法解題 15、解題 16，題解見圖 167。
題目 17，見圖 68。
36
180
200
85.9749
144.26
R50
A
R80
20 R
70
R1
49
80 .9
7
1 85
70°
70
°
60
140 70°
圖 63 題目 16 切點定位的
三角形內切圓 140 R80
90°
R60
R R6050
120 圖 167 題目 15 題目 16 題解方法十五相似三角形法
圖 67 題目 17 半圓上的
R
三個相切圓 50
題目 17 解題，按方法十二底外角圓
120 R20
法，題解見圖 168。
題目 17 解題，方法十五相似三角形
法，題解見圖 169
題目 42，半圓上的三個相切圓，見
圖 170。 圖 168 題目 17 題解——方法十二底外角圓法
R120
R70
R50
0
12
R50
圖 169 題目 17 題解方法十五相似三角形法 圖 170 題目 42 半圓上的三個相切圓
題目 42 解題，應用方法十一內公切線
法，1）繪制內公切線，2）小圓畫豎線得交
點，3）繪制小圓切線，4）自兩切線交點繪
制大圓切線，5）切點與圓心連線，見圖 171。
延伸兩圓心與切點的連線，得到第三圓
圓心，繪制第三圓，見圖 172 題解。
圖 171 題目 42 解題 1 畫圓切線
37
R70
R70
R140
120
題目 43、題目 44，半圓上的三個相切圓，
見圖 173、圖 174。
圖 173 題目 43 半圓上的三個相切圓
圖 172 題目 42 解題 2——題解——
方法十一內公切線法
題目 43、題目 44 解題，按方法十二底
外角圓法解題，題解見圖 175、圖 176。
題目 43、題目 44 解題，方法十五相似
177 178 圖 174 題目 44 半圓上的三個相切圓 三角形法，題解見圖 、圖 。
R20 R15
圖 175 題目 43 題解方法十二底外角圓法 圖 176 題目 44 題解方法十二底外角圓法
圖 177 題目 43 題解方法十五相似三角形法 圖 178 題目 44 題解方法十五相似三角形法
38
80
85
85R
0
R8
題目 45，定角度圓弧上的三個相切圓，
見圖 179。
題目 45 解題，應用方法十二底外角圓法
解題，120°等腰三角形底角 30°，120°的
補角為 60°，繪制 30°、60°角，作三點
圓弧，則以連心線為弦的圓弧角度為 120°
和 150°，題解見圖 180。
圖 179 題目 45 定角度圓弧上的三個相切圓
120° 題目 45 解題，應用方法十五相似三角形
法解題，題解見圖 177、圖 178。
R15
120°
120°
60°
30°
圖 180 題目 45 題解方法十二底外角圓法 圖 181 題目 45 題解方法十五相似三角形法
題目 46，圓外與相切 4 比例圓相切，見圖 182。
題目 47，正方形外與相切 4 比例圓相切，圖 183。
圖 183 題目 47 正方形外與
圖 182 題目 46 圓外與相切 4 比例圓相切
相切 4 比例圓相切
題目 46 解題參見題目 44，見圖 176，按圖 176 或圖 178 解題，然后鏡像，見圖 184。
題目 47 解題參見題目 46，見圖 182，按圖 184 解題，然后參照旋轉轉正，畫正方形，
見圖 185。再作參照比例縮放將正方形邊長縮放到 100，見圖 186。
題目 48，圓外與相切 4 圓相切且外 4 圓內切菱形，見圖 187。
題目 48 應用方法十五相似三角形法解題，解題 1，1）畫橫線、畫豎線、畫 45°斜線、
畫 30°斜線；2）3 點畫下圓，端點-切點-垂足；3）3 點畫右圓，端點-切點-垂足；4）3 點
畫第三圓，交點-切點-垂足；見圖 188。
39
34.27
圖 185 題目 47 解題按圖 184 解題，
圖 184 題目 46 題解按題目 44 解題后鏡像
轉正，畫正方形
100
圖 186 題目 47 題解參照比例縮放 圖 187 題目 48 圓外與相切 4 圓相切
將正方形邊長縮放到 100 且外 4 圓內切菱形
tan
per tan
end
int per tan
tan
end
60° tan tan
per tan
tan
圖 188 題目 48 解題 1 三點畫圓畫 3 圓 圖 189 題目 48 解題 2 畫公切線三切點畫圓
題目 48 解題 2，5）畫圓公切線；6）延伸公切線；7）三切點畫圓；見圖 189。
題目 48 解題 3，8）自圓心畫橫線；9）橫豎交點畫圓；見圖 190。
26
89.
