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等腰三角形存在性問題
1、如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=3秒時．直接寫出點N的坐標，并求出經過O、A、N三點的拋物線的解析式；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？
2、（2012山東臨沂）如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；（2）求經過點A．O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
3、在平面直角坐標系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（－1，0）．
（1）請直接寫出點B、C的坐標：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C． 此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點M．
①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；
②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
4、如圖，直線l1經過點A（－1，0），直線l2經過點B(3，0), l1、l2均為與y軸交于點C(0，)，拋物線經過A、B、C三點。
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）拋物線的對稱軸依次與軸交于點D、與l2交于點E、與拋物線交于點F、與l1交于點G。求證：DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y軸上的C點處，點P為拋物線上一動點，要使△PCG為等腰三角形，請寫出符合條件的點P的坐標，并簡述理由。
答 案
等腰三角形
1、解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可設經過O、A、N三點的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。
∴拋物線的解析式：。
（2）存在。過點N作NC⊥OA于C，
由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA?sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN?sin∠BAO=，AC=AN?cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①當MN=AN時， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。
②當MN=MA時，，即，解得t1=0（舍去），t2=。
③當AM=AN時，6﹣t=t，即t=。
綜上所述，當t的值取 2或或 時，△MAN是等腰三角形。
2、【答案】解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=。
∴點B的坐標為（﹣2，﹣）。
（2）∵拋物線過原點O和點A．B，
∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得
，解得。
∴此拋物線的解析式為。

∴y=不符合題意，舍去。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
②若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=﹣。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣）。
3、（1）B（3，0），C（0，）
解：法1： 設過A、B、C三點的拋物線為，則
∵A（—1，0）B（3，0） ∴
又∵C（0，）在拋物線上 ∴
∴∴ 即
（2）①解：當△OCE∽△OBC時，則 ∵， OE=AE—AO=， OB=3
∴ ∴ ∴當時，△OCE∽△OBC．
（2）②解：存在點P. 理由如下： 由①可知 ∴OE=1 ∴E（1，0） 此時，△CAE為等邊三角形
∴∠AEC=∠A=60°
又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ∴點C與點M關于拋物線的對稱軸對稱.
∵C（0，） ∴M
過M作MN⊥軸于點N（2，0） ∴MN= ∴ EN=1 ∴ EM=
若△PEM為等腰三角形,則:
ⅰ)當EP=EM時, ∵EM=2，且點P在直線上 ∴P(1，2)或P(1，—2)
ⅱ）當EM=PM時,點M在EP的垂直平分線上 ∴P(1，2)
ⅲ）當PE=PM時，點P是線段EM的垂直平分線與直線的交點 ∴P(1，)
∴綜上所述，存在P點坐標為（1，2）或（1，—2）或（1，）或（1，）時，△EPM為等腰三角形．
4、【答案】解：（1）∵拋物線經過A（－1，0），B（3，0），C（0，）三點，
∴ ，解得。∴拋物線的解析式為：．
（2）證明：設直線l1的解析式為y=kx+b，由直線l1經過A（－1，0），C（0，），得
∴，解得，∴直線l1的解析式為：y=-x 。
直線l2經過B（3，0），C（0，）兩點，同理可求得直線l2解析式為：y= x 。
∵拋物線，
∴對稱軸為x=1，D（1，0），頂點坐標為F（1， ）。
點E為x=1與直線l2：y= x的交點，令x=1，得y= ，∴E（1， ）。
點G為x=1與直線l1：y=-x 的交點，令x=1，得y= ，∴G（1，）。
∴各點坐標為：D（1，0），E（1， ），F（1，），G（1， ），它們均位于對稱軸x=1上。
∴DE=EF=FG=。
（3）如圖，過C點作C關于對稱軸x=1的對稱點P1，CP1交對稱軸于H點，連接CF，PG。
△PCG為等腰三角形，有三種情況：
①當CG=PG時，如圖，由拋物線的對稱性可知，此時P1滿足P1G=CG。
∵C（0，），對稱軸x=1，∴P1（2， ）。
②當CG=PC時，此時P點在拋物線上，且CP的長度等于CG。
如圖，C（1， ），H點在x=1上，∴H（1，）。
在Rt△CHG中，CH=1，HG=|yG－yH|=| －（）|= ，
∴由勾股定理得：。∴PC=2．
如圖，CP1=2，此時與①中情形重合。
又Rt△OAC中，，∴點A滿足PC=2的條件，但點A、C、G在同一條直線上，所以不能構成等腰三角形。
③當PC=PG時，此時P點位于線段CG的垂直平分線上.
∵l1⊥l2，∴△ECG為直角三角形。
由（2）可知，EF=FG，即F為斜邊EG的中點。
∴CF=FG，∴F為滿足條件的P點，∴P2（1，）。
又，∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。
又P1C=CG，∴△P1CG為等邊三角形。
∴P1點也在CG的垂直平分線上，此種情形與①重合。
綜上所述，P點的坐標為P1（2， ）或P2（1， ）。

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