00
1
圖 190 題目 48 解題 3 畫橫線畫圓 圖 191 題目 48 解題 4 鏡像圓和直線
40
100
34.27
60°
題目 48 解題 4，10）鏡像圓和直線，見圖 191；11）參照比例縮放，題解見圖 193。
題目 49，正方形外與相切 4 圓相切且外 4 圓內切菱形，見圖 192，題解見圖 193。
100
圖 192 題目 49 正方形外與相切 4 圓相切
圖 193 題目 48 題目 49 題解
且外 4 圓內切菱形
題目 50、題目 51、題目 52，長方形外
與相切 4 等圓相切，見圖 194、圖 195、圖
196。
題目 50、題目 51、題目 52 應用方法十
二底外角圓法解題，解題 1 見圖 197、圖 198。
題目 50、題目 51、題目 52 解題 2，鏡
像復制或旋轉復制，見圖 199、圖 200。
題目 50、題目 51、題目 52 解題 3，旋
轉，見圖 201、圖 202；解題 4 題解參照比
例縮放見圖 203、圖 204。 圖 194 題目 50 長方形外與相切 4 等圓相切
圖 195 題目 51 長方形外與相切 4 等圓相切 圖 196 題目 52 長方形外與相切 4 等圓相切
8 26
3.
4
24
.
12 4
8 26
3. .4 74
10:7三角形 R
50
:5三角
形
0 21.741
R4 R15
R80 1 00:5三 R80角形 10:7三
角
形
圖 197 題目 50 解題 1 方法十二底外角圓法 圖 198 題目 52 解題 1 方法十二底外角圓法
41
R50
60°
70
.9
8
51
98
16
.
74.
61
R80 R15
R40
R50
R8010: 15 0三 :7角 三形 角形
圖 199 題目 50 解題 2 鏡像復制或旋轉復制 圖 200 題目 52 解題 2 鏡像復制或旋轉復制
86.97 48.51
圖 201 題目 50 題目 51 解題 3 旋轉 圖 202 題目 52 解題 3 旋轉
100 100
圖 203 題目 50 題目 51 解題 4 題解
圖 204 題目 52 解題 4 題解參照比例縮放
參照比例縮放
題目 50、題目 51、題目 52 應用方法十五相似三角形法，解題 1 見圖 205、圖 206。
題目 50、題目 51、題目 52 解題 2，鏡像，見圖 207、圖 208。
題目 50、題目 51、題目 52 解題 4 題解，參照比例縮放，見圖 203、圖 204。
題目 53，長方形外與相切比例 4 圓相切，見圖 209。
題目 53 應用方法十二底外角圓法解題，解題 1 見圖 210。
42
50 43.48
R50
70 33.96
70
200 200
圖 205 題目 50 題目 51 解題 1 圖 206 題目 52 解題 1
方法十五相似三角形法 方法十五相似三角形法
54.36 48.51
圖 207 題目 50 題目 51 解題 2 鏡像復制 圖 208 題目 52 解題 2 鏡像復制
77.73
28.73
形
10:7三
角
49
R51
10:7三
角
形
圖 210 題目 53 應用方法十二
圖 209 題目 53 長方形與相切比例 4 圓相切
底外角圓法解題 1
題目 53 解題 2 旋轉鏡像，見圖 211；解題 3 作長方形，見圖 212。
77.73
28.73 57.45
R70 R70
圖 211 題目 53 解題 2 旋轉鏡像 圖 212 題目 53 解題 3 作長方形
43
27.18
100
111.04
41.04
10:7三
角
形
R100
1 33.9611.04 140
41
82.08 .04
R100
R100
119
70R
題目 53 解題 4 題解，縮放，見圖 213。
題目 54，等邊三角形外與相切比例 3 圓相切，見圖 214。
70
.8
4
21
R1
29
R85
.
圖 214 題目 54 等邊三角形外
圖 213 題目 53 解題 4 題解縮放
與相切比例 3 圓相切
題目 54，解題 1，1）畫等邊三角形，2）畫豎線，3）相切相切半徑畫Φ100 圓，見圖
215。
題目 54，解題 2 題解，4）相切相切半徑畫Φ70 圓，見圖 216。
tan tan
tan tan
tan tan
60 60
圖 215 題目 54 解題 1 畫等邊三角形 圖 216 題目 54 解題 2 題解
畫豎線相切相切半徑畫Φ100 圓 相切相切半徑畫Φ70 圓
題目 54，按方法十五相似三角形法解題，見圖 217；鏡像，題解，見圖 218。
60
tan
tan
5
R8 23.49
圖 217 題目 54 按方法十五
圖 218 題目 54 題解鏡像
相似三角形法解題
44
100
題目 55，已知直角三角形邊與邊差，見圖 219。
題目 56，已知三角形邊與邊差及角，見圖 220。
圖 219 題目 55 已知直角三角形邊與邊差 圖 220 題目 56 已知直角三角形邊與邊差
題目 55 應用方法十二中點垂線法解題，題解見圖 221
題目 56 應用方法十二底外角圓法解題，題解見圖 222。
81.
70 68°
34.38 R20
70
34.38
80
圖 221 題目 55 題解方法十中點垂線法 圖 222 題目 56 題解方法十二底外角圓法
題目 55 應用方法二十中垂線法解題，作等腰三角形底邊中垂線，找到三角形頂點，題
解見圖 223。
題目 56 應用方法十五相似三角形法解題，題解見圖 224。
5 00 7.8 R1 R20
°
68
80
圖 223 題目 55 題解方法二十中垂線法 圖 224 題目 56 題解方法十五相似三角形法
45
121.67 121.67
30
121.67 91.67
70.81
70
34°
.8150
R30
題目 57，圓割兩圓割線為兩圓直徑線，見圖 225。
題目 57 解題 1，應用方法十四中點鏡像法解題，1）作公切線，2）由公切線中點作連
心線垂線（豎線）——得到中點垂線，3）連心線中點作豎線，4）鏡像中點垂線——得到
鏡像線，鏡像線與右圓交點為第三圓圓心，5）作兩條連心線，見圖 226。
題目 57 解題 2，6）兩圓處作垂直于連心線的直徑線，7）作出第三圓，見圖 227。
60
圖 225 題目 57 圓割兩圓割線為直徑線 圖 226 題目 57 解題 1 方法十四中點鏡像法
60
圖 227 題目 57 解題 2 題解方法十四中點鏡像法
方法
繪制阿氏圓的方法一，內外分點法，內外定比分點直徑圓法。
繪制阿氏圓的方法二，內分點一對圓法，內分點定比點三點圓法。
繪制阿氏圓的方法三，兩對圓法，定比點三點圓法。
繪制阿氏圓的方法四，三公切線法，三公切線定比分點法。
繪制阿氏圓的方法五，定比切線點一對圓法，公切線定比分點定比切線點三點圓法。
繪制阿氏圓的方法六，定比切線點兩對圓法，定比切線點三點圓法。
46
繪制阿氏圓的方法七，同心阿氏圓法。
方法八，點圓定比分點法，幾何原理見擴展 2 點圓定比分點。
繪制阿氏圓的方法九，點切距定比法，點到圓點切距定比法。
繪制阿氏圓直線的方法十，中點垂線法。
繪制阿氏圓直線的方法十一，內公切線法。
方法十二，底外角圓法，等腰三角形底角外角圓法。
方法十三，等割線法。
方法十四，中點鏡像法。
方法十五，相似三角形法。
方法十六，比例縮放法。
繪制阿氏圓的方法十七，直角三角形法。
繪制點圓阿氏圓的方法十八，直角三角形加切線分點法。
繪制點圓阿氏圓的方法十九，相似直角三角形同心圓法。
方法二十，中垂線法，等腰三角形底邊中垂線法。
題目
3a 2a
5a
15R R20
60
120
圖 3 題目 1 點到兩點距離定比 圖 10 題目 2 點到兩圓切線定比
a
7a
a
4a
140
R7
0 90 0
R7
圖 19 題目 3 點圓定比分點 圖 20 題目 4 點圓定比分點
7a 4
a
7a
R5
0
120
120
圖 24 題目 5——點到圓點切距定比 圖 31 題目 6——點到圓點切距定比
47
47
60
40
R50
73
2a
4a
A A
A
R4
0
0
R4
120
120
圖 38 題目 7 點到兩圓切線相等
圖 41 題目 8——點切點點相等
90° A
R40
50R
120
120
圖 47 題目 10，圓切兩圓內公切線
交點軌跡為直線
圖 44 題目 9 點到相切圓切線長度相等
40°
R40 R25
120
R80
圖 52 題目 12，圓切兩圓，公切線定角度
R40
120
R25
140°
120 40 25
R R
圖 50 題目 11 四切線相等四切點共圓
圖 54 題目 13 三角形兩邊差為定值
120
70°
140°R60 B+15 B
140
圖 55 題目 14 三角形兩邊差為定值
圖 62 題目 15 相切 3 圓與圓心三角形
48
A
90°
R80
63
90°
80 63
R2
5
A 90°
°
25
90
R
70R
90°
70°
R50
120
60
140
圖 63 題目 16 一切點定位的三角形內切圓 圖 67 題目 17 半圓上的三個相切圓
70°
110°
a
R30
120
120
圖 76 題目 18 圓割兩圓且割線長度相等 圖 78 題目 19 圓割兩圓連心線夾角定角
50
80
圖 80 題目 20 圓割兩圓連心線夾角定角 圖 84 題目 21 三角形兩邊定比夾角直角
5a
70°
120
圖 89 題目 22 三角形兩邊定比夾角定角 圖 94 題目 23 三角形兩邊定比夾角定角
2H
圖 96 題目 24 三角形兩邊定比夾角定角 圖 98 題目 25 定圓內接長方形長寬定比
49
30 80
R30
a
R50
R50 R70
H
2a
20
7a
圖 99 題目 26 定圓內接長方形長寬定比 圖 104 題目 27 點到兩點距離相等
圖 106 題目 28 點到兩點距離定比 圖 109 題目 29 點到兩點距離定比
圖 111 題目 30 點到兩點距離定比 圖 113 題目 31 點到三點距離定比
圖 118 題目 32 點到兩點距離定比 圖 123 題目 33 兩個點到兩點距離
直線分割定比 的兩個定比且直線相交分割定比
50
3a
圖 129 題目 34 距離定比
圖 139 題目 35 點到兩圓切線定比
且直線相交分割定比
7a
3a 2a
70
11 °0°
0
R5
R15 12060 R20
圖 142 題目 36 點到兩圓切線定比夾角定角 圖 144 題目 37 點到圓點切距定比夾角定角
7
70° a
120
圖 149 題目 38 點到圓點切距定比夾角定角 圖 151 題目 39 點到圓點切距定比線定位
圖 159 題目 40 點到圓點切距相等 圖 161 題目 41 點到兩圓切線相等
圖 170 題目 42 半圓上的三個相切圓 圖 173 題目 43 半圓上的三個相切圓
51
4a
R50
4a
圖 174 題目 44 半圓上的三個相切圓 圖 179 題目 45 定角度圓弧上的三個相切圓
圖 182 題目 46 圓外與相切 4 比例圓相切 圖 183 題目 47 正方形與相切 4 比例圓相切
圖 187 題目 48 圓外與相切 4 圓相切 圖 192 題目 49 正方形外與相切 4 圓相切
且外 4 圓內切菱形 且外 4 圓內切菱形
圖 194 題目 50 長方形外與相切 4 等圓相切 圖 195 題目 51 長方形外與相切 4 等圓相切
52
圖 196 題目 52 長方形外與相切 4 等圓相切 圖 209 題目 53 長方形與相切比例 4 圓相切
圖 214 題目 54 等邊三角形外
圖 219 題目 55 已知直角三角形邊與邊差
與相切比例 3 圓相切
圖 220 題目 56 已知直角三角形邊與邊差 圖 225 題目 57 圓割兩圓割線為直徑線
53
題目類型分布
點點比例 點圓切比例 圓圓切比例 點到 3 點比例
距離 1,20,29 5,6 2,35 31
角度 21,22,23,24,25,26 37,38 36,50,51,52,53,54
定位-線 28,30 40,39
點點相等 點圓切相等 圓圓切相等 點點分比
距離 27 8 7,10,11,41 32,33,34
角度 55,56 9,12
定位-線 40
圓圓直線 圓圓圓相割 圓圓圓相切 點圓直線比例
距離 三角形 16 3
角度 13,14 18,19 15,17,42,43,44,45,46,47 點圓直線相等
定位-線 57 48,49 4
54

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